장음표시 사용
411쪽
Ora Raetio Diophanti subtilis est, quam ipse eompendiose persequitur. Nos autem Domnia fiant dilucida, eam fusius explicabimus. Data circumferentia trianguli Ia Warea 7 constat prodi ictum ex lateribus circa rectum essest . sit ergo alterum latus I . . alterum . . ut eorum mutuo ductu fiat Iq. vltoque igitur de summa laterum a detracto, relinquitur hypotenus I a Q. - N. Quare ut triangulum exhibeatur in rationalibus, oportet huius quadratum, aequari quadratis reliquorum laterum simul iuni tis. Vt autem habeamus quadratum de Ia -nu -- . sumemus quadratos partium δε quod fit bis ecqualibet parte in quamlibet ex aliis, per primam secundiporismatum, fietque totus quadratus -- is α- 72 et . - 336'. aequalis quadratis laterum circa rectum, puta sera 95 Quare tandem Ira. aequatur 4 -- 336 N. mducendo omnia in x N. fiunt a LN aequales 336 in Quae est tertia compositarunt. Quamobrem operando more Diophanti, ut docuimus ad trigesimam tertiam primi, oportet ducere unitates in quadratos, hoc
est et . in 336.& productum Do . auferre a quadrato numeri 86. qui est semissis numeri Numerorum IIa hoc est a 7396. Quod fiet nequit, quia I96. minor est, quam M64. Haec igitur aequatio est impossibilis. Itaque inspiciendum est unde prouenerint i a N. itemque a . 436 Q. Qii ossi consideres
qua ratione sumptus sit quadratus de Ia - - I m. facile omnia consequeris. Nam I72 fit adi quadratum de Ia addendo 28 duplum ipsius 4. Quare cum i sit duplum areae 7 ac proinde aia eiusdem quadruplum. Rectὰ dixit Diophantus ira numerum Numerorum , componi ex quadrato circumserentiae, ex quadruplo areae Atia est duplum, circumserentiae. Ia. 436. est numerus quis ibis ex ra. in τε hoc est ex duplo ipsius ra. in I . Atqui est duplum areae is quod fit ex duplo
unius numeri in duplum alterius, idem est atque id quod fit ex quadruplo unius in alterum. Igiturn fit ex quadruplo ircumserentiae a. in aream . Constat ergo unitates a . esse duplum circumferentiae. iiii merum quadratorum 336 esse productum ex quadruplo circumferentiae in aream. Proinde ducere unitates in quadratos, idem est ae ducere duplum circumferentiae in quadruplum ipsius circumserentiae, procluctum in aream. At ex duplo alicuius numeri, in quadruplum iusidem, tocstuplum quadrati ipsius numeri. Recte igitur infert Diophantus numerum qui fit ex quadratis in unitates, produci ex octuplo quadrati circumferentiae in aream. Corrigenda igitur est prima operatio,in tales ponendi numeri areae& circumferentiae, ut a quadrato semissis compositi, e quadrato eircumferentiae, ex quadruplo areae, auferendo octu plum producti ex quadrato circumferentiae in aream, supersit quadratus Ideirco ponit aream Diophantusam circumserentiam numerum cubum , ut M. quia id requirit lex problematis , quem vult praeterea esse quadratum , ob eausam quam infra explicabimus. Est ergo ipsius 64 quadratus Aos6. eui addendo quadruplum areae fit o96 euius semissi scio 8 am euius quadratus est
phanti io 8 I - 614 aequandus quadrato. Quoniam vero requiritur, ut mei reum- serentia adsumens aream, faciat quadratum, oportet etiam I N. - aequar quadrat Quare in duplicatam incidimus aequalitatem. Quae ut retolui possit, imitando artificium decimae octauae tertii. exaequandae prius sunt unitates, ut tangit Diophantus. Quod quidem facile praestari potest, quia uterque oos 6. ω . quadratus est, unde patet cur 6 . voluerit esse quadratum, nam aliter non posset ad quadratum Io 76. habere rationem quadrati ad quadratum. Necessario autem Io 8y76. quadratus reperitur, quia quadrans est quadrati derio 8 ut ex construetione manifestum est. Itaque quoniam denominator rationis 64 ad io 8s76 est quadratus 638 . ducto hoe quadratolii N. . in . fiet hine 638 N. Io 76 aequandus quadrato Inde ut prius in Io 176. - 6i N. aequandus quoi tu quadrato. Quia vero uterque quadratorum, nitatum numerus
quadratus est, duplici via resolui potest dupli eat aequalitas. Primo enim respiciendo ad c uino interuallum Numerorum quadrato aequandorum, quod est 22N N. Linquod mutuo ductu eonficiunt et sag a N. 4 hi soli apti sunt aequationi resoluendae, ut constat ex iis quae passim libro tertio docuimus, ut scilicet in semisse interualli eorum reperiaturam latus morum summa est ars28 euius semissis quadratus 2687 696 aequatur 638 N. Io 8176. unde fit I N. 76M.
