장음표시 사용
181쪽
Theorem. Hugen. Cap. II. I 6 i
quam ordinantur, & quanto majori invieem intervallo distant; ideli cautum fuisse in demonstratione squemadmodum & facit Torricellius de dimens parab. propol. ao. cujus haec nostra imitatio est ut linea Fq aequalis sumeretur ipsi QPF, ut circulus radii n q, qui ad illam applicatur , comparari legitime posset eum cylindrica superficie ex QN rotata, & ad punctum α, distantiamque suo solido inserta; atque utinam id observasset qui solidum hyperbolicum infinitae latitudinis metiri agressus est, non enim illud I perinde ac infi-
litὶ longum Torricellii)finito cylindro aequaIe tam praepropere conclusisset, neque exemplis aliis indivisibilium usum in suspicionem adducere tentasset. Si methodi certitudo ex il- legitimis applicationibus sit aestimanda, nee Veterum Inscriptiones extra discrimen futuras, quippe iis abusus est Guarinus in suo Euclide methodico, ubi Spneroidis, &Conoidum omnium superficiem ad mensuram vocat, atque ubi generaliter cujusvis Conoidis superficiem ad cylindricam circumscriptam se habere statuit, ut genitrix figura ad rectangulum ei cum scriptum: Fermatius quoque analyticae suae methodi,perquam pulcherrimae, ac simplicissimae, applicatione ad tangentem Quadratricis determinandam insceliciter usus est, nee- noli V Uallisius compositione motuum ejusdem Quadratricis . perperam considerata, aliam quidem, sed aeque a veritate alienam ejusdem tangentis constructionem adornavit, uti alias j X mo.
182쪽
monuimus. Item Guarinus, Sturmius, Borellius, Rilialdi. nus circa Spiralis Archimedear longitudinem hallucinati sunt, quamquam rem se demonstraste putaverint, ut in Epist Geoni et r. au P. Cevam ostendo. Quamquam Viris Clacissimis, ac de Geometria optime meritis, quorum ptimus superistes adhuc hanc scientiam novis inventis illustrat, nolim quidpiam hoc loco detractum esse, quum, si quid ipsis fraudi fuerit, huma nar id vitio conditionis, cui omnes obnoxii sumu5.tribuendum M , praeclarissimis vero operibus ita sibi Nominis Immortalitatem comparaverint, ac posteros devinxerint, ut nihil his decedere possit, ex qub sublimioribus meditationibus distracti, haud satis attente perpendere curaverint leviora haec, quae ad methodi nostrae defensionem, Lectorumque, quibus prodesse cupimus cautelam adnotare coacti fuimus, ne ama. guis, ut ait ille, nomi nibus praejudiciumsteret Veritati. ii Opportune autem sut ejusdem propolitionis usus amplius pateat) hic illam applicare juvat curvis superficiebus, quas gignit curva quaelibet B N V, tum circa basim F B, tum circa axim F a rotata; utique enim centra gravitatis ejusmodi curvarum superficierum a circulo suae hasis distabunt in iisdem rationibus, in quibus centrum gxavitatis curvae lineae genitricis, tum ab axe, tum a basi distabat; idque, facta eadem constructione, eodemque ratiocinio manifestum est, sumpto puncto N in curva circa basim, &puocto n simili, eodemque
183쪽
demque seu tantumdem ab homologis extremis distante in curva circa axim rotanda ; utique cum sit linea P N ad qn, ut distantia q F ad distantiam FP propter aequalitatem homologarum linearum ) etiam peripheria radio P N incurva superficie descripta per rotationem circa basim . ad peripheriam radio qn descriptam in altera curva superficie ex rotatione ejusdem curvae circa axem, erit, ut distantia hujus a termino F ad distantiam illius ab eodem termino ; aequi- ponderant igitur ex F di me peripheriae, aliaeque omnes per quaevis eurvae genitricis puncta in utraque illa conversione
transeuntes, totidemque in una sunt, quot in altera termini
