장음표시 사용
101쪽
AD VERAM PHYRICAM LECT. IX. 87ria in iisdem ; ves , se mobilia snt homogenea , ut ipsorum
Sint duo mobilia Α & B, quorum utrumque feratur e - ΤAB. a.dem celeritate C; dico, momentum corporis A esse ad mo- n. 4. mentum corporis B, ut quantitas materiae ipsius A ad quantitatem materiae ipsius B. Si enim materiae quantitas in A dupla sit istius , quae ei l in B, dividi potest A in duas partes ,
quarum utralibet tantum habebit materiae, ac proinde per axioma s tantum motus, quantum habet B; cum scit. ea- dem velocitate utrumque corpus feratur : adeoque erit m mentum corporis A momenti corporis B duplum . Si materiae quantitas in A tripla sit ejus , quae est in B, dividi potest Λ in tres partes, quarum unaquaeque habebit motus quam litatem aequalem ei, quae est in B; & universaliter , quamcunQue proportionem habet materia in A ad materiam in B,
eanciem ha oebit rationem momentum ipsius B ad momentum ipsius B, si modo eadem velocitate utrumque corpus iam tum suerit. Si corpora homogenea sint, erunt quantitates materiae, ut ipsorum magnitudines, seu moles; ac proinde ipsorum motus erunt etiam in eadem magnitudinum ratione . r. Si momenta sint, ut quantitates materiae, erunt celem ritates corporum aequales.
In eomparatu motibus quorumcunque eorporum moment rum ratio componitur ex , rationibus quantitatum materia di cel
Sint duo mobilia quaecunque Α & B, & moveatur in celeritate C, B vero celeritate e; dico , momentum ipsius Λ esse
ad momentum ipsius B, in ratione composita ex ratione quam litatis materiae in A ad quantitatem materiae in B , & rati ne celeritatis corporis A ad celeritatem corporis B. Ponatur corpias tertium G, quod materiam habeat aequalem ei, quae est in Α , sed moveatur celeritate corporis B. Conllat ex et mentis, rationem momenti corporis A ad momentum corporis B compositam esse ex ratione momenti corporis A, ad momentum corporis G, & ratione momenti corporis G ad F 4 in momen-Diuitigod by Cooste
102쪽
momentum eorporis Br sed per theor. I momentum corporis A est ad momentum corporis G, ut celeritas C et ad celeritatem e; & cum G & B eadem celeritate ferantur ,- momentum corporis G erit ad momentum corporis B, ut materiae quanti taxin G vel A ad quantitatem materiae in B. Ideoque erit quoque momentum Corporis A ad momentum coris poris B, in ratione composita celeritatis C ad celeritatem e ,& quantitatis materiar in A, vel G ad quantitatem materiae in B. Q. E. D. Cor. I. Si corpora sint homogenea, momentorum ratio erit composita ex ratione magnitudinum , & celeritatum. Cor. 2. Si fiat , ut A ad B, hoc eli, ut materiae truantitas
in Λ ad quantitatem materiae in B, ita redha D ad rectam E,& compleantur rectangula sub D & C, &sub E&e, erit momentum mobilis A ad momentum mobilis B, ut re stangulum D C ad rectangulum E e. Nam quia est, ut A ad B, ita D ad Ε, erit ratio composita ex rationibus A ad B, & C ad e, aequalis rationi compositae ex
rationibus D ad Ε , & C ad e; sed per et 3 el. 6 ratio
composita ex rationibus D ad Ε, & C ad e aequalis est rati ni re stanguli D C ad rectangulum E e: & per theor. hoc tertium 3 ratio momenti mobilis A ad momentum mobilis Baequalis est rationi compositae ex rationibus A ad B, seu D ad E, & C ad e; quare erri, ut rectangulum DC ad rectangulum
E e, ita momentum mobilis A ad momentum mobilis B. Cuiusvis igitur corporis momentum considerari potest tanquam rectangulum laetum ex ductu molis, vel quantitatis materia in eodem contentae in eiusdem celeritatem . Cor. 3. Quare qumunque demonstrata sunt de horum rectingulorum proportione, eadem quoque vera erunt de corporum momentis hisce rectangulis proportionalibus ; υ. gr. si sit, ut D ad E , vel ut A ad B, ita e ad C, erunt in eo Casu mobilium momenta aequalia ; rectangula enim parallelo- amma latera reciproce proportionalia habentia sunt aequalia per i el. 6 , & e contra a si rectangula sint aequalia , erunt latera reciproce proportionalia ; hoc est , si quantitates materiae , seu in corporibus ejusdem generis eorun-
103쪽
dem magnitudines sint celeritatibus reciproce proportiona les , erunt momenta aequalia; & conversim , si momenta sint aequalia, erit ut materiae quantitas in uno ad quantitatem materiae in altero, ita reciproce huius celeritas ad illius celeritatem ; hinc etiam demonstratur sequens
In eomparatis motibus eeleritatum ratio componitur ex ratione direjga momentorum , ct reciproca quantitatum materiae .
