장음표시 사용
71쪽
31 DR CALCULO FRACTORUM II. Si diversi sint nominis, reducantur ad idem nomen per Propos. I. , & operatio fit ut antea . . . . 'III. Si ab integris subtrahenda siti aliqua fraelio , reducantur integra ad fra tionem ejusiclem nominis cum data fractione per Propos. 6., de cetera fiant, ut supra . Subtrahere oporteat ε ex q,reduc q ad tertias,erunt
subtrahenda sint a se ex S P , hoc est ἰ ex : reduc ad idem nomen has duas fractiones per Propos 3. erunt v ,
SCHOL. Ut minutiae addi, vel subtrahi valeant , femper idem nomen habere debent, quod notetur.
ter se numeratores, itemque denominatores inter se, res erit confecta. Multiplicanda sit fractio Τχ ductis a X a s , habetur productum quaesitum
Sic α x 4 πι- per Propos a. II. aod si multiplicandus sit integer per fractum,
vel fractus per integrum , semper integro siuppone uni tatem, ut sat quasi staictio; deinde operare ut supra.
Sit multiplicanda I x 7 , suppossita integro unitate, erit Ι η , proinde producium.
III. Si vero alter multiplicantium sit integer cum fracto, reducatur totus ad stadium, multiplicando illum per denominatorem ejusdem stacti, ut si multiplicari
72쪽
CAp. III. PROP. X. SI oporteat a per 6, sat Y-χ erit productum v . bi- militer si uterque multiplicator sit integer cum faeto , uterque reducitur ad fractum ejusdem nominis cum minutia sbi adhaerente: ut fiat multiplicanda 3 x reducantur ad fractos, erunt of per Propos. I. Demonstr. Ex regula tradita multiplicare fractum Aper Dachum B est producere frae tum C, qui toties contineatur in fracto B, quoties stadius A continetur in unitate. Nam sicuti fractus C continetur bis in fracto B, ita fractus A bis continetur in unitate, ut patet; ergo ex definitione multiplicationis fractus C est productum fracti A multiplicati per fractum B. A BCOROLL. Hinc patet ratio, quare in minutiis productum multiplicationis C sit minus,quam factores A de. B. Nam cum unitas sit admut B ad C ex desin. multiplicationis per Prop. S. Cop. I. , & unitas major sit quam A , etiam B major erit quam C, proinde C minor. Scno L. I. Muuiplicatio fractionumAt etiam eleganter per disi nem , dividendo scilicet denominatorem unius per numeratorem alterius minuti modo is biles Int
e residuo Fut coim multiplicanda ἡ κ - , divide 9 per 3 S io per a ,si l productum quaesitum . Idem enim
producitur , ac si more consueto mulcisiacentur . Nari A I- V per Propos a. SCHOL. II. es insegrum cum minutia dueexdum si ininteerum , quod exocte dipi iis sit per denominatorem minutiae , ut si ducendum si 'ξ χ i 8, practici
73쪽
s DE CALCULO FRAc TORUM primo resDunt integrum infractum, flique ii 6 , deinde dimis iis per denominatorem 3, habetur quoius 6 , per quem multiplicant usum H 6, habetur productuit quaestum 696 . Ratio per se patet.
dendi, fractus , qui inde oritur , erit quotus. Ut sit dividenda fit minutia 3 per l, divisis A per a , & 9
per 3, quotus erit Similiter u denominator sit communis, satis erit dividere numeratorem per numerato
rem ; si e dividendo φ per quotus erit ψ.
minos dividendi, inverte divisorem , ita ut denominator ponatur loco numeratoris, numerator vero loco denominatoris, deinde duc tam numeratores inter se , quam denominatores inter se, productum erit quotus
quaesitus. Dividenda st minutia A per l, inversio divisiore, erit θ x t 3 quotus quaesitus. Sic V divisa per l,
inversio divisore, erit x - α -- quotuc.
satis est multiplicare denominatorem stadii per ipsinus integrum . Sit dividendus per a , duc S η a, quotus erit A. Item divisius per I , dat quotum pr. Nam semper integro supponitur unitas.
integer cum minutia, reducendus est integer ad minutiam
74쪽
CAp. III. PROP. XI. Istiam sibi adjunetam, ut fiat unica minutia , & operatio instituenda est, ut supra. Sint dividenda et per Τ, sent X t m 36 Prop. 3. Similiter sint
dividenda is f per la et, sunt I-Demon D. Dividere fraetum A per fractum B est invenire quotum C, ad quem ita si unitas, sicuti divisor B ad dividendum A ex divisionis definitione perProp.6. Cas. i. Sed unitas est ad fraetum C, ut divisor B ad dividendum A. Unitas enim est ad C, ut denominator 3 ad numeratorem 4 ex Axiom. I. Fractus autem B est ad fractum A, ut 3 ad 4: nam redactis ad idem nomen A& B per Prop. 3. oriuntur fracti aequales N & AI, qui. communem denominatorem se habent ut 3 ad 4; ergo unitas est ad C, ut B ad A ; proinde C est quotus quaesitus. Quod&c.'
