장음표시 사용
121쪽
sunt inter se in proportione continua ἔ proiiido seeundi anni inima si 84 se habet ad funimant 'oo8 primi anni, sicuti haec ad sortem quaesitam. Datis itaque duobus terminis Si 8q, & 46O8, quaeratur tertius proportioo alisper Propos io. hujus, erit sors quaesita AO96. Hanc subtrahe ex summa data sortis , & foenoris pr mi anni , nempe ex 46o8 , innotescet ejusdem sorti usiura, scutorum scilicet , ii , seu is singulis ioo. Nam dic e si stulά qo96 sunt 4 8, quid ioo invenies Da l, hoc est ra ex singulis centenix , - i
De progress ibus' Arithme . . S Geoiuetricis , earumque
reguliSμ . . Ρ Rogregio est plurium terminorunt eadem continu -
proportione procedentium . Quia vero propor
tionalitas alia est Arithmetica , in qua termini aequali excessu, vel desectu se superant, ut 1, 3 , I, 7, 9, II, qui binario numerio .crescunt, vel II , χ, 9, 6 ,'3 , qui ternario decrescunt ; alia est proportionalitas Geometrica, in qua termini simili ratione crescunt, vel decrescunt, quatenus primus toties secundum con-tinet, quoties secundus tertium, & siς deinceps, ut in praee. Cap. fuse explicavimus et proinde progressio, duplex est, alia Arithmetica , alia Geometrica . In diprima termini servant proportionem Arithmeticam, in
122쪽
seeunda Geometricam Regulae autem Progressionum de quibus in praesenti agimus, consistunt in hoc, ut talium progressionum termini in unam summam sine prolixae calculationis tardio 'compendiose , ac facile eolligantur. Nos de utraque hic breviter tractabimus. Praeter Arithmeridam'. & Geometricam proportio salitatem , datur quoque proportionalitas. Harmonica, seu Musica , in qua tres numeri ita ordinantur, ut eadem sit proportio maximi ad minimum , quam . habet differentiai maximi de medii ad differentiam medii diminimi Tales sunt numeri 6, 6 nam inter is & aest proportio dupla ; sicuti dupla est proportio disserentiae inter 6 dc nempe 2 , ad differentiam inter Α &
N prὀgressione Arithmetica terminorum quqrumin se, summa duorum extremorum aequatur' summae duorui 'terminorum , qui ab extremi, aequaliter distant. Sint . ' - I, 3 7, 9, Erit 1 ε I I m 3 4: 9-' Item i i i m s φ U. In progressione Arithmetica terminorum imparium summa extremorum , vel duorum terminorum aequaliter distantium , dupla est termini medii
In Fae progressione se em terminorum sit mina i Φ'i 7 in 7 , seu r . Item 3 ri zz I Alse paria
123쪽
io4 PROGRESs. ARITHMETICI sIII. In omni progressioneΑrithmetica quilibet terminus continet primum, hoc est minimum terminum , &toties excessum, seu differentiam una minus, quot sunt termini. post primum usque ad ipsum inclusive. Sinta , 3 , 7 r9s i Terminus quartus progressionis 7 continet, ut patet ἰminimum terminum I, Ster differentiam a . Pariter 9, terminus quintus progressionis, continet I, & quater differentiam ipsam a. Ita quoque II, terminus pr gressionis sextus, continet , & quinquies differentiam aut patet. i. ' COROLL. Hinc habetur maximus progressionis terminus, si differentia ducatur in numerum terminorum unitate minutum , de producto addatur minimus terminus . Sis in praec. progressione , si differentia a ducatur in I numerum terminorum unitate minutum & producto addatur minimus terminus I ό habetur maximus terminus I r. '
Datis minimo ae maximo progressionis Arithmetiee
terminis , ta terminorum numero , invenire summam . R Egula haec est: summa minimi ac maximi termini multiplicetur per dimidium numerum terminorum, productum dabit summam totius progressionis .
