장음표시 사용
61쪽
62쪽
π8 . si ut supra radius Vector F cum angulo x reseratur ad lineam curvam , hanc curuam circulum esse oportet radio a descriptum. Fit autem sumto ' ainbb-aiscos φ, hincque x 'ζad Geometriam rem facit perspicuam. Ang. tang. cuius applicatio
S8. Sumto elemento dX constante, si propona rur haec aequatio ddy ydy l ad x)zdy dx'Φdy'ὶ , eius integrale inuenire. Posito θ pdae et qdx habebimus:
63쪽
ita ut x et ' per eandem Variabilem p exprimantur. Si constans h sumatur o, Obtinetur integrale particulare I et X a MDC al - - stu in exponentialibus I CH '. Sin autem sumsetur θ a ob
64쪽
65쪽
RENTIO - DIFFERENTIALIBVS ΗΟ-MOGENEIS ET QUAE AD EAM FORMAM REDUCI POSSUNT.
9O Aequationum differentio - disserentialium homogenearum naturam explicare , atque ad sormam finitam ponendo o p dx et o qdx accommodare.
Sumto elemento dx constante aequatio differentio - differentialis vulgari modo expressa dicitur homogenea , si non stilum ipsis variabilibus x et ν, sed etiam earum differentialibus dx et dy, itemque ipsiddγ , singulis unam dimensionem tribuendo , omnes aequationis termini eundem dimensionum numerum coutineant; veluti in hac aequatione: xxdo rex dx'--χ O , ubi in singulis terminis ternae insunt dimensiones.
66쪽
Quodsi ergo ponamus - p k ae - ν ν littera p nullam dimensionem , littera Vero ρ nam dimensionem negativam continere erit censenda. Hinc aequatio differentio . differentialis ast formam hic neceptam reducta , ut nonnisi quantitates finitas x , I L p et g contineat , erit homogenea , si litteris x et ' unam dimensionem tribuendo , litterae p ve go nullam , ar litterae q Vnam dimensionem negativam , in singulis aequationis terminis idem oriatur dimensionum numerus. Vicissim ergo quoties haec proprietas in aequatione inter quaternas quantitates x , p et ρ proposita deprehendstur , ea aequatio erit homogenea et krma Vulgari expressa manifesto homogeneitatem prae se stret.
v r. Si ergo in aequatione tHi homogenea inter x, I, pet g statuatur 3 ux et g ', omnes termini eandem potestatem ipsius X continebunt, qua ergo per diuisionem sublata , aequatio prodibit tres tantum variabiles u , v et p inuoluens.
92. Criterium igitur aequationis homogeneae inter quatuor quantitates X , I , p et ρ propositae in hoc consistit, ut posito γ ux et q a , quanti tas x prorsus eX calculo cSterminetur. DII. a.
67쪽
93. F. icta itaque hac substitutione, qua obti-Metur aequatio inter ternas quantitates u , v et p , ex ea pro lubitu Vel p per u et v, vel N per uel p , vel u per v et p definiri poterit.
I9 . simili modo ideam homogeneitatis in
nequationibus differontio - disserentialibus constituimus,.quo in aequationibus differentialibus primi gradus sumus usi. In his quidem, cum disserentialia sponte aeundem dimensionum numerum constituere debeant, homogeneitas ex solis ipsis variabilibus X et ' diiudicatur. At in aequationibus differentio - disserentiadibus praeter ipsas variabiles X et a etiam litterae qTatio in computo dimensionum haberi debet, ita tamen ut ipsi una dimensio negativa sit tribuenda ἔlittera autem p in hunc computum plane non ingreditur , quae ergo utcunque aequationi implicetur, homogeneitatem non turbat. Plurimum autem interest probe nosse indolem differentio - disserentialium aequationum homogenarum , cum earum resolutio ad resolutionem acquationum disserentialium primi gradus reduci possit, ita ut .si haec successerit, etiam ipsarum aequationum differentio - disserentialium in tegratio habeatur , id quod in sequenti problemate luculentius ostendemus. Η a Problema Diuitigod by Cooste
68쪽
9s. Proposita aequatione differentio- disserentiali homogenea, eius reinlutionem ad integrationem aequationis differentialis primi gradus reducere.
Reductu aequatione ponendo ozpει et δ ρει ad mrmam hic receptam ut habeatur aequatio inter quatuor quantitates finitas x , I , p et ρ , ponatur I ux et g αἴ , ac cum aequatio sit homogenea, hoc modo quantitas x penitus ex calculo elidetur , ita ut proditura sit aequatio inter ternas quantitatesu, v et p, t X qua nam per binas reliquas definire liceat Nunc igitur cum sit o p dx eriti x xdu-p x hincque Deinde ob 'ρdae erit ' , ideoque ἔ quo dupi ci ipsius - vaIore coIligitur K ' E seu τdu p -udp. Quodsi ergo ex illa aequatione quantitas υ definiatur per binas p et u , habebitur aequatio differentialis primi gradus intcr binas variabiles p et u , cuius integratio si fuerit in potestate,
t ρ per u innotescat , aequati O - , ποῦ , in qua variabiles x et u sunt sic paratae. integretur, sicque x
per u definietur, unde fit an ux; seu statim in hoc lategraIi Ioco u scribatur , et habebitur aequatio
69쪽
tegrationem huius aequat Onis disserentialis simplicis Q du p - uo, va ae si ope regularum supra traditarum expediri queat , simul aequationis differentio - differentialis integratio habetur.
modi aequationum duplicem integrationem requirere, unde duae quantitates aIbitrariae constantes ingredientur , quibus integrale compIetum constituitur.
98. Etiamsi autem integratio edu p - ΕΦ non succedat, tamen ingens Iucrum est rem eo perduxisse , cum supra methodus generalis sit tradita integralia omnium aequationum disserentialium primi gradus proxime assignandi.
99. Operae igitur pretium erit eos casus perpendere , quibus aequatio Ndu p -uo integrationem admittit . quamobrem examinemus, qualisis iustio O debeat esse ipsarum p et u , Vt hoc eueniat. Primum autem patet hoc fieri , si O suerit iunctio homogenea unius dimensionis ipsarum p et quoniam tum ipsa haec aequatio sit homogeaea ac
70쪽
per regulas supra expositas ad integrationem perduci potest. Deinde etiam integratio succedit si fuerit o functio quaecunque ipsius y, quoniam tum alteria variabilis u unam dimensionem non superat, et aequationis duin tetm integrale est e v tinfe
Tertio intcgrationem absoluere licebit , si . fuerit functio quRecunque quantitatis p- u. Posito enim p-u's, ut si O functio ipsius s , ob ptatas unostra aequatio erit Edu-sds sdu, ideoque duTE, et uta fζ-a , quae integratio adeo ad sormulas simplices est reserenda. Quarto manente S p-u , si P, Q, R denotent iunctiones quascunque ipsius 'saequatio nostra Ndu sds--sdu tractari poterit, si
fuerit C 'r-- , tum enim fit Ρdu'Quo uinto etiam patet , ' si denotantibus V et V iunctiones quascunque ipsius u , fucr t υ rVss Us', integrationem quoque fore in potestate, fit enim aequatio nostra V sdu ε V s dundae. Atque in genere si aequatio diss reotialis Azgdu fuerit integrabilis , existente Z iunctione binarum variabilium s et v, cum nostra aequatio sit sdstasO-s du, habebimus Cras--Zs pro omnibus casibus integrationem admittentibus.