장음표시 사용
181쪽
s. Si diameter circuli quinquangulo circumscripti in rationalis, es is rationati adlatus insicripti quinquanguli. e IIpI3.
Sic antea si gmenta iectae proportionaliter sectae irrationalia fuerunti Reliqua deinde triangulata multiplicata a laterum ternario, quaternario, quinario possunt inscribi circulo per inscriptum triangulum,quadratum,quinquangulum. Itaque per triangulum inscribetur triangulatum angulorum 6.ra. 24. 63: per quadratum inscribetur triangulatum angulorum 8. a G. 3 3, 64: per quinquam gulum inscribetur triangulatum angulorum io .ao. 4 o. o. 5 sic deinceps.
6. Odius circuli est latus inscript ex anguli e IJ8 4.
Sexangulum inscribitur per triangulum aequi laterum inscriptum bisectis trihus angulis, sed brevius inscribitur per radium sexies deinde inscriptum : ut in dato circulo lit diametera ri A centro e radio te dosci ibatur peripheria uio, & a punctis o&ulint dia, metri odi Scu Aliae connexae A inter se S cum diametro de inscribent sexangulum aequilaterum dato circulo lateris radio aequalis: ut eu aequatur ipsi ut, quia am. hae aequantur eidem te perci 7 e 4. Itaque eiu est ae qui laterum triangulum,&tarii: tereio squilaterum, angulique in centro sunt a recti, ideoque aequales, εἰ peric Ses angulus fio est; duoru reclarum,& per 2 c 3 e s ansuli ad Verticem item aequales. Quare lex sunt aequales, ta ob i d per G e i 6 S is e is bases om nes aequales, εἰ inter se, ut Iam patuit, radio dati circuli. Inscriptum est igitur sexangulum e radio circu. ii aequi laterum,Spera e i 7 aequiangulum. Ita re r. sexangula tria ordinata complent locum. Ut hic. Sex enim triangula sunt aequi latera resolutis sexangulis in sex triana gula, vel quia quilibet angulus ordinati sexanguli valet rectu in & l . Itaque triplex angulus sexan/guli valet-; recti id est quatuor rectos. Praeterea Ve/ro nulla e planis figura compIet Iocum. uinquan gulum non complet : Triplex enim ejus angulus saceret tantum rectos r quadruplex faceret 6 , . quod amplius Sc majus est. Sept anguli angulus duaplex saceret tantum rectos et ' : triplex 3 , id est 4 , quod plus est, ct sic deinceps inducenti constabit tithus tantum planis ordinatis compleri planum Io, cum. Ur. si rectae ab uno inscripti stranguli angulo in tertiam utrinque anulum conmessantur, tuis scribent triangulam esuilaterum dato circulo. Tani ut hie, na lup .
182쪽
subtensa P caeripheriis ae qualibus. I. taque peris
per tale tri/angulum hinctis angulis sexangulum inscribitur.
7. Latus inscripti trianguli aequilateripotest triplum circularis radii.
ut hic trianguli dei uno latere ae duae tertiae semiperiphetiae occupantur: NIuno latere occupatur una tertia totius periphetiaeeu, iadeo est tertia reliqua, id est sexta totius peripheriae. Ita peu inscripta est radius per se. Jam diameter a ou per 7 ear potest quadruplum radii, id est ipsius eu de per is eis&seia quadruplum idem possunta e&eu: tolle eulatus de poterit triplum radii. Atque haec de sexangula figura, id est apum geometria. Apis enim cut ait Varro de re rustica lib. is cap is sex angulam cellam sibi architectatur, quot habet ipsa pedes, quod geometrae fieri in orbi rotundo ostendunt, ut plurimum loci includatur, quod idem Pappus &geometrice Se copiose demonstrat in prooemio quinti libri. Reliquis multangulis Neorum multiplis opus esset triangulo uitiusque ad basim anguli ad reliquum tripli in septangulo, quadrupli in non angulo,& sic dei hceps: in cujus inventione Veteres geometrae elaborarunt. Quidam inquit Proclus ad y p O ab Archimedis helicibus incitare in datam rationem datum angulum rectilineum secuerunt, quorum conliderationes iis qui instituuntur contem/platu difficiles, cum sint in praesentia omittimus. Haec ille. Geonae tricos autem conatus illos libuit curiosorum gratia in scholis proponere.