sequi ponderantes, nam dictae peripheriae eamdem curvam, &ad idem prorsus punctum stringunt, unde non plures hinc, quam illinc computantur ; quare Scipis su perficies curvae ex eodem puncto F aequi ponderabunt, eritq. reciproce, ut una superficies ad alteram, live ut distantia centri gravitatis curvae a linea, circa quam hinc, & illinc convertitur, ita distantia centri gravitatis hujus ad distantiam centri gravitatis illius, uniuscujusque nimirum a circulo suae balis per F tran. seuntis. Unde mirsim quot Conoidum superficies centrum gravitatis sibi determinent . Quaecumque autem de suli dis rotundis , deque rotundis superficiebus ex eadem figura, vel linea qualibet circa axem , & circa haesim rotata dicta sunt, perinde similiter obtinere in Ungulis solidis, aut superficialibus , plano per axem, vel balim transeunte, & ad eumdem angulum utrinque inclinato, abscissis ex cylindris super easdem figuras erect is, clarius est, ac inter Geometras magis vulgatum , quana ut hic a nobis exponi indigeat, ob proportionalitatem, tum triangulorum similium, quibus Ungulae lolidae secantur, cum circulis rotundorum solidorum, tum laterum Ungularum superficialium , cum peripheriis circularibus rotundarum superficierum homologarum. ia Quamquam in nostro proposito Logisticae, utique tota curva centro gravitati S carere censenda est , adebque ad
invenienda utriusque saperficiei curvae, ambarum ejus Co-noideon, centra gravitatis. observatio nostra in hoc, & simillibus calibus inutilis manet ; Ratio est . quia si quod habe-
184쪽
ret gravitatis centrum curva Logistiea BNM , illud eerte in axe non foret, ed quod curva suam convexitatem illi obvertat': sed neque in ulla ab axe distantia; quantilla enim . haec foret, circumferentia a tali centro descripta, in conver- Isione curvae circa axem , determinatae alicuius longitudinis :esset, &reflangulum ex ipsa in curvam infinitam Logisticae, adeoque & superficies curva, in rotatione circa axem delarieta, immensae magnitudinis foret; cum tamen finitam esse sic demonstretur. 3Ad quamlibet ordinatam D N, aut illi pa- irallelatu F A B, applicentur ipia tangeates NC, MG; itaut Π
ductis avi para1lelis N Ao, M HO, seeetur A o aequalis ltangenti NC,& Ho aequalis tangenti,MG satque ita semistillo, quousque compleatur figura A POL Fι ineo non in rigistrea modb ι sed in quavis curva, facta simili construis i
185쪽
portionem curvae superficiei a curva M N, parallelis M H O,N Ao intercepta, progenitam ; sumpta siquidem quantumli. het parva tangentis particula Nr, aut Me, ac ducta parallela: rs; cum sit tota N C, idest Ο Α, ad N r, ut D N, veι sFA, ad As seodemque modo GM , seu O H ad Lir, ut lΕM , vel FH. ad HS erit rectangulum O AS aequale re- .ctangulo ex D N in Nr, & GHS aequale rectangulo exEM iin Mr; atque ita semper; itaque Ungula superlicialis ex cylindrico ipsi curvae N M insistente, resecta plano, Per axemui transeunte, & per ψ s. gradus ad Nanum basis inclinat q i in
qua Consequenter erectae forent ad singula curvae puncta rectae lineae ipsis ordinatis aequales erit aequali spatio congruenti, a curva oo L terminato is quippe tam bene coincident rectangula DNr, EMr cum portionibus talis superficiei, ob tangentes infinite parvas cum curva coincidentes, quam coincident rectangula G As, O HS. cum spatio ipso a curva o o terminato, Obinfinite parvam singulorum reces a n-gulorum latitudinem; praedicta vero Ungula eli ad curvam suis perficiem a curva circa axem rotata genitam, ut radius ad cir-:umferentiam circuli, quippe in Ungula ordinantur ipsae D N, L M, punctis curvae insistentes , in superficie vero rotunda ordinantur earumdem peripheriae; itaque sp tium sic determinatum a curva Oo L erit ad rotundam superficiem solidi ex curva circa axem rotata, ut radius alicujus circuli ad ejus
