장음표시 사용
41쪽
pto, ita FG dissesentia primi ab ultimo in prima serie ad Rodisserenti 'primi ab ullam o io serie secunda. 4 e. d.
3 Dico secundo duarum in commensurabilium magnitudinum majorem p OlIe minori commensurabilem reddi, ablata magnitudine minori qualibet data . Sunto enim in fig. r. hujus diagrammatis duae eju voci quantitates in commenturabiles, A B major, ac C minos, quaelibet autem magnitudo proposita A E quantumvis parva; dico posse ex inatori AB auferri quantitatem, puta AD , minorem assignata A Ε, itaut reliduum D B sit jam ipsi C commenturabile ; nam bifariam
in is C , ae rursus suhdivisa qualibet eius medietate: , patet re sit jam devemamus ad aliquam .ejus par in F minorem A Et multiplieetur itaque Fὲ quo ua fiat eroxime major ipsae ΒΚ, & aggregatusilex si toti accepta sit B D. patet B D minorem fore ipsa BA, quia B Dad sum/Ipum superabit E B quantitate F, iuxta constructaO m. misn*ri quam . A E. Ut plerumque nec inIegra quantitate F, θ Fasurtione multo magis noti ipse AEa itaqua minor est, quam BA, defectu A minora quam sis a grutudo A L. sed α eadem BD ipsi
42쪽
tabilis est, habens cum ipse mensuram communem F, ex qua pluries repetita consurgit; igitur ex majori A B duaru in eo nie surabilium magnitudinum facta est abIatio partis A D mi notis data quantitatu A E . residua DB jam commensurabili ipsi C remanente. 4 e. f. Iam libero pede Hugeniani Theorematis demonstratio nem Archimedeo more sic instituo Iuseq. Spatioru A B C V. A B in s quae demonstranda sunt invicem elle, ut U E, D Κ
aItitudines BC, B in vel commensurabiles sunt, vel incommensurabiles. Sint primum commensurabiles, mensura Baeutrique communiter inserviente, distributoque axe BG, Aresiduo C n particulas ipsi B x aequales, ac ductis ordinatis, fiant parallelograma aeque alta BZ, AZ,Scc. usque ad Cm circumscripta spatio BCVA, quorum ultimum Cni illi penitus extrinsecum remanet, continueturque eadem parallelossam morum aeque altorum series per reliquum spatium C Uin, cui pariter circumscripta sint lm, nna, &c. usque ad ino, quod toti spatio extrinsecum pariter erit i At si mensu.ra B x non satis ad propositum exigua fuerit, poterit illa, &sequentes portiones ipsi aequales, bifariam dividi. ae rursus bii
43쪽
bifariam . multiplicatis parallelograminis haec spatia circumscribentibus, quousque excedant eadem spatia minori excessu quolibet dato, liquidem ille excessus minor semper erit primo parallelogrammo BE, quod diminuta ejus latitudine) minus elle poteti quavis proposita quantitate. erunt autem haec parallelogramma aeque alta, ut bal , nempe ut ordinatae in Logillica paribus inter gallis dissitae, adeoq; erunt, ex primaria Logisticae affectione cap. 4. num a. relata, In contInua Proportione, unde ex primo assumpto nostro num. a. hic probato, aggregatum omnium parallelogrammzrum circuinscriptorum spatio
ABCU, praeter minimum toti spatio extrinsecum C m ,.ad aggregatum omnium circumscriptorum spatio AD u B, ex- cIuso pariter minimo Q Ο , erit ut differentia BE a C m. scilicet ut m UE, ad differentiam ejusdem Bet a Q Ο, idest ad O D Κ, atque adeo ut U Ε ad D Κ . Quoniam igitur series paralielogrammorum ejusmodi spatia circumscribentia semper, quantacumque fuerit ipsorum multitudo, & quantum cumque accedant ad ipsemet spatia, inveniuntur esse in ratione constanti UE ad DK, patet utique Uiris Archimedeis Ripsemet Logistica spatia iis parallelogrammorum seriebus inscripta, nempe AUCB , & AD B in eadem esse ratione
44쪽