8. Si latus sexangulisecetur proportionaliter, majus segmentum erit lutus decanguli.
Pappus lib. s th. 24. &Camp. ad 3 p r . Secetur enima o radius seu latus sex anguli per 3 e i proportionalia ter,&stae aequalis majori segmeto. Dico ae latus esse docansuli : Nam si continuetur deinde toto radio in i tota a ei per c 3 em secabitur proportionaliter, R majus sesamentum ei erit ipse radius. Nam si recta lea secta est proportionaliter, estutia a die, id esto a nempe ad radium, sicis o ad a e. Itaque per iter triangularao &oce sunt dea quian
183쪽
GEOMETRI AE L I B. V VIII. I 2
quiangula, Nangulus do eaequatur angulo ola. At angulus uoe est quadru/plus anguli a oe: aequatur enim duobus intelioribus ad a se e per 2 c y e s aequalibus inter se per 3 cs es&perio e is,&ideo duplus est ipsius ii eo dupli pereandem caussam ipsius aio aequalis ipsi a oe. Itaque voe est quadruplus ipsius u o ei Itaque ae est quadrupla peripheriae e a. Ergo tota ue dest quin tu pla ipsius ea,to laque peripheria decupla. Ideoque subtensa est latus decanguli. itaque si deca gulam ersiexangulum inscribantur eidem circulo, rem e latere utriusque continuata secabitur proportiorialiter, Er malus segmentum erit latus sexanguli: er si mjus siegmentum re drae proportionaliter sectae est latus siexanguli, reliquum erit latus decanguli. 9 p φ. Comparatio sequitur decanguli Sc sexanguli cum quinquangulo.
D. Si decangulum exangulum, quinquangulum mscribantur eidem
circulo, latus quinquangulipotes latera reliquorum: oestreIlepotest later exanguli Gin decanguli es latus quinquanguli.IO p Ι3
Esto latus inscripti quinquan guliae, sexanguli e i, decangulido. Dico latusa e possie Gliqua. Sunto enim perpendiculares duae, prisma ι o. secunda i u hi secantes latera quinquanguli de de/canguli,&concursus secund .e perpendicularis cum la/tere quinquanguli sit 3. Demonstrationis syllogismus est
hic. Oblonga e latere quinquanguli Ac ejus iumentis
aequantur quadratis reliquorum laterum : sed quadruatum ex eodem toto latere aequatur oblongis e toto,& segmentis per 3 eis et aequatur igitur&quadratis reliquorulaterum. Demonstretur syllogismi propositio. Haec enim
pars sola dubia est. Duo igitur triangula aei 5edi ei sunt aequiangula communi angulo ade item aequalibus ea id e ιγ dimidii nempe ejusdem eis. quia ille est per Io e 6, alter duorum aequalium, quibus eis exterior aequatur a c y e 6: schic in dimidiam peripheriam insistit. Nam semiperipheriadis aequatur semiperiuPheriae ars, ite mal ipsi ar. Reliqua Igitur is, reliquaers,& tota ridupla est ipsi/usrs: Ideoque er dupla est ipsius e o: θcrs dupla ipsius o u. Nam hi segmenta patent per 7 e i s 5c 9 e is.ltaque petipheria ers dupla est peripheriae e o u, Sc ideo angulus eiu est anguli eis perseis dimidius: bini igitur anguli duorum tris angulorum aequan tur. Itaque reliquus per c 3 e 7 reliquo. Quare per 9 e 7, ut
latus ae a dei, sic ei a de . Itaque per cle ia oblongum extremarum aequatur quadrato mediae . Jam connectanturo , duo rursus triangula a o e Scao γ aequi angula sunt communi angulo ad a, itemque uo γ Scoea ideo aequalibus, quia ambo aequantur angulo ad a, ille per io e G, hic per a e 7 , quia perpendicula
ris bisecans latus decanguli facit duo triangula aequi ci pra Sc aequa recto angulo crurum ideoque aequiangula. Itaque ut ea a duo sic ea ad a . uare per A era oblongum extremarum aequatur qua di ato mediae, propositoque syllogis mi vera est, quod demonstrasse oportuit. Conversam huic manifestam usura pat Euclides is PI 3. r
184쪽
Io. Si triangulum quisuiuangulum inscribantur eidem ad id punctium, recta in scripta inter utriusque basim positam erit latus in ripti quindecanguli.I6
Latus enim trianguli subteri det ' to tius P xiphe Mae: duo
latera quinquanguli subtendent l, e quibus si tollas
Si quinqua gulam πρxsn 'ulam in cribruitur eidem circula ad ter utriusque latera erit pars t1 usim totius peripiariae. Ut hic: ita
quadrati, quinquanguli, sex. anguli, decan guli, quindeγcanguli insciiptio prompta erit latere uni eo, quod repetitum quoties opus est, peripheriam totam subtendat P. RAMI GEOMETRIAE L I B. π I π.degeodae a multanguli ordurari π circuli.
