장음표시 사용
111쪽
9et DE REGULls ARlTHMETIClΚrum 6 ; quotus 18 dat numerum qii aestum dissici putortam. Nam ejus dimidium est i 4 , quarta pars T , ueprima q, quae simul faciunt a 3 , additisque 3 , habetur nume
esse6O; est ergo rursus error per desectum A. Pro in ve niendo vero numero, fiant cetera , ut supra , reperie tur a m so, proinde b m yo, c m qO , unde a q- c ma O-qO, seu 6O, quod quaerebatur.
SCHOL. Inteium quando quaestio proposita solvi non ip t per unam positionem , sed duplicem omnino requirat, es cum quaestioni aliquis determinatus numerus additus es , qui una cum nuwero ad libitum posito debet offami.
112쪽
CAp. V. PROR VIII. sis mi . Sis iis pipimo Memplo numerἷ Eli determinati s/ , Io, qui addunt, numero isd libitum posito , indicio seni duplici positione opus esse. Item in secundo exemplo determinatus ille numerus discipulorum I indicat, quae stionem non per unam , sed per ' duplicem positiovem esse
s Aurificis furtum in corona Hieronis regis
VI truvius lib. 9. C . refert , ab Archimede deprehensiam fuisse fraudem , quam arti sex auream Hieronis regis coronam, admixta argenti portione , adulteraverat ; sed quo praecise artificio id. egerit, non fatis constat. Duas tamen massas fecisse dicitur, alteram ex auro puro ejusdem ponderis cum corona, alteram ex argento item puro ponderis ejusdem: tunia haec tria in vas aqua plenum seorsim immittens , aquam inde essi uentem sedulo exploravit, atque hinc quantum argenti in ea corona suerit admixtum , invenit. Fingamus igitur coronae pondus fuisse lib. ia , item auri, & argenti massas; & dunt corona in vas aqua plenum demitteretur, essi uxisse aquae libras 7 dum, autem immergeretur auri massa, em uxisse aquae libras k, immersa demum argenti massii, essi uxisse aquae libras io t. Jam ex regula duplicis positionis ponatur , in ea corona fuisse auri lib. 9 , erant ergo argenti lib. Itaque per regulam proportionum dic, si puri auri lib. ia
113쪽
DA .RεGULIS ARITHMETICI sciatit aquae libras. 7 ν , quid tib 9 ti. quentes lib. I . . Ite in , . si puri argesti lib. ka dant aquae lib. io 3, quid
lib. 3 i . proveniunt lib. a D. Adde timui libras s& a babentur aquae lib. 8 - , . debebant auten 'else.dib. 7 3, est ergq. error per, excessum A , qui notetur cum signo Φ una cum positione assuispia 9. Ponatur secundo in eadem corona suisse auri lib. 8 ergo ex. argento erant lib. 4. Dic igitur per regulam
auream , si auri puri lib. ia dant aquae lib. quid lib. 8 inveniuntur lib. qq. Similiter, sit argenti puri lib. ia dant aquae lib. io i , quid lib. 48 proveniunt per regulam proportionum aquae lib. g l. Adde simul li
bras 4 ε, S 3 l, fit, sium ma librarum aquae 3 - , debe-
. hant autem esse lib. 7 l . Peccatum est igitur rursus per excessumi, seu qui notetur cum in juxta positionem 3 , ut sequitur P . 9 , Err. ΦPosit. 8, Err. Φ es.
rum differentiam i , seu 3 , divide per differentiam errorum , hoc est per i , quotus , seu o , dat auri libras quaesitas'. Erant ergo immixtae a argenti librae . Ut fiat examen die, si auri lib. Ia dant aquae lib. 7 3, quid lib. rot invenies lib. G. Item , si argenti lib. Iadant aquae lib. io i , quid lib. a invenies lib. I t. Adde
114쪽
ε ' CAp. V. PROP. IX. x 93 de igitur 6 , di i ἔ, summa librarum 7 3 dat tantum aquae , quantum, dum corona immergeretur, essi uxit. SCHOL. I. Sed gista, non opus smin Archimedi , ouς cuiquam alteri, qui experimentum hujusmori facere Polit , conficere auri , vel argenti massas ejusdem ponderircum corona ; sed satis esse aliquam auri, O argenti portionem nosti ponderis assumere ut habeatur inter auri , ocargentipondus, ct aquae inuentis quantitatem proportio. SCHOL. II. Per regulam duplicis positionis aliae plu- rei quaesiones pulcherrimae solvi po-,nt, quae tamen longe facilius , S universali modo per Astebram expediuntur: a qua pariter peti debet Propo isonis huybs simplex , ac genuina demonstratio ; ut videre est Uad Bernardum Lao in Elementis' Mathematicia au. l7Oq. edit. Paris psae. 338ι Demonstrationes autem aliunde petitae prolixae finis to modum , . er implicatae quar proinde uos praetermittimus.
' Datis duobus numeris tertium /ppoportionalem invenire.
DUe se eundum in seipsum , & productum divide s
per primum, quotus erit tertius proportionalis quaelitus . Dati sint 2 & 8 , quibus tertius proportionalis inquiritur. Ducatur. 8 χ 8 , & productum 6 dividatur per 2, quotus 3 a est numerus quaesitus. Sic a , 8 ,3a, sunt in eadem proportione stibquadrupla . Ratio
115쪽
ρ6 DE RICυLis ARITHMETICIS SCHOL. Si numeri cistii sint inter se primi, hoc estinus non sit 'alterius Multiplex , tertius proportionalis non erit numerus integer, se fractus . . Sic datis a S sinuenitur per hane. Propo t. tertius proportionalis V ,
Inter duos numeγos datos medium proportionatim
MEdius proportioqalis inter duos humeros datos dicitur numerus, qui ita sie habet ad alterum datum , . sicut alter datorum ad ipsum ita ut nunieridati sint extremi, i& ipse medius ; qui bis sumit ut , semel ut conssequens respe4u primi, & semel ui antecedens respeetu alterius . . Dati sint numeri Α & iij, inter quos medius propOytionalis quaeritur. Duc illos inter se, & ex produeto extrahe radicem quadratam, radix erit medius proportionalis. Sic ψα i 6 α ο , cuius radi nua di ata est 8 per Prop. I. Cas. 3. Sunt igitur 6 , 8, i si continuo proportionales , nam q. 8z: 8. 16. Ratio patet ex l. lem. Smo L. I. , productum ex numeris datis non 'u
dratum , ita ut radix quadrata ab eo erui non possit flueresiduo ; tunc medius proportionalis inveniri nullo modo potes. Nam dati numeri P d. g. a s s , radix quadra ta per Prop. cit., ἐπ Ssbol. 3. erit 3 ἡ . Adeoque erunt in eontinua proportione, lai, 3 4 3 S , ρ ρ , nam si reducantur ad idem nomen , cruat P , ,
116쪽
CAP. . V. PROP. XI. 97 seu Ia, , 3o, qui nullo modo sunt proportio ui, ut patet. SCHOL. I1. Cum omne quadratum intelligi possi mu tiplicatum esse per unitatem , hine omnis radix quadrata erit media proportionalis inter unitatem, es ipsum quadratum . Sic sI, radix quadrato numeri 6a3 , es media proportionalis inter i ἐπ 62I, proinde x, as,oas sunt in
eodem ratione continua. Nam I. 2Iz: a I. 62S.
Inter duos numeros Διοδ duor medios proportionalesimvenire. adratum unius extremi ducatur in alterius extremum, dc ex producto extrahatur radix cubica per Prop. 3. Cas. , quae orit duorum mediorum proportionalium prior. Deinde quadratum alterius ex tremi ducatur in alterum extremum, & ex produe opariter extrahatur radix cubica, quae erit duorum mediorum proportionalium posterior . Dati sint numeri a & i 6, quos inter invenire oporteat duos medios proportionales. Quadra minorem
numerum a , ejusque quadratum 4 duc in i 6, fiunt 6 , cujus radix cubica erit prior duorum proportiona lium. Similiterquadratum alterius numeri i6, nempe a 36, duc in a , fiunt Saa , cujus radix cubica 8 erit duorum proportionalium posterior; proinde a , ε,-16, sunt in continua proportione, ut patet, cum sit a ad K, ut 6 ad 3, & ad 8, ut 8 ad I 6. N SCHOL.
117쪽
98 DE REGULis ARlTHMETICis ScHo L. Si ad numerum datum , primum mediuinproportionalem inventum, quacratur tertiuo proportio natis per Propos. Io. hujus; pel F inter medium proportionalem inventum, di alterum numerum datum inveniatur medius proportionalis per Propos ii . hujus; in atroque casu obtinebitur secundus duorum mediorum pro portionalium quaesitus. Ceterum si numeri dati sint trier , ut inde radix cubus obtineri non possit Ane framonibus , tune medii proportionalet inpeniri nequeunt, ut de uno me. dio proportionali dictum est In Schol. Propos. praee.
