Institutiones arithmeticae cum appendice de natura, atque usu logarithmorum auctore Paulino a S. Josepho Lucensi ..

141쪽

Iaa DE PROCREς s. GEOMETRI Cis Hinc patet haberi progressonem terminorum harmonice proportionalium. SCHOL. I. Harum Irium propostionum demonstrationes ad Anal sin speciosa in remittimus, unde facillime eruuntur , quae alioquin per Piam nIheticam sunt operos . SCHOL. II. Ratio autem cur tales numeri proportionem harmonicam, seu Muscam eonsituere dicantur, es nimirum quia consonantias Mus eas eonstituunt . Sic innumeris harmonice proportionalibus 3,q,6 inter 6 θ' Αes proportio se uialtera, constituens consonantiam, fax Diapente, 'u Quinta dieitur. Item inter 4 3 es proportio sesquitertia , consituens cassonantiam , quam Diatesseron , seu Quartam vocant. Denique inter ex-τremos 6'3 habetur proportio dupla, quae Diapasta, seu Octavam consonantiam incit. Sc Ao L. III. Datur etiam proportio Contr-harmonica , quc habetur, cum datis tribus terminis, d erentispr mi ,'seundi es ad disserentiam secundi,' tertit, ut tertius terminus ad primum. Sic 3 , I, 6 sunt numeri eonirharmonice proportionatis: nam a , dimerentia primi , e secundi termini, es adi, disserentiam seu di , ἐπ tertii , ut 6 ad Dem is, Io, 6 sunt contrha monice proportionales; nam Σ. Α:: 6. ix. I aee dicta sint in gratiam eorum, fui Musicam amant, aut infrumeniis Musiris sudent, ut hinc numerorum scientiam Mi

142쪽

APPEN DIXDe Logarithmis , eorumque natura . atque usu.

CU M triangulorum resolutio , quae per snus stangentes, & secantes habetur, absolvi debeat per regulam Proportionum , in qua multiplicatio, de divisio , ob numeros septem, vel octo characteribas constantes, multum laboris, & taedii importare solet ; hinc est , qtiod Ioannes Neperus Scotus, vir numquam satis laudandus, alios numeros pro sinibus, tangentibus, & secantibus excogitavit, & anno I.6ao promulgavit, quorum ope sola additio praestat omne id, quod praestare solebat multiplicatio, & Qbtractio idem efficit, quod divisio. Tales numeri vocantur Logarubmι, quorum naturam , proprietates , & usum bio brevissime explicamus. e . LEMMATA.L T N progressione Arithmetica quatuor terminorum L summa duorum extremorum aequatur mediorum summae. Sint quatuor termini dati I, 2, 3, 4 ; erit --r m 24-3. COROLL. I. Hinc ut habeatur quartus Arithmetice proportionalis, ex summa secundi , & tertii termini aufertur terminus primus, residuum dat quartum Arit- metice proportionalem quaesitum.

143쪽

aa4 APPEN DIXII. In progressione Arithmetica trium terminorum , summa duorum extremorum aequatur duplo termini medii. Dati sint a,S,8 , erit a Φ 8 m IO. COROLL. I. Hinc datis duobus terminis Arithmet ce proportionalibus , ut habeatur tertius , ex duplo secundi aufertur primus. Sic ι - 2 8. COROLL. II. Inter duos datos numeros medius Arithmetice proportionalis habetur, si accipiatur e

rum summae semissis. Sint dati a & 8, eorum summae semissis s est medius Arithmetice proportionalis , ut

patet. i

De natura Log-morum , eorumque inventione. LOE-mi sunt numeri Arithmetiee proportionales asjunisti, seu resipondentes numeris Geometrice. proportionalibus: vel sunt numeri, qui Arithmeticam, ubi ii , quorum isti sunt Log-mi, Geometricam. se vant proportionem . Ut si concipiatur series quaecunque numerorum Geometrice proportionalium , ut in , cui respondeat alia series numerorum Arithmetice proportionalium B, vel C, vel D, qui crescant ut iudi C, vel decrescant, ut in D ; omnes hi numeri D dicuntur Log-mi numerorum in existentium.