rabilis est, habens cum ipsa mensuram communem F, ex qua pluries repetita consurgit ; igitur ex majori A B duarsi in eo melarabilium magnitudinum facta est ablatio partis A D mi notis data quantitatu A E . residua DB jam commensurabili ipsi C remanente. 4 e s . Iam libero pede Hugeniani Theorematis demonstrationem Archimedeo more sic instituo. UM. Spatioru A B C V. A B s quae demonsuanda sunt invicem esse, ut U E, D Κ
altitudines BC, BQ vel commensurabiles sunt, vel incommensurabiles. Sint primum commensurabiles, mensura Baeutrique communiter inserviente, distributoque axe BG, Atessiduo C Qon particulas ipsi B x aequales, ac duetis ordinatis. fiant parallelograma aeque alta BZ, A Z,Sce. usque ad C in circumscripta spatio BCUA, quorum ultimum C m illi penitus extrinsecum remanet, continueturque eadem parallelogrammorum aeque altorum series per reliquum spatium C UD L, cui pariter circumscripta sint im, nm, &c. usque ad Qeso, quod toti spatio extrinsecum pariter eriti At si mensu.ra B x non satis ad propositum exigua suerit, poterit illa, &sequentes portiones ipsi aequales, bifariam dividi, ae rursus
45쪽
bifariam. multielicatis parallelogrammis haec spatia circumscribentibus, quousque excedant eadem spatia minori excellia. quolibet dato, siquidem ille excessus minor 1 emper erit primo parallelogrammo B E, quod diminuta ejus latitudineo minus elle potest quavis proposita quantitate; erunt autem haec parallelogramma aeque alta. ut bales, nempe ut ordinatae in Logistica paribus intervallis dissiae , adem; erunt. ex primaria Logisticae affectione cap. r. num a. relata, In continua proportIOne, unde ex primo assumpto nostronum. a. hic probato, aggrega tum Omnium parallelogrammCruin circuinscriptorum spatio
η ABCU, praeter minimum toti spatio extrinsecum C m ,.ad aggregatum omnium circumscriptorum spatio A Do B, excluso pariter minimo QN . erit ut differentia BZa Cm, scilicet ut m V Ε, ad differentiam ejusdem BZ a ino, idest ad GDK, atque adeo ut V E ad D Κ. Quoniam igitur series parallelogrammorum ejusmodi spatia circumscribentiusemper, quantacumque fuerit ipsorum multitudo, & quantum. Fumque accedant ad ipsa mei spatia, inveniuntur esse in ratione constanti U E ad D Κ, patet utique Viris Archimedeis Ripsemet Logistica spatia iis parallelogrammorum seriebus inscripta, nempe A V C B , & A D aB in eadem esse ratione
46쪽
s Sint jam altitudines BC, B incommensurabiles; p terit, ex secundo assumpto nostro num. 3. hic demonstrato, sumi BN deficiens a B Q quantitate Na minori qualibet data , commensurabilis vero existens ipsi BC; quomodo, Or,dinata N M R , habebit spatium AUCB ad AMN B eam- deni rationem, quam V Ead MR, argumento proxime allato id concludente. Si igitur major esse dicatur ratio AVCB ad AD , quam ratio linearum V E. &DΚ, poterit ipsa MR tam proxima esse ipsi DK, & tam parum ab ipsa defice re, ut ratici dictorum spatiorum sit adhuc major , quam ratio
lineae V E ad Al R, hoc est quam ratio spatii primi AUC B,d A M N B. atque aded foret A D aB minus quam ΑMN B,
quod est absurdum; si verb minor esse dicatur ratio dictorum spatiorum , quam linearum illis, ut supra , respondentium,
poterit nihilominus linea N M tam proxima esse ipsi aD. &Latium AMN B tam pardua deficere ab ipso AD B, ut ratio AUCB ad AMN B, hoc eit ratici V Ead MR adhue minor sit, quam ratio V L ad D Κ , atque adeb M R major et ipsa D Κ, quod pariter est absurdum; AEqualis igitur estiatici AU C B ad A D aB rationi U E ad D Κ . . e. d.
6. Aliam adhuc rapedationem fortasse ejusdem Theorminatis demonstrationem subjungemus , his aliis praemissis , quae demonstrasse in sequentibus non pigebit: & primo notare juvat duo quaelibet spatia Lugillica aeque alta, juxta in-
47쪽
divisibilium methodum , oliendi esse ad invicem , ut sunt Homologae utri utque ordinata: ἔ nimirum pari existente al.
