장음표시 사용
131쪽
mar numerorum: horum ergo summa 28. Et quia productus cum mirima facit 6 relinquitur productum esse 36. Eo itaq; loci deducta res est, ut duos numeros inueniam quorum summa sit as,productus uno in alterum multiplicato 36. Esto maior
INta : erit minor 1 -IN. reliquum est, ut qui fit uno in alterum multiplicato, nimirum 1 6-i it 36. Fili Q qualis 16O. Quod si ioci esset quadratus numerus, soluta esset quaestio. Enimuero i6o est excet Ius 196 si ra 36. Et i06 cst quadratus numeti l . qui est semissis deas. itaq; i96 sunt semistis 28 in seductus. At 1sse misisses de 36. ergo i sunt quadrans deso. Est autem 16 interuallum duorum ci
horum 64 dc s.& 36 est cuborum horum summae semissis. Itaque eo redactiis sum, ut quaerendi mihi sint duo cubi, quorum interualli quadrans in se si ducatur, ipso rum cuborum semisse de quadrato qui sic fiebat subducto, quadratum relinqua tur. Sit latus maioris cubi i N ti, minoris i N- i. sant cubi . maior i C tam rNti. minor i C t 3 N-3 Q-- i. Horum interualli quadrans est Q et: qui si in se ducatur, sunt l. Vnde si semissem summae cuborum,
quatur quadrato. Sed propter minutias omnia multiplicentur prius per crunt s.
6 Qt i C-ir N. Additis ec detractis iitrobique aequalibus, tandem 3r C a quantur 16 ubiti N l. lam ad ea quae posueramus hoc conseratur. Cuborum late ra posuimu maioris i N ti, minoris i N-i. erit hoc ,illud Cubi ergo ipsi maior -: ., minor Hi. Venio nunc ad id quod erat initio propositum, ac quaero, quomodo duo num cri dentur, quoru productus uno in alterum multiplicato, cum sunt maipsoru numeroru conluctiis,cubii '': l faciat. idemq; producitis lumina eoru muLtatus, cubu i . relinquat. Et quoniam interuallu horti cuborii duplia est summae numeroru estq; hoc interuallii ' in summa ipsoru numeroru erit it . Ac quado pro ductus chi summa conluctus, cito de summa est r: productus ergo erit Quod reliquii est ut conficiatur demonstratu est libro primo : sed explicandς cauta questionis denuo oste damus. Ponamus primu i N ca semine summς ipsori . hoc esti Nim:.crit secuitus' ':-t N. iumma eorti utiq; est.sed uno in iterumum plicato,sducitur' i Q atq; hoc ςquat a , . reducatur cetera quoq; ad idepartiti nonae,&auferarii requalia ab qualib. quatio erit inter 26ri Q&r, fit ita boo ad positio es hoc si cos a crit prim' i is secud' Σ3.&euides cst demostratio
I de est ruta huius quaestionis tractatio. o quamuis mendo sint multa,tamen ea cor rigere non fur laboriosium. Deneminatores Oim omi Menebras rei offuderunt rauodHρ imo bbro dicit mrieti epositionem trigesimam, se a nos ibi Acmmus. Sedrelii adiam lom more nostro ex diamus, ca seri nonnihilρ γί iratu. Ac M o est νει i , , ,
o nihi mus readid o nos agi Arccidente. Nam κc in Graeco as myriadesignis eo rara. Ergo i t Promus ergo IN: erat misecundus , i, IA, eritii Om uti hoc loco denominatores nusio mo opusunt, nisi omnia uelu deprauare Uenim inscmultipti Mus denominator, o numerator alterura item mul illicando ad de neminationuina litarem per cendi uir movatebit. I is etiam minutios ad minores redigeremus terminos: rationes turbaremus nostras. cubicum enim oportet esse denominatorem qui πρ Gus,etsi proticat quadratum, δε- tamen rei m est is quadratus, ut uel et mentu Aί bracis liquet. Superest ut experiamur Gaiasciant ne numerianopu muturi
132쪽