numerus scilicet areae, cum cireumferentia sit 64. sed omnino impossibile est triangulum eonstituere euius area sit 76go circumferentia 64. Quia ex64 fieri nequeunt tres partes , quarum duae
inuicem ductae efficiant is36o duplum scilicet areae, cum σε neque in duas partes diuidi possit
412쪽
quae id praestent siquidem quadratus semissis ipsius . puta io 14 maior est producto multiplicationis duarum quarumlibet inaequalium partium, in quas secari possit 6 . per quintam lecundi Euclidis. Quod si primam operationem repetendo quaeras triangulum cuius area 768o circumse Icntiao inuenies lane a quadrato semissis compositi e quadrato circumferentiae 6 ex quadrupi areae 76, . non posse subduci octo pilum producti ex quadrat circumferentiae in aream Denique si per valorem Numeri 6So. resoluas primas hypostases, inuenies hypotenusam long minorem nihilo i cum unum laterum circa rectum, fiat multo tria ius tota cireu inferentia. Aliam igitur inire viam cogimur, qua respiciendo ad unitates, sum interuallum numerorum quadrato aequandorum I in a asa N. Tum quaero duos numeros, quorum mutuo diletu id fiat.ὶς tamen ut in semisse summae illorum , vel interualli, reperiantii unitates Ioa . quod est latus ipsius Io 8176. Sunt ergo huiusmodi numerita N. m. m. lao 8. Orum interuallum 2o48 Io et cuius semissis io24. -- LA . cuius quadratus Io4 76. - - N. - Q. aequatur 3 8176 i638 unde fit i N. 17s It Area scilicet quaesiti trianguli. Redeo ergo ad pro-l ositam initio quaestionem, & quarto triangulum, cuius ambitus sit 6 . area 7 Pono nuinaterum circa rectum alterum Iam fit hypotenus 64 N. - . cuius quadratum si facias aequalem quadratis laterum circa reetiim, fiunt tandem aequales -- Η Η 'N.&ducendo omnia in N. tum mars fiunt Io7oas N aequales 288oO. - oo92 qq rursus diuidendo omnia per i 28 ut in minimis exhibeantur , habes S tam aeqtiales etas in 788 8 LQuare fili N. M vel seu in minimis Q vel Et si per utrumlibet valorem umori te solvas hypostases fiunt utroque modo latera circa rectum is eis I et . Est ergo hypo ienus act.:': ambitus 6 . cui addendo aream, ut i s fit quadratus cuius latus Haec ad Oinnium pulcherrimi sit btilissimique problematis explicationem adnotasse sufficiat. Quoniam vero in his libris Diophantus diuersimode utitur duplicata aequalitate, non ab re me facturum arbitror, si omnes quos usurpat modos sigillatim recenseam num in locum liae sparsim a nobis adnotata sunt, collecta coniiciam , ut sic tota duplicatae aequalitatis doctrina disecentium animis firmius inhaereat. Nee solas Diopliant hypotheses arserenius, sed talias pictumque exhibebitnus , quibus varia huiusmodi aequationum symptomata declarentur, novamque insuper
quam excogitauimus aequationis rationem, quamque ad quadragesimam quintam quarti explicauim , alijs adiiciemus.
Vbi ηοη sufficiunt duplicata aqualitates eoδ λωσον, τε ,reeurrendum ad τρ ΠτMι σοντας seu triplicatas aqualitate qua es nostra inuenit adplurima problema ta pulcherrima prauiam facem praeferens. AEquenta videlicet quadraio oritur triplicata qualitas alas solutio per medium duplicara aqua
a N- litatis est in promptu. Si ponatur Leo m. numerus una cum quadra LN tum conficiens v g. Σ N. et primus numerorum aquandorum quadrato I N. - fecundus igitur eritis ' -- Α. terrιμ
su - 2o primus autem ex constructione es quadratus , ergo debent aquari quadrato a - V-- , α - - N oritur duplicata qualitas qua unicam certe exhibebit solationem , sed ea exhibita prodibit rursum noua, O secunda tertia deducetur se in infinitam. Euod opus ita procedet ut inuento τε lore i N. rursus ponaturo . esse IN numerus qui rimam ipsi I N. inuentus est aqualis Hac en ιm via infinita prioribus solutionibus stationes accedunt j rema semper derivabitur a proxime antecedenti. Huius inuentionis benefiυ infinita triangula eiusdem area tisamus exhibere, quod ipsam videtur latuisse Diophantum,
ut patet ex quaestione octaua lib. s. qua tria tantum triangula aqualis area in uestigat ut sequentem quaestionem noribus numeris construat qua ad inonitos exiisquae nos primi deteximus , recipit extensionem.
