장음표시 사용
81쪽
ac tota radix ω - ἰου . . 'SCHOL. Nullus numeruI erit quadratur, qui ha
beat ad dexteram Auram ultimam h ,-ῖ , sci , vel 3 , vel Ophram unam ; sed necesse es , ut sit una ex his I, , I, 6, 9, OO, quibus consant numeri plices quadrati. SCHOL. IV. Extramo radicii quadrate non es aliud ns quaedam dis Eouis specier, ut ex Vsa operatione manifesiam es; Θοα tamen diserimine , quod indivisione communi divisor es numerus datur, in Bae vero debet inquiri divisor, ἐπ quidem per plurei parier , quae sunti a radix . Proinde multiplicando radicem perse ipsam, P.g. in primo exemplo q32xosa, restituitur numerus quadratus i866a ut flerI solet in divisione eommuni, ducendo quotam per divisorem. Et hae ratione habetur examen, multisve do filicuser se assam radicem in
Demon'. pendet a Prop. . lib. s. Euel. Nam numerus quadratus t 8662Α, producitur ex 43a x Asa, eontinet primo quadrata partium Α, 3, 2. Secundo, bis rediangulum qx3. Tertio, bis rectangulum ex q3 x a , seu rectangulum ex duplo ipsius qs , nempe 86 x a ;quod patet ad oculum, nemper
82쪽
CAP. IV. PROP. II. 63 Ex speciosa tamen id longe clarius apparet, si loco numerorum 6, 3 , 1 , sumant ut literae c; ut in nostris Insiit. Anabl. videre est.
Radicem quadratam per approximatioπem infuirere is Extraeta radiee quadrata, si quid remanet, signum
est, talem numerum non esse revera quadratum , neque habere radicem rationalem, quae numeris exprimi possit. Quamvis autem vera radix sit impossibilis, potest tamen per fractiones decima Ies ad veram radicem magis magisque approximari, ita ut excessus , vel desectus a vera radice sit minimus. En praxis.. Adde numero, qui remanet post extractionem radicis , tot cyphrarum paria , quot volueris, nempe OO, seu oooo, vel oooooo &c. & ex numero residuo una cum praedictis cyphris extrahe radicem secundam, ut moris est. Aufer deinde ex radice tot figuras a dextera inci. piendo quot suerunt paria cyphrarum additarum. Reliquae figurae radicis exhibebunt radicem una cum minutia , cujus numerator erunt figurae ablatae, denominator vero unitas cum tot cyphris , quot paria fuerunt addita. sit exemplum. Extrahenda est radix ex numero Ia, patet radicenν esse a , di remanere 3. Adde ipsi i a tria cyphi artim paria , erit Iacio Oo. Extracta ex hoc numero secunda radix x. hujus invenitur 3q6q ,. ex qua ablatis ad dexteram tribus figuris, ob tria cy
83쪽
64 DE Ex TRAc Tio NE RADIcUΜphra una paria addita, erit radix a vera quidem minor , sed propinquior , & exactior, quam radix primo inventa. SCHOL. I. Si nimero , ex quo radix secunda extrahitur , minutia adhaereat, reducitur minutia in partescentesimas, extrahitur radix. Extrahenda sit radix
σκ 6 - , reduc fractionem in centesimar per regulam proportionum de qua inferius) dicendo, ut 6. I IOO. 23, erit igitur fractio , , cui adde 6, Ν - e , cujur radix quadrata erit a b . Sc HOL. II. auod si extrahendasit radix ex meris fractionibus, extrahitur radix de more, sed seorsim ex numeratore ,'seorsim ex denominatore. Sic radix quadrata fractionis j erit t. Similiter radix fractionis erit eg
SCHOL. III. Via autem omnium expeditissima ad inpeniendam radicem quadratam dati numeri maxime propinquam , habetur per Logarithmos.
dato numero radicem culicam extrahere. I. Ivide numerum datum A in membra , incipien- is do dextrorsum, ita ut singula membra contineant tres figuras , excepto primo membro, quod aliquando duas tantum cogat inet. Quot erunt membra, tot erunt numeri radicis inveniendae. 32. Quaere radicem cubicam primi membri sinistrorsum, si fit numerus cubicus; sin minus, sume radicem . cubi
84쪽
CAp. IV. PRop. III. 63.e ubi proxime minoris in tabella Propos. I. hujus , quae in hoc exemplo est a , quam pone ad dexteram, ut in B. a. Ex hac radice fiat cubus 8. quem subtrahe ex primo membro ra , & residuum scribe infra lineam, ut in C. 3. Ad hunc residuum adde unam sequentis membri figuram, nempe i, fit Ai, quem divide per triplum a quadrati radicis inventae, nempe per ia , quotus 3 erit altera radicis figura , quam pone in B. q. Ex radice as fac cubum lator, qui subtrahi debet ex utroque membro numeri A. Cumque nihil remaneat , signum est, numerum datum esse revera cubum.