EX adscriptione circuli εἰ rectilinei geodaesia ducitur multanguloru or
natoria, atque imprimis ipsius circuli.Concursus enim hi secantiu duos angulos est centium circum scripti circuli, ab eoque ad angulum radius,tum msi quadr.itu me dimidio lateris tollatur e quadrato de radio, latus reliqui erit perpendiculatis per s e ia. Itaque speciale theorema hic ita instituitur.
I. Planus e perpendicularia centro tu latius, dimidio perimetri, Et
ut hic quadratu m e i o radio est io o,quadratum e s dimidio lateris tr est A quo in.
185쪽
qno illinc deducto reliquum cη est quadratum pera
pendi chi latis, curus latus s est ipsa perpendicularis, quaec a 4 dimidio perimetri planus est 2AO area quinquanguli. Demonstratio hic etiam est certae il/lius antecedentis caussae. Nam de quinque triangulis in quinquangulo planus e perpendiculari te dimisdio basis est unum,ut ante patuit, quintuplex igitur facit totum: Atqui illa multiplicatio est perpendicu/laris per semiperimetrum. In sexangulo ordinato etiam radius per 4 e is notus est e latere sexanguli. Ut hic quadratum e radio G 5c 3s, quadratum e s dimidio lateris ei t ς, quo illinc subducto reliquum est 2 quadratum perpendicularis: latus est suin perpendicularis ipsa ex qua Se is tami perimetro planus est y;- area sexanguli. Denim in onan ibus multangulis ordinatas theorema satrs faciet. Atque haec geodaesia est multanguli ex ad se mrtione, unde etiam est dimensio circuli, rex γquadratura circuli vulgo dicitur. rargumentum geometris omnium fere aetatum pro potituta, in quo stase exercerent. Bryso, Antipho, Euclides, Archime des, Apollonius, Porus, atque e recentioribus Bo/e Uus,Campanus, Cusanus, Regio montanus, Orontius hic elaboravere. Quia dam etiam πιπιαγωνισμυ impossibilem credidere. Quaestionis nodus est in ratione diametri Sc peripheriae.
a. Peripheria es tripla diametri feres quiseptima.