PRI, vs Monus vetendi duplicata aequalitate est, quando uterque numerus quadrato aequandus componitur ex Numeris & ex unitatibus , numerus Numerorum idem est utrobique. Et hic quatuor casus considerari possunt. Primus easus est, Mi uterque numerus Qvnitatum Mume rorum assicitur signo pluris, ut accidit duodecima seeundi, ubi aequandi erant quadratori N. - .&IN. - 2. Itemque decima quarta tertii ubi aequandi erant quadrato io N. - dolo N. -
Et hie iacilis est aeq-tionis ratio Narn inueniendi sunt duo quadrati, quorum idem sit interuallum
413쪽
atque ipsarum unitatum quae reperiuntur in numeris quadrato aequandis , hae tamen lege ut maior
quaesitorum quadratorum excedat maiorem unitatum numerum , minor quadratus excedat minorem unitatum numerum. Vt cum aequantur quadrato IN. - a. quorum interualhim I. quaeremus duos quadratos quorum interuallum fit I. ita ut maior quadratorum excedat . minor
exeedat et idcirco sumi non possunt B. neque sed sumpsit Diophantus' Si
militer ciun aequandi sunt quadrato ro . - Io N. - quorum interuallum εου. suini Diophantus quadratos I 6. - . quia I 6 excedit 6. excedit non potuerunt autem sumi I. 49 ob defectum conditionis adiectae. Secundus casus est, cum unitatum numeri amciuntur utrobique signo minoris , t aecidit decima quarta seeundi, ubi aequandi fuere quadrat, N. - σω N. - . mi ho eas absque ulla conditione sui scit inuenire duos quadrato , quorum interuallum aeque interuallum propositorum numerorum , ut in data hypothesi, quia interuallam est . duo quicunque quadrati unitate distantes , satisfacient proposito, sumpsit Diophantus sumere potulisset vel alios quoscumque quotaim interuallum sit unitas. Tettius casus est. Clim Numerorum numeri asseiuntur utrobique figno minoris, quod nusquam aceidit in Diophanto, sed nobis decimam tertiam seeundi per duplicatam aequalitatem mei tibiis,in hunc casum eotingit incidisse,aequantibus quadrato tum s am tum aD-am. Hic autem inii enitndi sunt duo quadrati eodem interuallo distantes,quo, propositi numeri ,ea tamen lege ut maior ip rum sit minor unitatibus maioris propositoru numerorum;minor autem fit minor unitatibus minoris. Vt in data hypothesi, quia propositorum numerorum interuallum est Ia Quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit n. ita tamen ut maior quaestorum quadratorum sit minor quam str. minor autem sit minor quam s. quales sumpsimus .in I 6. Quartus casus est. Cum in uno propositorum numerorum , nitatum numerus asscitur signo pluris in altero ameitur signo minoris, ut si sint aequandi quadrato IN. - 8. MI N. 32. Tumcque inueniendi sunt duo quadrati quorum interuallum sit idem, atque propositorum num crotum, absque ulla eonditione. Sie in data hypothesi, quia propositorum numerorum interuanum emeto sumam duos quadratos, quorum interuallum sitrio quales sunt 36 QI6. Itaque in his omnibus casibus, manifestum est propositam quamcunque duplicatam aequalitatem infinitis modis expliaeari posse. SECvNDus onus tendi duplieata aequalitate est, quando rursus uterque propositorum numerorum componitu rex Numeris Qvnitatibus , mumerorum numeri sunt inaequales, sed Vnitatum numerus utrimque quadratus est. Et hi duplex casus considerari potest. Primus easus est, cum idem quadratus numerus unitatum utrimque reperitur, ut accidit in prima operatione
quadragesimae quintae quarti ubi aequantur quadrato 8 N. - . ω6 N. - . in hoc casu cum laterii allum propositorum numerorum eonstet e solis Numeris , t vides in data hypothesi huiusmodi interuallum esse a N. quaerendi sunt duo numeri , quorum mutuo ductu fiat dictum interuallum , ea Iege ut in summi, eorum contineatur duplum lateris quadrati, qui est in utroque propositorum numerorum, ut in dato exemplo eum latus quadrati A sita cuius duplum . deligendi sunt duo numeri quorum mutuo ductu fiant a N. ita ut in semisse summae illorum reperiantur'. unitates, unde patet alios deligi non posse quam N. A quorum summae semissis quadratum si aeques maiori DN vel eorundem interualli semissis quadratum aenues minori 6 N. q. fit utrobique a N. ita unde liquet in hoe casu unicam tantum dari posse solutionem Reducitur ea men hic casus ad quartum modum, ut inis ostendemus , qua ratione infinitis modis resolui
Secundus casus est, eum in propositis numeris, inaequales unitatum numeri quadrati continentur , t accidit decima septima et iij, ubi aequantur quadrato Io N. --. I N. - . quorum interuallum cum componatur ex Numeris unitatibus est quippes N. - . tales sunt deligendi duo numeri quorum ut in ductu id fiat, ut in eorum summa reperiatur duplum lateris maioris quadrati. in eorum interuallo reperiatur duplum lateris minoris quadrati, hoc est ut in summa re- Periatur . in interualla 4 inare per Canonem primae primi Reile reperientur huiusmodi numeri putas. I. Aliter eosdem numeros reperies, si capias summam cinteruallum laterum quadratorum s. q. hoe est summam, interualluin ipsorum 3.&a fient enim ut prius .&I. Quia igitur ad conficiendum interuallum, N. - . sumendi sunt duo numeri, in quorum altero sint viii. tates s in altero I. Patet nonnisi duobus modis tales numeros sumi poss..puta vel f N. - . 4.vel IN. I. b. unde liquet in hoc eas eontinsere posse ut duae solutiones exhibeantur, dico contingere posse mita plerimique unica prouenit solutio , ut in data hypothesi, non enim sumendo M. s. a. solui potest quaestio, quia horum summae semissis quadratus, puta Is N. - maior est omnino quam Io N. - ae proinde illi aequari nequit Contingit autem duplex solutios propoliantur aequandi quadrato 6 N. . Ap.&ram. quia enim horum interuallum est 2
N. - 8 eonstat ex tradita regula produci posse huiusmodi interuallum, siue ex . in N. - 8. siue exa in M. -- 6. Vnde fit IN. vel a vel ,-.
