Institutiones arithmeticae cum appendice de natura, atque usu logarithmorum auctore Paulino a S. Josepho Lucensi ..

91쪽

a DE R Lis ARITHMETICI sergo erit quaesto in terminis homogeneis fle :'s unetae 63 veneunt inbus q3o, quid unciae i iScito L. II. Cum integris adhaerent fracti , Arius integri reducuntur ad fractos: integris autem, quibus nulla es fractis , supponitur unitas; deinde regula proportionum sit . bi dictum es. Si dicatur , hora i ἱ fluunt ex aliquo ea ali librae a 3 squc, quot librae fluent horis s et turmini proportionales redacti erant z, m , , . Tum operando juxta praecepta tradita in Propos io, ct tr.

Cap. , inPenter aqua librar 26 . Demonstr. clare insertur ex lemm. M 3. Nam cum in regula proporti'num supponantur dati tres numeri

proportionales, & quartus, qui est ignotus, dari pos-iit; factum ex secundo, dc tertio aequale erit sper lem. r.)facto ex primo, & quarto, qui est ignotus. Proinde si factum ex secundo, & tertio dividatur per primum, innotescet quartus terminus per lem. 3.); ergo patet ratio , cur ex tradita regula multiplicari debeat tera ius per secundum terminum , & factum dividi per

primum. Examen regulae proportionum. omnium expeditissimum habetur multiplicando primum terminum per quartum, & secundum per tertium. Nam si producta sint aequalia, res bene processit. Ratio patet exlem. I.

92쪽

CAP. U. PROP. II.

proportion m Composia . R. Egula proportionum Composita talaitur , cum

praeter tres terminos in Pro f. praec. explicatos, alii quoque minqs principales acceduox, qui significant tempus, lucrum , damnum M. qui cum terminis prin- ipalibus per multiplicationem componuntur, ut fiant E enapla rona declarabunt. . ii Iuveneis. contubernales expenderunt diebus io- aureos Io , quaeritur quot aureos solvere debeant iuve. nes lx dietas 3 o Z Tres principales. sermini. sunt juve

a. Lib rae acio alicujus mercis transvegiae Roinam per milliaria. goo p unt scuta Ao A quaeritur Oxpensata pro transvehendis libris. oo ejusdem, niercis per milliaria I Z Tres termini principatus :sunt librae 2oo,scura qq. ,. S librae , ψ .. Minus irincipales millia-:xi 83oo, & Ioo: qui si mitiplicentur per mos termi

93쪽

.76 REGULIS PAR THMETicis nos principales, fient tres termini pro regula trium instituenda, nimirum 6OO OO.qo :: a OO OOP. IS

SCHOL. I. Regula proportionum composita es regula Amplex proportionum repetua; unde etiam regula Dupliaeuitur , quIa duplicem quaesionem insoluu Proinde r Misi etiam potris in duas regulas sinplicet, in quarum altera ponuntur tres termini principaui dati , quaeriarur quartus propretionalis; in altera vero ponunt zr ei cumsantiae, seu termini minur principaler, iis quorum medio ponitur quartus proportionaos inventur. se in .

priori exemplo die , s librae goo exigunt Ruto G , quid librα ινοοῖ auartus proportisnatus es ut paret; Dic secundo Fe militaris sto dant Io 1 os milii ria Ioo r Invenitur quarto, proportionalis , ut fu-

SCHOL. me regula die tur etiam dei Cinque, quis terminoi quinque notot supponit . Examen sit ut

Regula proportionum Iarversa

IN repulis proporriobum turi simplici,' tum comp sita iam explicatis cita se habet primus terminus ad secundum , sicuti tertius ad quartum , ut exempla allata satis monstrant ; 'prothde ex ' Propos lib. S. I. ii primus ierinlinus in vel minor est tertio,

94쪽

CAp. V. PROP. III. 73 etiam secundus major, vel minor esse debet quarto, ut consideranti patet. Solet autem nonnunquam accidere ex ipse natura quaestionis, ut quanto maior, vel minor primus terminus est tertio , tanto major, veI minor reciproce esse debeas terminus quartus secundo. In hoc casu regula proportionum dicitur inversa, qui scilicet terminorum ordo invertitur . Haerent hicrones primo non bene dignoscentes, utra regula sit adhibenda. Sed quae sequuntur exempla, rem satis illu

I. Messores aci segetem aliquam metunt diebus , quaeritur quot diebus illam metere possies messores io ZPatet majori tempore , adeo ut quanto major est ternii pus primus tertis , tanto major quoque debeat esse quartus incognitus secundo. Nam ' . . 'i diei Mess. diei

. a. Ia obsessii Urbe ali possunt mi ites iso mensibus I, quaeritur quot milites ali poterunt mensibus 6 rCerte minorem numerum. Proinde quanto minor est primus imminus: tertio, tanto minor quartus erit se cundo, scilicet is 3. ι Soo z: 6 . 7IO.