LIn TR ii I r. iristus eius Is . Aufer mus ras e Dipyra, relinquet turisa .que e scuta pueri nos e debebat. NXX. Aliter hoc ipsum consequemur. Hac in re scias, quod si sit quiuis quadratus diutius in duas partes, quarti altera sit latus eius; harii partiti altera in altera multi plicata.&additis producto ipsis partibus,cubus fit statuatur itaq; quadratus idiuidatur in i N. ac reliquii quod est i Q i N. si et productus ex parte in partent climsumina partium,i C,cubus. Superest, ut productus idem sui na paritum detracha, ctibus sit At fit hoc modos C et Q hoc aequatur cubo qui sit minor quam 1 C. aesit ἰ C. Omnia per octo multiplicentur, erunt 3 C I6 Q aequale si C. fit 1N aetantus est primus. secundus crgo: . πΥLANDRI .i es ' O lete, fenim infinities uartara hoc.Siam minimas cia Dioph. res tam Σκα i. Quatuor numeri quadrati dentur, quoru sui na cu summa lateria coluncta numerii imperatu coiiciat. Ac sit is numerus Q.Omnis quadratus numerus, suo
latcre & linitatis quadrante alictus, quadratum exhibet cuius latus semisse unitatis multatu, sit prioris quadUti latus. Ergo quos quaerimus quatuor numeri, ii suis aucti lateribus in faciunt:&si quatuor insuper quadratibus unitatibus augeatur, quatuor cotinet, ut quadratos. Sic aut ra excrescit in D: addita nimirum unitate. Ergo i diuid edii ii in quatuor quadratos, ut si de singuloru lateribus semissem unitati auferam, latera habeam quatuor quaesitorum quadratorum. Dividitur autem 1; in duos quadratos & v. & rursus hortim uterq; in alios duos quadratos,in 6 , i ,α si. Sumo cuiusq; latus & a quouis aufero c. erunt latera quadratorum qui quς
De numeris quadratu agi, satis est mani Bum, etsi inhropositione uox προαγωνους excid risi .eti criptu ui e μοναδας τῶ - ro μονα- - ργ ,res i r doces. Theorema enim hoc de quadratu numeris es ex ara cuui cliris desumptum. Nam si lateri cui cuns
est . Totius iat si acti ad illatus upra i ii vprioris quadrati habere uel hypothesi tu est.
tum utruns ambo tanta s. quadratum m nomone bicius gnomos'. toty quadratῆ eo a sum, M. Caeterum di o numera II in quadratos quin
133쪽
Io Dropil ANTI ARi TR ME Ticvs Sipropositus numerusfuisset rara inruadratifuissent O s.a .r ..D.quodlicet experiri, O r tiocinari ad modam praefriptum. NKNi . Quaerantur quadrati quatuor,quorum summa, detracta laterum summa, numeria extimeat praescriptii. Sitq; is . Eminuero quivis quadratus numerus, si suo multetur latere, & rcssiduo unitatis accedat, quadratus iit, cuius latus semisse uni tatis auctu latus pristini quadrati praeitct. Ergo hi quoq; quadrati quatuor, suis singuli multati lateribus, si residuoru summae ac ccdat quatuor quadrates, id cli I, quatuor quadratos aequabuti At multatoria laterib. summa ponitur crgoi adiecta, fient s. Proinde hoc mihi datur negocii, ut quinq; diuida in quatuor quadratos numeros. quom singuloru latcrib.ubi adiecero unitatis, reperero ia latcra postulato ru quadratorii. Atue diuiditur in quadratos 9, 16, 6 36 horia laterib. 3, , , 6, lingulis Q adiicio, inuenioq; latera ii,i3.ri,ir. Ergo qui pollulabantur quadrati, sunt Iabio v.
NXxi li. Vnitate in duos diuidemus numeros, S utriq: datum ali lium numera adiicie inus, ta summa altera in alteram multiplicata quadratum producemus. Sint adiiciendi 3 &, Pono partium alterami N ergo altera criti -i N. illi ii 3 alio fiant i Ni 3 huic sis addo. fiuiu 6-i N. liac summa per illam multa plicata, producuntur 3 NitS-i Q quae aequantur quadrato. iitq; is addatur utri a. quo a alteri deerat, fit s inequales 3 N is quae aequatio rationalis no eit Vcruna , Q wadratus sunt cum uilitate. oportet autem hoc multiplicato in i s. oc addito qua arato
semitiis eius numeri qui ad N est adscriptus. hoc cii addito zἱ fieri quadratu. itaq;co redactus sum, ut quaera quadratu qui unitate auctus, ita ai per is multiplicatus si sit. producto a additis fiat quadratus. Esto hici Ergo iam is Q tr οἱ aequantur
quadrato. Omnia per deni unatore multiplica. 2 si aequat ut quadrato, cuius
latus fingo 8 Ni 0. iiii N. 18. ergo is quadratus est 3a . Ad posita hoc aptem sNtis i Q aequemus quadrato. statuo nuc 3a &fit 1 N unitates 78, hoc est 6. Ergo secundum posita primus numerus cst 6,alter au.
