장음표시 사용
471쪽
oratis ab eadem r. Est autem e Vigecupla AP. XIILEjusdem Νr, et proinde quadratum ejus aequale 400 mqti,hui. .
Quadratis ab eadem r. recti composi-
Est autem B aequalis novemdecem rectra r;
et quadratum ejus aequale 36 quadratis ab eadem NU rius ergo est quadratum rectaeir, quam quadratum rectae Brsive ΒΜ Quadratum enim Braequale est tantummodo 360 quadratis ab Νr. Inter quadrata a B et ΒΜ, id est inter 400 et
324, Sumatur numerus medius proportionalis cadit enim inter quoslibet duos numeros quadratos unus
medius proportionalis eritque ille numerus medius 360, nempe tot quadrata a sexta parte BG, quot sunt aequalia decem quadratis a semiradio toto BG. Itaque si gnomon circumponi intelligatur quadrato ΒΜ, cujus gnomonis latitudo sit 'gnomon ille aequalis erit quadrato ab r sexta parte semiradii. Hactenus nulla causa est dubitandi de prop. 47, Elem. i. Rursus, quadratum a C aequale est 36 quadra tis ab r. Est autem e clupla ipsius Νr, et quadratum ejus aequalem quadratis ab eadem r. Et quia r septupla est ipsius ' quadratum ejus aequale erit 49 quadratis ab eadem r. Iam cum Μ tangens sit 30 graduum erit quadratum ejus secundum prop. 47 Elem. i aequale 4 quadratis ab r. Est enim AL, secans 30 gr
duum dupla tangentis BL sive Μ et ΑΒ radius duplus semiradii BG. Cum ergo quadratum ab AL sit ad quadratum a B ut 4 ad 1, erit ad quadratum ab ΑΒ ut 4 ad 3. Quare etiam quadratum tangenti BL erit ad quadratum semiradii BG ut ad 3, sive 4 ad 36. Sed quia quadratum
BG sive C est 36, erit quadratum a BL sive Μ,
472쪽
460 DE PRINcIPIIS ET RATIOCINATIONEOAP. XXIII. Secundum Euclidem, sequiae 4 quadratis ab MD quisui. Est autem quadratum a C 49. Quare si gnomonopi v v n His cujus latitudo sit ri circumponeretur quadrato
-- Μ, esset ille gnomon aequalis quadrato ipsius r. Sed ostensum est, quod gnomon cujus latitudo sit Μr, circumpositus quadrato a BΜ, aequalis est quadrato ab eadem r. on est ergo quadratum tangente 30 graduum ad quadratum a semiradio ut 4 ad 3. Quod est contra prop. 47 Elem. i. Non videtur ergo propositio illa universaliter vera: sed dubitans nil pronuntio. Error est,' inquies, aliquis vel in illa, vel in hac demonstratione.' Certissime. Incumbe igitur
toto animo utriusque examinationi nec ratiocin tiones tantum, sed etiam principia excute. Imprimis autem, cave ne tenuissima triangula vel sectores quantuloscunque computes pro lineis rectis, aut parallelogramma obliquangula exigua pro rectangulis. Id quod evitare non potest is, qui rectangulum non quadratum sectum putet a linea perangulos oppositos bifariam ut est in propositione 34 Elem. i. Quanquam enim in quadrato diagonalis considerari potest ut mera longitudo, atque etiam ut minutissimum rectangulum, quia dividit oppositos angulos bifariam in oblongo tamen, ubi diagonalis non dividit oppositos angulos bifariam,
considerari non potest neque ut rectangulum, neque ut mera longitudo, sed ut vel triangulum obliquangulum, vel parallelogrammum obliquangulum. Sed ut hanc dissicultatem facilius examinare possis, OS- tendam tibi nunc quanto, juxta Euclidem, quadr tum a tangente 30 graduum majus est quam quadratum a semiradio. Dico autem quadratum a tangente 30 graduum,
473쪽
GEOMETRARUM. 461 nimirum quadratum a Μ, aequale esse quadrato a AP TXm. C una cum tertia ipsius parte, et duobus quadra m quantitatotis ab ΝΜ, sive PR, tangentis et semiradii differen Pta' et
tia, si vera sit prop. 47 Elem. i. Super Μ constituatur quadratum ΜYX. Item superi constituatur quadratum ΒΜV. Etiam super B constituatur quadratum B h. Erit ergo tum ΡΥ, tum g quadratum differentis inter CΜ, tangentem 30 graduum, et semiradium Ν. Constat autem quadratum Laequale est novem quadratis a semiradio Ν. Quod autem quadratum M aequale est decem quadratis a CN, supra