COROLL. Hinc patet ratio, cur in divisione minutia. rum quotus sit major numero ipso , qui dividitur ; quod quidem accidit, cum divisior minor est unitate. Nam cum divisor sit ad dividendum , ut unitas ad quotum , erit permutando divisor ad unitatem, ut dividendus ad quotum , adeoque s divisior minor est unitate, etiam dividendus debet esse minor quoto.. SCHOL. I. 'Ubi securrit integer magnus eum fracto dividendus per integrum , ut 630per 5, promti dipi-
75쪽
F quid remanet m-4 illud reducos ad fractioneo per Prop. 6., hoc es ad Od quam ad fractum dunt; sitque famma'por Propos 8., quae quidem summa divisa per 3 dor quotum per hane Propos. α3ι
unde quotur quascui es ia6-.- SCHOL. II. Met/u agendum de fractionibus duimalibus , earumque calculo, quae gaidem in rebus praesertim Geometricis magno sunt Uui. Sed nos de illis in no Iris Insitutionibus Anabiuir satis 'lacuister egimus ,
SI numerus quicunque ducatur in se ipsum, ut 3 χ 3 ,
producitur 9 , qui dicitur numerus quadratus, propter analogiam, quam dicit ad quadratum Geometricum. Item si ducas 4 xq, oritur i6 pariter quadratus . Illi vero numeri 3 & q , ex quibus in se ductis planum illud , seu quadratum oritur, dicuntur, seu latur quadrati. Si radix a multiplicet quadratum 9. vel A multiplicet io , tunc producitur 27, vel 6 , qui dicuntur eubi ; quia repraesentant corpus aequaliter longum , latum , & profundum, quod a Geometris denominatur cubuΙ ,
76쪽
CAp. IV. PROP. I.' 57 cubus, de numeri illi 3 , & 4 dicuntur rata x, seu latus cuborum 27 , & 6q. Quod si cubus ipse per suam radicem multiplicetur , ut 27 X ῖ , oritur quadrato-quadratus 3I. Si iterum , 8l x 3, oritur quadrato-eubus, di sic deinceps. Haec producta recentiores Mathematici vocant digni rates , seu foresates, ita ut dicatur ex priori exemplo, Radix , seu potestas prima. 9. Luadratum, seu potestas secubda 27. cibus , seu potestas tertia. 8 i. gladrato - quadratum , seu potestas quarta . a 3. 2uadrato-cubur, seu potestas quinta. Extractio igitur radicis quadratae , vel cubicae &c. seu secundae, tertiae, vel quartae potestatis &c. est inventio illius numeri, qui semel , bis, ter, vel ptu ries in se ductus, illam potestatem genuit, adeoque ab ipsa potestate denominatur radix secunda, tertia, quarta &c. Hoc problema ingentem uim habet in universa sere Mathesi , proinde expedit, ut tyrones in eo diligenter instruantur .
Ex dato numero radicem quadratam, seu secundam
I. I numerus datus centenarium non excedit, & sito quadratus , ejus radix habetur ex tabella inserius posita ; ut sit quaeratur radix quadrati 54, ejus r -
77쪽
38 DE Ex TRACTio NE RADICUM dix invenitur S. Quod si numerus non sit quadratus, ut ex. gr. JO, semenda est ex eadem tabella radix proxime minor, hoc est 7, quae in se ducta producit q9, qua, dratum maximum contentum in dato numero So.
