장음표시 사용
51쪽
3 ostendemus autem hanc Parametrum Logistieae lubiano genti, id est axis portioni inter ordinatam BA, & rangentemA O interceptae, semper aequalem esse, traui, posita B o aequali ipii S, juncta V A curvam tangat in A. Sumpto enim in O A quovis puncto I supra, vel insta A, ordinataque ClU, occurrente axi in C, curvae in V, axi parallelae A Κ in E: erit. obstini litudinem triangulorum OB A. I A E. ipsa o B ad B A, ut A E ad EI ; rectangulum igitur O B in Ε l aequale erit rectangulo B A E; sed spatium B A U C est, ex numero praedenti, aequale rectangulo Parametri, idest ipsius O B in UE; ergo rectangulum B A E ad spatium B A U C est, ut recta i Ead EV ; puncto autem i su pra A existente manifestum estre ei angulum B A e minus esse spatio B A uc , ergo tune i e .
minor est, quam e u ; ob oppolitam rationem, accePt O puncto I infra ipsum A , erit rectangulum B A E majus spatio B A V C, unde Sc recta I E major ipsa E V; q iare in utroque casu punctum I est extra curvam , dc ipsa o A est tangens.
Quod erat demonstrandum. Hoc posito, demonstratio secundi Theorematis Hugeniani sic instituenda erit; cum, ob similitudinem trianguloruo A B, G A Κ, iit O B ad B A, ut A Κ ad G Κ, erit rectangulum ex O B in G Κ aequale rectangulo B A K sed O Bin D Κ jam aequatur spatio ADQB . ex supradictis ; igitur reliquum rectangulum ex OB in DG aequatur residuo spatio D AK . Similiter ostendetur, rectangulum ejusdem OB in VI aequari spatio A E U; igitur ut praedicta rectangula, sive ut eorum bases D G, VI, ita spatia ipsa D A Κ, U A E ; quod
s De tertio Hugenii Theoremate, quod est Spatium duabus ordinatis interjectum esse adsipatium iusinitum, quod post minorem earamdem ordinatarum exporrigitur inter Lusicam, ejus 'o totov. ut differentia earumdem ordinatarum es ad minorem . nempe inpraecedentisio spatium B QD ese ad Da tum infinitum , quod post minorem earumdem ordinatarum exporrigitur inter Logisticam, O ejus dADmptotou, υτ dissereu, ria earumdem ordinatarum es ad minorem. ides iv praecedenti
Rura, spatium A B aD esse a spatium infinitum,quod post αλ
52쪽
hoc, inquam. Theoremate non est qubd simus solliciti, quum ejus veritas jam innotuerit ex dictis cap. praeced. uum 8. ut nihil iam addendum supersiit. nisi hoc quati corollarium, scilicet. 6 Quod spatium infinitum post quamvis Logisticae ordin tam curvae, &asymptoto interjectum, aequale iit rectangulo subtangentis, seu parametri Boin eamdem ordinatam;
nam . in D Κ ad D a. ita rectangulum ex B O in D Κ ad te ctangulum ex Bo in Din& ita etiam spatium ADQB ad ad infinitum spatium post QD exporrectum; quare quum rectangulum ex B O in D Κ sit, ex dictis, aequale spatio A D arietiam Bo in D tit aequale spatio infinito post QDexpor-7 Quae verb cireum specte ingerit Nobilissimus Auctor illis verbis: Cis pareb dicimus infinitum sipatium ad quoddam finitum in certa ratione se, hoc uvam intelligendum volumus , tam proximὸ illud aecedere ad datum spatium, quod sinuo illi patro ruicta proportione respondeat, ut disseremia minor evadere possesqualibet magnitudine data. Non ita accipienda sunt, nec eo 4pectant cercillime, ut scrupulum movere videatur CL A nor,
53쪽