D Ze heis Diopharus ea locutus ira ut Eo quitiis sit adsecuturus quid api uelit. Explicemus
ergo. sequatio intres Ity I ex composita genere, adseptima Christiferi regula pertines, quam demastrauimus ad exta cussi Euclidas. Sic aurea oportet tracta
aequabilire A t V, omnibperes Qui sis qui numerus fuit a quadrato unitate aucto ὰ esa i r 2ὶρ feriri s. Heu ia maphantus semissemis ut praecipit canon, sicilicet more suo ' in semiatiplicat, sunt . quibus ut asici possint v necesse Hi I n. minus quam sper i m MEM V - ῆ mi, ut Lant i qui ad ρ additi cost iuni ac denominator quidem in 'im omitti tui quem . , t fieri as,o radice quadrata, inprotu est. Canon aut rarequirit ut de ρ eria numerato- re, rad x quadrat accipiatur quod rinequis, cum minutiae numerator Rost,numerus sit d stas i ut uocat surdus. Abiu ergo inprima quatione numerus cia cien si uis, qui ct quadra sit, or unitate auctus cin is ductus, ad tam a , quadratu habe et radicE, ut e Plic Mi
: ἡ: qui ei fur ueria numerus, μι non diffri sit nox ilia quadrati inuenirene etia huc a commodare. Porro 'od per . denomina ore omnia iubet multiplicari autor rudore jac c
134쪽
his , , Nua re E se M ita enim in Graeco fuit) ooc ea . n camuris mensura numerorum osas estis.Partes ergo in qκ Munis utitur,sunt cic . maiori . minori ς ita enim accipiendam esse uoluntate auior post ei ducuerunt: inent G ct 'E . cum numeratores quadrati,ne dubia quis c qum quadratu n/producturi exso is noni etiae apud Campania, de denomina resam constat fore q dratrem se ducatur. etsi adratus nonfuisset. At autem cuius latus X xxi v .Aliter unitate in duas diuidemus partes. dc utiq; addito qui datur seorsiinnumero, summa altera in altera diicta quadratu producemus. iintq; ad dedi pati ib. 3 S s. Ello pars altera i 3 eo scilicet numero egens. quem addere ci i libemur)erit altera i N. Priori si addas 3 sit i N. posteriori s s, fit 9 -iN Ex harum mulistiplicatiouc ex iis lit0N-i quod aequatur quadrato. Sit lihic initi N. ' Si ad positiones hoc applicare concri detrahere 3 ab l non postlim. Oportet ergo i Nita poni, ut maior sit quam 3,minor quam . Porrisi Nesse i inuentum est eo qui du diuidebamus pers ais est quadratus cum l. Iam si 0 diuisas perquadratum alique unitate auctum, facit 3, utiq; per quem diuiditur, i, crit 3. Eil ergo 3 quadratus unitare auctus Ea abiiciatur. relinquitura quadratus I rursus secundam partem uolumus diuisam per quadratum unitate auctum iacere ι. Ergo per quem dii iidituro , is est quadratus unitate auctiis.Ergo quadratus cum unitate maior est ir . Et tollatur unitas, ergo maior quadratus citi ollentum est etiam secundam partem esse quadratu. Proinde eo deducitur res,ut quadratus sit inueniendus maior quam i , minor quam a. resolvo liscin partes quadrati sexagesimas quartas.fiut so dcus. Eil aut hoc iacile. estq; quadratus ioo, hoc cit as. Revertor ad id quod initio erat propolit uni. Querebam 9 N-i Q ut aequarentur quadrato, nimirum iam inuento squenturas Q it i N. 12 . ergo secundum posita,prior pars est 2i,altera aO.
Mirifice o cura uni haec, ct deprauata insuper. Certes M IVae ales as O, t NO-ciunt A,non ta A aI ct a bonantur unitatis fartes, denominatorem oportebit tutel-
ι 1, qui componitur ex qua ratis as ct ια, si quid hoc sorte ad rem faciat. Certe ml o sunt numeri, quibuου quaestio explicatur. Namsis ad Eum, s ad hune ad rotari Lei cst l oms sint sint 2 isua mulit Alicatione omnino quadratum iactent, ob causam ad ne veriori repositionis traditam. At aure ,: ., hoc eis ' H. Porro es sunt i ct nihil est quod in lutione hac desideres. Ia cum, sials ad D ad suis, uri, o et 1 Noe e mcui si ad mas', cilicet relinquarur in s. nempe . Deside , hoc ris de lin , a cordis, iris ι H, manem nimita altera pari unitatis diu citas omnino tu si et ah post Uus nostris. Videamus Ar unde I Ne clatur Vnde,inquiei nc adeo, quod, P ι α comparantur es aequantur cum quadrato no af, Si enim arro II ad tari ci Lunt ρ 2 aequales uel characteri deprobis,' quantur ἰε N. Hurde operi hii 'I' nem. In Graeco itis miro Glendum . ct ista laus Peno maior
ρ N-ια, qui quia arm unitare a cita cum ' N compa retur. Hoc uis eriposset cumsi
tua arear per minutias rem confore, numerum o pro ι nominatore delegit amor. ita a far
