장음표시 사용
21쪽
CV . G H. QM, &e. fuerint continue proportionales, quae per puncta A, V, H, aliaque extrema Z Z, m m, mediarum proportionalium aequo semper intervallo duabus quibuslibet ordinatis interponendarum) transiit linea , Letifica, seu Logarithmica appellari consuevit, ed quod inveniendis logarith.
nias interviat, uti ex sequentibus manifestum erit. 3 Ex hac enim definitione constat, partes axis ita correspodere ordinatis, quemadmodum Logarith mi respondent naturalibus numeris, & quod ratio quarumlibet duarum ordinatarum , veluti B A ad CV, respectu rationis ordinatarum B Αad in eadem proportione erit, in qua axis partes CB, &QB per has ordinatas abscissae; siquidem, aequaliter crescente axe, perinde aequaliter crescit ordinatarum proportio, unde
quam multiplex est QR ipsius BC, tam multiplex pariter est ratio duarum B A, O . rationis duarum B A, C V; & generaliter, rationes, quas invicem habent duo quaelibet ordina. tarum paria etiamsi una pro communi antecedenta, aut conis sequente non sumatui, sed comparetur verbi gratia ratio duarum BA, CV, cum ratione, quae est inter duas GH, QD erunt ad invicem, ut partes axis quolibet ordinatarum pari interceptae, uti ad ipsam curvae huius naturam attendendo, vel sumptis, tum rationum illarum, tum axis partium seque multiplicibus, facile constare potest; atque haec erit primaria Logisticae proprietas, per quam poterit expressus definiri, ejusq;
4 Ubi obiter animadvertendum erit , posse aliorum etiam graduum Logisticas excogitari, si videlicet rationes ordinatarum BA ad CV , & B A ad D jam non forent ut partes axis BC,&BQ . sed ut earumdem BC , & B in quadrata, vel cubi, aliaeve potestates, vel etiam radices quadratae, vel cubicae, aliorum ve graduum, si ve in ratione axis partium, ut Iibuerit multiplicata, vel submultiplicata; adde Sc 1 esquialtera, vel sesquitertia, &c. quas quidem Logisticarum species hoc loco minime conliderandas suscipimus; neque vero id aut susceptae exercitationis institutum postulat, aut temporis etiam ratio permittit, sed de prima, & simplicissima dumtaxat, quam supra descripsimus, specie erit hic nobis cum Cl. Hugenio tractandum . A a s Por-
22쪽
3 Porrbquum proportionalium differentiae sint in eadem ratione proportionales, manifestum est, ipsas A v, u d, d l, in ,&c. interceptas axi parallelis Uu, Dd, Ll, Nn aequaliter crescentibus, fore in continua proportione earumdem Ordinatarum; quare haec linea, uti primus Logarithmorum Inventor Neperus delineare aggressus est, deicribi intelligetur
duplici motu, altero lineae A B per BF aequabiliter, sibique
aequi distanter descendentis, altero puncti A motu continue retardato versis B delati, itaut 'atia aequalibus quibuscumque temporibus subinde transacta in eadem geometrica ration decrescant; quomodo quo tempore linea descendens consecerit spatium BC , & litum CE obtinuerit, si punctum Avenerit in u, jamque in puncto V reperiatur, sequenti tempore aequali, linea per aequalem axis portionem C delapsa, &in Q L posita, punctum A translatum esse in d, spatio ud transacto, adeoque in situ D reperiri concipiendum est , sequenti adhuc tempore, quo linea Percurrerit spatium Q F, δι in F M collocata sit, punctum ex d in i promotum, atque in ipso L puncto consistere intelligetur, spatiis Au, ud, di, caeterisq; deinceps decrescentibus in ratione B A ad C V; evi-
23쪽
dens enim est motum ex utroque compositum fore in eadem curva AVDLN, quam prius determinavimus. 6 Caeterum constat curvam AVN hac motuum compositione descriptam axi B F continub propriorem fieri, prout punctum A versus B semper fluere, & ad ipsum accederet telligitur, nec tamen evenire posse aliquando, ut cum ipso axe conveniat, uno verbo , axem ipsi Logisticae Aomptoton esse, quia crescente in infinitum axe B F per additionem aequalium partium, alia, & alia spatia multitudine infinita, semper que minora, & minora ipsi puncto A percurrenda remanent, antequam ad ipsum B perveniat, quod ideli numquam attingere poterit: seriei siquidem infinitae Au, u d, d l, &c. in ratione AB ad CV, vel Bu continuatae ultimus terminus est
