D. Guidonis Grandi ... Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas gemetricè exhibita. Accessit & hyperbolę dimensio ope tractorię, & innumerarum parabolarum, hyperbolarumque rectificatio, et alia complura scitu dignissima

71쪽

vis acu ratum determinat, inserviet etiam pro simili dimensione quorumvis propositorum spatiorum ab hyperbola resectorum.

s C H O L I O N. HAEc ad quadraturam Hyperbolae per

I uitas operbolas quadrabiles pertinent; superest ut idem per Infinitas Parabolas assequi tentemus, id quod multo adhuc facilius et expediti Us obtinebimus , Nam hoc , ut praefati sumus, nobis olim palmarium fuerat, cum sese ut peregrinam menti noli re haec Veritas obtulisset, i quam demum inter Geometriε Lares olim receptam depre-- hendimus; sed sive novam , sive antiquam horum

mathematicorum receia .

suum incolam, sic: illam nos ador

namus.

72쪽

H Derbola A B inter asymptotos ΜC D exia sente, quibus sint parallela AED, BEFconmenientes in E , co uncta mero ad centrum

O G E fumator tertia Voportionalis Ε Η , ω quarta E I, deinceps in infinitum. Aro, lineam F B aquari omnibus ιllis ι nitis terminis E F , E G , E H, E Icte. Ompletis enim parallelogrammis DAM,

FB L aequalibus per Ia. 2. Conic. erit

F C ad C M, seu F G ad MA, vel F E, ut eadem M A, vel F E ad F B ; quia ergo F Best tertia proportionalis post FG primam

differentiam proportionalium terminorum, et F E primum terminum, erit ex prop. 1. F B aequalis onnibus simul praediciis terminis. Quod erat&c.

PROPOSITIO XIV.

Isdem possis, ct intra triangulum C AD A descripta;ritineo parabola quadratios CHARcujus

73쪽

euius vertex A, tangens merticis AD; rstineo parabolς Cubica CIA D , ct aliis io. nitum altiorum gra um ex ordine succe

dentium .

Dico, Spatium perbolicum ΑΜ FB squari parallelogrammo MAEF , cum triangulo AEG , ct trilineis parabolicis A E H, A E Lepterisque deinceps per eandem ordinatam F B

erunt continuli proportionales, nempe correspondentes potestatibus abscissarum D Α, A Eordinatim crescentibus, ergo perprop. prsced. erat aggregatum ex ipsis equale toti FB similiter ducta quavis alia parallela fb, ostendetur , hanc aequalem esse aggregato linearum correspondentium se, ge, be, i e &c. ergo omnes lineae spatii hyperbolici M ABF aequales sunt omnibus lineis parallelogrammi MAEF, nec non omnibus Trianguli G A E, & trilineorum HAE, IAE&c adeoque ex methodo In- divisibilium t quam in prssenti negotio, &ipplerisque antecedentium Propositionum facith

74쪽

facile ad Veterum exhaustionesta reduces, loco linearum assumptis aequb altis parallelogrammulis figuras circumseribentib Is spatium Hyperbolicum A M F B aequatur parallelogramino , & Triangulo , Tri linei liaque parabolicis supra descriptis. Quod &c. COROLLARIUM I. HInc habetur, idem Hyperbolicum spatium AMFB vel huic aequale ADLB aequari parallelogrammo A E F, cum semissi sequentis AEG, & trienti alterius ΑΕΗ,&

sequentium parallelogrammorum continuδproportionalium, quorum summa aequatur

ipsi M FBN f ob basium squalitatem prς-

ostensam , Patet enim , cum eX allis, tum

ex nobis cap. 8. Hugenianorum v. IO. nediam

triangulum GE A esse circumscripti sui parallelogrammi semissem, sed trilineum parabolae Quadraticae esse trientem, Cubi-cq vero quadrantem, atque ita deinceps, suorum Iespectrue parallelogrammorum. E CO-

75쪽

TT Nde sequitur, complementum paral- lelogrammi M F B N , scilicet resiid uti spatium BN , aequari reliquo semiisi parallelogrammi AEG,&duobus residuis trientibus parallelogrammi AE H, Cum tribus quadrantibus sequentis A E I , & &c. subsequentium.