Haec operatio toties repeti debet, quot sunt membra numeri dati, ut in sequenti exemplo erit manifestum . Su aliud exemplum. Esto numerus M I ἔ39O6a S, cujus radix cubica quaeritur. i. Radix cubica primi membri ri est a , quam pone in N, ejusque cubum 8 subtrahe ex II, remanet S , quem scribe infra lineam in R. a. Adde residuo R sequentem alterius membri sguram 3 , fit 3 3 , quem divide per triplum quadrati radicis inventae a , hoc est per Ia, quotus 2 erit secun da figura radicis , quam pone in N. 3. Ex radice a a fiat cubus Io6 8 , qui auferatur ex 'numero S i 39o, nempe ex duobus membris numeri dati Μ, remanent 7qa , ut in T.
85쪽
66 Da Ex TRAcTIONE RADICUM . Ad hoe residuum T addatur ex tertio membro numeri M figura 6 , fiet 7qa6 , qui divisius per triplum quadrati radicis inventae a a , hoc est per IAIa, dat quo- tum S, qui ponatur in iv, eritque tertia radicis figura. s. Demum fiat cubus ex tot4 radice 2 2S , nempe oδI39O625 , qui ablatus ex numero . 1 nihil relinquit, proinde numerus datus est cubus. ι
Ratio autem pendet ab ipsa cuborum genesi. Nam in priori exemplo cubus Is 67, qui oritur ex radice a 3 , continet primo cubos 8 & a 7 , partium a & 3. Secundo triplum quadrati radicis a x 3. Tertio triplum quadrati radicis 3xa, hoc est
Ia r 67 COROLL.Haec praxis omnium facillima,traditur a Ne.- tono in Arithmet. Unis., & tribus paucissimis continetur ei.Αd residuum , quod oritur ex subtractione cubi ex unoquoque numeri dati mebro, additur una tant mn siequentis
86쪽
CAp. IV. PRop. III. 6 tis membri figura. Σ. Divisis illo residuo ima cum figura adjecta per triplum quadrati inventae radicis, quotus dat alterius membri radicem. I. Ex numeris radicali bus quotquot illi sint fit cubus, qui subtrahitur ex totidem membris numeri dati, quot sunt ipsi numeri radicales inventi. Quae quidem ex allatis exemplis satis patent. SCHOL. I. Cum aliquid remanet , signum es , numerum datum non esse exacte cubicum, ae proinde radicem inventam non esse numeri dati , sed maximi cobi in eo
ScHol. II. Si quis propinquIorem radicem, o quae a vera infe ubiliter di=reat, cupit, addat aliquot ο-phrarum ternarior ad imum numerum datum , prosequatur radicis extractionem. Deinde ex radice in Penta abjiciantur ad dexteram tot figurae, quot caphrarum ternarii fuerunt adjecti; reliqua enim Agura dabunt radicem iaIegram eam fractione, cujus numerator erunt imae Aginae rue , denominator vero unitar cum tot Iphrti, quot ternarii crpbrarum fuerunt additi, eo fere modo, quo de radue quadrata Lximas. SCHOL. III. Ceterum ιam cubica, quam aliae in e-riorum potesatum radices, longe facilius per Astebram expediuntur , maxime per formulas mixtonianas, quae generales sunt , ct ad omnem radicem extrahendam Balde faciles , ct expeditae. Proiπde hunc fontem adeant, qui rem funditur percisere cupiunt. Examen habetur ter ducendo in semet radicem cubicam inventam , & addendo illi residuum , si quod fuit. Restituitur enim cubus, seu numerus datus, si erra-itum non fuerit. I a .
87쪽
CAPUT V. De Regulis Arithmeticis.
REgulae Arithi laeticae sunt quatuor . I. Est regula
Proportionum. 2. Societatis . Alligationis. q. Positionis, vel se Isii. Prima est omnium praecipua, ct a qua reliquae omnes pendent. Quo melius ea intelligatur, nonnulla sunt, de numeris proportionalibus , eorumque proprietatibus praemittenda.