ti: itGree etiam ex productus quadratus, usu iafuit demonstrarum. Idem de 'aurato - : experiri
135쪽
ios Diopil ANTI IRITHNrτicrs experiri ficet: nam cerro res con scietur. Hinc etia uidereticet quantu cum dis oliaribore conjuciatus o quid nescium analysiou it. γκxv. Datum numerum diuidemus in tres numeros,ea lege ut qui fit primo in
secundum multiplicato siue ei addas tertiit siue adimas, quadratus exsistat Sit da tus numerus o Statuatur pars tertia i N,& secundus unitate amplio sit a. Ergo primus eriti i N. restat ut qui fit multiplicatione secundi in primum, tam detracto quam addito tertio sit quadratus. fit aequatio duplex, 8-i N aequantur quadrato, 8-- 3 N aequantur quadrato.Non est autem rationale, quia numerorum in ter se ratio non cit quae quadrati ad quadratum. Sed primus numerus unitate mi nor est secundo: & tres numeri simili ter maiores secundo. Eo itaq; res deducta ei ut inueniendus sit numerus ad secundum, ut qui cum unitate excedit ad unitatem quadratu numerii. Sit is qui quaerituri N. qui unitate eo maior sit, criti Nii. qui unitate minor. i N-LHos uolumus inter se rationem habere,quae est quadrati numeri ad quadratum. Sit ad 1 uti N-iad fiunt N di i N ii ad i. dc sunt hi expositi numeri ea in uice ratio e quae est quadrati ad quadratu. nunc ergo N-- aequanturi Net i iit i N,s. Statuo itaq; secundu 3. tertius autem csti N. primus ergo est i 3 -i N. Restat ut qui fit ex primo in secundum tam detracto quam addito icrtio fiat quadratus. Sed qui sit ex primo in secundum cum lcrtio cst 6, 2 N a quale quadrato dc idem demto icrito 6s-c omnia per u fiunt 63- o N ae quales quadrato: 5 6s-24 N aequales quadrato. Ex aequo numeros aequationis
unius, multiplicans perquatuor, fiunt 26o-a N aequales quadrato. --24 N aequales quadrato. lioru nunc interuallum sum O lus, distatuo duos numero
quoru uno in alterii ducto fiant i 03. ii sunt is &is horii interualli semissis in se equae minori quadrato. fit iN, A.Ad posita,primus criis, secundus F,tertius 8,&demolli alio est euidens. πYLANDRI. s deprauatius excogitar atrii lassi metuo ne o Fera am aiunt per P scastigare coner. Exsolutione quaestionis a pares,a desinario ae u derim restartes, Hyritima infecunda Ac a qui I numerus retia uel adita uel dor quadratus. Nar men
omnia ua sunt Zidoxi,cor repta ut diuinare mx liceat Sed experiamur rame. Secudus uni
O rem hoc flacio attentemus. Theorema, cui Diophantea innititur ratio, non expressum:
136쪽
t i a r R i r i r. 1 7 unitat ponere aut ne g. uolui nertemis, lutione restic a , prata uis Hur is praesi rara. X duoluit sicundum ita unuate diserre a teriis ais superari, ut se unitas cr adderetur adimeretu ecundo, residui adseum ratio est quae est quadrati ad quadratu quos Am- sit more so minimos sumari enim iubaec petu ser manifestu est.ὶ Cum ergo ponis sirundisi T. 9 1 N tradi Ἀ-ι ea ratione, Paesa ad L per ιρ si Zimra Euclidas aequatis exsistit tu ire 1 Ni i se - . sit i l. nouum non est, quod in Diophanto ditur,denomina tore onu 'αὶ causam huius instituit eam es ratiocinor, quod ultimo posito 1 reliquoris misit phratione ι ---r Nproduci fortuit,si tNa duo dc it ese quadratus. Idet ita tulim, i N Arraeis retra quendus exi Pothomuit quadratus. Persequamur caeteris. cum sicundus sit, o tertius 12 μmm trium G nec se eis rimae co- -i . hoctii 'V-i K. rati, plicetur primus in sic dum, Ar i N. . aride tertium hoc Hi II, , habebis V , te uti re tertia deproductoprimi insecundis, habes N. Haec 'ν ρ ut di nominato rem multiplicata,red guntur ad integros numeros G si N ct --a N. Argutum pori . in quod uadruplicando G N, ef ngit ac a N. M Me abolentibus, aequatio con- Di in absolutis unitatibus . ais linius adeo rei cause aequatio inferior ad bita fuit. n.imo Nesa sent ut quadratum ad quadratum.quodserem erat tu duplicatis aequationibus s-IVcts-s Naiemi ,-- Nos interuastu inter ain Q - Ne Dys. Id autor coponit ex is es V quoru interv.tsi milita quadrisi habet I, quodae etur - . hoc in aequamura 'Ait ergos λ: c cundus Hrt mma omnium O. Ergo rimo etiam i reo nuntur. Da prius deplorat problema, tamensibi restitis Hub tib simum, d obseruatu prime dignum. tata xvi. Inueniantur duo numeri, ut si alter ab altero eande parte siue easde par tes acceperit,ratio ad relicum iit ea quae poscitur iubemur addere primo secsidi parie uel partes .itaq; rei qui esse tripi u. iccund u aut, si cande parte casdem ue partes prii ni acceperit, esse reliqui quincuplu Statuamus secundu I N ti. pars seu partes ciussit r. Prinuis ergo erit3N-r, ut ii parte partesii e secudi, hoc est unitate acceperit,
sit reliqui triplu. quippe 3 N tripluest rc si diiii N. Volumus etia secundu .si primi eande parte partes sic casiae allii inserit residui cile quincuplu. Sed qitonia duo hi numeri iuncti faciunt N, dc secudus aliquid accipit, primusq; id dat, & summa residui iit quincupla,& iuncta cu reii duo summa sit N residuit utiq; erit pars de N ea, quae
aliquota sit&Numeros num et hoc est, a N. Ergo si a 3 N-I tollamus i N. habebi-miis primi parte uel partes. si aut tollamus fiunt N-i. Nasecudus si a primo accipiat i, sit quincuplii eius quod relinquitur primo.Superest heic ut qua ramus an quae pars uel partes sunt i N t i, eade sit de 3 N-i, hoc N- Cum aut e tale aliquid quaeris, N-i Jci N ii aequaliastini quod fit ex unitate in 3 N . hoc est. partes alicrnatim multiplicantur Fiunt 7 N dc -I aequaleS 3 N- l. dc fit I N, iam ad positiones crit primus is, de secundus IE. Erant autem partes secundi, i. videamus an etiam Iscciandi. erunt . dc multiplico per I duos numeros.crit primus η, iccudusa r. partes 7. Et quia primus no habet L multiplico per 3, ne in unitatem excidamus. Erit primus et , secundus a , partes :.dc demonstratio manifesta.
Lu eadem cumprieren ut eis haecpropositis quin sera ς helesicriptasint, non dubito Si det scrin, Rσady .is. lesbis Ioc summa residus duplum. Contia ι des o ablutum adro adj M umma ct residuum aquabantur,utrunque yo. Hac ergo ita sunt affecta,ut planἰ Debo opus heis r natatore Si deI N-r primo, coniras auferre 7 N-t, ias addere μω Eo u amasprofecto, nedum summam residui quinculam facias. Vrantur ergos toZr mum esses N-t, sicundum i R. t quid ausim primo, addisi cunis pomi ita uis mare uisit quincupia Primiposit onis ratia ent euident Secudus indagemus. Summa positoran meroris εν ή x hac oportet si curiae e eius quod relisqueturprimo, re u detrimeto
auxerit. Hocρeroicis est e deniti quo tas numeraria natura. enim duo numeri r alterat erit multiplex, summa ad minore multiplex erit, numero rationis unitate aucto puta 3 est
137쪽
ct 1 tin a r ent producti aequales a aQ. 3 I. addatis . e tis quae pars, aequantur 1 ME R ergo 1 postasib. hec aptemus in ramus ' --r, hoc ei se cadus is hi planis mesaris faciunt omnis postulatis. Primo ad ce unitatem, ademta ecundo, 'μ ma V tripla residui ama autem par ecunda tum N, tamia etiam pars primi, ademta ipsi, sectindo est ad enda. Id regula proportionam demon rabie quale si .- dant r. quid .estenditur ' tantam esse rumprimi, quanta unuas ei thecundi. oris in in ducar, He roducitur. Primus multati . ,retinet τοῦ adsicundum si ad es,l 2 con sies, quincuplumsummae. Habes se an scissam crucia quaesiti demonstrationemr c
quae iacIuram Dio aut sarcire uti uteris uerba longesimi corruptiora, am urcontecturis emendari inre ara popint, hbro me ore resti uet, ei a nobi agentur g - tiae. De uarie mutandas sepositionibus ces solutione,non estnec se monere. XXV vi I. Inueni intur duo numeri infiniti, ut qui ex uno in alterum ducto fit, cicipsorum sinam a conficiat numerum praescriptum. is ello S.Sit primus i ta secundus 3. productus ipsi riim multiplicatione cum summa ipsorum, est Net 3. hoc aequa
tur s. Fit iN, Ad posita crit primus i secundus 3. Consideremus nunc unde ita sit sactus i. nimirum quias diuidebamus per ψ N. Ipse est id quo datus numerus secundum excedit. A N unitate secundum excedunt. Ergo quantumcunque statuamus secundis,&1 dato numero ut heic ab s. auferamus, residuo per numerum diuiso, qui excedat secundum unitate, existet primus. Sit secundus, uerbi gratia IN i.auser hoc de S, re stant 0 IN. hoc diuide per secundum imitarc auctii. pimia per i N. habebis primum ' Atque sic in in sinitate soluta est quaesto. dc unius inaltcrum multiplicatione productus cum summa ipsorum s faciet. Infinitum hoc dicitur, quia quotcunq; unitates pro IN usurpcs,semper positioncs hς resolutae,quPstionis pollulatis satisfacient.