414쪽
Porro inhoeseeundo easu potest aecidere ut uterque vel alter numerus Numerorum assiculuesigno minoris. Visi sint aequandi quadrato 6- N.&46- N. quorum interuallum is , N. Quod si ponatur fieri exa in Io--N optime resoluetur aequatio, raeti I. Rursus si sint
αquandi quadrato 36 - N. I 6 quorum interuallumeto rom. hoc si ponatur fieri ex ruin Io I .vel etiam ex IO in a i . duobus modis resoluetur aequatio,in fiet i N. vel τε vel P. Attamen utrumlibet horum accidat, saepseontinget aequationem retatui nullatenus miti, ut si sint aequandi quadrato 6 N. 46 - 6 N. quorum interuallum 2 - N. Etenim si per regulam traditam sumantur numeri, quorum mutuo ductu fiatao horum summae seinisiis quadratus semper erit maior quam 36- N. quia omnes illius partes arnicientur ligno Pluris. Quare quotiescivaque minor Numerorum defectus se tenebit ex parte maioris quadrati, ii impollibilis aequationis duplicatae resolutio. Sed etsi minor desectus iungatur minori quadrato non semper reiolui poterit aequatio, ut si sint aequandi quadrato 9-8 N. --6N. Cinii enim horum interuallum sit, adi siue ponas illud produci ex I in s in . siue ex s. in I nil ages, nam horum sum mae semissis quadratus semper erit maiorinitam 9 8 N. Similiter cum numeri ex una tantum parte deficiunt, potest impossibilis esse aequationis resoli tio, ut si sint aequandilati adrato 6 -- N. MI 6 s N. Cum enim horum interuallum sileto N. non potest id fieri nisi ex et in Io N. vel ex lo in a. -- . sedxtroque modo illorum summae emissis quadratus maior est quam χ6- a N. Quia vero Measus iste seeundus eum omni biis suis symptomatis reduci potui d Quartum modum , ut infra docebimus, semper huiusmodi aequationes non una ratione resolui poterunt. TaRTIvs Monus est, eum rursus propositi numeri componuntur ex umeris munitatibus inaequalibus multitudine, Munitatum numeri quadrati non sunt, sed umerorum numeri sunt plani similes Ut accidit declina octava, decima non tertii. Itemque trigesima quinta quarti Ee reducitur hic modus ad primum, faciendo numeros Numerorum aequale, Nam interdum minor ducitur in denominatorem rationis quam habet ad eum maior lic fit aequalis maiori, ut trigesima quinta quarti ubi cum aequandi sint quadrato 6s 6 .4 6ς- 2 m. qui et . ad 6 est ratio quadrupla ducitur .in 6s 6 N. ωfita6o-a m. Iain ergo si aeques liadrato 26 - 24 Nodi 6 - a m id perages et ea quae dicta sunt de tertio casu primi modi. Interdum ver ad vitai das fracstiones sumuntur quadrati duo in eadem ratione quam habent inter se propoliti Numerorum numeri, quique habeant partes propositis fractionibus expressas, maior ducitur in minorem, di minor in natorem , unde productorum existit aequalitas ob identitatem proportionis. Sic decima octava terti,cum aequandi sint quadrato QB Quamuis umerorum inter se sit ratio quadrupla, non ducitur tamen 4 in minorem, quia sic non tollerentur fractiones, sed sumuntur duo quadrati Ioo. as in eadem ratione, quique habeant partes Dacitonibus expressas, puta 7. W- ductoque maiore Ioo in minorem N. --. minore as in maiorem et N. - fiunt iam aequandi quadrato 3o . . rio. 43o N. -- ros qui est primus casus primi modi. Rursus decima nona tertii, cum sint aequandi quadrato a '. N. alvi pN. ubi etiam numeri Numerorum sunt quadrupli sumuntur quadrati .in 16 in eadem ratione qui habent partes fractionibus expressas, puta &4. Factaque decussatim multiplicatione fiunt aequandi quadrato Io N. - 26. 4,N. i . qui est secundus casus primi modi. Caeterum aduerte simili prorsus artificio casum secundum feeundi modi reduei posse ad primum Sint enim aequandi quadrato - 16.ω7 N. - Quia I6 ad 4 est in latione quadrupla, si ducas 4.in m. - . fient iam aequandi quadrato 28 N. I6. 9 N. - 16 qui est primus casus secundi modi. Quod si unitates quadratae in propositis numeris contentae, sint minimi in suis rationibus numeri, tunc ad vitandas fracstiones, commodius eritinii emlibet propositorum numerorum vicisssim multiplicare pet unitates alterius, ut in hypothesi decimae septimae terti j, ubi aequandi sunt quadrato Iob. - 4. 4 N. - duces . in Io . - 9.& duces, in s N. - .fientque quadrato aequandi Aom. ε 36. As N. - 36. Et in uniuersum quoties rationis quadratorum talis est denominator, ut eo ducto in illii propositorum numerorum, in quo continetur minor quadratus, non fiat integer numerus umerorum,
sumptis similiter minimis in ratione quadratorum otundem , et eos decussatim multiplicabis propositos numeros, ut si sint aequandi quadrato Io . -- 36. ω N. - 6. sumes minimos in ratione 36 ad 6 putat. 4. per eos facta decussatim multiplicatione, fient iam aequandi quadrat, o N. - s N. - qui est utique primus easus secundi modi. QvARTV Monus est, cum propositi Numeri quadrato aequandi constant ex umeris , niis talibus, munitatum numerus quadratus est, Midem utrimque vi in primo casu secundi modi. Sed cum per secundum modum vix una aut altera contingat solutio , per hunc quartum modum infinitae possunt exhiberi solutiones , etiamsi requiratu ut valo Numeri consistat intra praescriptos limites Sie Diophantus quadragesima quinta quarti aequauit quadrato 8 N. - Φ. Q N. 4 volens valorem numeri minorem esse quam a Cum per secundum modum, valor umeri neces sario fiat m.&hie triplex easus considerari potest. Priiniis casus est, quando terque propositorum nil merorum, continet Numeros affectos signo
415쪽
plutis. Sic in hypotlies Diophanti, via in ivtroque oumeto Numeri asticiuntur signo uris pet edet
aequatio si considerentur ues numeri SN. - , O N. - 4. M. Nam cumnatorum interuallum sitam .minorurn b. quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit triens interualli, quomin illorum superabit A. Ponatali minoris latus IN. - a. fiet quadratus , --- . - . qui cum exceia dat numero I - N. cuius triens Q -- L N. hoc addito, ipsa quadrato, fiex maior quadra. tus ipsa in s m. - . Hic ergo aequandus in quadrato, ad toIlendas fractiones omnia ducendo in s. tum ut aequatio reducatur ad minimos, omnia diuidendo per fit 3 -- MN. - . aequanis diis quadrato, cuius latus ut patet infinitis modis fingi potest, di cum qualibet data Numeti de terminatione fingatur cum Diophanto DN. 3. fiet a N. barunt ergo latera quadratorum si
ipsi quadrati Q quorum priorem si aeques 8 N. - . vel posteriorem O N. - fit m bique N. S.