144쪽

Quamvis autem Log-morum species possit assumi ad libitum, ut diximus, praestantistima tamen , de commodissima .est tua, quae cyphram , seu O ponit pro Log-mo unitatis , dc unitatem cum aliquibus cyphris, nempe oeto, vel septem pio Log-moe numeri denarii ', .ut .vides ire M M Adduntur numeris in progresssione Afithmetiea procedentibus , seu Lo mis is Iae cyphrae, tui Log-mi magis exam: habeantur, ut dis itur in Trigo- .hometria de sinu toto rhs ectu sinuum , itangentium, scsecantiu , utque calaulus facilior evi ar .i COROLL. l. Ex eo quod Lbg-mus unitatis sit o, sequitur Log mum numere, qui .sit minor unitate , ni sunt fractiones , minotem esse quam o, qar proinde dicitur Lo musis resin i&desigilatur nota l 6 QOκULLO D. 'Oniues g-msi numerorum ab I ad ictre, erudite hinent a pro prima ἀfa : qui sune linter νο ,& too habent pes primo numero i ; qui veroe sunt in

145쪽

i 16 I. APPENDrx iter ioo , & Iooo habent pro primo termino numerum a , qui inter imo, & Ibooo habent 3 pro primo termino,& sic deinceps. Hi numeri initiales .i, a ,3 ,q, I &c. dicuntur character ita, si ve indieatisi: lnam i indicant quot fguris constat numerus abitu tus , cujuslest Lodimus, & puncto ab aliis separantur. i COROLL. III. Characteristica semper unita a minor est numero. figurarum o umeri abioluti. Hinc dato qu vis numero ab Q luto v. g. 8aOSO quinque figurarum, statim intelligitur ejus Log-mo deberi η pro characteristica, ct sic de aliis . . t i i i l :

L Log-mus unitatis fit o , erit Let mus facti

aequatis aggregato ex Log-mis factorum.

. TU . . . i

SIt factum ΣΑ, cujus factores siunt q&q, erunt qua

tuor termini Geometrice proportionales, ex Desim multipocas. , I. q. ζ: 6. a 4 , eorumque LAE-mi erunt in proportione Arithmetica, ex Propomi r . Sed Log mi extremorum I, 24, a quantur Log mis 6, 6,porum.in Log-mus autem unitatis ex hypothesi est o ; ergo si Log-mus unitatis sit o, Log mus saeti aequatur summae ex Log-mis effcientium 4, α 6 . Quod erat dcc. , COROLL. I. Hinc sequitur. , Log--im numeri compositi

plani, seu fhlidi aeq iem esse aggregaνo ex Log-mis terum tale planum, vel solidum efficientium. Sic mg-mus 7 a aequatur sumnaae Log-m'rum 3 & 2 aut 1s aut 8 dc 9 , vel 3 , ψ & 6 , vel etianua , a & is, ex quibus omnibus consurgit numerus 72

146쪽

DE LOCA RiTHMis PROP. II. ta ICOROLL. II. Sequitur etiam, Log mum numeri quadrati duplum esse Log-mi ejus radicis, & LOg-mum cuis hi triplum Log-mi suae radicis: nam factores quadrati, 8c cubi sunt idem numeruς bis, vel ter sumptus.. COROLL. III. Si Log-mum dignitatis cujuscunquΘx , dividas per exponentem talis dignitatis, nempe per a , vel 3 , vel 4 Sc. habebis Log-mum radi eis ejusden, dignitatis . Contra si Log-mum datae radicis multiplices per exponentem alicujus dignitatis ha-hebis Log-mum ejusdem dignitatis . Sit 8 , ejusque Log-mus ex tabulis o.9OῖO9Oo: divide per exponentem 3 buac Log-mum, quotus O. IOIO3OO erit Log-mus respondens radici a ; si vero Log-mum O.ῖοιοῖο multiplices per exponentem 3,habebis. O.9OῖO9OO LODmum dignitatis , seu cubi 8.