Haec ratio ut apud Herone est Euclidi N antiquis geometris nota fuit. Godenim tripla sit, sex radii, id est tres diametri indicant, quibus peripheria per σοῖ est circumsci ipta,& ideo quia continens major, sed excessus non plane est sese qui septima. Deest enina unitas unius septimae, Rexcessus idem longe maior est quam sesquio clava . Itaque quia differentia vicinior erat sesqui septimae, assumpta est sesqui septima. Vero quippe propinquum pro ipso Vero. Demonstratio Archimedis Ualde operosa est: si quis tamen curiolius requirat, materiam exercendi inscnsi prorsus Archimedeam e scholis accipito. i. Pluitu i radio cir peripheriae dimidio est area circuli. Hic enim I radius edimidio diametri i multa plicans ar dimidi,um perii heriae facitis oblongum rita dia metro a uictu duo latera
186쪽
W32 P. RAMI oppossia, item in perimetro duo reliqua opposua rectanguli continentur. Ita
que binotuml dimidia duntaxat assumuntur,1 quibus . comprehenditur reuctangulum. Eta. II t i 4 ad ii,sic quadratum dimetri ad circulam. Hic enim treSproportionis termini dantur potestate: quartus multiplicatio/ne tertii per secundum se facti divisione per primum invenitur, ut hic quadratum e diametro 34 est i s. quo perii multiplicato factus 2 is a dividatur per Α, quotus erit is 4 pro quaesito circulo, quod e dimensis quadrato θά circulo Per analysin nascitur. Nam ratio i s adis est ratior adit, ut reductis teraminis apparet. Hic vero secun dus m ωσι Me Euclidis est apud Heronem,sed . Paulo secus propositus hoc modo. Si de quadrato diametri tollantur H, Telinquetur area circuli: ut si 1 6 quadratum dividatur per i ,quotus erit item 34, quae ter sumpta sunt qa, Ssublata de 19σ, relinquunt is 4 quadratum ara quale circulo. Quadra tura igitur Euclidis ista Archimede anciquior est, Sciuacundum sit ab antiquis geometris istam geod.esiam repetere,&tot Euclideis exemplis demonstrare geodaesiam geometrarum ingeniis nequaquam aliena esse: sed demonstratio rationis inventa ab Archimede laudem rationis etiam . archimedeam fecit. Ex eadem illa peripheriae εἰ diametri ratione nascitur di/ mensio circularium partium semicirculust storis,sectionis,majoris minoris. ει ι g. mn seradio r peripheris quadroue est arcasmicurculi. Ut hic viades:factus
enim a P ra dio multo plicate II quadrante
facit 7. Potest rusta dimensio fieri sumpto dimidio dimensi jam circui L. Et eq. Planea e radio ex basis dimidio est area sidoris. Hic tres sunt sectores ae ba
sis ra. pedum, e litem Izpediri
multiplica sper o factus Orit 3 o pro piimo lectore, quatus erit Sc secundus: multiplica item set ditur circulus 7 sp s. si tria
187쪽
, - si festantulum E duobus radiis tr basii majoris sictionis addatur duobm in e moribu , to
tum erit arrasictionis majoris: sim detrahatur μορctori reliquam erit area minoris. Adde ad sectores aeJce i triangulum, ut in eodem exemplo a oi pedum i 2, totus erit 7 a area majoris sectionis, tollatur idem de is 3 tertio sectore, σs reli/quum erit area minoris sectionis. Et s. circulas e planis isoperimetris iuequalibus e t maximus. Quippe qui sit ordinatissimus ec termina ultimuS, ut circulus a perimetria 4 est 'lgulo i. Atque omnino reliquis imperimetris rectilineis. Qua de re lubet auintiliani locum io cap. i libadversus ψ δυκxpira adjungere, ut pudeat rhetori geometriae usum tam elegantem notum esse, qui plerisque summis hominum opinione philosophis plane sit ignotus. Quis aio non ita proponenti credat Quorum locorum extremae lineae eadem mensuram colligunt, eorum spatium quoque, quod his lineis continetur, par sit necesse est c At id falsum est. Nam plurimum refert,culus sit formae ille circuitu Areprehensique 1 Geometris sunt historici, qui magnitudines insularum satis significati navigationis ambitu crediderunt. Nam ut quaecun forma perfectissima, ita capacissima est: Ideoque illa circumcurrens linea si efficiet orbem, quae forma est in planis maxime perfecta, amplius spatium complectetur, quam si quadratum paribus oris etificiat. Rursus quadrata triangulis, triangula ipsa plus aequis lateribus quam inaequalibus. Sed alia forsitan obscuriora, nos facillimum etiam imperitis soquamur experimentum. Jugeri mensuram, ducentos &quadraginta longitu/dinis pedes esse, dimidioque in latitudinem patere non fere quisquam est, qui ignoret: εἰ qui sit circuitus, Sc quantum campi claudat colligere expeditum. At centeni εἰ octogeni in quamque partem pedes, idem spatium extremitatrs, sed multo amplius clausaequatuor lineis areae faciunt. Id si computare quem piget,brevioribus numeris idem discat: Nam deni in quadram pedes, quadraginta per oram, intra centum erunt. At si quindens per latera, quini in fronte
sint: exilio quod amplectuntur, quartam deducent eodem circumductu . Si vero porrecti utrinque undeviceni fingulis distent non plurex intus quadra. tos hahebunt, quam per quot longitudo ducetum quae circumibit autem linea, ejusdem spatii erit cujus ea quae centum continet. Ita quidquid formae quadraoti detraxeris, amplitudini quoque peribit. Ergo etiam id fieri potest, ut maio/re circuitu minor loci amplitudo claudatur. Hoc in planis. Nam in collibus majorrectili
188쪽
x34 P. RAMI vallibusque etiam imperito patet plus soli esse quam cali: zxempla rem sub la
GAbum est superficies quae inaequaliter intra μιos tenninos intero
Superficies plana adhuc amplissime proposita est, ex cujus contrario gibba possit intelligi: atque ut antea planum pro superlicie plana, sic modo gibbum pro superi te gibba dicaturmee tamen gibbum quodlibet modo definitur,sed quod stetum plano basi parallelo faciat communi laetione petiphetiam. Id si lubet regulare nominetur. 2. Gibγ
189쪽
α. Gibbum est sphaericum aut marium.