Paucula quaeda menda ustulimus. I nita ο&tiones admittit quae is cum o Mna 'ut
primo etia Ponere liceat quiduis Suprimus 1 msecundus a. et et Primus a. svo us ι N.
NXX ii N. Inueniantur tres numeri, ita ut qucin bini faciunt planum, is cum cortina summa coitinctus,faciat datum numerum. Niuncros autem datos necesse citquadratos cnc unumquemlibet, si ei unitas adijciatur. Primi S. secundi lumina cui dano ex ipsis orto sit 8.seeundi & tertii in terti j S primi r . Quoniam uolo qui fit ex primo in secundum, eum cum summa ipsorum sieris, ponatur secundus quodcunq; unitatum, detrahaturq; ab s, diuiso residuo per numerum unitate secundo maiorem,prodetur primus. Sit secundus iN-1. erit primus 9N-i. Rursum quia qui sit ex secundo in tertium cum summa eorum facit is ab his aut cro I N-i,dc di uido per unitate maiorem secudo,hoc est pcri N: fit tertius i6 N-i. Hic in primu ductus quem producit ei si accedat summa ipsorum, sit i in Φ. hoc squatur 2 . fit i N,ir. ad positiones hoe applicemus, erit primus 33 secundus 7.tertius os. Omnia
multiplicentur per denominatorem,sit primus I 63,secundus 3 ,tertius 2 o. NYLANDRI. Ponamus ut placuit Diophanti exscripto primum ρ - secundum II, tertia M ' I. Multiplicemus primώ insecundam, i t M 1- o Madde ipsos numeror, summa o
138쪽
minus q. qm cum ri non posit. t ud ab hoc deduxit autor , ut sint nutu huius fiere ii commonstrata causi. tertius est pζ- , to hi or . duo aditur de communi denom natore, prauum esinam II in tos inquies, ms duodectes in Das necesse sal quid hinc excidisse. Nam hi numeriquaestioni plane non satisfaciunt. His o muli phca haes adde i, si nihilminus quam x Sedo quoddatos numeros uult unitate singulos quadrato abesse, an causam habeat non explicaturr cur ita sit necese, facile apparet exaequatione ι Icta . A rei cum unitat m ad ci oporteat ada , nisi
Mepata eret quadratus, ex icari in ueris numeris aequatio non potisset: puta sim. i
Causa autemfulsitatis omnis in eo est,quod ut es insuperiore troposition fecerat ρ 1 πρer i NHuidere cum debeamus,pro uero quotiete . qui es ', falsumposivit ρ N-ι Lbrarius, - est rei qua confudit omnia Namsii sit uator Numeri sane quia haec nihil di,idit,h erit s. υ
rem I etiam ρ -r. I erum hoc imum absurdum es ab urHus quouis alio absurdo,t. - ---tumponere'imum numerum, quantum fert debeat amborumsumma ad productum ex ipsis ad Zeia o sicundo dare nihil Ponamus denuopramum superioreproposuisse , ecundum I e , ira iv i. pro tento siquamur comem, referamussicundum a V, ct retiquum per 3 PQ πι- , M damus et tertius'. Primo in tertia da Zo,producitur . huic si adis ummam i orum , con- 6-i Nficus v. ais hae umma aequabitur a .ct acta flemus appe are reductione I -r . . aequatura hocs. t llas α' sis Mic quo Lanaret cur dati numen, unuate singuli 'taenis a raro aliquo esse inferiores, ut paulo ante in uitiosa aequartone etiam licuit uidere . s ix N , Lit ergo i Mintur demonstremus, hoc pacto stat quaesionem Oomnibus eiuspostularis in stupera. Restuamus hypotitastes st-1 Mes - hoc est quod diuidi per c nem- g peperi N oportet. Is : . tantin est rimu secundum i es , tertium uero VI, eadem seruius compones. Drophantus hos tres numeros redegerat ad eandem denominationem sexagesima. msi Hoetharaium,ut essent - : M'. Martificium alibi tradidimus. nes uero fuit necessarium. Si A in B multiplices, Emer ent. atqui A es , B I. Summa omnium - . ni
mirism y. Si Bis C. habebis rQ. B est i , C summa omnium , hoc estis Cin Adώ-cto ignes -: l. iam Cest d, ct A est R. summa omnium :, uidelicet a . Iucundior es haec, quam Liam re operatio. oqui luebat duobusprimis ui corbuisse repraecedentem positis, puto iser, essi tertium inuenire orsatisfacere quaestiom. Sed nos etiam Drophanti eme dationem subtib exposita pro os pertraefatione uoluimus ostendere. mmmi N. Inueniantur duo numeri infinite, ut qui ex uno in alterum fit, summa ipsorum multatus, datum numerum exhibeat. Hic est o 8. Statuamus primum iri secundum 3. Qui fit ex altero in alterum dempta ipsoru summa, cita N-3, quod