Si Log-mus unitatis eu o , disserentia Log morum

duorum numerorum aequatur Log-mo quati.

xundem numerorum.

moruin sit λ6oao6 , dico hanc esse Log-muir qu0ti eorumdem, nempe q. Nam cum sit divisior ad dividendum , ex De . di is , ut uni.as ad quotum, erunt quatuor termini Geometrice proportionales 6. aq zz I. eorumque Lόν mi iii proportione Arithmetica; ergo , 'per lamin. i. hajor , Log mi numerorum 24, & I aequiun

147쪽

118 APPEN DIXtur Log-mis extremorum 4 & 6 ; sed ex hypothesi Log-mus unitatis est o , ergo si ex Log-mo numeri a auseratur Log-mus divisoris 6 , Log-mus residuus, seu differentia Log-morum a 4 erit aequalis Log-mo quoti, nempe D.6oaO6OO, qui respondet numero A , nempe quoto. Quod &c. . COROLL. Hinc habetur, summam Log-morum divisoris, & quoti aequalem esse Log-mo dividendi.

eu sicunque Log-mum in venire. IN veniendus sit Log-mus numeri 7. Statuatur pro

inveniatur medius propor. tionalis Geometricus C, per Prop. II. Cap. S. Arithm. erit hic minor numero septenario, qui etiam intelligi debet auctus tot in phris , quot aucta fuit unitas , nempe sex . Inveniatur ergo inter C mi

norem

148쪽

DE LOGARiTHMls PROP. IV. Iaunorem, & B majorem alius Geometrice proportionalis D, ,er Propos etc., qui pariter cum sit minor, quam 7. OOOO- , poterit, inter

proxime minorem D inveniatur medius Geometrice

proportionalis qui mi- 'nor est ipso E; proinde in- iter. F 8c E inveniri potest medius G, qui adhuc minor

est ipso E. Atque eadem ram .itione inquirendo inter proxime. majπem, & Proxime . minorem , inveniuntur medii Geometrice proportio- nates Ν dcc.ὰonec tandem occurrat me.

dius proportionalis Z Σα, V. OOC O , qui nullo pe- 'irdis excessis,' vel desectui differt ab ipso numero se

149쪽

i3o APPENDIA inventus fuit medius Geometrice proportionalis C, sic inter eorum Log-mos inveniatur medius Arithmetice proportionalis, per Co- .

ο. IO OO . Erit hic Log-us ipsius numeri C Eodem modo reperiri debent omnes alii Log-mi mediisGeometrice proportionalibus D, E, F, G &c. respondentes: quo facto habebis Log-mum numeri dati 7 , nimirum o. 84IO98 COROLL. Hac methodo inveniuntur Log-mi num rorum primorum 2,,S, 7, i 9 &c. Suppetunt tamen modi, quibus tantus labor imminuitur, Nam invento Log mo numeri v.g.s, si hunc dividas, semissis dat Log-mum numeri 3, per Coroll. a & 3. Propos a. hujus. Item invento LOPO numeri 6, habetur Log-us numeri a , nam si dividas 6 per 3, quotus est a 3 subtra

150쪽

DE LOCARITHMIs Pa. Ost. IV. IIIa Logm numeri is, residuum dat Log-um quoti 2,per Pro-ρω.3. h M. Paritar subtrahendo Log-una numeri a modo inventum a Log-o numeri io , habetur Log-us quo-ti I, per Prop. cit., & sic proportionaliter de aliis. COROLL. Inventis Loymis numerorum primorum , facile habentur Log-mi numerorum compositorum .

Nam ii distrum binarii duples, triples , quadruples M. habebis Log,mos totius seriei E, , 8, i 6 , 3 a Sc. si idem facias cum Log-mo ternarii, habebis seriem Log- morum pro numeris 3 , 9, 27, ει, a 3 dcc. Immo cum

.omnis Immerus compositus oriatur ex multiplicatione numerorum primorum, quorum Log-mi supponuntur

iam cognitii, si addas eorum Osemos, habebis Log-os omnium numerorum compositorum, per Prop. h. hujuι. Hinc omnes numeri in ratione decupla eundem habent Log-um, praeter charai heristicam, ut vides in A&B.

has, seu absolutis ab I inque Maoooo , a 9o O usque ad romooprimm eonstruxitHenrisus BriggiusAnglus .in Aeademia Oxoniensi ex eoninis Io: Neperi ρrimi horum Inventoris . Laeunam Inter homo o ἐπ 9 oo mox imple- ou Adrianas inae . In tabellit ismen vulgaribus habetur ramum canon Log morum pro numerii. ab I inque