punctum B, ed quod, quum sit A B ad B u, ut A u ad u d,
erit etiam AB ad priorum duarum disterentiam Au, ut Auad disserentiam duarum posteriorum Au, ud; quare ex doctrina Progressionum Geometricarum, quam post Archimedis vestigia in Libro de dimentione parabolae,primus recentiorum Torri cellius idem argumentum tractans lemm . 27. & Cavallerius in ejusdem Scholio apud ipsum demonstrarunt, mox Gre sorius a S. Vincentio, aliique deinceps fusius illustrarunt, erit ipsa A B summa progressionis terminorum Au, u d, d l, &c. in dicta ratione continua decrescentium; nec vacat id particularius demonstrare, quum vel ex ipsa prima descriptione cur re num. a. adducta simplicitis longe innotescat haec ipsa Logisticae assectio, quod scilicet ad axem tanquam asymptota propius accedat , quam quodlibet datum intervallum, nec tamen cum ipso conveniat; continuatio quippe rationis AB ad CVPer minores, ac minores terminos in infinitum fieri potest, quin umquam minimus ejusmodi terminorum reperiatur, aut aliquis omnium ultimus fingi queat.
7 Sed & eadem ratione liquet, Logisticam D VA inim-
mensum supra ipsam B A continuari posse , nec umquam ad certum aliquod curvae hujus initium , ac vel uti verticem, supremumque ejus punctorum fontem perveniri, sed varia dumtaxat ejus segmenta per ordinatarum aliquam, veluti A B, vel
C U abscissa exhiberi, nec magis punctum A, quam U, Vel P,
24쪽
aut aliud quodvis pro Logisticae capite statui posse t unde&Ierinde esse undecumque incipias, ratio enim ordinatarum Λ, & C V tam benὸ ad majores terminos, quam ad minores continuari potest, &ideli applicatis infinitis ejusmodi terminis luccessive majoribus, & supra B A in immensum crescentibus, ad partes ipsus axis F B, ultra B producti, longitudine aequales prioribus BC, Cocc. itaut per ordinem arithmetica crescant axis portiones, geometrice crescentibus ordinatis , eadem curva ad superiores partes in immensum continuabitur per applicatas datam quamlibet magnitudinem excedentes , non minus quam ad interiores in infinitum produci queat
per applicatas qualibet magnitudine data minores. 8 Illud etiam interea animadvertisse iuvabit, dupIici alio motu eamdem curvam intelligi posse descriptam, si videlicet imaginemur , puncto A per A P aequabiliter descendente,s vel musca, aut formica per hastam A b similiter aequabili motu delata, ut & P de Chales in logarithmis tradendis supponit ipsam interim AP, lineae B A perpendiculariter intillentem, sibi aequidistanter versus B promoveri, ac subi nde in uV, d D, ι L,&c. reperiri, spatiis Au, ud, di,&c. in eadem ratione
25쪽
geometrica decressentibus, prout arithmetico crescunt spatia AE, AK, AM &c. a puncto aequabiliter delaendente per-ςursa; sic enim punctum A subinde reperietur in punctis V, D,
L, N, dcc. resque eod*m recidere observabitur, si ad superius dictamvn. s. attendamus, unde ulterioris explicationis molestiae parcendum erit: quemadmodum & ejuidem taedii compendio conscientes missam facere decrevimus mysterii plenissimam) eorumdem motuum inversam compositionem,'ualis haberetur, si axis BF ab ipsa tota aeternitate motu infinite tardo per B A motus intelligeretur, ita tamen accelerato Celeritatis gradu, ut integra spatia, quae in fine aequalis cujuscum- de temporis particulae transacta forent, veluti B n, Bl, B d,u, B A essent in continua proportione geometrica, puncto aliquo interea aequabiliter ascendente per eumdem axem B F, ita ut post emensum infinito tempore infinitum spatium infra