124쪽
. CAP. I H. . PROP. Iu 22 ios Sit exemplum. Quaeritur summa omnium campanae pullum alicuiu, horologii Italici ab a hora usque ad rq inclusive . Minimus terminus est I , & maximus 2 horum imma a I ducatur in ra , dimidium terminorum , productum goo dat omnes campanae horariae pulsius unius dieii Ratio deducitur ex lemm. r. Nam cum summa extremorum aequalis' sit ' duobus quibusque terminis aequaliter distantibus, rei tangulum faetum ex summa primi, & ultimi in numerum dimidium terminorum, necessario aequale erit summae tothis progressionis. Multiplicatio .enim est idem aci compendioli additio ex di
COROLL. Hinc insertur, summam progressionis Ariththeticae pariter haberi, r. Si dimidium summae minimi, ae maximi termini ducatur in numerum terminorum. s. Si cimma minimi, & maximi ducatur in numerum te minorum & productum per a dividatur Quia vero in progressione terminorum imparium numerus medius aequatur dimidio summae minimi ac maximi eX lem. a , hine sequitur, haberi progressionis summam, si num rus medius dueatur in numerum terminorum imparium.
125쪽
i satis Mrm inis vetaximo, minimo , necnon . - numero terminorum , disserenitam
A Maximo termino aufer minimum residuum
divide per numerum terminorum unitate minuia tum , quotus dabit differentiam quaesitam. si lIn praec. exemplo campanae horariae a maminio ter mino 24 aufer. minimum 1 residuum as: divide per numerum terminorum unitate minutum,i nempe as , quotus i dat differentiam quaesitam . . Ratio desumitur ex . Nam aq continet m,nimum terminum i ,s & praeterea toties. continet dis, serentiam, quot sunt post terminum a. usque ad ipsum inclusive a termini ψ qui nimirum sunt; as : proinde ablato minimo termino, residuum continet .toties dis serentiam , quot sunt progressionis ternitrii nilnus uno; adeoque diviso residuo per numerum terminorum. unitate minutum habetur differentiae iam s
Minimo termino , disserentia, ta numero terminorum datis, in venire maximam DUC differentiam in numerum terminorum uni. tale minutum , & producto adde minimum ter minum . summa dabit maximum . Sit
126쪽
. Sic exemplum. Dux exercitus distribuere vult praedam in expugnatione Urbis colle stam inter qo strenuos milites, qui primi arcem occuparunt, hoc pacto, ut ultimo, qui moenia mperavit, dentur aurei IOO, penultimo Igo, antepenultimo i6o, &sic deinceps: quaeritur, quantum retulerit pecuniae primus. Patet minimum terminum esse ioci, differentiam 3 o, & numerum terminorum 4O. Duc proinde Jo in 39 , & produ- 'o 75 adde minimum terminum ioo, habebis maximum ia7O, praemium scilicet primi militis. Ratio patet ex umm. 1, 6 que Coroll.
. numerum terminorum invenire:
A Maximo aufer nianimum, S residuum divide per
differentiam, quotus unitate auctus dat nume
ἰ Sit exemplum. Empta est multitudo librorum hac conventione,ut minimus liber stet juliis et, secundus julsis Α, tertius 6 &c. , ultimi vero librii pretium fuit julio rum ψω, quaeritur librorum numerus. Auser. mini mum a a maximo Aoo, & ressiduum 398 diutae per differentiam a , quotus i99 unitate auctus, hoc est goo, est numerus terminorum, seu librorum , qui quaeritur. Similiter artifex de opere perficiendo convenit hoc pacto, ut primo die Qlvantur sibi assesao, secundo die asses a I, tertio asses 3o, & sic deuiceps. Ultimo - o a die,
127쪽
1o8 DE PROGREss. ARITHΜETIClS die, quo opus: absolvit, accepit asses i63, quaeritur quot dies operi insumpstrit . Aufer terminum minimum 2D a maximo I 63 , & residuum t 3 divide per differentiam I , quotus est 29, qui unitate audius dat dies 3 O. Ratio propositionis desumitur ex lemm. ῖ , ut manifestum est.
De Progressionibus Geometricis
LEMMA IU. - IN omni progressione Geometrica si terminus quilibet in se ducatur , & produi tum dividatur per terminum primum progressionis, quotus distabit a primo termino locis duplo pluribus, quam ipse terminus. In progressione-terminus 8 tertio loco positus, qui duobus locis distata primo, ducatur in se, & productum 64 dividatur per primum terminum a et, quotus 32 distabit a primo termino locis duplo pluribus, seu quatuor. Nam terminus 3a est tertius proportionalis ad duos terminos a , & 3 , per Propos. 9. Cos. S. proinde 3x toties continet g hoc est bis terminum intermedium i6 quoties S continet primum a , nempe bis terminum intermedium 4 ὸ adeoque cum 3 a tantundem distet ab ipm 8 , quantum S a termino primo a duobus scilicet loeis distabit ipse ga a primo termino locis duplo pluribus, nempe quatuor .