Ex panno, quod habet latitudinem palmorum requiruntur mihi pro vestibus uInae Io, quaeritur quot ulnae re rantur ex alio panno, quod latitudinem habet palmorum 6. Certum est, pauctores requiri , adeo Κ a . que

95쪽

6 DE RE cu Lis ARi TAM E icisque quanto minor est primus terminus tertio , tanto mrnor erit quartus secundo nempe . . .

Laisan uis. Ialgal . uis. a . - . 7 et i Ad inveniendum autem in regula Proportionum inversa q4artum proportionalem , multiplicetur primus terminus per secundum , & productum dividatur per tertium. Siet in primo exemplo ductis. ox , produ elum Io dividatur per io, habetur quartus proportio

Demonstr. sequitur ex 2. & 3. tirem Nam m regula proportionis inversa cum se habeat primus' terminus ad tertium , ut reciproce quartus ad secundum, erit ex ι .umm. productum Ex primo S secundo aequale producto ex tertio & quarto. Producti autem , quod fit ex tertio & quarto, habetur unus ex iactoribus datus, numerus scilicet terti6 locci positus , ergo si per hunc dividatur productum aequale , quod fit ex primo Δ Ω-cundo, prodibit quartus proportionalis quae .

. Examen itaquei regulae inversae fit brevissime, multiplicando primum terminum in secundum , 8c testium in quartum. Nam si producta sint aequalia, res bene per

SCHOL. I. Arithmetiri, in quiburraequet assignant dignoscendae hujus retriae Anicium hujusmodi. Cum proponitur aliqua res quatuor terminis quaestionis, tunc proportio rei reciproca , seu inversa α, Me in primo , exemplo proponisur seget , metenda , quae es res omnino

96쪽

. O CAP. V. PROP. III. 7 disersa a quatuor terminis proportionalibus. Isseeundo exemplo pro onitur annona, quae es res mersa a quastior

terminis ejusdem quaesionis. Similiter in terito ves sconficienda, quae proponitur , es quid diversum a term nil in quaestione datis. Hoe dictum sit in gratiam Uronam. Currum ex ipse quaesionis natura facile judicari potest, utrum proportio directa sit, an inversa. - SCHOL.II. Si terminus, qui annexam habet quaesionem, moIur primo loco, secundo autem Deo ter,nus illi homogeneas, proponio inmorsa reducitur ad directam. Me in primo exempla messores io se habent ad messores ao , ut dier 4 ad dies 8, proinde ducendo 2o x 4, dioidendo productum So per primum terminum io, habetur quarius proportionalis, ut in Propos. i. hujus. dimiliter in δε- eundo exemplo mensa 6 ad menses 3 ita se habent, ut milites isoo ad militer 7SO, adeoque producto ex 3 x. IIota diviso per primum terminum 6, oritur quartus prosor

Donalis Io, ut antes. l l . . SCHOL. III. Regulam indemam eompositam ultro omiι- timus, quod oronei hau parum soleat confundere, erin rebus Geometricis, Pel etiam in hominum commercio

Explicantur nonnulla pro regulis proportionum

I. U M in regula directa primus terminus praecise , continet secundum, vel quod idem est) prin

97쪽

ν8 DE REGULIS ARITHMETICIS .cise continetur in secundo, tunc reduci potest proportio ad minimos terminos per Hop. a. cap. 3. , & regulae praxis brevissima evadit . Sit exemplum, lib. q. valent

scuta ia, quid librae 9ῖ Reduinis ηδ Ia ad minimos terminos a & 3 , dic si i dat 3, quid 9 dc ducendo I x9,

habetur quartus proportionalis 27, quia unitas non dividit. Pro regula inversa in I exemplo 3. Si messi res Eo exigunt dies Α, quid metares io ὶ Quia Io ad iose habere debet reciproce, ut quartus terminus ad se cuudum Α, reductis so& Io ad minimos terminos a & I,

die si a dat 4, quid i r ductisque ax , habetur quartus

proportionalis 8. . .

II. Ad evitandum divisionis prolixioris taedium, dividatur tertius terminus per primum , & quotus ducatur in secundum: vel dividatur secundus per primum, &.quotus ducatur in tertium; in utroque enim casu operatio fit brevior . Ut si leucae as dant milliaria Italica μ , quid leucae roo Z Divisis Ioo per a S, duc quotum 4 x 6o , erit aqO quartus proportionalis quaestus ..Uel divisis 6o per as , quotusar ducatur in I , promductum a V , seu 2M, erit quartus proportionalis quae

situs .