G politum subinde aequalibus teporibus ad G F B alcenderet,perque hanc motuum compositionem reperiretur ex Ordine in NLDUA; aut si aequabilis motus ab aeterno inchoatus refunderetur in lineam GP versus B A ascendentem, acceleratus verb in punctum G, vel B per eamdem lineam versus P, vel A promoti, ita ut quolibet aequali tempore spatia percurreret geometrice proportionalia majora, ac majora n l, id, du, u Apost emensos similiter motu infinite tardo in tota aeternitate singulos minores, ac minores ejusdem progressionis terminos per ordinem acceptos, ita ut subinde in iisdem
punctis N LDUA reperiatur, &c. y Aliud potius Logisticae, seu Logarithmi eae lineae genus,
de quo infra nonnulla dicenda recurrent, eXponere hac occasione non gravabor. Illa ad modum spiralis cujusdam generari intelligitur, radio circuli per circumferentiam aequabiliter moto, dum punctum quoddam ab extremo radii versus centrum motu in geometrica proportione retardato procurrit, ita
ut quidquid praessat axis Logisticae B F in curva superius exposita , id in spirali, de qua loquimur, praestet circuli peripheria in arcus aequales divisa ; quod verb praestabant ibi ordinatae B A, C V, QD, Sce. geometrice proportionales, id in prae senti essiciant radii a centro ad hujus spiralis puncta exporre
26쪽
m. Itaque in hujus diagrammatis fig. r. vel 3. exposito quovis circuIo C A Ff, determinatisque quotlibet aequalibus arcu. hus A F, F f, f f, ponantur radiorum correspondentium por-nes C A, C a, C a geometrice proportionales; erunt puncta Α, a, a, in curva Spirali Lusica, aliis Spiralis Logarithmicae, quibusdam Spiralis Geometrica nomine appellata, quae pariter ad infinitos gradus extendi posset, si fingerentur radiorum ejus rationes non tantum in simplici, sed & in multiplicata, aut submultiplicata qualibet arcuum abscissorum ratIone crescere, prorsus ut de prima Logistica dictum est supra m. 4. sed enim in prima hujus spiralis simplicissima specie sistimus, nec aliis pronunc implicamur. io Et quidem ille pariter, si radii C A, C a sint ut numeri, arcus respondentes F A, f A erunt ut Logarithmi, critq; pri ma hujus curvae assectio, quod ratio duorum quorumlibet radiorum ad rationem duorum quorumlibet aliorum sit, ut nu-Per indicavimus, in eadem proportione, in qua sunt arcus binis quibuslibet radiis intercepti, prorsus ut de rationibus ordinatarum, deq;partibus axis in prima Logistica acceptis supra dicebatur n. 3. Unde & constat Spiralem Logisticam utrinq; Pa riter in infinitum continuari posse,ium ad majores, tum ad mi
27쪽
nores terminos continuata ratione radiorum crescentium, aut decrescentium circa centrum, circa quod per infinitos cincinnos haec curva convolvetur, prout infinities repetentur arcus aequales,per quos distare debent radii illi proportionales,adeli que Integrae circulationes numero infinitae sibi invicem supe Ponentur, centro interea respectu curvae quasi asymptoto sese habente, quippe ad illud magis , magisque accedent curvae puncta intervallo minore quolibet dato, prout diminuentur proportionaliter radii, nec aliquando tamen in ipsum centrum desinent, quum ad minimum horum terminorum perveniri nopossit: quae res, ut patebit, curiosa contemplatione non vacat, non miniis quam si motuum, quibus deIcribitur compositionem inverse consideres eo modo, quo in prima Logist lea fieri posse jndicavimus sub finem num. 8. ) manifestum est enim, totam , quanta esse possit, hujusmodi curvam per infinitos cincinnos infinite multiplici gyro se circa centrum convol vetem, determina, reetae lineae longitudinem minime excedere, longitudinem scilicet suae tangentis AB usq; ad radio perpendicularem ex centro excitatam productae; quod & ab aliis pridem observatum video, facilemque habet demonstratio.