Partitio respondet partitioni lineae in peripheriam Sc h licem.
3. Sphaericum est gibbum aequi istans ά centro comprehensulatii.
Sic antea peripheria definita est. nomina tur autem sphaericu risphaera inopia Verbi, cum sphaera potius ti sua superscie nomi/nari debuerit, ut pla num corpus a plana superficie dicetur, quae nominis hyste/rologia erit in superficie conica 5c cylindracea. Itaq-nt conversiones meripheriae manente dumtt .e rq d 13.
tium inter periphetiam Sc diametrum inane cogites . Ato ut recto motu lineae rectae effi/citur planum,
sic motu peri pheriae essiciatur sphaer:cum: Atque ut locis omnibus recta in pIano, sic periphetia in sphirico duci potest.
Quae de rectis in circulo praecipiuntur, eadem fere huc reseruntur.& quidem circulorum sphaerae inscriptorum nomine, qui cum sphaera in plano considerantur, lineis etiam adumbrantur, ε tamen cui circuli in sphaera consideran/tur, peripheriae revera sunt in sphaerico. S gitur Euclides i p is postulat maximum sph rrae circulum esse,qu. i. ans P entrum, id est qui sphaeram bisocat. Maxima itaque peripherias natricii pondet dianaetro circuli. Itaque Peripheria propior maxime est major re ης f. is, crutrinque aequidsuntes a maxima duasi si lis.
190쪽
s. Planus e maximaperipheria Ο m diametro estsphaericum.
Geodaesia sphaericidc sphaericorum segmentorum analogia quadam respon/det geodaeliae circul ri. Sic igitur planus sphaerici e diametror le peripheria 44 est sphaericum GIG. Sic antea circuli area est dimensa per recta guluc tum dimidio diametri, tum petia phetiae. Hic Vero Pcr totam S diametrum Speripheriam efficitur rectangulum prioris quadruplupro mensura sphaerici, quia per i e is plana similia qualia hic cogitantur e dimidio 8c diametri A peripheriae,eque tota 5 diametro dc periphecia, sunt in doplicata ratione'homologorum laterum. itaque r. Planus e maximo circulo π 4 disphaericum. Consediatium patet ex elemento proximo. Archimedes de sphaera demonis strat, sed praepostere e conis sphaericum aequari quatuor maximis circulis. Et a. tit 7 adaascqradratum diametri ad phaericum. Nam Se 22 duo sunt termini minimi in ratione diametri ad periphetiam: in circulo autem ut 14 ad H,sic quadratum diametri ad circulum. Analogia respG det quia hic multiplicas per duplum, di dividis perdimidium: Illic contra multiplicas per dimidium, dividas pe. duplum . Itaque illic circulus simpleκ efficitur. hic quadruplus. Haec igitur . ἰogia est circuli ec sphaerici, ex qua elisam est hemisphaericum, sectio ma or, minor. Et a. Pluiuol maxima peripheria π radio est hem phericum. ut hic erit 3os.
6. Si quota pars est radii perpendicularis a centro ad basim sectionuma oris, tanta augeatur hemisphaericum,totum eriti harici majorse iis: