Institutiones arithmeticae cum appendice de natura, atque usu logarithmorum auctore Paulino a S. Josepho Lucensi ..

131쪽

' Oatis aliquot proor Eonis Geometricae terminis

quemcunque atium, et Iam me'Iιδ. .

. non cognitis, invenire . Ati sint aliqui termini Geometricae, progressionis A. inveniendus sit ejusdem terminus g yigesimus . Hujus index erit I9 , nimirum unitate minor, numero termini quaesiti, per Coroll. lemm q. Subscribe terminis datis numeros naturales ab unitate, saeto initio a cyphra, per CoroII. eit., & duc 8O , qui in pro . Fressione quintum locum occupat, & distat a primo i ciso, in se ipsum, ejusque produAum 64oo divide per . primum terminum 3, quotus ia8o distabit a primo ter

mino locis duplo pluribus, quam ipse 8o, hoc est locis 3 perlomm. q. Eadem ratione duc rago in se ipsum, & prqdu. tum ἰdivide per s, quotus 32 768o, distabit a primo termino locis duplo pluribus, hoc est .i 6 per lemm. eit. Currisi autem index io ab indice termini quaesiti i9 differat per

132쪽

CAp. VI. PROP. VI. II pdesectum 3 , duc 32 768o per terminum euius index sit 3 , hoc est per Ao, & produetum divide per I, qu

tus a6aIqqo erit terminus vigesimus quaesitus. Nam cum ex construetione terminus 262IMO

productus ex duobus terminis 32 768o, & sso, quorum indices sunt i 6 & s , seu i 9 , & divisus sit per primum

terminum 5 . distabit tot iticis a primo termino, quot unitates habent duorum illorum terminorum. indices16, S 3 per lemm. I , hoc est locis I9; adeoque ejus index erit i9, proinde terminus in progressione vigesimus per Coroia. lemm. q. Quod erat &c. . COROLL. , Patet idem esse quaerere datae progressionis terminum Io, ac terminum exponentis, seu indicis Imunitate minoris termino quaesito.

Asferuntur , nonnulia Progressionis Geometrice

quaestiones . I. Uarritur, quantum frumenti ex uno tritici gra-- no haberi possit annis Io, si supponatur ab uno et grano produci posse singulis annis grana IOο, licet revera multo plura produei seleant. Illa ergo loci grana secundo anno producent centiescentum grana , nempe Io, O, ct sic deinceps in proportione eentupla . Inveniatur hujus progressionis decimus , seu ultimus terminus, qui per Propos prσcerit I oo , Oo, Oo,oooo, Omo, hoc est unitas cum cypbris aQ. A quo si auferatur minimus terminus IoO,

133쪽

ii 4 DE PROGRESS. GEO HETRICI s& residuum dividatur per denominatorem proportionis unitate minutum , hoc est per 99 , & addatur quoto ultimus terminus siupra inventus , erit omnium granOrum summa per Propos. I.

Quam nec totius Europae horrea caperent, Ponamus enim ad unam Romanae librae unciam requiri grana 6oo; ad libram unciarum Ia requiruntur grana Vaoo. Cum

autem Romanum ut vocant) Rubium sit pondo librarum 6qo, requiruntur ad rubium unum grana 46o8ooo; dividatur per hunc progressionis silmma , dabit quotua

rubiorum numerum . . .

a. Rex , cui ex annuo redditu proveniunt ter deciescentena millia nummorum argenteorum , statuit ejus

modi redditus alicui ministro locare hoc pacto , ut singulis annis per unum mensem selvat sibi primo die asesem i, secundo die asses a, tertio vero 6. in propor tione dupla diebus 3o , quaeritur summa λlvenda regi. Inveniatur progressionis duplae ab r incipientis terminus 3 O per Propsc praee. erit 33σ87O9ra , qui duplicetur , dc a duplo auferatur unitas; erit assium summa IO 376 8a 3 , per Scho r. Propos. I. Ex qua resectis ad dexteram duabus notis , habetur nummorum argenia

3. Scheramus Indiae rex propositit Sessae Dahir Indo, qui latrunculorum ludum a se inventum illi exposuerat, ut in proemium peteret quantum vellet. Ille vero nihil aliud petiit , quam ut tritici granum prima areola positum continue duplicaretur , donee ad ultimam 6