II. Sit numerus ex quo radix secunda extrahenda sit. i. Sub ultima figura ad dexteram notetur punctum, deinde iub ante penultima , ct sic deinceps, ut totus numerus distribuatur in membra ut hic tria ) quae continebunt binas saguras, excepto ultimo ad snistram, si numerus figurarum sit impar, quod unam habebit. Quot erunt membra, tot figuris radix quaesita constabit. a. Quaere ex tabula superiori radicem primi membri ad sinistram, nempe i 8, hoc est radicem proxime minorem ex dictis num. i. scilicet Α , quam pone dextrose sum post lineam, ut in 3. Duc radicem 6 in se ipsam , & quadratum i6 pone sub ipsis membro i8, ex quo subtrahatur; tum resi. duo a quod notatur infra lineam adde sequentes duas figuras 66, quae simul faciunt a66. q. Radicem ipsam 4 duplica, fit 8, quem pone in Cpro divisore numeri a 6 excluditur enim semper a divi- fione figura notata punctoe) & quotum inventum g ampone tum radici in B, tum divisori in C, unde sit 8s. 5. Per radicem modo inventam 3 multiplica omnes
78쪽
CAp. IV. PROP. I. 59 numeros in C positos, & produetum a 49 subsicribe numero a66; a quo facta subtractione, remanent II. 6. Adde huic residuo sequentes duas figuras 24, fient Iraq; eandemque operationem rursus institue :nimirum duplica totam radicem B, habebis 86 , quem pone in D pro divisore numeri i71 exelusa figura ultima ) quotus erit a , quem appone tum radici in B, tum divis bri in D, & per ipsam radicem a multiplica numeros Omnes in D 86a.. Deinde productum ira subscribe ipsi numero ira , a quo debet subtrahi; cumque nihil remaneat, signum est, datum numerum esse vere quadratum.
SI aliud exemplum. Extrahenda est radix quadrata ex dato numero M 6OI 3623. I. Dividatur in membra per punista, incipiendo dextrorsum modo jam explicato. Sunt quatuor membra , quorum primum ad sinistram continet unam fgurania tantum 6. Ηbjus radix proxime minor est a , quam P. ne in x dextrorsus, ejusque quadratum 4 subtrahe ea Ha pri
79쪽
6o DE EXTRAc Tio NE RADicuri primo membro 6, remanent 2, quibus adde duas figuras sequentis membri, nempe OI, fiunt ΣΟΙ.
a. Duplica radicem Σ , & per ejus duplum Α, quod pone dextrorsum in R , divide aOI reli lia semper ultima figura notata puncto quotus est qui reponi de. heret tum in N, tum in & per ipsum multiplicari numeri in R , nempe q3; sed quia qIX S producit a S, quod subtrahi nequit ex numero acii, ut patet, proinde quotus S minuitur unitate , & ponitur tam in N, quam in Rquotus 4, qui ductus in Aq, producit I76, quod
subtraetum ex Ioi relinquit 2 S. 3. Adde huic residuo duas sequentes figuras 36, ess-ciunt a 356. Repetenda est eadem operatio toties , quot restant membra in dato numero . Nimirum duplicanda
est radix a , . & per ejus duplum q8, quod ponitur dextrorsum in dividenda sunt 2s relicta ultima figura ) quotus 5 est nova radicis figura , quae ponitur in AI , tum etiam in st, & per ipsam multiplicando omnes figuras in Oxilientes, habetur productum aqas subtrahendum ex a 336, factaque subtrae ione, habetur residuum i 3 i. Cui adde ultimas duas figuras 23 , &operare ut supra , invenies ultimam radicis figuram a , quam pone in Ν & S, ac cetera prosequere, ut ispius
Est igitur radix quaesita N aquea , & remanet 33a I.
adeoque numarus datus non est revera quadratus. COROLL. Hinc patet, radicem inventam per divisionem,
unitate esse minuendam , si productum, quod fit ex multiplicatione , majus sit numero, a quo subtrahi debet ; ut in secunda figura radicis inventae factum est: quod quidem notetur M
80쪽
33 a I. Smo L. I. Luando dissor non continuar in aliquo membro disidendo, apponitur in radice Ophra, seu 2 ro , ut sy extrahenda sit radix quadrata ex 37iq. Ibia sublato ex primo membro 37 quadrato 3 6 radicis insen να 6 , remanet i , cui si addatur se quem Agura i sit itas nam figura puncto notato exeluditur a dividendo ex ἀ- qui numerui disii nequit per duplum radicis 6 , nempe Ia; in hoe essu ponitur in radice euhra o, erimque radix 6o , habetur residuam ii 4 , eui adduntur statim si sint) aliae dux Agurae: GII numer . Sc Ao L. II. Si numerus datus non es quadratus, sed remanet residuum, ut in aliato exemplo resisum ii iune sit ex residuo fractio is qua residuum ipsum ponitur pro numeratore , pro denominatore autem dupluin radicis inventae. Si vero residuuis sit majus usa radice , tune duplo radicis inpentae additur unitas. Me in eodem exemplo, quia residuum riss majus es tota radice G,