nem ex infra dicendis, cap. s. uum. IO.ti Sed & illud per se eropemodum constat, atque ex praemisia hujus spiralis geneti sponte profluit, radios ad quodlibet
ipsius curvae punctum aeque inclinari, ita ut constans, certus,& determinatus semper sit angulus Ca A , quem quilibet radius cum curva ad ea idem partes constituit; siquidem hoc spirali spatio in triangula infinite parva aequalium ad centrum angulorum distributo, veIuti se nabent AC a, a Ca, &c. con. stat illa similia fore, propter latera circa aequales angulos proportionalia, quapropter & alii anguli homologi aequales erunt; ataque si ponatur, punctum C esse Terrae centrum, in quod gra-Via collimant, quaeratur autem curva sin suppositione perpendicularium, seu linearum directionis, non aequidistantium. ut physice sumi solent, sed in centrum convergentium, uti reis Vera eise censentur) in qua grave politum, & per quam delapsum, idem in quolibet puncto momentum retineat, respectu
momenti, quod habet in perpendiculo, ita ut illud ad hoc
28쪽
s ubicumque eonsiderentur eamdem semper determinatam rationem obtineat, ea certe non alia esse poterit, quam Spiralis haec Logarithmica , cujus inclinatio ad radios a C exprimentes veram gravium directionem, veraque perpendicula, in quibus momentum maximum, seu totale exercetur num- ruam immutatur, sed semper eadem perseverat, contra quam aciat recta quaelibet, velut A B, exhibens planum aliquod inclinatum , in quo positum grave juxta rigorem geometricum perpendiculorum convergentium ) non idem in quolibet puncto momentum habere potest, nec eadem semper esse hujus momenti ratio ad momentum in perpendiculo fui ut id re ipsa a Mechanicis sapienter assumatur, quippe in tanta a centro distantia perpendicula quasi parallela habentur. aut rectae illius portio cum Logisticae Spiralis portione re ipsa coinciditJob varium incIinationis angulum ubique inconstantem, quem diversa ejusdem rectae puncta cum centro conjuncta constituunt, unde & momentum ad singula lard puncta in rigore variari
Post haec autem scripta inveni & Celeberrimum Cartesium Par. t. Epistolar. ep. 73. Mersenno jam indicasse lineam, in qua momenta non variantur, esse quamdam spiralem, rogatumque
29쪽
ut ejus naturam indicaret, reposuisse epist. seqv. eam talem ense, ut ejus tangentes sint ad radios ubique aequaliter inclinatae.& curvae portiones radiis illas abscindentibus esse proporti nates; quod re ipsa Logisticae, seu Geometricae Spirali convenit, ut monuimus.
ia Haec eadem porrb Spiralis Logistim intelligi etiam ponset describi per eonvolutionem primae Logisticae, de qua supra loquuti sumus, toto axe B mn punctum centri contracto. ipsa vero AK in peripheriam circularem radii ΒΑ s repetito, ut opus fuerit, circumvolutionis gyro curvata, singuli Dque ejus aequalibus partibus in pares arcus contortis , ordinatis interea BA, CV, Q D in totidem radios a centro deductos abeuntibus , atque a parallelismo ad convergentiam in idem centrum translatis et, uti viceversa primam Logisticam per evolutionem hujus spiralis, rectificata circuli peripheria,& radiis sese explicantibus, atque ad parallelum situm redeuntibus consor mari quis concipere posset. Cave autem putes Logisticam in Spiralem contractam spatium continere dimidium ejus, quod explicata complectebatur , eo quod infinit Eparva parallelogramma BZ, xZ, &c. ex quibus illa evoluta constabat, in totidem abeant triangula parallelogrammorum - B a di-
30쪽
dimidia . ex quibus Spiralis Logisticae spatium absolvitur. Ejusmodi enim ratiocinium sui ut celebrium Geometrarum methodo consorme plerumque fallax esse deprehenditur. quia non eadem retinetur in convolutione dictorum triangulorum altitudo , quae prius fuerat parallelogrammorum ,s quamquam in certa ratione semper varietur uti nec eadem balis, quae enim prius Curva Logistica infinita erat , in Spiralem Logisticam longitudine linitam convertitur ;Unde cirea Spiralis hujus Logistici Spatii dimensionem ea dumtaxat sunt attendenda , quae infra cap. 7.v. 3. ex evidentioribus principiis generaliter deducemus . Atque haec interea , ad ingenerandam Tyronibus Logisticη lineae, de qua deinceps agendum erit, notitiam, praelibasse lassiciat. Nunc quae sint nobis ad mentem Hugenii demonstranda , allatis Clariss. Auctoris verbis, breviter indicabi