Seeundus casus est. Quando terque numerus Numerotum afficitur ligno minoris, ut si sint aequandi quadrato I6. - N. Is s N. Tuncque considero tres umeros i6.46 a N. 16 N. Qquia maiorum interuallum est i N. minorum 4, unde interuallorum ratio est quadrupla quaero duos quadratos, quorum interuanum sit quadruplum interualli, quo maior superabitur a Io P natur latus maioris 4 am fiet quadratus i6- ου N. - Q. qui superatur446. interuallo 3N. 3 ineuius quadsuplum a N. - 4 4 Quod si auferas a praedicio quadrato, manet minor quadratus 16 Aom. - euius latus ita finges, tam sit minor quam ob numerum I - L Pone istiud 4 6 N. ficti N. 1. Ergo latera quadratorum sunt ipsi quadrati DP. n. quorum maiorem si aeques46 a N. minorem vero I - LN fiet utrobique valor umeri tes Tertius easus est, eum in maiore propositorum numerorum Numeri afficiuntur signo pluris, in minore vero afficii intur signo minoris, ut si quadrato aequandi sint i6 . 6 N. 46 a N. Tuneisque considerans tres numeros I6. Λω- am ubi maiorum interuallum M triplum est interualli minorum a N. quaero duos quadratos, ut interuallum maioris super Io sit triplummterualli quoa 6 superabit minorem. Estolatus minoris N. fit quadratus a - 3 N. -
qui superatur an 6 interuallo 3 N. - , Iulus tripluma N. 4 in quod addito adis fit maior quadratus N. a Q. cuius latus ita fingendum , v I N. fit maior quam . quia latus minoris quadrati ponitur I N. Ponatur F N. - fiet IN. eruntque quadratorum latera ' quadrati 'ta quotum maior si fiat aequalisa -- M. vel minor aequetur ies a re fiet utrobique valor Numeri Itaque quoniam ut supra docuimiis secundus ealias secundi modi sempe reduei potest ad primum. ae per eontequens ad aliquem horum trium casuum, di in quolibet horum trium ea suum solutiones infinita reperiri possunt, oinae utique .secundum casum feeundi moti cum omnibus suis sympis inmatis semper infinitis modis resolui posse.
MINYvs No Dux quem ipsi commenti sumus est. Quando uterque propositUrem numer rum quadrato aequandorum componitur ex Num exis& unitatibus, & numeri Numetorum sunt inaequales, nec habent intet se rationem quadrati adquadratum, nee etiam unitatum numeri sint quadratia tioniam vero modum hunes, de duplicem illius alam ius ad quadragesimam qui tam quarti explicauimus, non est cur ibidem adia uata hic reponantur, ne inani eiusdem rei reperitione commentarios nostros augere velle videanMunus a.xxv Monus et Quando inoptari nun πώ diuersmoMeomvonuntur ex quadratis N metimat unitatibus, hie pro omni eas qui excogitari possit, duae regulae sunt obseruandae, ut aequatio sit explicabilis. Primo enim oportet, ut vel quadratorum , A nitatum numerus quadratus lit, Deinde oportet interuallunt propositorum numerorum, ex una vel ex duabus speciebus tantum compom. Caetinim casias omnes possibiles explinare nobis non est propositum, sed eos omnes in quos incidit Diophantus subiicete saeis habebimus, eum ex iis colligi posse quomodo in aliis sit procedendum. Priino ergo accidit virum Oito Eineum Numerorum componi ex tribus speciebus supradictis, eorum interuallum unica tantum constare specie, e vigesima tertij, ubi aequantur quadrato qQ,-- M. a.&4Q ---N. I. quorum intervallum I N. ad quod conficiendum mutuo ductu deligi possunt isti . N.ut in eorum summa reperiantur m duplum scilicet adi lateris' drati Quare unica contingit solutio. Sic etiam vigesima prima renix, aequantur quadrato α-- 3 N. I. - IN. Q. quotum interuallum quod mutuo ductu conficiunt r. - . ob causam fiipta allatam Ee viae tantum contingi solutio. Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus , alterum illecto quadratisis unitatibus, alierum ex Num sinunitatibus, interuallum autem illorum
ut ineonstarem quadratis & Numeris Sie prima quinti a quantur quadrato D -II. 64 N. II. rum interuat Ium H - ΦN. Quare tales deligendi numeri quorum mutuo uel id fiat, eorum summa reperiantur, N. duplum lateris quadrati a Igitur ali sumi non possunt quam N.4 IN. - εἰ Sic rursus secunda quinti aequantur quadrato I Q -- ao. N. -- o. quorum