aequatur s. Fit i N. 3 Ergo siccundum positiones, primus cst K. secundus 3.Rursum dispicio unde factum sit quod i Nestue . nimirum quia ii diuidebatur per a. Atquiti est summa dati & secundi numerorum. 2 autem N sunt unitate minor numerus secundo. Itaque si sta lucro secundum quantumcunque, cumq; dato adiiciam. dc summam diuidam per unitate minorem secundo, inuenero primum. Sit secundusi Niti adde ad 8 , fiunt 1 N t V. diuide per unitate minorem secundo , scilicet per i N. fit itu N. itaq; infinite soluta est quaestio. Haec propositio, lemma est 1equenti inseruicia S. N L. Dentur tres numeri, ut qui producitur binis altero in alterum multiplicatis, demta corum summa sit qui poscitur numerus. Oportet datos seu postillatos numero S, quemq; unitate minorem quadrato esse. Planus e primo in secundum detracta summa ipsorum sit s. secundi in terti j itidem horum summa multatus,i . tertii in primum summa horum amissa a . Heiciuxta lemma iam expositum, si secundum statuo i N ti, addo hoc ad s. fiunt i Ni V. diuido hoc per unitate minorem secundo, hoc est peri N, nascitur primus iis N. Scd & tcrtius hoc modo inuenietur ita 6 N. duobus itaque pollulatis satisfecimus. Denique primus in tertium ductias quem producit,demta eorum summa facit I Q i, aequale hoc et . & fit 1 N. iue . ad positiones hoc si conseras, crit primus i , siccundus I , tercius 92. quo S ii uclis idem habere nomen, omnia per Oo multiplicabis, erit primus a Ss, secundus zO , tertius εσο.k αYLANDRI.
139쪽
Infines an ως. aliter. Sed abunde hoc, o octo p inculcatum, cum problem quens nihil tale traictet. eodem autem quo superiora uitio laborant haec problemata. Non enim it ρ A , fit, i Ni ρpers N diuidatur ,sed ' quo Apris roblema horum siluitur in infinito. Epo N enim ualor Numeri . ac ponamus ecundum i No. is erat s. primus sit Ity Nerit 7 producunt hi is, undesi a summam ipserum auferas, i/s restant. ivm postulentur. At siprimus b i Ni h statuatur R, is hoc pacto erit quo per i sicundum multiplices, emergent Q. Fummar amborum s - , quae a productosublata. relinquit,hoc est S. Restat ut ueram posterioris his
c ' s tionem exponamus. Sis ergosicundus I Ni I, crisprimus cur ante , ct temus iuxta canonem
e i mω es sicundus , tertius R. svoles ad unum reducere, crunt communi denominatoreco constitutosi numeratores asLao , D. qui oti numen integra Incorrupti apud me anis. Primo infecundam ricto on
. Secundus in tertium reduc t V , cs s. Demet temus in 'rimum g
snu ': , desia ι iam ipsorum summam supersunt : l. hoc fa . Vanari tolera
adi D quadrati qui sierent, quibuscunD ne insurdos res excidat. N Li. t uo numeri infinite dentur, ut qui fit uno ipsorum in alterum ducto,ad summam ipsorum habeat proportionem quae praescribitur. Sit producti ad summam tripla ratio. Statuo primum i N, secundit 1. Planus ex ipsis fit 1 N, quod triplum sit ad i N et 1. ergo 3 N t is aequantur 1 N. iiii N, et. quod si positionibus nostris a commodemus, primus erit 7 , secundas s. Considet o litic, i N ficti 7 et, quia i , pera Ndiuiduntur. Acis sunt secundus per datae rationis numerum multiplicarus. ica sunt interuallum secundi. & numeri rationis. Ergo si quantumcunq; statuatinus cundum .dc multiplicemus cum per numerum rationis datae, ac pro dumina divi mus per interuallum. quo secundus rationis numerum excedit, in ictaictur primus. Secundus siti N, multiplica per 3 fiunt 3 N. diuide peri N-I, habes primum N Y L A N D R '. In Graeco mutilata uni haec. Porro os addas,hales ta quorum triplum I tanen demsit exs in Varia ossehoc non susturum. Sed adhibenda es canet: o. ais primus 3 A
secundus suerbi 'graminia summa ira. Mius triplum s P t sc aequabitur Ia N, co
uno madierum d D. fit ramus ecundus M. Nam quater rasunt I, cui tu tripla est ratio ad summam ambarum, ισ. Statuamus porrotrimum I cudum a. Crraus maneat in.