G Hiones aliquot prameae expediuntur. Tsi quaestiones, quas hic proponimus, ex regulis 1 proportionum jam explicatis iacile resolvi valeant; quia tamen eas ordinare , atque expedire tyronibus negotium facessit, adeoque Arithmetici praetica peculiares de his tra status instituerunt, proinde nos praecipuas breviter indicabimus, ita tamen ut ex ipsa praxi operandi etiam methodus innotescat. r. Lucilius vendidit aureis 9o a fundum , quem emerat aureis 8q- ; quaerit quantum ex singulis Ioci
Dic per regulam proportionum si 84oo fiunt 9o a , quid ioo 3 Invenies I . Fuit ergo ex singulis icio lu
O Vel sic, subtrahe 84oo ex sto et, differentia , seu lucrum est aureorum 67 a. Dic ergo, si 84 dat quid i invenies 3 , ux antea . Exa-
118쪽
- CAp. U. PROP. XIII. 99. Examen fit si dicas, ioci fiunt io 8 , quid 3 oo Z invenies 9OI2a. Fingamus ab eodem Lucilio solvendam esse penis sonem scutorum Ioo annis quinque, hoc est scuta Ioo singulis annis; quam ille emit parata pecunia , solutis statim scutis qoo. inarritur, quantum lucri ea singulis ioo percipiat, Dic per regulam auream, si sicuta goo sunt 3oo, seu I p. . huius, si qfiunt S, quid Ioot invenies ia3; adeoque ex singulis ioci habet lucrum scutorum a I. . Examen si dicas ioo fiunt i a S , quid Aoo fiunt Ioo. Scrio L. B sisner hujus generis pertiaenι ad regulas ueri seu simplicis meriti, ut Pocant. 3. Fabius debet Sempronio aureos annis tribus solvendos , hoc est singulis annis aureos a Io. Paratus tamen est statim aureos 66o creditori selvere, siquidemio ex singulis ioci sibi relaxet. Quaeritur, quot aureos
Adde lucrum Io ad ioci sunt Ii o. Tum per regulam auream ter repetendam quot scilicet anni sinit ) die si ito fiunt ioci , vel sper Proj. q. hujus) si si fiunt Io, quid a aot fiunt aoo. Rursus dic, s ii fiunt io, quid a Z invenies I 8IA . Demum, si Ir dant Io, quid i 8i proveniunt i 63πλ. Addantur simul acio, i , I 63 et . Erit summa S 7 . Accipiet ergo
Sempronius tantum aureos Sq7 ελ - 4. Eadem ratione si quis ad tres annos domum conduxerit cum annua pensione scutorum 3 oo ; domino au
tem ejus domus omnem statim summam in antecessum N a sol-
119쪽
silvat ea conditione, ut sibi scuta I pro singulis ioci compenset: dices, si io I sunt Ioo, seu dividendoios, & ioo per S) si zi fiunt ao, quid goo Z invenies a 83 ψ. Rursus, si et i fiunt eto, quid 183 - ξ fiunta a RV. Demum si 21 dant aO, quid 27 a m , t proveniunt 32-. Horum summa I9o redactis fractionibus in partes centesimas) in antecessum domus ilistius domino solvenda est. Quod si aurei illi 66o a Fabio triennio post solvendi sint; tunc additis, ut supra io, ad ioo, dic si ito fiunt ioo, seu, Prop. q. hujur, si ii fiunt Io, quid 66o Z erunt Go. Rursus, si1 ii fiunt io, quid Coo Z invenies Sq3
Demum, si is fiunt io, quid 543 - , Αρ a m ;
. ScHOL. Haec axis Pulgo diertur,scontare a capo d'anno. s. Accepit Cajus aureos Soo cum usura aureorum
o ex singulis lGO in annum ea lege, ut nisi solvat singulis annis, fiat ex foenore auctio sortis. Nihil fuit a Cajo solutum toto triennio. Quaeritur, quantum.ipse pro sorte, atque usurae usura isneratori debeat. . Adde to ad ioci fiunt a Io, deinde per regulam auream
dic, si aurei too fiunt i io, seu sit io fiunt ii, quid Ioo Zinvenies 35o, hoc est Soo pro sorte , pro usura vero pri mi anni So. Rursus pro secundo anno dic, si Io fiunt i i, quid 33ot fiunt 6os . Demum si ro dant i l , quid 6oI Invenies summam a Cajo solvendam, aureos 665 l . . Vel brevius, duc Ioo in I 33i, hoc est in i I xii X H
120쪽
COROLL. Hinc liquet, sortem datam, nempe aureossoo, & summas deinde inventas per regulam proportionum IIo, 6os, & 66s et esse terminos continue proportionales , cum omnes sint in eadem proportione , quam habet Ioad II; proinde inter sortem datam , &nitimi termini summam tot intercedunt medii proportionales, quot ejus foenoris fuerunt anni . Hoc ipsum
de praecedenti quaestione debet intelligi. ScMOL. hujusmois quis apud Latinos anatocismui , ς usura Uurq, S a nonnulus iasura Iudaica dui tur , es a lege vetita a Ab Iam Poeari Iolet ritum meriti,seu meritare a capo d'anno. Hac vero regula alimur,
tibi fundus ex annuis fra bur continuo augeri, ae mutatiplicari debet. . 6. Terentius debet Gellio pro usiira primi anni summam sortis, & foenoris simul scuta: 6og, proquar to autem anno scuta 636i quaeritur, quanta fuerit sors, quantumque foenus: - Quaerantur inter q6og, & 6 36I' duae mediae proportionales, per Prop-ia. hujus: duc scilicet minorem q6osi in se; fit quadratum arquo ducto in majorem, 636i, producitur 139II O69s .Hinc autem extrahaturi radix cubica, per Prop. 3. Cop. q. prodibit II 8η, quae erit duarum proportionalium minor , per Proposia. cit. Solvet igitur secundo anno pro sorte, ac foenore scutas 34 :- atque hinc deducitur sortis quaesitae quantitas . , Nam ex re. Coroll. sortis summa, α reliquae omnes ,