장음표시 사용
101쪽
CUM uariae res diversi pretii inter se alligantur,
seu miscentur , ut varii liquores , merces, metalla Sc. atque inde pretium partibus mixti respondens inquiritur : seu, cum pretio quodam medio propositio, quaeritur , quantum ex singulis mercibus, aut liquoribus misceri debeat, ut pretio illo arbitrario vendi possint; in utroque casu adhibetur regula , quam Arithmetici regulam Alligatiσnis vocant, quae per exempla satis siu- perque innotescet. I. Conflanda est statua argentea librarum 3 oo. Artifex duo argenti genera posuit, alterum quod in singulas libras stat scutis 3o, alterum vero scutis et . EX priori posuit libras Iao , ex posteriori libras i So. Quaeritur
quot scutis stabit in singulas libras ejusmodi statua tDue libras axo X3oM 36oo
Tum divide totius argenti pretium 8roo per num rum librarum 3 oo, quotus 27 indicat unius librae pretium . Nam si lib. 3oo valent sicut. Si oo, quid lib. 3. PEx regula aurea babetur 27. II. Sunt duo olei, aut vini genera, mensura I. pri mi generis stat juliis a , secundi generis mensura I. valet
102쪽
valet juliis 3 s. Si quis non habeat nisi julios , &mensuram unam ex utroque vino mixtam petat, quaeritur ex utroque quantum debeat accipere .
i. Pone unum pretium statutum sub altero ΣΑ &is, ct ad sinistram pretium arbitrarium 33 , medium interpretia statuta a ct 3 3 ; ad dexteram vero differentias inter hoc , & pretia illa , sed alternatim ita ut differentia pretii minoris aq hoc est ρ) ponatur juxta pretium majus & differentia pretii majoris 3 S, nempe a ,
ponatur juxta pretium minus 26, ut in sequenti exemia plo factum vides- a. Colligantur differentiae in unam sium mam , ut hie II , Sinstituatur regula trium toties, quot sunt differentiae, nempe bis in hoc exemplo; ita ut summa disi ferentiarum It occupet primum locum, mea ira vero Isecundum locum, de una ex differentiis tertium. Tum die, si ii dat i, quid 9 Z Rursius, si ii dat i, quid et 8 Invenies ex potiori vino accipiendas esse -- unius mensi rae, ex secundo vero ab , quae simul sumptae faciunt i , Aoc est mensuram unam quaesitam. Pretia 'Difr.
III. Quando autem plurium, quam duarum rerum pretia statuta proponuntur: ita tamen ut saltem unumst majus, alterum vero minus pretio arbitrario; tunc. L a plures
103쪽
8 DE REGULis ARITHΜETI Cis plures fieri debent alligationes , quod exemplo satis vulgari explicatur.
Libra i Garyophili valet tuliis 3. Piperis libra, ju-liis q. Cinnamomi, 6. Croci, 9: quae brevitatis gratia sint A, B , C, D. Pretium vero medium sit M. Quaeritur , quantum quis debeat ex singulis accipere , ut mixti libra i valeat jultis q. 'Primo disponantur ordinatim pretia, ut in exemplo sequenti. Secundo alligentur inter se duo pretia Adc D , hoc est comparentur ambo cum pretio M, ut inveniantur differentiae excessus, &deseeius , nempe a & q, quae ponantur alternat -- iuxta A 8c D modo superius explicato. Eodem modo
alligentur duo pretia B dc D idem pretium alligari potest pluries disserentiae excessus est a , destistus autem est 3 , quae ponantur alternatim iuxta B & D. Similiter alligentur C, dc rursus D, differentiae sunt a dc I, quae pariter statuantur alternatim juxta C & D. 3. Colligantur omnes illae differentiae in unam summam, quae hic est i q. Deinde dic, si i4 dat libram x , quid difforentia a Z erit is , seu θ ; quod toties itere tur, quot sunt pretia data A, B, C, D, adeo ut tres differentia: - , 3 , I, quae appositae siunt ipsi D, addantur, di unicam differentiam 8 essiciant. En totius calculi ty- Disser
104쪽
Summa ει - ἔ- Si frae iones, aut partes mixti additae adaequent totum , regulae examen exhibent. Sic in exemplo I. Demonstri Summa differentiarum, quibus pretia sta tuta differunt per excessum, & desectum a pretio medio , habet ad totum mixtum eandem rationem , quam habent singulae differentiae seorsim sumptae ad singulas partes mixti seors in sumptas , ut patet; proinde toties regula proportionum iteratur, quot sunt differentiae: quae idcirco lorum alternant , ut pretium deficiens unius compenseri valeat per excessum alterius pretii. Quod &c. COROLL. I. Ex superiori exemplo manifestum est, unumquodque pretium saltem semel alligari debere ,