Est ergo gnomon qui quadrato h appositus est, aequalis quadrato F. Differentia autem inter quadratum in et F, est gnomon constans ex duplo rectangulo ΜΡ et quadrato Y cui aequale est quadratum gZ. Gnomon autem qui adjectus est quadrato Raequalis est sextuplo rectangulo Uuna cum quadrato gZ. Est autem gnomon ille aequalis quadrato semiradii. inus ergo est quadratum semi- radii quam quadratum tangentis 30 graduum tertia sui, et praeterea tanto quantum est duplum quadratum a P vel Z. Excessus ergo quadrati tangentis 30 graduum supra quadratum semiradii, majus est quam tertia pars quadrati semiradii, tanto quantum est duplum quadratum ΡΥ. Quod est contra prop. 47, Elem. i. Error autem hic in quadratis ipsis, ut vides, satis est sensibilis, etsi in lateribus non tam facile apparet. Apparebit autem, si ad e rectae G addideris in directum radium totum, sive τ, atque inter illas
474쪽
46 DE PRINCIPIIS ET RATIOOINATIONEOAP. XXIII. mediam inveneris proportionalem. Nam erit illa D. qui ii . . quidem non Valde diVerS a tangente sed tamen, mutae Ompositae si cum diligentia operabere, media illa minor erit
ein quam tangens 30 graduum, nimirum quam BL est tamen illa media, latus verum quadrati aequalis 4 quadratis a sexta parte BG, nimirum ab r. Verum error ille an magnus an parvus sit, nihil hic resert. Nam etsi nullus esset, cum tamen Pr
positio illa propter principia quibus innititur, quae sunt ut supra ostendi dubiae fidei etiam ipsa dubia
est. Itaque temere dictum est a Clario, ad prop. I 6, Elem iii, contra Pelletarium, Geometricas', id est geometrarum, demonstrationes ejusmodi esse, ut consensum extorqueant ac dubitationem omnem excludant, nulloque modo quempiam sinant ancipiti opinione distrahi, sic ut tum assentiatur si velit, tum si nolit dissentiat.VSi circulus vel triangulum sectum fuerit in qu tuo parim, quae parte dispersae essent, una ad Indos Orientales, altera ad Indos Occidentales, tertia ad Polum Arcticum, quarta ad Antarcticum: putasne esse demonstrationem geometricam inquam, quae me cogere posset ut credam puncta eorum Verticalia non esse quatuor puncta, sed unum idemque punctum Item si quid moveatur motu aequabili per minus et majus spatium, extorquebitne demonstratio ulla ut credam quod non transeat persequale, aut ut credam Vera esse quae supra ostendieSSe absurda Si mea haec recte demonstrata sunt, animadVertenda tibi praeterea sunt, primo, maximam partem propositionum quae dependent a prop. 47, Elem iii, sunt autem multae nondum esse demonstratam.
475쪽
GEOMETRARUM. 463 Secundo, tabulas sinuum tangentium, et Semn CAP. XXIII. tium egregie falsas esse ; propterea quod calculum quistitiinio
eorum dependet a Veritate horum duorum in- Σ' ποῦ
sumptorum I. Radix numeri quadratorum non eis est numerus quadratorum, sed linearum. 2. umerum linearum per numerum simpliciter multiplicatum, facere numerum quadratorum. Cum enim quadratum a recta composita ex radio et tangente 30 graduum aequale sit decem quadratis a semiradio si ponatur semiradius 5000, erunt tres semiradii 15000 pro Ν. Quadratum autem a semiradio est 25000000, et quadratum a BΝ225000000 quae duo quadrata simul sumpta sunt 250000000, cui sequale est quadratum a BΜ composita ex radio et tangente 30 graduum Radix autem numeri 250000000 est 158 II quarum partium radius est 10000. Relinquitur ergo pro tangente 30 graduum 58l1-proxime. Est autem, in tabulis tangentium, pro ejus quantitate positus numerus 577 , qui est error momenti satis magni in calculis astronomicis, et in calculo triangulorum quo utuntur agrimensores. Iisdem principiis quae ostendi supra esse falsa, attribuere potes, quod quantitas circuli, a magnis ingeniis omni aevo quaesitum, inveniri tamen non potuerit. Quis enim
praejudicium Archimedis non vereretur Etsi liber ejus de omensione Circuli non mihi videatur ab
ipso editus continet enim tres tantum propositiones, nec eas ordine quo oportuit dispositas, nec