416쪽
interuallum I Q. - N. quod fit ex IN. in I. N. 4. Sic denique sexta sexti aequantur quadrato I Q. - Qq N. - I. quorum ni ruallo In L --χ. quod fit exam in I N. I Tertio accidit alterum propositorum numerorum componi ex quadratis, Numeris, munitatibus Alterum ex quadratis Numeris, ut decima quinta terti , ubi aequantur quadrato N. q. - α -- LN, qtiorum interuallum iE ad quod consulenduin deligendi numeri, inqvrum iisnacria reperimis ae protrula soli q. N. . deligi possunt. in attra te illi aut rumito pCitiorum nutileto ut compserit ex quadratiam inieris , Munitatibus, alterum ex quadcaus meatibus. Sia vigesima quarta quarti aequantur quadrat, Q - IN. I amini quorum interuallium LN quod fit exa in ab sic rurius octaua sexti, aequantur quadrato Q. - N. . o. a quorum interuallum I N. quod fit exam in 7. Posset etiaminam casu interuallum numerorum componi ex umeris Munitatibus, ut nobis aeeidit, tamam tertiam quarti per duplieatam aequalitatem solvemibus, aequauimus enim quadrat, rN. I Rex I. quorum interuallum a IN. quod fit ex . in am. uitu denique aecidit alterum propositotum numerorum componi ex quadratis, Numeris,acvnitatibus, alterum vero existuneris Munitatibus, ut propositione hae vigesima quarta libri huius, ubi I -- 76 IA M.&IN. - 4. quantur quadiato. Quo casu ut interuallam ex duabus tantum speciebus componatur, neces Te est vel unitates, vel Numeros utrobique aequales multi udine reperiti, vel saltem inter eos esse rationem quadrati ad quadratum, quo possint ad aequalitatem reduci, ut indat hypothesi, quia unitates Io 8376. O . sunt in racione quadrati ad quadratum , eum uterque numerus sit quadratus , redueuntur ad aequalitatem ducendo I N. -- 64. in i 6384 denominatorem rationis quam habet io 8176 ad 64. it46 84, -- Io 8376 aequandus quadrato, una eum ipso I - o48 76 6i N. Quare horum interuallum, iam ex duabus tantum constat speciebus, est enim aasa N. L vel eontra L -22ya M.& duobus modis re-selui potest aequatio quia tam quadratorum quam unitatum numerus quadratus est, ut supra satis svperque docuimu1.
Ηgi de a litatis qualitatibus tractata multa possemus adiuvera qua nee eo exes nec noui distexerunt. Suffit nune , ut methodi nostra dignitatem es
sum asserσmus , quaestionem sequentem qua sane dist cutima est resoluamus.
Inuenire triangulum rectangulum numero , cuius h potenuis fit quadratus , ct pari-rersumma laterum circa rei tam Tra angalam quasi tam repraesentant tres numer se quente 4687a 9861oa8s. 3σ3 86oa 776i Io i 63 793Fan. Formatus autem
sionis stationem detexi s. Inuenire triangulum rectangular- mero reondiatione ut quadratum disserentia υν- circa rectum minus duplo quadrat a mi nore latere eo sciat quadratum. Unam ex tra angulis qua huis qualio aptantures id quod sequitur fas ist7. 3 6 formata a numeris 2. s. or a. Imo considenter ἀιungimias resanguia radiavin qua iam exdissimus adstut sonem duarum propositarum quaestionum esse minima omnium in integris a Uiones adimplentium.
Methodus nostra hae est. Auarais Maestio proposiι secundum methodum vulgarem, si non Decedat solutio, obsolutam operationem quia nev valor πώmrei not defectus insignitur se iis minor esse nihilo intelliguturi, non rarmen desponden in animam eonfidenterpronuntiamus qua Uratantia, ut loquitur Vieta , fuit est Vsius es veterum analysarum P Sed iteram quastionem tentemus pro valore radiri ponamina N. - mera quem sub signo defectus aquari radici ineognita in prima operatione inuenimus, prodibit noua haud dubi aquatio qua per veros numeros solutιonem mestionis reprasentabit. Et hae Hasuperiores duas quasiones alioquin dis illimas res luimus , demonstrauimus pariter es construximus numerum ex duobus ubi compositum in duos alios eubos diuidi posse , sed hoc per iteratam ter aliquando operationem. Sapios enim contingito veritas quasta ad multiplices operationum iterationes solertem se industriam necessario adigat an usam ut facillime exteriendo depresentis.