idemque pretium pota pluries assumi , ut factum est
COROLL. II. Alligationes hujusimodi fieri possunt variis modis , siquidem pretium medium semper compar tur cum duobus pretiis, altero majori, altero minori. Pro diversia autem alligatione, diversa erit unius, vel alterius mercis , aut liquoris quantitas in mixto posita , ut patet. PRO-
105쪽
EA regula sal dicitur, quae ex positione numeripter que falsi docet verum numerum invenire , qui quaestioni satisfaciat. L mturAmplieis Postionis , si simplex ponatur numerus, ut in hac Propon fiet y duplicis vero, si duo numeri assumantur, ut in Prop./eg. Regula simplicis Positionis in tribus consistit, nempe I. Ponitur numerus, qui videtur aptus ad selvendam quaestionem, qui dicitur Positio . a. Examinatur ille numerus, an talis sit, qualis exquiritur. Instituitur regula proportionum ad verum numerun inveniendum. Res exemplis fit evidens. I.Sempronius testamento mandavit,aureos centum diristribui in tres fratris sivi filios/B, C hac lege , ut A habeat partem duplam partem triplam ipsius C. Quaeritur quantum singuli debeant accipere. Pone A habere aureos 6, habebit B aureos 3, C vero I. Examina, an tres illae partes I simul efficiant ioo snam si ioci essicerent, problema esset absolutum sed illae essiciunt tantum io. Adhibe iam regulam proportionum, in qua ponatur primo loco numerus , qui ex salsa postione provenit, ut hic Io et secundo loco statuitur numerus primo assiumptus, seu Positio, ut hic ε; tertio loco numerus datus in quaestione, hoc est roo, invenies 6o. Itaque-habebit 6o aureos, B s O, C vero Io, quorum summa est ioo, scilicet
106쪽
II. Cajus interrogatus, quot aureos haberet, respondit, aureorum meorum -- - iaciunt funamam q7o. ritur ea summa Z Patet hic quaeri numerum , cu tus
partes , 4, Ψ simul semptae efficiant q7o. Ad evitania
clas Dahiones alsume numerum, qui contineat partes in quaestione expressas. Esto hic 6o, cujus ao, 4 II, Ia, quae partes additae faciunt q7. D hebant autem efficere q7o. Institue regulam proportionum , dispositis terminis modo stuperius explicato, nimi- 67 . oo 47O . Ooo Habebat ergo Cajus aureos 6oo, quorum aοο,
4 m 350 , ino, quae partes simul additae essi
eiunt q7O. III. Sunt quatuor molae, quarum prima singulis horis molit tritici modios 7 , secunda 6 , tertia 6, quarta 3 . Quaeritur tempus, quo molentur tritici modii 36o, omnibus illis molis simul ad bibitis . Pone requiri horas s , hoc tempore prima mola conficit modios 33, secunda go, tertia 2o , quarta II, qui omnes sunt modii ioo, debebant autem esse 36o. Instituatur ergo regula proportionis : si modii ioo poscunt horas I , quid modii 36O3 Invenies horas I 8. Nam
Quo tempore prima mola conficiet modios a 26 , secunda IO8 , tertia 7a , quarta I , qui simul additi essiciunt modios 36O.
Demonser. Ut se habet sin primo exemplo ro ad 6Φs in a simul silmptos in salsa positione, ita ne habet
107쪽
83 DE REGULis ARITHMETICIS in vera positione ioo ad Φ 3οφ io simul sumptos. Proinde regula stat in hoc, ut numerus falsus Io, productus per numerum salsum 6, ita se habeat per regulam auream ad ipsum numerum falsum 6, silc uti verus numerus IOO ad verum numerum 6o.
PROPOSITI O VIII. De Regula duplicis Positionis.
REgula duplicis Possionis non unum, sed duos sup
ponit numeros, ut in Propos praee. dictum est, solvitque plures quaestiones , quae per unam positionem resolvi nequeunt. Omnes tamen quaestiones, quae per unam positionem solvuntur, etiam per duas Qlvi possunt. Quando autem duplici positione opus sit, indica bitur inferius in I. En regulae ordo.