sicut alii ejus libri ad quenquam qui eos consideraret missus, sed ut cui nondum manum ultimam imposuerit apud se retentus, ab aliis geometriae minus peritis post mortem ejus editus. Doctrina autem, et ipsa nomina sinuum tangen-
476쪽
464 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONEcAP. XIII. tium, et secantium calamitas geometriae nuper est. D. u..utat. Mui Subtensas et SemiSubtensas, quae nunc Vocantur
zia A et dimidiatorum arcuum sinus, calculo primus subjecit,
ein fuit Ptolomaeus. Sinum nusquam scriptum invenio ante Regiomontanum: qui Vero tabulas sinuum, tangentium, et secantium quibus utimur, primus eo
Secundo, notatu dignum est, causam quod quadratura circuli, divisio rationis, aliaque pulcherrima, sed dissicillima geometriae problemata tam diu latuerunt, in illis ipsis esse demonstrationibus quas cogentes esse praedicant. Primi omnium Arabes invenerunt quadratum quadrantis perimetri decuplum esse quadrati a semiradio quod etsi verissiamum sit, confutavit per extractionem radicum Johannes Regiomontanus, qui idem esse putavit quadrati latus et numeri quadrati radicem. Audi ipsum Regiomontanum:- Arabes olim circulum quadrare polliciti, ubi circumferentiae suae aequalem rectam descripsissent, hanc pronuntiavere sententiam: Si eirculi diameter uerit ut unum, circumferentia οὐ erit ut radiae de decem. Quae sententia cum sit erronea, quemadmodum alibi explanavimus, cumque numeros introducat rectilineationem effecturos, numeri ipsi in hoc negotio sunt suspecti.''Olim ergo, ut vides, magnitudo circuli cognita fuisset, nisi obstitissent quae a geometris nunc gentia appellantur. Iterum doctrina haec Ar
bum apparuit a Scaligero, atque iterum disparuit
expulsa exorcismo convitiorum a Clavio. Sed te tium nunc apparens, docta jam exorcismos et con- vitia contemnere, nunquam puto abigetur.
Νotabis praeterea convitiorum causas Quod Scaligerum lavius, orontium et Longomontanum
477쪽
GROΜETRARUM. 46b alii, convitiati sunt, quae causa esse potuit Quo AP. xui. laesi fecerunt Paralogismus meu damnum tuum D. quantitato
non est Unde igitur irae tantae An a zelo boni Ita. I
communis, nimirum ne corrumperetur paulatim exu.
mathematica Utinam quidem illis omnibus cura boni communis tanta esset, ut nihil omnino in libris falsi paterentur esse sine consutatione. Sed ita est homo, nisi praecepta vera philosophiae moralis ante didicerit, ut famam aut lucrum primario, Veritatem secundario appetat. Inde est quod irascantur illis, quorum industria nimia veritatis lux insertur qua patescat omnibus, quantuli viri sunt qui volunt haberi maximi. Ego aliqua quidem in Euclidi reprehendi, non tamen ut illum non putem magni faciendum esse, qui scientiarum mathematicarum tradendarum methodum primus tradidit mihil ab Archimede editum non laudo. Consilium mihi aliud non est, quam arithmeticae et algebrae in demonstrandis propositionibus pure geometricis abusum tollere, si potuero. Vale.
478쪽
Cum in fine Capitis xxii ex data anguli omnimoda sectione divisionem etiam rationis omnimodam inveniri praesumpserim, id nunc qui fiat
ostensum Sum. DE MEDIIS PROPORTIONALIBUS IN GENERE. INTER DUAS RECTA DATA INVENIRE MEDIAS PROPORTIONALES QUOTCUNQUE.
SINT primo inveniendae duae mediae inter datas quascunque A majorem et V minorem fig. i). Fiat ab A quadratum ABCD et in lateribus , AD sumantur utraque aequalis V. Inter ΑΒ et ΑΕ inveniatur media Aa, cui sequalis in latere, sumatur Ab ducaturque ab quam ducta diagonalis AC necessario secabit bifariam et ad angulos rectos in . Ducatur etiam diagonalis BD, secans AC in . Itaque AC, BD secabunt se mutuo bifariam et ad
angulos rectos in . Jungantur Da bE, ducaturque EF secans AC in O; eruntque ΑΝ, Ad, A continue proportionaleS, in eadem ratione cum rectis AB, sive AD, Ab AF et rectae BD, ab EF continue propo tionales. Centro , radio B describatur arcus circuli BG, secans Da productam in G item centro gradio da describatur arcus circuli g, secans Eproductam in g, ducaturque g.