128쪽
CAp. VI. PROP. I. Io9 COROLL. Hinc sequitur , quod si cuilibet progressioni Geometricae siubscribantur numeri ordine naturali ab unitate , saeto tamen initio a cyphra quilibet progressionis terminus , qui producitur per alium in se duetum, .& divisum a primo, habeat sub se notam duplo majo- rem , quam terminus a quo producitur. Sic in superio, ri exemplo terminus sat habet sub se notam Α, duplam ejus quam habet 8 , ex cujus duehu producitur . Tales enim numeri, qui exponentes , Pel indices progressonis dicuntur, indicant quantum quisque terminus distet a primo. Locum autem , seu numerum terminorum progressionis indicant unitate minorem. Sic 32, cujus index est Α, est quintus in progressione terminus. Quod notetur.
IN omni progressione geometrica si duo quilibet termini in se ducantur , & productum dividatur per
primum terminum progressionis, quotus dabit terminum tot locis distantem a primo, quot unitates habent
indices duorum illorum terminorum simul additi. In Progressione Geometrica B subscribantur numeri ordine naturali ab unitate, ut dictum est in praee. CorolL& duo quilibet termini io & Αo, quorum indices simul additi dant ψ, ducantur inter se. eorumque productum cloo dividatur per primum S, quotus est SO, cujus index pariter est 4, adeoque quatuor locis distata primo termino per coroli. eis. B S, IO, 2O, M, 8o, I ere.
129쪽
COROLL. Hinc ad inveniendum quemlibet progres.sionis datae terminum , v. g. sextum , multiplicari de bent inter se duo termini, eorumque productum dividi per primum, ita ut eorum indices additi contineant tot unitates una minus , quot habet terminus quaesitus . Sic ad invenien him sextum progressionis B terminum,
ductis inter se ao & o quorum indices additi dant s.
λ& produeto diviso per 3 , quotus I6o erit extus' progressionis terminus, ut patet. Maximo termino aufer minimum , dc residuum divide per denominatorem proportionis unitate minutum , additoque quotienti ultimo . termino, har
bebis omnium terminorum summam . .' ,
si exemplum . Venditur equus eximiae pulchritudinis hoc pacto, ut juxta clavorum numerum , qui in soleis serreis figendis adhiberi solent , selvatur pro primo clavo i assis, pro secundo clavo asses a , pro te lio 4, de sic deinceps in proportione dupla.. Clavus ultimus importat asses ai47 33668. Quaeritur assium omnium selvendorum summa 'i Aufer minimum terminum I ab ultimo, de residuum divide per denominatorem a unitate multatum, nempe
terminis , ac denominatore, summam
130쪽
per νὴ &quia unitas non dividit, remanet quotus idem ac residuum 2I476836 7, cui adde ultimum terminum, fiet totius progressionis summa q29496729s: qui asses si dividantur per ioo, erit pretium illius equi scutorum 4294967a, ct asses 9S, SchoL Prop. 3. Cas. 3.ὴ . Ratio deducitur ex Prop. 3 . δελ 9. eL Nam in omni finita progressione Geometrica , ut denominator unitate multatos est ad unitatem, ita maximi & minimidisserenti seu maximus terminus , dempto minimo)est ad totam progressionis summam, minus ipsismet maximo terna ino; ut si suerit progresso Geometrica in proportione tripla 3 ,' 9, 27 , 8ι, 263 , erit denominator 3 unitate multatus ό seus ad I, sicuti aq3 -3, seu ago, ad totam progressionis summam, dempto maximo termino , hoc est ad 3 - 9 Φ 27 Φ 8i rao; moinde divise Eqo per a , habetur IIo, citi additur ultimus terminus 2 3 , , ut habeatur totius progressionis
Sc AoL.' I. Progressionis dupo ab unitate inelpontis Hesius habetur summa. Ad Deetur terminus ultimus . ἐπ a duplo auferatur an cor . Me in priori exemplo dupliaea ultimum terminum 2Iq7q836 8 . 'ae deme unitatem , res duum dabimuwmam totius progressonis 429 96729y, ut antea. Ratio per se manifesa es , quia denominator unitate multatus est unitas, quae non dividit; ἐπ addere quoto ultimum terminum in hoc eas idem es , ae illa
Sc Mos. II. Ex progressone dupla q= r Incipiente i , a --, 8 , i 6 Ne. haben in numeri qui dicuntur Perseisti,
fui scilicet omnibur suis partibυs aliquoiit aequales inunt, ut 6,