I. Pone pro numero quaesito quemcunque numerum,
qui dicitur Positio, & cum eo procede juxta tenorem quaestionis; cui si non satisfaciat, errorem hoc est excessium, vel desectum, quo positio aberrat a numero quaesiito subscribe eidem positioni , cum signo - , vel - , quorum unum plus, sive excessum, alterum minus , seu deseetum denotat. a. Ponatur alius numerus priori major, vel minor, cum quo similiter examinetur quaestio proposita, cui si non satisfaciat, errorem pariter ei positioni subscribe cum signis Φ , vel - . Cum ambo errores sunt per excessium, vel ambo per desectum, dicuntursistis. Cum autem unus est per excessum, alter per defectum, hoc est cum signis diversis - & - , dicuntur errores dissimiles.
108쪽
CAP. U. P Rop. VIII. Sy3. Si errores fiunt similes, ducatur prima positio in errorem positionis secundae, & vicissim positio secunda in errorem primae positionis . Tum horum productorum differentia dividatur per differentiam errorum ,
quotus erit numerus quaesiitus.
. Si errores sunt dissimiles, productorum summa dividitur per summam errorum, quotus dat quaesitum. I. Tres juvenes-B, C lucrati sunt aureos 47. B obtinuit aureos S plus quam A, C tantundem quantum N , S insuper io , quaeritur lucrum singulorum . Pone lucrum fuisse ψ, lucrum B erit 9, C ve- .ro I9. Adde simul Α, 9, 19, fiunt 32, debebant esse q7,eli ergo error, seu desectus in I S. Rursus pone lucrum A fuisse7, erit lucrum H ia,C vero a a , qui simul faciunt qt , quae semina deficit a vera q7 perdesee um 6. Cum itaque duo errores similes sint nempe ambo per desectum ) duc positionem 4 in errorem secun d. epositionis, hoc est in 6 ; & positionem 7 in errorem is, sunt duo producta a 4 , & 1OI , quorum differentia est 8 i , quem divide per differentiam unius erroris ab alio, id est pers, stibi rahendo errorem 6 ex alio errore i S) quotus 9 dat numerum quaesitum. Itaque lucrum fuit aureorum 9, A vero ἔψ,& Ca , quorum sium mansit. q, Err. - II l7 , Err. - 6/9
109쪽
9o DE REGULis ARlTHMETICIS II. Si utraque positio sit excedens, praxis est omnino eadem . Ponamus enim lucrum A suisse ia , erit lucrum B l7 , S lucrum C 27 , quorum summa est 36 , excedens numerum datum q7 per errorem 9. Pone iterum it pro lucro erit lucrum B I6, S Iu -- crum C 26, quorum summa adhuc peccat per exces .
sum 6. Cum igitur errores similes sint nempe per excessum) duc positionem Ia in errorem 6 alterius positionis , & positionem II in errorem 9. Tum subtrahe productum minus 72 ex majori producto 99, & residuum a divide per differentiam errorum 9&6, hoe est per 3 , quotus 9 dat numerum quaesitum , ut prius.
summa productorum dividitur per summam errorum , ut d letum est supra num. q. Sit idem exemplum claritatis gratia. Pone lucrum A suisse s , lucrum B erit io, & lucrum C m, quorum lamma 33 deficit a summa data Α per desectum Ia I siumendus est igitur numerus major . Pone lucrum A ii , B vero I 6, & C a s, summa omnium S 3 excedit veram immamq7 in 6. Dueatur jam positio prima S in errorem 6, de vicissim positio II in errorem la. Deinde quia errores sunt dissimiles, addantur
110쪽
CAp. V. PROP. VIII. 9 idantur duo producta 3o & 13a , eorumque summa I 6 adividatur per silmmam errorum , quotus 9 dat rursus numerum quaesitum, ut antea.
, Prod. S x 6 m 3 ori x Iam I 3 a Summa a 62 Sit aliud exemplum . Interrogatus Pythagoras de numero suorum discipulorum , respondit, eorum dimidium dare operam Geometriae , quartam partem Philosophiae , septimam partem servare silentium ; insuper tres alios se habere instituendos. Quaeritur eorum discipulorum numerus.
Ponatur discipulos habuisse , dimidium erit et 8 , quarta pars iq , septi ina pars S , quorum summa est Io: bis addantur illi 3 , fiunt 3s , deberent esse 56 ὁ eli ergo error per desedium 3 , quem nota juxta ipsam positionem J6. Rursus ponatur discipulorum numerus aia, dimidium erit S6, quarta pars 28 , septima i6 , quae simul efficiuntioo, additisque 3 , fiunt discipuli ior. Est ergo iterum error per desectum 9, quem nota ad positionem ira.Jam duc positionem primam' in errorem secundae positionis, hoc est in 9, & vicissim positionem secundam ita in alterius positionis errorem 3, proveniunt Soq&336. Cumque errores smiles sint, eorum productorum disserentiam i68 divide per differentiam erro-M 1 rum