circumferentiam; & quoties spatium A O ci L F finitum erit, etiam illa rotunda superficies pariter determinatae magnitudinis esse convincetur; est autem illud spatium finitum, quoties Ao, Ho. id est ipsae tangentes NC, MG in immensum non excrescunt, uti accidit in nostro casu, in quo semper fiunt minores, utpote sequales Potentia eidem quadrato t. subtangentis, simul cum quadrato ordinatae minoris, ac mino- : iris in infinitum; quo constat spatium AOLF . cujus longitudo determinata AF, latitudines autem ubique A Ο. H lti caeterae, nedum non infinitae, sed semper minores, usque iue ad ultimam FL soli: subtangenti aequalem , insnitum este non posse , imb esse minus rectangulo F AO illud circum, bi
186쪽
ia Manifestum est porro, curvam Go L in hoc easu esse hyperbolam aequilateram, axe recto F A, semitransverso F L. subtangentis longitudinem aequante, descriptam, quippe ultrama tangentium, evanescente Ordinatae quadrato. erit potentia, adeoque & longitudine aequalis soli subtangenti ; intelle cta igitur FD eidem aequali,ut integer axis transversus sit D ia
atque ordinatis Ο P. O P; quoniam disterentia quadrati tangentium, sive ejus aequalium Ho, vel Ao, idest FP, FP. a quadrato subtangentis F L, est quadratum ordinatae E M, aut DN, sive ipsarum GP; erit semper rectangulum D P L aequale quadrato P Ο, adeoque hyperbola L Oo aequilatera. 14 Est autem hyperbolicum spatium AO OLF aequale rectangulo ex subtangente Logisticae in parabolicam curvam illam, quae Logisticam perpendiculariter secat, juxta determi-uationem cap. s. num. ι . propositam , quaeque eamdem . seu aequalem laicipit ordinatam, aut eisdem axi parallelis interiicitur; sit enim ejusmodi parabola Fid , cujus lemi parame ter aequalis subtangenti Logisticae, videlicet FL, Iaugenti in
187쪽
puncto i , seu ipii curvae perpendicularis i X abscindens ex axe infra ordinatam ty ipsam y X aequalem semipara metro,
seu ipsi FL juxta ibidem dicta itaque Xt aequabitur H Ο,& dulla quavis axi parallela , erit Xt ad Xy , seu o Had L F , ut quaevis et 'gs iis portio, lineis infinite proximis Hr, intercepta, ad orditissae y t portionem, iisdem lineis interpositam ; rectangulum itaque ex hac ordinatae portione in H O semper aequale erit recta figulo ex donstante linea F L in illam tangentis portionem, omniaque re ebla spatio hyperbolico adscripta aequabuntur rectangulo ex F L in curva parabolicam F t T. ac partes partibus correspondentibus; itaque reflangulum sub circumferentia, radio FL, seu subtan gentis Logisticae descripta, in curvam parabolicam F t T,sequale erit curvae superficiei rotundi solidi ex Logistica N M circa axem voluta progeniti , partes etiam correspondentibus partibus aequabuntur, & t. lis curvae superficiei portiones, planis ciuibuscumque DN, EM interceptae, erunt ut Partes parabolicae curvae tT, inter axi parallelas ab iisdem curvae pun -ctis duetas conclusae. ' .is Assine huic est, quod in solido ex Tractoria circa axem
revoluta nuper detexi, nempe applicatis tanFentibus ad singula ordinatae puncta, quae, utpote aequales, conabunt luperficiem parallelogrammam A OP F, subtangentis longitudine,& ordinata contenta, erit infiniti illius solidi superficies sequalis superficiei cylindricae ex F Α ΟΡ circa axem revoluto, quippe quae pariter ad parallelogrammum OF sit, ut circumferentia ad radium ; quapropter etiam curva Tractoria gravitatis centro carere dicenda erit , sicut Logistica , & aliae quaevis interminatae lineae, finitam juperficiem sui rotatione describentes.