III. Regula proportionum confici potest per solam divisionem, nimirum dividendo primum terminum perseeundum, & dividendo per hunc quotum terminum tertium . Sic ex. gr. a gradus circuli maximi terrae continent milliaria Italica lao, gradus 36o quot milliaria continebunt. Divim primo termino per secundumina betur etri,hoc est per hunc divide 36 quotus au dat milliaria Italica quaesita . IV. Si

98쪽

CAP. V. PROP. IV. 79 IV. Si fractiones afficiant primum terminum tantum, ut si dicatur ia dant Α, quid ao Z Multiplicata per denominatorem a tam primum, quam tertium terminum, fient tres termini proportionales sine fractionibus a S, O ,εc s. Similiter si fractiones ejusdem nominis assiciant primum & tertium terminum, ut si dicatur 3 ε dant ao, quid ro ψ ὶ Multiplicatis iisdem duobus

terminis per denominatorem S, erit regula sine fractis,ae termini proportionales 37, ao, 33. Quibuscum regula de more peragitur. Horum ratio, perceptis sta- Aorum regulis, satis patet. ScHOL. Haee , aliaquesimilis eo exdis Hearitiaelica , vel quis ab Italis inventa , vel quia in Italia usum haberat frequentiorem. '

PROPOSITIO V.

- ' - - De Regula Societatis . -

REgula , quae docet modum dividendi numerum in

data proportione, vulgo dicitur Regula Societatis, quod 'apud homines mercaturae secietatem ineuntes frequenter adhiberi sole . - Ecce exempla . Mercatores C, societate inita, lucrati sunt aureos Soo. A posuit in sortem communem aureos Io , B aureos i6oc C vero as: quaeritur quantum quisque ex eo lucro debeat- accipere . Collige in unam sum mam singulorum pecuniam , nempe aureos IOO , Deinde instituatur toties regula proportionum, quot sunt singulorum pecuniae, ita ut primus terminus semper

99쪽

8o DE RECU Lls ARlTΗΜETICI sper statuatur summa pecuniae collatae, secundus lucrum aureor. 8OO, tertius vero uniuscujusque pecunia A, C Dic ergo si 5 dat 3 quid i o ο ξ 1 6 o quid i 6ot a S 6. . . . . quid asso 2 384 . . .

Patet lucrum A suisse aureorum I 6o, lucrum B a 36, S C 38q, qua; simul essiciunt summam lucri, adeoque

statim habetur regulae examen o l l l . .

II. Si pecunia unius diutius .suerit in negotiatione, quam pecunia alterius , tunc uniuscujusque pMqnivimultiplicari debet per suum tempus. Cetera peragenda , ut supra.dit e mplum. A posuit in Zrtem communem aureos Io annis a , B aureos Ioo annis 3 , C vero aureos am anno I. Lucrum fuit aureorum Soci et quaeritur singulorum lucrum. Duc So X a , IOO X 3 , S: aOo x I, produista dant summam 6oo, quae erunt primus termianus regulae proportionum: secundus. lucrum compaxatum aureorum Scio; tertius vero pecunia singulo uri per suum tempus multiplicata - - ..

100쪽

CAP. V. PROP. U. Si Est igitur lucrum ipsius A aureorum 832. Lucrum Naureorum 2IO, C vero aureorum I 66ε, quae additata faciunt aureorum summam SOO. III. Quod si singulorum pecunia aequalis fuit, tempus autem inaequale : nam A reliquit in societate pecuniam suam mensibus 7, B vero mensibus 6, C denique mensibus ia, lucrum autem extiterit aureorum imo; collige in unam mmmam menses , faciunt x I, eritque hic primus regulae ternunus, secundus erit lucrum , tertius menses singulorum. Tum adhibe ter regulam aurea Rν, invenies lucrum prim aureos 2SO, secundi asso, te

COROLL. Hinc apparet modus dividendi pecuniam, v. g. aureos IOOo in proportione data temporis , quo tres famuli domino suo servierunt , quorum primus ser viverit annis 7, secundus annis 6, tertius annis II. Aliae similes quaestiones ex hac regula facile solvuntur,quae non est, nisi regula proportionum saepe repetita, ut patet. Quod de luero dictum est, intelligi eodem modo debet de damno, si Qcietati improbre cesserit, ac dam num in singulos sit dividendum, habita ratione pecu'

niarum, & temporis . . . , . . .