num exacta aestimanda sit proportio, quam inter utrumq; spatium assignat; ex quo entili Torricellius infinitum solidum hyperbolicum in cylindrum aequalem determinatae basis. & alii. tudinis commutare Geometras docuit, necnon infinitorum proportionalium terminorum series in unam summam colligere, jam extra dubium est magnitudinem una, vel altera dimentione infinitam sputa multitudine. licet non mole, si de quantitate discreta sermo sit, longitudine,licet non latitudine. ii de spatiis superficialibus loquamur, aut longitudine, licet non crassitie, vel crassitie quidem . sed non longitudine , loquendo de solidis ita reliquis dimensionibus ad absolutam ejus magnitudinem integrandam concurrentibus limitari posse, ut quantitatem prorsus finitam adaequet..'. 8 Neque in hoc relictum esse puto Geometris ambigendi Ioeum. ue ut id Tyronibus prope incredibile videatur, qui admirationi, aut potius praejudicatae, qua tenentur, opinioni paulatim deponendae assuescent, si has fractionum series L , L, i. a , 2,εte. in eade ratione dupla decrescentes, aut a. a , 2, a
caeterasque deerescentes in ratione tripla, alia sue cujusvis rationis progressiones in infinitum minoribus. & minoribus ter minis eoalescentes in unam redigere summam attentaverint; cumque experti fuerint, non poste tot sumi in prima serie, quae . umquam ad unitatem pertingant, eo quod, in additione cujuslibet termini ad praecedentes, non additur quod ipsis deficit ad unitatem integrandam. sed. semissis dumtaxat talis defectus. puta ad 2 addendo a additur semissis ejus,quod primo termino deficiebat ad unitatem, & alter semissis relinquitur, bddendo autem duobus praecedentibus d non additur quod in prima additione relictum fuerat, nempe quadrans unitatis, sed ejus ruadrantis semissis, idest octans, altero octante relicto.. quiesectus rursus non suppletur per sequetem additionem, quippe non additur octans relictus, sed ejus semissis, nempe a . a que ita porro; nee posse tot sumi in serie secunda, quae umqua unitatis semissem restituant, quia cum primus terminus 2 de-
54쪽
ficiat per semissem sui, idest per Δ, a lemisse unitatis, non resarcit quis illum desectum addendo L, quippe qui deficiat ab L rursus per sui semissem L, hic vero non suppletur additione sequentis termini a deficientis ab illo reliducia rursus per sui
semissem, atque ita porro semper procedendo. ita ut nihilominus ad hos limites, nempe ad unitatem in serie prima. & ad semissem unitatis in serie secunda, semper propius accedatur simplis pluribus, & pluribus terminis ejusdem series, defectu semper decrescente infra quamlibet assignatam quantitatem veluti in figuris plurium, & plurium laterum circulo, aut parabolae . alterive curvo sparita inscriptis veterum more contingit γ donec penitus in seriei fine evanescat cum id, inquam,
experti fuerint, atque attenta meditatione rei hujus naturam contemptaverint, fateantur necesse erit, qu si prorsus omnes illi infiniti termini simul acciperentur, praecise forent in prima seria aequales unitati, in secunda serie unitatis semissi. n aliis alteri quantitati similiter determinandae. v Uti autem in quantitate discreta, ita in continua quae
semper iadi scretam dividi, & resolvi potest , idem obtinet; spatium quippe infinitE longum in spatia determinatae longitudinis multitudine infinita re lui potest, quae poterunt se per minora, & minora esse, si latitudo proportionaliter decrescere intelligatur, ita ut i Ila infinita spatia per ordinem c rei pondeant infinitis terminis alicujus geometricae progressionis, uti certe correspondent spatia Logistiea ad aequales axis portiones abscissa, uti ex dictispraeced. cap num. 6. colligitur omnia ergo hujusmodi aeque alta spatia per infinitam Logisti. cae longitudinem distributa, quum sint quaedam series geom triea proportionaliter decrescentium terminorum in ratione, vel dupla, vel tripla, vel alia qualibet, prout extremae ordia natae cujuslibet aeqvh alti spatii in data ratione aeceptae fuerint, determinatae magnitudini aequalia esse, prout in tractionibus Contingit. nil prorsus repugnat. imo vel ex hoc ipis, quod in se etionibus ostendimus, evidentissime ita debere contingere