134쪽

CAp. UI. PRop. VII. ἰ iis perventum fuisset. Levissima regi primum via res est :sed facto computo ab Arithmeticis, inventum est ; neque in ejus regno, neque in toto terrarum orbe reperiri eam tantam tritici copiam, nempe I 84 67qqO737O9SIisii S. Hoc patet ex dictis per Prop. I. & 6. hujus. ScHoc. I. Hanc doctrinam qui noverit, haud mirantur id, quod sera hi ria narrat de multitudine filiorum I ael, qui egresF sunt de Aerapto. Cum enim eo profecti essent non plures, quam 7o, ita multiplicasisentur ps annot iso, inde exierint ad sexies eentena millia isellatorum hominum, practer pueror, senet, op

- SCHOL. II. Admiranda Geometricae progressionis duplae ab r incip=entis inque ad terminos i 14 inelusive i erementa, quoi scilicet salarum gradibus Romae ad templum Aracaelitanum ascenditur, prosecuius es integro libro Romae edito an. I632. H. Ludovicut Paris de Mon- Ie Fano Min. Obserp., in quo tot, ac tam lepida conge rit , αι nescias, utrum magis Geometrieae progressionis incrementa , on hominis ingenIum , vel otium mireris. SCHOL. III. De progressione Geometries in ita per insinitor terminos descendentis non loquimur, quod haecoronis Arithmetici sudiam transcendat, ct per Analysis ea longe facilius explicetur P a P Rin

135쪽

it 6 DE PROGRESSI. GEOMET IUCis

Ex dato rerum numero combinationes Omnes .

Combinatio rerum fieri dicitur , cum dato certo rerum numero, v. gr. Od O alphabeti literis . quaeritur quoties illae bis, ter , vel quater inter se valeant combinari ; hoc est quot binarii , quot ternarii , aut quaternarii ex illis fieri possint. i. Datae sint igitur octo res , seu literae ae ἐf-, scire volo omnes binorum combinationes. Inis stituantur duae progressiones Arithmeticae naturales deinstendentes , iubducta unitate a numeris 3 S a , tot se, licet terminorum, quot numerus minor a qui den minator eombinationis binariae dicitur ) continet unitates , ut in A B factum est. Ducantur deinde inter se g & , & productum 56 dividatur per productum a X I, hoc est pera, quotus a8 dat quaesitam binorum multitudinem ἀHoc patet ex sequenti 8 literarum combinatione.

136쪽

t CAP. VI. PROP. VIII. IIIII. Scire volo quot ternorum combi- C Dnationes ex iisdem S literis haberi posisint. Instituantur, ut supra laetum est, duae progressiones Arithmeticae desceniadentes C & D, & productum g dividatur per productum 6, quotus 56 dat numerorum ternorum, qui petitur. - COROLL. Eadem methodo inveniuntur Omnes quaternarii , quinarii, senarii &c. ex dato numero. Proi de in ludo Romano, qui vulgo Cotto dicitur, in quo puellarum so nomina in urnulam mittuntur, ut inde quinque. tantum λrtito extrahantur, binarii per bone Propos'. inventi erunt gooI, ternarii ιI768O, quaternarii aIISi9o, quinarii q39 9a68; unde difficillima in hujusmodi ludis divinandi ratio satis apparet

- Ex dato rerum numero permuratioara omneδ

ptisbiles invenire

ΡErmutationes, quas datus rerum numerus subire potest, inveniuntur hoc pacto . iSumantur tot numeri in serie naturali 1 , 2, 3, 6 Sc. quot sunt res datae, v. g. quinque literae productum ex terminis series naturalis invicem multiplicatis erit numerus permutationum quaesitus, ut in A&B patet. Nam si dentur duae tantum litera: b , possunt bis permutari si quaelibet semel primum locum, vel secundum occupet, ut bs. Si dentur

. 1 tre .

137쪽

i 18 DE PROGREss. GEOMETRICI stres a, b permutari possent sexies . Quae- βlibet enim occupare potest semel unum lo- cum, & reliquae duae, ut modo dictum est, β βhis permutari. Nam cum c tenet ultimum , 3 ζIocum , possunt duae reliquae a, b, mutari his, . . ' μac proinde habentur duo diversi ordines bae. Rursius b occupante ultimum locum , aQ permutari possunt bis duae , c; & sic duo novi exu

gunt ordines acb, cab. Denique si a teneat ultimum locum , reliquae duaec, b bis i permutari valent, unde rursus alii duo habentur ordines bea, eba. En simul omnes trium literarum G, b, c permutationes. abe, ac b, bca bac, ea b, cisa 4 Eodem discursu ostenditur literas quatuor c, d, permutationes aq admittere; literas quinque a, b d , e , permutationes Illo &c. COROLL. I. Hinc patet celebre illud carmen in honorem B. M. V.