Producitura N quodH triplum ad IN t ais I t o aequabuntur a Mor ι Nt 6 eru Whu, quodes absurdum. Nec monui, ut intes assecundum maiorem recte soni eo numero suo topro tar utura ex imitur. ΣLii. D tur tres numeri, ut quem bini producunt planum, is ad corum sum mam ea sit quae poscitur ratione. Sit productus P primo in secundum ad summam ipsorum triplus: c secundo in tertium ad summam horum quadruplus: e tertio ius ' P primum ad summam eorum quincuplus. Statuatur secundus I N, crit ex praecedet te lemmate primus'. Eodemq modo tertius h. Restat ut primus in tertium ductus in quem producit. is ad summam ipsorum si quincuplus. Producitur autem . Sum- ma autem horum cst q. Huius summae ergo quincuplum aequatur M. Et abiecto communi denominatore,u Q aequantur 31 -iro N. ita fit i N, Do. Id nunc ad. 3 Q-QON positiones applicemus,quae erant Α, i N h. Si iro, uri N . in primam multiplices. intra' GN N, erunt 36o, reliquum est ut iro ducas in i N- , fiunt m relinquitur ergo pr ' mus 36i. Secundus iaci. non enim ab aliqua numeri parte denominabatur. Pro tems 3N rio iro in N ducatur, fiunt so. item in denominatoreini N- , fiunt ao. r
140쪽
m Lili. Dentur tres numeri , quorum quem bini faciunt piamini is ad litin in .im omni u habeat quae poscitur rationem. Sit Planus a primo in s eccidiim ad omnium summam triplus: planus e secundo de tertio ad on tu sumniam quadruplus: planus tertii in primum ductu factus, ad omnium Ammam quincuplus. Quando binorum planus semper ad summam omni u habet datam rationem: quaero primit in tres numeros, dc aliquem utcunq; adscitu, ad quem binoru plani habeat imp raras rationes. Arbitrarius iste numerus sits . cuius triplu, hoccst is N cum sit planus qui fit ex primo in secsidum erit planus iste lue. statuamus secundum i . erit primus ii N. Rursus cum qui ex secundo in tertium sit, sit quadruplsi arbitrarii istius, ctit planus dio N. crgocii insccudus sit Ilicrit lcritus zo N. Restat ut qui e tertii d ii ctu in primum fit. nimirum 3 oo Q sit quintuplus ad arbitrarium. Ergo 3oo Q aequantur aue. Sane linumcrorum inter se cxstitisset ratio ea, quae quadrati est ad quadratum, quaestionis solutionem inueneramus. Enimuero 3OOdorti fiant exis Ninao N multiplicatis: cum quidem is ad arbitrarium s triplam, ro ad eundem quadruplam haberet rationem. Hoc ergo desideratur, ut si triplus adue per quadruplii ad ue multiplicetur. productus ad ue per 3 multiplicatis productu rationem habeat, quae est quadrati ad quadratum. Atqui 3 numerus arbitrarius cst,dc temere adscitus. Quercndus proinde est numerus cuius triplus S quadruplus quem planum procreanti is ad numeri ipsius
quincuplu, rationem habeat quae est quadrati ad quadratum. Illinc st .atuamus i N.
Eius triplus 3 N in quadruplu N multiplicatus, producitia Q at alie hic ad positi quincuplu, ad ue N inquam, rationem habeat oportet quae e st duoru quadratorum inter se. Consequens cit ut altero in alteria ducto fiat quadratus. Ergo oo C aequantur quadrato. is si tuo o infit 1 N, is. Ergo ad posita, cum quaesitus numerus sit is primus & secundus producent 3 N. cuinq; secudus siti N,crit primus N. cade ii ratione tertius 6O N. Superest ut productus hoc in primum multiplicato, scilicet 27OOQ. aequetur quintuplo positi numeri, quod est s. Fit i N hoc pacto 6. itaque secundum posita primus erit secundus 6. tertius io. Quorum summa si foret is, satisfactum plane citet quaestioni. Statuo itaque corum summam is sinat qui ea est 23:- N. hoc ergo aequatur is Q. fit i N 7. Ad posita. crit primus 3os. secundus a sali tertius 47o.