417쪽
tur, hici Q. I aequalis quadrato. Esto quadrato a latere N. - a. fit IN. b&reliqua sunt manifesta. NUs cara quid somniat hiemilander de quadrilatero regulati, & de numero go. Sane in eodice
manu exaratos habebatur, et GSπο - -τρινουσχότεγρα - , ς Me mi γουνος e . Quare cum passim hoc libro vox πλευρα exprimaturiunt eo, cum . superscripto, haera tione in satis colligi poterat, veram lectionem esse, τὰ 'Oc τε γουνοe s πλευρά. Caeteium artificiose Diophantus per ipsas positiones duabus propositi partibus latisfacit, nam quia tus hypotenuis fit, Q. 4. Ira qui est quadratus eum suo latere,in idem quadratus hy-
Potenusae diuisus per alterum laterum circa recluni, puta per IN. dat quotientem IC. - IN. cubum scilicet cum suo latere. Quamobrem superest solum, ut quadratus hypotenuis, nempe ia inaequetur quadrato. Et diuidendo per Q. fit Q. -- L aequandus quadrato, cuius latus Renulae perit a qui continet cubum .in eius latus l. sev K. Non solum autem inuenti hac arte numeri praestante quae requirit Diophantus, sed praeterea summa laterum eire rectum est quadratus cum suo latere, ut patet tum ex positionibus, nam summa laterum circa rectum posita est IN. tum ex ipsa solutione, nam . est latus quadratum dec. Hi etiam formati poterit expeditus Canon. --ibetis adratum Omrate mal tum , diuide per duplum sui teris, vel e conuerso, uter uoiaeris quotienitim erit alterum serum circa re λι- , es eius et dratus erit alteram latus. Horum autem quadrat simul conficient hypatenus pia dratum. Verbi gratia auseri a quadratos.&residuum 8 diuide per . duplum lateris ipsius 9 vel eontra diuide6 petra quotiens'. vel l alterum laterum circa rectum. Ergo alterum erit . velo Schypotenus θ' vel I. Quare unica operatione duplex reperitur solutio, euius rei ratio est , quia contingit I aequari quadrato, quia tam is quama quadratus est, potest latus illius fingi vel IN. - quo libet unitatibus, vel I- quotlibet Numeris, puta, Vei I N. - . vel I-3N.
418쪽
Hi duo maxime notanda sunt. Primum non sine arte poni hypotenusam et C. - N. 3t alte rum laterum C. - IN. Nam hae ratione satisfit duabus postulati partibus, siquidem hypo tenus est cubus eum suo larere, malaetum laterum est cubus suo latere multatus. Deinde eum ut habeamus tertium latus, oporteat a quadrato hypotenusae, nempe ab I CC. - aQ - Q. auserte quadratum lateris secundi, putara c. - a QM, i Q. di quod superem, nempe Q Q sit quadratus terri lateris , res optime siccedit, eo quod Q in est quadratus, ac proinde Iatus eius a Q. est tσrtium latus. Et simile semper eueniersi hypotenus ponatur quilibet cuborum numerus cubicus , plus suo latere, & seeundum latus ponatur idem cubus, minus suo latere. Nam interuallum quadratorum , erit sempc eertus quadratoquadratorum numerus , qui fit quatet ex cubo in suum latus, quandoquidem hi quadrati sunt omnino similes , nisi quod in quadrato hypotentisae continetur duplum producti ex libo in suum latus eum signo pluris, minini adrato lateris secundi, eontinetur idem duplum producti ex cubo in suum latus eum ;gno minoris. Proinde quadratorum interuallum aliud non est quam quadruplum producti ex cu in suum latus. Igitur quadruplum hoc semper esse quadratum demonstrandum est. Non solum autem line ostendemus, Ied quod uniuersalius est, ducto quolibet quadrato in aliquem numerum .in producto in cubum eiusdem numer multiplicato, produci quadratum, ut non de quadruplo tantum , sed etiam de noncupio, sedecuplo &e idem constet
D . i. i. qui dine nume in euius quadratus .inisubus C., sumatur quilibet Α, A. Ca quadratus D. quo ducto in A. fiat G dico si inducatur in cubum C. fieri quadra. Gismi, sumatur emmi latus quadratis ει siti unitas, ductoque Rini nodueatue
Η. Patet igitur per ea quae ad definitionem quartam primi demonstrata int, tam tres Α BC quam tres D EF esse proportionales. Quare eum ex primo D in primum A. fiat G. ex te eundo E in secundum B fiat H, ae deniqtie ex tertio F in tertium C. fiat iple C. erunt destres G. H. C. proportionales. ' Quare ex G in C. et quadratus ipsius, Quod erat propositum. Hi ne euidens est duplieitet variari posse solutionem de positiones. Nam primo licet ponere pro hypotenus quemlibet cuborum numerum cubicum, plus latere ipsius cubi de pro altero laterum, eundcm cubum minus suo latere Deinde tertium latus quod semper reperitur cerius quadratorum nil merus, potest aequari diuersimode alicui cuborum numero cubico, ut in hypothesi Diophantia inpossunt aequaria C. - C. 4 C. &c ut si ponas et in aequalesa C. fiet quaesitum triangulum m. 6o8o 3 2. Necesse est autem hic inaequari alicui cuborum numero eudico minori quam a quia cum alterum latus positum sitIα-i N. oportet via C. sit maior suo latere, quod accidet si I N. sit maior unitate. Id autem eontinget si a Q. aequentur euilibet euho minori quam a. ut euidens est, uia valor Numeri reperitur diuidendo a per aliquem euhum. Si ergo eubus ille sit minor quam a. et utique quotiens maior unitate. Hie etiam formabitur huiusmodi Canon. Per quemlibet ubum minorem binario, diuidebinarium, Pinientem adda suo rubo ct dem a με bo, habebis hypote sam, , miterum Tertium verbitus erat duplum adrati uotientis eiusdem.
Sed de simili prorsus attificio licebit soluere huiusmodi quaestiones. Inuenire triangulum rectangulum, ut nurd laterum circa rectum, sit quadratus, alterum quadratus absque atere hypotenus quadratus cum latere.
Esto hypotennia ια-- IN unum latus L - N. ergo a quadrato hypotenulae lateris quasratum, manet terti lateris quadratus quod quia volumus esse quadratum, oporte ut quadratus ipsius fit quadratoquadratus Igitur i. aequantur quadratoquadrato. Esto fit igitur N. 4 estque triangulum sto. ia. Is ubi etiam necesse est x. aequari alicui quadrato quadrato minori quam ob causam uri explieatam. Et si ponas 4 C aequari f. o et I N. 64 eritque trianguluin I6Ο. O3a. Ioa Hie finem impositurus eram nostris ommentariis in hoste Diophanti Arithmetieorum libror, eum Venit in mentem, multa alia, eaque non iniucunda proponi posse de triangulis rediangulis problemata, quae huic libro lubileete non abs te visum est, ab illis sumentes exordium quae deter minationes varias de lateribus, vel de ipsa trianguli area docent.