demonstratur; idemque similiter de spatiis aliis infinite lon. σε
55쪽
gis, de quibus passim Geometrae, & nos infra nonnulla dicturi sumus, absque scrupulo pronunciandum, qudd scilicet deteris
minatae magnitudini aequalia sint, dummodo tota prorsus accipi intelligantur, nulla ipsorum portione relicta; quod quia
conceptu dissicillimum est, quum infiniti natura respuat, nedum ut totum integre designari queat, sed etiam ut imaginatione comprehendi valeat, itaui, post quamlibet partem, non aliam, & aliam ejus extensionem cogitemus, quIppe cujus ultimum limitem non concapimus; ideo prudens Auctor caute addidit: Spatia illa, non tam absolute infinita, quam juxta illam dimentionem interminata, ad datam cum spatio finito proportionem tam prope accedere, ut distare possint deiectu minori quolibet dato, quamdiu scilicet illud spatium indeterminate sumitur, ut longius, ac longius protensum, nec totum
semel integre accipi intelligitur, aut saltem accipi fingitur. io Mirum autem nemini videatur, qudd idem spatium Logisticae infinite longum in spatia cujuslibet progressionis, nempe terminorum in ratione dupla. tripla, quadrupla, sesquialtera&α decrescentium in infinitum distribui possit, pro varia
portionum axis altitudine, quum tamen progressiones diversarum rationum non ejusdem sint valoris, sed progresso dupla aequalis unitati, tripla semissi unitatis, quadrupla trienti, &c. non enim eadem est quantitas, quae locum unitatis obtinet diavilo Logist icae spatio in terminos rationis duplae, ac quae eamdem unitatem repraesentat, cum dividitur in terminos rationis
triplae, aut quadruplae; siquidem in primo casu unitas est duplum primi spatii, in secundo triplum spatii primi, in tertio
quadruplum.&c, quae sunt quantitates longe diversissimae; interea hinc habetur,eamdem magnitudinem esse duplam spatii, cujus ordinatae sint in ratione dupla, dimidiam tripli, hoc est sesquialteram, spatii,cujus ordinatae sint in ratione tripla, trientem quadrupli, hoc est sesquitertiani spatii, cujus ordinatae sint in ratione quadrupla, atque ita deinceps, eadem existente Omnium horum spatiorum majori ordinata, singulis pro communi rationis antecedente inserviente; adeoque si totum Logisticae infinitum spatium ponatur esse partium tr. spatium primu,
56쪽
ordinatae in ratione tripla, partium 8, dc cuius in ratione quadrupla, partium 9, ac similiter de aliarum rationum spatiis ratiocinari licebit; id quod tamen ex primo etiam Auctoris Theoremate facile deduci potest. ii Nescio autem, an obiter, dum ferrum candet, exponere generalem regulam juvet, qua dignosci possit, quando spatia infinite longa, vel termini multitudine Infiniti, etiam cum decrescunt, quantitatem absolute infinitam adaequent, & qua-do prorsus finitam, ac terminatam. Eam certo ante plures annos , quum Theologicis itudiis adolelcentes naitros imbuere,