Di tibi sunt Virgo doler, quot Bdera Cario.

octo verbis constans, subire posse permutationes Αοῖ sto. CORO L. II. Hinc quoque habentur omnia dati hominis A nagrammata, seu quot modis, Variato ordine, disponi possint alicujus vocabuli literat, ut Roma; cujus anagrammata sunt Amor, Mors , Maro , Ramo , --

Sctio L. mod F in dato morabulo duae sint literaedem, ut in voce Paulus , in qua bis reper/tur u 3 ρermu tationum numerui, ut supra, iuventas dividarur per na

138쪽

CAp. VI. PROP. X, II9merum permutationum, quas subire possisnt uterae, furer similes , quotus dabit numerum permutationum fumsitam. Sic erumdem potis literae, seu Paulas, subirenι permutationes 7ao et duae fiant uterae similes, ρώπ a mittunt permutationes a ; dividatur itaque 7ao scr a , quatur 36o das permutationum numerum ..

Proponuntur aliqua Permutationum probismata . I. Unt Convictores Ia, qui communi mensa utunia tur, & quotidie singuli accumbendi iocum variant , 'quaeritur , quot annis abselvetur isthare locorum

permutatio . . . .

Ductis invicem Ia progressionis naturalis Arithmet, eae numeris r , a, 3 &c. invenietur per Prop. praes. pe mutationes 479,oor , 6oo , quas si dividas oer dies 365

habebis annorum summam. - - Il ι

α. Facta literarum: alphabet I permutatione , quae' ritur, quot annorum millia necessaria erunt 'ad omnes ejusmodi permutationei scribendas , etiamsi mille seriptores existant , qui quotidie paginas 4o scribant. Inveniatur per permutationum summa ex literis 24 , quae ex Taequet est 62o,qq8, 403, 733, 239, q*9,3-ooo. Duc qO in ι o , productum qo, ocio dat numerum paginarum singulis diebus rit dum. Duc deinde Ao,ooo in dies de per productum rq ,6oo , ooo divide praedictam permutationum summam, quotus dabit numerum annorum quaesitum. S. Ex

139쪽

iao DE PRO REss. ARITHMETICis . . 3. Ex doctrina B. Alberti Magni de Angelorum nucmero, Angelorum ordines, . seu chori int 9 e quilibet thorus continet legiones , de legio quaelibet Ancgelos 6666, proinde omnium Angelorum numerus est 399,9aO, 4; quaeritur quot fieri possint Angelorum permutationes , seu quot modis ordinem inter se variare valeant. In hoc tam infinitae multitudinis numero

percipiesIdo , imbecilla mens bpminuin deficit.

29 iis trisis numeris Arithmetice proportionalitur , tres numeros Harmoaice proportio,ale i

L Ucatur primus Arithmetice proportionalis da I tus in seeundum , produistum erit primus pro portionalis Harmonice. Ia. Ducatur idem primus Arithmetice proportionalis in tertium, proveniet secundus Harmonicus . 3. Denique secundus Arithmeticus in tertium duisitus tertium Harmonicum produceti Sila exemplum. Proportio Arithmetica a , 3, 6, efficit Harmonicam , 8 , I a. Similiter proportio Arithmetica . δ , 7 , efficit Harmonicam . . ,.. 33 s 77

140쪽

CAP. VI. PROP. XII. Ia I

Datis duobus numeris tertium Harmonice proportionalem invenire. DU C primum numerum datum in seeundum , dc productum divide per duplum primi minutum secundo, hoc est per differentiam dupli primi a secundo, quotus erit tertius harmonice proportionalis. Dati sint 3 & 4 , quaeritur tertius in eadem ratione harmonica . Duc 3 x Α, ct productum ia divide per6--Α, hoc est per a , quotus 6 dat numerum quaesitum. Similiter dati sint 6 & 8 , quaeritur tertius harmonicus . Duc 5 x 8, & productum 48 divide per I 2-8, seu Α, quotus ra est tertius barmonice proportionalis , ut patet ex dictis.

Si numerus drius dimidatur per numeros Arithmetici proportionales, quotientes erunt in Harmonica proportione. DAtus sit numerus ex. gr. . , qui dividatur per numeros Arithmetice proportionales i ,3 , I , η, Δ ,ο, erunt quoti 6O , 3O, et O , is , 12, IO: quos esse in proportione harmonica manifestum est . Nam