COROLLARIUM III.

TI Inc obvium est arithmetica seriem extinbere dictis hyperbolicis spatiisqqualem, adeoque aream hyperbolicam numeris quam proximh exprimere , ad Ipsius valorem cum nostro rectilineo spatio comparandum , si videlicet, determinato, ut Prius, inscripto parallelogrammo A D C Mpro unitate , & MAEF pro quavis ejus portione ' a , & consequenter AEG aa,AEHzzat , A EI α αε &c. dicatur spatiu

76쪽

mavis parallelogrammum MAEF pone

&c. Nimirum si A E ponatur semissis ipsus A D, spatium ABFM f jam terminatum ordinatis rationis duplae erit tae

ma series de qua in prap. I 2. eandem aequalitatem ostendimus spatiu vero A b B N α

PROPOSITIO XV.

C Andem Quadraturam analytica ostensione confirmare, ejusdemque cum Leibnit iana consensum aperire.

I D non melius assequar, quam si dostis- A simam Epistolam hoc loco rescripserim,

77쪽

aggressus est Geometriae, & Analyticae rei consultissimus Adolescens, & de quo magna sperare liceat, Gabriel Manfredius, Eustachii Clarissimi Mathematici, atque Altronomi Pr stantissimi cujus Tractatum de Curvis Planetariis Cassinianis, cui dudum incumbebat , expectamus, otiumque ejus perfectioni necessarium ipsi apprecamur Jin Patrio Bononiensi Archigymnasio Mathesim publice Profitentis, Dignissimus Frater, quum illi meum hoc inventum de more communicassem, eaque utrumque nostrum sollicitudo teneret, an non Cum

Leibnit Ziana Sectoris Conici Quadratura Actorum Libig i 601. Mense Aprilis propOsita consonum esset; Neutro scilicet nostrum in Cl. Mercatoris operibus tale quid de Huperbolae Quadratura jam diu propositum esse suspicante, quod postmodum animadvertimus, ut in prςfatione jam dictum. st ostendit enim ex iisdem Lethnitis etiam Calculi principiis Aream Hyperbole , tum ad notiram, tum ad Lethnitzianam sericaa reduci posse. Ne vero Tyronibus

78쪽

Geometricis salebrosior ejus ostensio videatur, ubi paulo pressius arguit asterismos apponam paren est inclusos , aisque ex Ordine respondebunt Notet ad calcem Epistolae subnectendae, quibus omnem deductionis vim in aperto posuisse me arbitror.

- GABRIELIS MAN FREDI

EPISTOLA AD AUCTOREM

Propositionis hujus demonstrationi

inserviens. ιC It inter asymptotos C H, C F Hyperbola A G, eujus puncta qus is duo A, 9 G, ct per G sit a b toto G F parallela G H, nec noxia per A asu toto HC parallela A E , ipsam GH secans in B , C.F vero in E , ct supponatu ipsi B G in inite proxima bg, ct per b ad BG

79쪽

cte. a J quare series bae erit aqualis spatis A BG, quod tua subtilissima laetentioni ad a-mUsim consonat.

Sed 9 Lesin triana similiter ostendetur Quadratura in seqv.fig. 4. Esto enim axis Hyperbola G A ipsa recta C A E 9 eius quidem semitrans erysim C A zz a , semisecundariunta mero C F zz I , ct assumpto quoetis pue cto Hyperbola G , eique proximo g , iungatur C G diametcr , erque proxima alia Ce, 9 juncta G g qua taneens erit J secante axem in D, ducatur ex D ad CG perpendicularιs X D , ct pomsio lines AT, qua continetur inter A tan

80쪽

posita quantitate Gaa xx t 1 'x't a xx

gula C G E , C D Κ, erit Κ D equalis