i n quada Appendice ad Tractatum de Uisione Dei, talem proferebam . Quoniam, ut innui in notatione Praefationis Ut vianeorum Problematum. 27. duarum quantitatum ratio Componitur ex rationibus singularum dimensionum illas quamitatibus: competentium, & Invicem comearatarum , expendendum est, num ratio ex his composita sit ratio finita, necne. Jam, aggregatum plurium terminorum, quatenus quaedam dis creta quantitas eit, unam tamen continuam magnitudinem,& quantitatem integrans, duas habet dimensiones, quippe ex duplici capite quantitas ex hisce terminis aggregata crescere,& major fieri potest, nimirum ex terminorum multitudine, &ex propria singulorum quantitate ; qub plures enim termini adunantur, eo major, caeteris paribus, quantitas consurgit, Puta quo plures fractiones in unam summam colliguntur , ebmajor summa conficitur; & stante alias pari terminorum multitudine , qud majores in se ipsis singuli fuerint, eo pariter major magnitudo colligitur; sie tres fractiones decimales majorem summam conficiunt, quam tres millesimae, aut centesimae; ut erso videamus, num propositis quibuslibet infinitis terminis, ij quantitatem infinitam aggregent, an tantum finitam, Observandum est, an crescente arithmetich in infi nitum ipsorum ultitudine, decrescat pari ratione, aut majori, vel minori ipsorum quantitas; si in eadem ratione decrescat, ut in 1. - -
a I , &c. ubi secundus terminus est semissis primi , tertius triens ejusdem, quartus ejus quadrans, &α prout multitudo duorum est dupla unius, tria est tripla, quatuor quadrupla, dic.
57쪽
proeul dubio quantitas omnium simul lotinita erit, quia elim
terminorum multitudo sic aequipolleat ipsorum abbreviatio. ni, seu parvitati, ratio quantitatis talium terminorum ad alia assignabilem quantitatem, puta ad unitatem, utpote composi.ta ex ratione multitudinis, ct parvitatis eorumdem terminorurespectu diei e unitatis salter ratioue altoram elidente) erit
ratio infinita, & ipsorum terminorum quantitas aequipollebit quantitati infinitorum terminorum invicem aequalium, quae certissime infinita est. At si in majori ratione termini decrescant, ut accidit in serie bus numero S adductis, quae geometrice decrescunt, crescente terminorum multitudine arithmetice s atque in aliis benE multis, quae etsi non geometrice, Omnibus tamen compensatis in majori ratione decrescunt, quam erescat ipsarum multitudo ) tunc praepollente parvitate singulorum terminorum eorumdem multitudinis incremento, prodibit ex utriusque compositione finita ratio, & aggregabitur quantitas prorsus finita; quando autem in minori ratione decrescant termini, quam illorum pluralitas augeatur, ratio plusquam infinita exinde consurget, seu a sortiora, quam in primo Casu, dicendum erit, omnium aggregatum quantitatis este simpliciter, ut ajunt, infinitae, praepollente multitudinis incremento ipsorum abbreviationi terminorum.
ii idem applica superficiebus, aut solidis, quorum una, aut altera dimensio infinita sit, altera tamen, aut reliquis continue diminutis; prout enim in majori, aut eadem, minori veratione minuetur altera dimensio, quam crescat ea, quae in infinitum extenditur, judicandum erit spatium illud praecise finitum esse, aut infinitum, vel plusquam si dicere liceat) infinitum Hinc CI. VVallistus in Arithmetica Infinitoru optime observat, spatium hyperbolae, & asymptoto interjectum, cujus latitudo in eadem ratione minuitur, in qua longitudo a symptoti crescit propter latera parallelogrammorum aequat Ium ejusmodi spatio inscriptorum necellario reciproca ) este idcirco infinitae prorsus magnitudinis, in hyperbolis autem aliorugraduum, ex una quidem parte finitum esse, ubi in majori ratione decrescunt lineae ad asymptoton ordinatae, atque adeb
58쪽
latitudo ejusdem Batii. ex altera autem parte, idest ad aliam asymptoton, pluiquam infinitum existimandum, eb quod in miciori ratione ordinatae decrescant; id quod in aliis etiam spatiis, tum solidis, tum superficialibus observari potest.