419쪽
Dato ambitu trianguli, inuenire terminos intra quos consistere debet hypotenua.
Datus ambitus esto O. . Primum certum est hypotenuiam,minorem esse debere semisse dati ambitus, eo qImrium e trian Tatus, minus eu duobus reliquis simul. Quare maior quaestorum terminorum est .ex-ra Ut autem habeatu minor te inus, ponant hypotenus I . ergo reliqua
Donantur aeuualia Nam conditio ad trigesimam primam primi appρbta υ - φςWm quatenu in quales numeri quaeruntur, ut ibi adnotauimus. Ex his igitur elici potest huiuisodi Semin aiati ambitus est maior terminus exelusiia Etsisimis duplum p id ti , sabimus latere auferas ipsum ambitum, residuum erit minor termιnμια ItaQue sim rationalibus numeris plum minorem terminum exhiberi cupias . id et priapri
situ Quate dices dato ambitu Io hypotenusam fore ininoremquλο non minorem quam
Dato ambitu trianauli rectanguli, inuenire terminos summae laterum circa rectum. Ε, hee ent pendet hae quaestio, quia enim summadatetum circa rectum una cum hypo-tur termini summae laterum. Sic posito mbixu Q ςμ pq P ' ' summi, liteium
y.&I. Ba--Io si utrumque auferas a toto ambitu Io remanebunt termini ummae circa rectum nimirum minor exelusiuris inclusiue 2 -' oo.
Dato ambitu , inuenire terminos inegati ex hypotenuia, ex altero laterum. Ambitus est II. . Primo patet maiorem terminum, L hypotenuis de alterius πihlinquatur pro tertio latere rixtim φ ς' ducti est aggregato
420쪽
Dato ambitu invenire maximum areae terminum. Datus ambitus est io.
Laueniaturie secundam harum maximus deminus sirumae laterum ci Iae rectum putario astoo .huius quadratus esto 6- - . 32. Oo . cuius octava para sit n. - Ἀ-o die hunc esse maximum areae terminum quia enim octava pars alicuius quadrati aequatur semissi quadiati a lain tete subduplo lateris prodisit quadrati, et it 3 - Raoo semissis quadrati asemisse ipsius 2 mo piacle milua quadrari ipsius -- so. Itaque quoniam quadratus semirus alicuius numeri Lia νιν smaior est producto duarum quarumlibet itiaequalium partium eiusdem numeri, erit quadrat ipsius Io - so maior producto duaxum quarumlibet inaequalium partium, in quas secari possit Io- oci quare cum area trianguli sit semissis producti duosum laterum, quorum summa ao Waoo non poterit area maior esse semisse quadrati ipsius In a C. hoc est non poterit esse maior quam 7 - Myoo. Hinc ergo fiet huiusmodi Canon. A dodrvire quaarati dat ambitiocos iam amadratum semisu a adrat suadrari ei dem --bitur, esiduum erit suasitus terminata. Proinde si libet in rationalibus quisium terminum praescribere, cum ex dato Canone arealesipectu ambitus sie Q. - 4 sume proximum latus de QR nemoe quem auri L
superest , Q Hinc ergo formabitur Canon. Dueis Madratum ambιtus an s. pro min Auidem Io oriatur area terminus. Ne in data hypotheti dueito quadratum ipsius o ruta Ioo ina fiet 3 . quem diuide perso. set o quassitus areae terminus. Non praescribitur autem mimimis terminus area, quia dari non potest. Etenim summa laterumetica rectum, semper crundi poterit in Mos numeros, quorum mutuo ductu fiat quantumlibet exl-guus numerus , Leonstat ex conditione apposita trigesimae primi quae ut quaestio sit possibilis. requirit tantum quastatum fammae maiorem esse quadrupla producti Unde euidens est, quot
minor erit productus, eo magis sequi posse quaestionem.
PROBLE M A V. Data hypotenus praescribere terminos summae laterum circa rectum. Esto hypotenus s.
duoniam exeonditione apposita tristesimae primae primi oportet dvsum quadrati hypo tenuis sise
perare, vel saltem aequare quadratum summae laterum eirca rectum , cum duplum quadrati s sit e non poterit summa laterum eirea rectum Medere .so.sed eadem summa laterum eirca rectum de
bet superare hypotenusam, ut duo trianguli latera simul sine maiora reliquo. Igitur quaesiti termini sunt s. ex lusiud , ω sta inelusiuὸ Hine fiet Canon hypotra a sminimur tammmu Atiatus Δελε, δε- ου inissa s ---M termis . in ergo respectu hypotenus maximus terminus summae laterum este restum est a ius iis
ut ijdain hypothesi ducito, in si . fit sc quem diuiae per o ni terminus quaestu.
Data summa laterum circa rectum praescribere te inos hypotenula.
Sit summa laterum circa rectum 6. Igitur ex dictis ad praecedentem quadratus ipsius 6 puta 36. non debet meedere duplum quadrati hypotenuis. Quare hypotenus non eotest esse minor quam is Debet autem eadem esse minor quam summa laterum 6. Ergo quaesiui termini sunt fi exclusive. ω IL inclusiuὸ. Unde