Quoniam ergo est ut AD ad Aa, ita Aa, id est Ab ad ΑΕ, erunt Da bE parallelae, et anguli BDa,
479쪽
PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 467 Dab abE aequales et per consequens, anguli BNG, APPENDIX.
adi dupli angulorum BDa, ω inter Se aequales. Secetur arcus BG in tres parte aequales, quarum ΒΗ sint duae jungaturque Η, secans latus ΑΒ in I. Ducta ergo ΝΗ, erit angulus NH duplus anguli BDΗ, id est, duplus anguli BDI. Rectae A sumatur in latere AD aequalis ΑΚ, ducaturque ΒΚ. Quoniam igitur aequales inter se sunt tam AB, AD quam ΑΙ ΑΚ, erunt quoque inter se aequaleSDΙ, ΒΚ, et secabunt se mutuo in diagonali AC ad P eruntque tum DP, ΡΒ, tum ΚΡ, ΡΙ aequales et ducta I erit parallela rectis BD ab EF. Quatuor denique anguli BDI, DBΚ,DIΚ, ΒΚΙ erunt aequales, et eorum quilibet aequalis duabus tertiis anguli BDa. Similiter secetur arcus V in tres partes aequaleS, quarum se sint duae, et M una jungaturque secans AB in , et ducatur M. Angulus ergo ad in centro, qui idem est cum angulo ad , duplus est anguli abh in circumferentia. Rectae M sumatur in latere AD aequalis L. Iungatur quae erit ipsi vi sequalis. DucaturaL. Cum autem propter tum Aa, Ab, tum AM, AL aequales aequales quoque sint L, Μ, illae secabunt se mutuo in diagonali AC ad e; eruntque anguli baia abinaequales. Ducatur ΜL; quae propter ΑΜ aequales)erit rectae ab parallela. Quia autem bΜ aL secant Se mutuo in ' erunt quatuor anguli abΜ, I JΜL,aL aequales et totus angulus GL sive ipsi aequalis LM aequalis tertiae parti anguli adg, id est, aequalis duabus tertiis anguli absi, sive anguli BDa, id est, aequalis angulo BΚΙ vel ΙΚ et quia
480쪽
468 DE MEDIIS APPRI Dix rectae ab ML sunt parallelae erat etiam angulus
avi sequalis eidem angulo I sive BKI. Producatur Ld utcunque ad . Erit ergo angulusim externus aequalis ambobus simul angulis intereis GΜ, ML. Angulus ergo invi duplus est anguli avi, dividiturque angulus sin a re in aera bifariam. Ducatur dividens angulum ΒΡΙ his riam, et secans AB in m. Cum igitur angulus ΒΡΙduplus sit anguli ΚΙ, erit angulus mPI aequalis angulosito, et angulus mΡd rectus et recta Pan, da parallelae, et proinde anguli Ired, in 'aequales. Quoniam igitur Ixsecat Ρd ad angulos rectos, Pr ducta in incidet in L Similiter ostendi potest rectam diroductam transire per . Est ergo quadrilaterum ΙΡΚΗ rhombus. Jungantur ΜF et LE; quae, quia sunt aequales, secabunt se mutuo in diagonali ad n Et parallelae sunt tum Da bE. tum DB,ΜL: tum etiam IK,ΕF: erit ergo angulus bEL aequalis angulo IDa et anguli LEF, LΜF sequales duobus angulis BDI, DBΚ, id est duobus angulis ΙΙ Μ, ΚΜL, uterque utrique. Est ergo quadrilaterum Μ ΙΙ Μ rhombus. Sunt ergo B, Η, Μ, n continue proportio
Sed ut PB ad PI, id est ad ΡΚ, ita est AB ad ΑΚ, id est ad AI propterea quod recta Aridividit angulum BAK bifariam. Item ut in ad nΜ, id est ad dL, ita est AI ad AL sive ad Am quia Ad dividit angulum IA L bifariam. Item ut mad nE, id est ad Fn, ita est ΑΜ ad AF, sive ΑΕ qui dividit angulum AF bifariam.
Sunt ergo rectae AB, AI, ΑΜ, AE continue proportionales et AI, ΑΜ, sive ΑΚ, AL mediae quae