2 artum ingenii Theorema,pridem demonstratum nova demonstratione per diversam methodum stibilitur ;Tractoriae proprietas hinc deducta, quoI ordinara adaequales curva partes sint invicem proportionales . Cuilibet curvae tangentem dueere. Velocitates in di-τersis curvae punctis sunt, ut. facta ex ordinatis in sub- tangentes alterve sumptas. D msterbola Dut,ut quadrata temporum contrarie sumptorum. Determinatio tangentium ad infinitas parabolas. Ea de expeditior. In aliis curvis quomodo tentanda. Variarum ad id constructionam demοη Eratio. Subtangens curvarum,
quae admodum Spiraliuin describuntur. Infinitae Spiralium species quas subtangentes habeant, ct quomodo in itis parabolis respondeant. Tangens Spiralis Geo. metrice , ct quarumvis figurarum per alterias convolationemgenitaruin. Tangens cineboidis Nicomeder, aliis infinitis Conchoidibus, ct Subconchoidibus appli eabili methodo ostensa. Eadem geometrica demonstratione confirmata. Tertia demonstratio quarti Theorematis Hugeniani . Curvaparabolica Logisticaesemper perpendicularis.
59쪽
a Uartum Auctoris Theorema; uubdsubtangens, ut BO L in eadem figura , ejusdem semper es longιIudinis, ad
quodvis Logisica punctum tangens per . ineat, at ia demonstrati ne non indiget, quum probatum fuerit cap. q. uum. 3. subtangen tem aequalem tum per elle Para metro hujus curvae, quae linea quaedam constans, & definita est; verum ad pleniorem sciet iam id aliter, atque aliter demonstrabimus, diversa methodo, eaque ad alias longe veritates applicabili. a Secunda igitur hujus Theorematis dem stratio sie in si itui Poterit. Sintyl. i. hujus diagrammatis quaelibet ad axem Logisticae ordinatae AB, VC, tangentes ad eadem puncta AO,
Q. Dieo Intereeptas ordinatis, A tangentibus B O , C a
squae subtangentes appellantur aequales esse. Sumatur quantumvis parva B Ε, illique aequalis C G, ut ordinatis Ε GF portio tangentis AD ferε eum curva A D. & portio tangentis V F fere cum curva V F coincidere censeri possit, ob infinite parvum intervallum utri vis ordinatarum pari interjectu rerit igitur ex natura curvae, in qua sunt puncta D, F, ipsa A Bad ED, ut CV ad GF, juxta primariam Logisti eae ammonem, rursus cam puncta D, F lupponantur di in tangenti bus
60쪽
esse . erit AB quidem ad ED , ut BO ad OE; CV verbad G F, ut C G ad QG; ergo eadem erit ratio B P ad Ο Ε,
que C ad QG, & per conversionem rationis eadem ratio B O ad B E, quae QC ad C G; suntq; consequentia aequalia; igitur & antecedentia BO, C equalia erunt. Q e. d. Poterat rigorosius argui per deductionem ad absurdum, sed quorsum itast observa potius quid evenisset, si natura curvae ea foret. ut sumptis non in axe, sed in ipsa curva aequalibus portionibus AD, UF. eaede ordinatae proportionales essenta An non enim eodem argumento constaret, o A ad A D esse, ut
Q.V ad VF: unde consequentibus aequalibus existentibus. etiam antecedentia, scilicet, tangentes ipsas AO, V sibilibet aequales futuras, adelique ejusmodi curvam illam ipsam fore, quam Tractoriam vocant λ eam scilicet , quam describeret grave A funi AO alligatum, dum funis extremum oper rectam O in trahitur in eodem horizontali plano; pondus siquidem perlaeie sequetur ejusdem funis directionem, adeoque ejus viae tangens erit perpetuo eadem funis longitudor quamquὶm hoc generale est , ut cum relatio ordinatarum ad axem mutatur in relationem ordinatarum ad curvam, eadem