titudine BC. C. Q , spatium B A V C ad C V Q Derit, ut B A ad C ri vel C V ad QDilumpta enim ubivis B x aequali C n,
& ordinatis x S, nr, erit ex natura curvae, ut BA ad x S. ita C V ad ne, & alternando, ut B A ad C V, ita x S ad n r. &hoe semper; ergo ut una ad unam, ita omnes ad Omnes, nemis
pe ut B A ad C U, ita spatium B A V C ad C V D Q ; quod
erat,&c. Neque refert sint, ne haec spatia conjuncta, tibique immediate succedentia, an prorsus disjuncta, vel ex parte communicantia, eadem quippe ratio, ut constat, perinde obi,
7 Deinde observare oportet, spatia post quamlibet ordinatam in infinitum producta esse ad invicem, ut sunt ipse ordinatae, seu bases talium spatio ru; iic D A B Q R, dc D U C R. ex parte R utraque interminata, δc infinite longa, sunt ad invicem, ut B A,& C U . Id sane constat, tum quia infinita B QR,& infinita Cint sunt aequales, quum disterant finita longitudine BC nullam rationem habente ad ipsarum utramlibet , quare ex dictis numero praecedente spatia iis adjacentia 1 unt, ut ordinatae A B, C U; tum etiam exactius sic. Diuiliges by Corale
48쪽
Diviso interminato spatio D A B QIt in infinita spatia aeque alta B U, C H, G D, &e. similiter & spatio DUC intin infinita ejusdem altitudinis spatia C V H G, G H D α, &c:
urunt utrobique, ex supra demonstratu inprMedevIi numero. spatia illa aequὸ alta, ut suae ordinatae. adebq; in geometrica progressione;omnes igitur termini B U. CH. &c ad omnes CH. GD, &e. in infinitum continuatos erunt. ut Primus terminus B U ad primum CH, ex ιδ. V. elem. aut ex 29. lemmate Tot tieellii de dimensione parabolae alias citato ; adeoque erunt, ut
B A ad C U. Quod e. d. 8 Hine ultro profluit tertium Cl. Authoris Theorema,qubdspatium duabus ordinatis interjectum est ad infinitum spatav. quod post minorem illaru exporrigitur, ut differentia utriusq; ordinatae ad minorem ipsarum ; quia enim DAB QR ad
DU C QR est, ut B A ad C U , igitur dividendo A UC Bad subsequens interminatum spatium post C U est, ut E V ad V C, & similiter R D QI ad interminatum spatium post QP est, ut K D ad D Q. 9 olia igitur primi huius Theorematis demonstratio sie instituenda erit; spatium A B C V ad interminatum V D R QCest
49쪽
est, ex num. praecedemi, ut EV ad V V ; & V DR C ad interminatum D RQ ex num. 7. est, ut VC ad QD; denique D R Qod D V C ωκ num. praeced. & convertendo est,
Ad secundum Hugenii Theorema demonstrandum, qllae MLogisticae parameter osten ritur, , quomodo aequalis A bubtaugenti. Post demonstrationem hecvudi The remotis ad quartum proceditur , quo deinon Irato, δε- terminatoqlle rectangulo aequali spatio LσιRicae in nitὸ longo, exponitur Auctoris circumspecta loquutio de ratione insiniti spatii ad stultum , ac favilliaribus exemplis suadetur insinite ueta spatia determinatae quantitati aequalia esse polle. Datia per varia rationis ordinatas in Logi Mica abscissa quam proportionem habeant; regula ad dignoscendum quando Datia infinite Anga, aut inmiti termini finitam aggregeuggamitatem, qκavis vero infinitam.
50쪽
m. DG. Quod pariter ut demonstretur determinanda prius est Logisticae, ut ipse appellare soleo, Parameter; haec autem ejusmodi est. a Exponatur linea S, quae cum quavis ordinata inter Logisticam , &axi parallelam , veluti eum UE, contineat rectan-gillum aequale spatio AVCB, adjacenti eidem curvae ad par tes axis; manitastum est, qudd eadem constans linea S eontinebit cum quavis alia simili ordinata D Κ rectangulum aequale spatio correspondenti A D B ; cum enim ex primo J heoremate spatia U A B C, D A B CDint, ut rectae V Ε, D Κ. seu, ob communem altitudinem S, ut rectangulum ex S in V E ad Uiud ex S in DK , ubi spatium V A BC suppolitum fueritaeo uale rectangulo S in V E, spatium pariter D A B equale crit rectangulo ex eadem S in D K; itaque non incommode linea S, Logisti eae Parameter deinceps appellari poterit, eo
qubd sit linea, juxta quam ipsae V E. DK pollunt spatia Logisticae adjacentia A VCB, AD 3.3