Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

51쪽

quae: sit T ri erit pΟ ΤΟ , quae est aequatio di s qntialis, psimi. gradus, simple . se i

ac Sin autem huiusmodi euolutio nox succedat dum littera q vel ad altiores potestatem epilargit ,: vebi signis radicalibus, inuoluitur , vel adeo tranicendenter ingredituri, aequatio differentialis qui- ΡΠ xR, i i gradus sed complicata , quae: m odis supra expositi i erit tractanda.. i ,s.

hic notasse et per exempla illustrasse iuuabit. Int . Vero et reliquos casus quasi solutos spectarii conuenit, quandoquidem in acquationibus differentialibus aut eis mori trium 1σ pocissimum desideratuc xt earum restitutio ad ordinem inferiorem reducatur. Per ZI'o, enim in Maalyst quae ordine tractationis. praecedunt, tanquam penitus. consecta spectari Qtent,. epamsi plurima adhuc desiderentur,. Vt hoc modo muItitudo Mesideratorum diminuatur. Ita quamuit longor adhuc absit, quominus aequationes algebraicas omnium: ordinum reuolucre valeamus, dum adeo vires nostrae non Vltra quartum extenduntur tamen in: Analysii. su imiori omnium istarum: aequationum resolutionum pro cognita habemus.. Quod etiam usu non MI ,. cq i Praxit relarutiO3 per approximati Lm,..ura.

52쪽

quam quousque Iubuerit ., intendere licet sumtere possit. i Simili modo etiam , quoniam methodum, tradidimus aequationum differentialium primi gradus, integralia proxime inuenie*di , merito, totum nςgoritium, ut plane consectum, est censendum , si eo resolutionem aequationum disterentialium altiorum graduum reducere potuerimus. Quare in hac secunda, parte statim atque aequktionem disserentialem secundi gradus ad primum gradum perduxerimus , istum negotium pro constcto erit habendum. . . ,

i j v . Aequationes ergo dis erentio - digerentia-Ies, quae hoc modo ad disserentiales priim gradus Teducuntur , ita sunt comparatae , ut positu. p . et o qdx , variabilis 3 ipsa isde tollatur 1 et aequatio inter solas tres variabile .I , p et g oriatur. Calus ergo quibus talis aequatio resolutionem admittit, duplicis sunt generis ad . 990rum prius reserendi sunt ii, quibus q unicam obtinet dimcnsionem,

unde q iunctioni cuipiam ipsarum s et psaequari potest. Cum igitur sit et pι quam ponamus ' T se resolutio : succedetri, A) Si T isit sun- ctio homogenea unius dimensionis iesiarum I et p. αὶ Si fuerit T , dctignantibus P et Q 'sta ctiones quascunque ipsius p xantum k hinc enim fit PQ zzyp --πιο; quorsum etiam refertur casus,

53쪽

C A P. V Τ Π. quidem Y et g sint functiones quaecunque ipsius γν

quia tum aequatio o Ypo--Zo, ob unicam mmensionem ipsius p est integrabilis , quorsum etiam referendus est casus T p Yp--Zεὶ. Pro altero genere si quantitas ρ plures habeat dimensiones , veL signis radicalibus sit implicata, vel adeo transcenden ter ingrediatur , aequatio inter F, p et ρ, resoluti nem admittet: a) Si posito ρ pu, ut sit aequatio resultet homogenea later et ρ , inqua scilicet a et p ubique eundem dimensionum num rum compleant, utcunque caeterum v lin eam ingrediatur. αὶ Si in aequatione post substitutionem g pu , inter I , p et u orta, altera quantitas vel ν nicam obtineat dimensionem. ain Si posito ναο et utat' aequatio oriatur homogenea inter ternas quantitas υ , et et x, huiusmodi enim aequationes supra resoluere docuimus. -

eius integrale completum invenire. Posito o pG et o qdx, aequatio nostra

54쪽

quae eum sit homogenea posito p υν abit in

Tum vero est

Verum haec resolutio sit facilior inuenti modo et Cum sit

55쪽

vel negatiua , Nel euane1cens, tres habebimus Casus euoluendos r

xJ Sit Q Aram et V ' A A B)- n , erit aequationis propositae integrale completum:

cosnx μ-I.sin nae et a UT' cosnX-ν-I.sirialis erit constantibus mutandis:

56쪽

G. Ad aequationis. ergo propositae integrale inueniendum, aequationis o H-Aυ- -B radi ces inuestigari oportet , i quibus, inuentis facito erit integrata completum assignare.. -

. Hi . a

8 . Formata autem aequatione hac algebraica -- Λυ B o . si eius factor sit Γ--α , ex eo statim integrato particulare deducitur a 'Trailiterque alter lactor υ - β integrale particulare dabit a ' E e μ' ,. quibus coniunctis obtinetur integrale completumi

Seholionia

57쪽

quae cum sit homogenea ponatur erit

posto et n. Ergo

quae sormula ad rationalitatem perduci et per Iogarithmos seu arcus circulares integrari potest.

Exemplum

58쪽

eta per u definitur; ex quo erit p v et

unde colligitur

Inde est

ideoque

59쪽

Coroll. I.

82. Ex aequatione separata primum inuenta solutio particularis eruitur tribuendo ipsi u eiusmodi alorem constantem , ut denominator evanescat, qui

8a. Casu quo n' et , hic casus particularis Praebet I a , pro valore quocunque alterius Variabilis; fit enim v o , ideoque et pzzo , ita 'tex aequatione o dx quantitas a non determi

netur.

s . Si ν designet radium Vectorem ex puncto fixo ad curuam quampiam ductum, et X angu- Ium , quem iste radius cum recta quadam positione data constituit, mrmula -tM,E ,, g exprimit huius curuae radium curvedinis. In exemplo ergo proposito eiusmodi quaeritur curua , cuiu, radius curvedinis aequetur ipsi n=, cui quaestioni casun - 1 Utique sati,facit valor I a qui praebet cir-G a culum Digitirso by Corale

60쪽

tulum, qui etiam ex aequatione integrali eolligitur a Ct1 - ψ tu u Ui a sumendo constantem C infinitam , tum enim necesse est sit timo et pα o sicque angulus X non determinatur. Praeter circulum autem infinitae aliae lineae curuae satisfaciunt. At si nγ I, solutio particularis II v inn- 1 praebet spiralem logarithmicam , praeter quam autem etiam infinitae aliae curuae satisfaciunt; casibus autem n clx nulla huiusmodi solutio particularis locum habet, sed formulas pro et dae inuentas, reuera integrari oporteta

nde sit