188쪽
Theorema Decimumqxintum in quinque partes divisum alias demonstratum . Figurarum ad eumdem axem compositarum, si portiones unius proportionentur omdinatis alterius, quomodo tangentes determinandae. Alia demonstratio primae, ct tertiae partis hujus Iabeorematis. mperbolicum spatium aequale rectangulo Ordinatae in alteram Logisticae subtangentem. Tan gens Expansae Ungulae cylindricae determinata. Generalis constructio tangentium pro omnibns ungulis etiaex cylindro non circulari ab scissis. Solidi ex Lusica infiniiὸ longi superficiem finitam esse rursus δε-
monstratur . Huperbola ungulae Logisticae correlata; ut parallelogrammum Logistico trilineo circumscriptum ad ipsum trilineum, ita cylindricus Lusicus . ad suum truncum , ita H perbolicas e lindricus ad truncum suum. Rotundam solidum ex Dperbola ad rotundum ex Logistica , ut inscriptum buperbolae parallelogrammam ad Logisticae sub tangentis quadratum . Caeterae Theorematis panes ex longioribus - Luarithmorum tabulis determinandae. Auctoris veriba circa hyperbolae quadraturam ex Tractatu de evolutione curvarum adducta. Operbolae quadratura per Tractoriam.
ILtimum Hugenii Theorema quinque partes complectitur, quas demonstraturus, & simul referam, & tuis asteriscis, ordinis , & claritatis servandae gratia, distinguam .' ait Disiliam by Corale
189쪽
ait igitur: 'i Notum jam est, hanc Lusicam lineam tetragonimo Θperbolae deservire , pos demonserationes P. Gregorii a S. Vincentio circa Dperbolica patia, duabus ad alteram UFmptoton ordinatis interjecta. a Quodque s duo fuerint hujusmodi Datia , is quibus ordinata unius sim , ut GD ad HG
in stima figura , O ordinatae alterius . ut BF ad CE , Megpatia erunι interse, M linea D G, O FE. '3 Nondum auiarem, quod sciam, notatum fui , haec ina spatia Θperbolica esse adparallelogrammum Θperbola s A voco parallelogrammam. eujus latera μι dua ad utramque UINIOIon ordinata ex eodem puncto sectionis ut unaquaeque linearum D G, FEad stibi gentem FO . '' deὸut, si para elogrammum Θ- perbola supponatur paenium O43 29 48m , quodlibet Θρον-holicum spatium duabus ad alteram a Tmptoton ordinatis ιmefectum erit ad Me parallelogrammum , iuι Logariιhmus pro portionis earumdem ordi Iarum, videlicet, ut diserentia Logarithinorum numerorum, exprimentium proportionem oriana. rarum, ad numerum O , ε 3 29 8i9 ,' acceptis scilicet Logarithmis decem notarum ustra characteristicam. 's Hine porris facile es veritatem ostendereTeiragovismi Θperbolae, abs memo- positii in Tractatu de Evolutiove livearum curvarum, quem m. logio meo incisiatorio inserat . r.
190쪽
. - a Primam, & sedundim partem jam cap. 6, num a. 3. 9 4. abunde ostendimus; tertiam quoque partem , adeoque & reliquas ex his consequentes , ibidem num. 6. & 7. in aperto posuimus , ut nihil opus sit superaddere , plenioris tamen scientiae, atque Lectorum utilitatis gratia , rursus eadem demonstrare aggrediar, generali hoc Lemmate praemisso, quod& in praecedentibus quadante nus attigimus : nimirum . Si duo spatia quaelibet A QR B, SRB ad eumdem axem BReor aetata fuerint . itaut semper unius portiones, a termino QR eomputatae, proportionales sint ordinatis alterius, putab N QR ad OTRQ, ut FS ad T P; manifestum est, qubdeonstans quaedam linea K se habebit ut parameter compa rationis s eo modo , quo castite . num. z. parametrum Logi insticae exposuimus) ita ut, si Κ in F S adaequet spatiu FN QR, etiam Κ in I P adaequet spatium To R; fiat ergo, ut Kad FN , in F D ad FS seu ponatur NFD rectangulum aequhle spatio N FR dico junctam Ddi tangere curvamR P S in S. Patet id, tum ex cap. 6. num. 8. ubi generaIiter monuimus, in curvis praemissae conditionis, esse G M ad SIRideit, ob triangula similia, FB ad F D, aut rectangulum alteri figurae adlcriptum B F N ad N F D , ut idem rectangulum Diuiti do by Gooste