DEFINITIONES.I. V et proportiones dicuntur Intura, eaedem vel I aequaui quod idem est) cum antecedens unius
toties continet suum consequentem, quoties antecedens alterius continet suum consequentem. Uel cum consequens unius toties continetur in suo antecedenti,quoties
consequens alterius continetur in suo antecedenti. Sic a q ζ: 3 . t. sunt proportiones similes, vel eaedem , Vel aequales, quia i a & ι ter continent suos consequentes Α & i , vel quia & I ter continentur in suis antecedentibus i a & 3. . II. Comparatio unius proportionis similis cum alia smili, utra. Α:: a. I. dicitur Proportunalitas, illi autem quatuor termini dicuntur Proponionales . Qui dicuntur continue proportionales cunni medii termini bis sumuntur . Semel enim eadem quantitas est consequens respectu praecedentis , & semel antecedens respectu
88쪽
CAP. V. PRop. Id 69 consequentis. Sic 2, 4, 8, i 6 dicuntur continue proportionales, quia q&8 bis sumuntur. Nam dicitur esse a ad A, ut 4 ad 8. Item A ad S , ut 8 ad 16. Si vero fuerit IO. I r: a . I. dicuntur termini discretim propor
; Si quatuor numeri proportionales fuerint, factum ex primo, & quarto, aequale est facto ex secundo, &tertio . Est Propos I9. l. 7. Lucc Sint quatuor proportionales S. 2O 6. I 6 . Sicuti s x 16 dant m 8o , r. Ita etiam aoxqdant m 8o i ,
. LEMMA ILSi datis quatuor numeris, primus se habeat ad terintium , ut reciproce quartus ad secundum, factum ex pri mo, & secundo aequale erit faeto ex tertio, & quarto. Sint quatuor numeri dati 6, 4, 3 , 8 , quia inter primum G, & tertium 3 est eadem proportio dupla, quae est inter 8 & q, erit 6. 3 :: 8.q; ergo ex Iem. I. 6xΑ 3 8 aq, ergo factum ex primo, & secundo aequa- 'tur facto ex tertio, & quarto. i .
LEMMA II LSi factum dividatur per unum ex suis factoribus, prodibit in quoto alter factorum . Sit factum v. g. a , quod ortum si ex Α χ is, si dividatur per q, oritur ο; si dividatur per 6, oritur φPRO-
89쪽
De Regula Proportionum . R EgWla 'oportionum , quam ob praestantiam, Simmensem utilitatem, auream vocant , docet modum inveniendi e tribus numeris cognitis quartum ignotum proportionalem , qui nimirum habeat eandem proportionem ad tertium numerum datum, quam secundus habet ad primum, ideoque dicitur regula Proportionum , vehetiam regula: Trium , quia ex tribus datis eruit quartum. En praxis . 'I. Disponantur ordine tres numeri dati, ita ut is, qui quaestionem habet annexam, statuatur tertio loco; ille vero ex duobus aliis, qui cum hoc est homogeneus, hoc est qui eandem rem significat ac terminus tertio loco positus, primo loco ponatur. II. Multiplica tertium per secundum, & productum divide per primum, quotus dabit quartum proportionalem quaesitum. Res tribus exemplis illustratur A. 1. Ulnae panni 3 stant scutis 9 , quot scutis stabunt ut me Ia ejusdem panni Z Terminus, qui habet annexam quaestionem, sunt ulnae ra, hic statuatur loco tertio, loco autem primo terminus huic homogeneus, nempe ulnae 3 , sicilicet Nisae 3 . sui. 9 :: ulac Ia. sui. . . . Duc Ia x9, & productum ro8, divide per quotusa 6 dat quartum proportionalem quaesitunt. Nam, ut patet , 3. 9zz I 2.3sa. Pro
90쪽
, , CAM V PROp. I. 'i Σ. Pro alendis 6 convictoribus expenduntur singul=s mensibus aurei 48 , quot aurei necessarii erunt ad alendos convictores Io i Diisponantur termini modo explicato , nimirum
Due 48 κ eo, & productum 96o divide per ψ, quotus a o dat quartum proportionalem quaesitrem, nempe:
3 . Rex Salomon in aedificando templo habuit opera- . Hos i8oom. Ponamus cuilibet quotidie selvisse adsies io. Quot scuta Romana singulis diebus expendit pG oper. I. a B io. quid oser. I 8 Oot Multiplicatis 1 ooo x io, habetur r8obo , & cum unitas non dividat, habentur pro quarto proportionali asses 8omm. Hos divide per i resectis duabus cyphris fiunt scuta Romana singulis diebus selve
set, reduei debet ad homogeneum . in F quaestos, i brae S, atque unciae 3 aluujus mercis peneum scutis Α, ctos ui 3o; ρσος semis sabunt librae ia Z mmo redu
eantur librae ad nneias tam in primo , quam is tertio temmino, multiplicando illas per Ia. Meundo scuta redu- contur ad osses , multiplicando illa per ioci. Proponenda ergo