Sint duo mobilia A & B, & seratur A celeritate C, B ve- IAB ro celeritate e. Dico, esse C ad e, hoc est, celeritatem unius A ad celeritatem alterius B in ratione directa momenti corporis A ad momentum corporis B, & ratione reciproca
materiae in A ad materiam in B. Fiat, ut A ad B , ita recta IAB EI ad rerum KG; & fiat IL aequalis C, G H vero aequaliae; & compleantur rectangula EL, KH. Per superius didia .rectangula EL, ΚΗ repraesentabunt momenta mobilium A,& B respective ; ad GH applicetur rectangulum H N aequale rectangulo EL. Cum igitur H N aequale sit EL, erit per I 6el. 6 IL ad GH, ut G N ad EI; sed ratio G N ad EI, aequalis est rationi G N ad G Κ, & G Κ ad EI; hoc est , arctualis rationibus rectanguli FIN, vel EL ad ΚH rectangulum, & GK ad EI: quare erit celeritas C, vel IL ad celeritatem e , vel GH, in ratione composita ex ratione momenti EL ad momentum ΚΗ, & materiae GK ad materiam EI; hoc est, velocitas cujusque corporis semper est , ut illius momentum applicatum ad eiusdem materiam. Q. E. D. Simili prorsus ratiocinio colligitur , corporis cujusque m teriam esse semper , ut momentum ad ejusdem velocitatem applicitum .. Atque haec de corporum momentis. De proportione spatiorum a mobilibus emensorum sequentia ellam vulgo de
In comparatis motibus , si mobilium celeritates stat stqvales , erunt Daria ab illis percursa directe ut remIOra , qu bus peraguntur motus . Percurrat mobile longitudinem AB tempore T, motu TAn. 4.
104쪽
quabili & uniformi; item idem , vel aliud mobile eadem v locitate latum percurrat longitudinem C D tempore t; dico , lineam ΑΒ e1Γe ad lineam C D, ut tempus T ad tempus r. Etenim si tempus T sit duplum ipsius t , potest illud dividi in duas partes , quarum unaquaeque aequaliS erit i ade due singula spatia aequalibus hisce temporis parii bus ea-em celeritate percuria aequalia erunt spatio percurso in tempore r; & duo spatia simul sumpta spatii tempore t percursi dupla erunt: eodem modo , si T siit triplum ipsius t , dividi poteli in tres partes aequales , & spatia singulis hisce temporibus percursa aequalia erunt spatio tempore t Percurso ; ac proinde tria spatia simul sumpta spatii tempore t percursi tripla erunt. Idem de aliis muIεiplicibus &submultiplicibus ollendi potest; quare universaliter , quam-Cunque proportionem habet T ad t, eandem habebit spatium percursum AB ad sparium percursum CD. Q. E. D. Cor. Si tempora sint, ut spatia percursa , celeritates sunt
In comparatis. moribus , δε motuum rempora απalia snt, spatia
percursa erunt , ut celeri res.
Percurrat mobile aliquod in dato tempore longitudinem AB, celeritate C; & in eodem vel aequali tempore , percurrat idem vel aliud mobile longitudinem D E , celeritate e; dico. lineam ΑΒ esse ad lineam DE, ut celeritas C est adceleritatem e. Si enim celeritas C sit dupla ipsius e , erit spatium AB percursum celeritate C duplum spatii DR pe cursi celeritate e; si celeritas C sit tripla ipsius e , erit quo .que A B longitudo iplius D E lonuitudinis tripla ; si C sit dimidia ipsius e , erit ΑΒ ipsius DR dimidia: & universaliter ,
cum arctualia tempora in percurrendis lineis insumantur, quamcumque proportionem habet celeritas C ad celeritateme, eandem habebit longitudo percursa Α B ad longitudinem percursam DE. Q. E. D. Cor. Si celeritates sint, ut spatia percursa , tempora erunt arctualia.
Poterant duo prima theoremata, item quintum , & hoc
105쪽
AD VERAM PHYSICA M. LECΤ. IX. prsextum, universaliter per aequi multiplicia, Euclidis methodo, demonstrari; verum cum per se adeo clara tint, ut inter axi mata reponi possint, vix tanto de monitiationis apparatu indigent.
Longitudineae pereursae sunt in ratione eomposita ex ration r temporum , ct celaritatum. Sit linea ΑΒ peragrata celeritate C , tempore T; & linea TAH. L. D E celeritate G tempore ri dico, rationem ΛΒ ad DE com-- 3. positam esse ex ratione Celeritatis C ad celeritatem e , & ratione temporis Τ ad tempus t. Ponatur linea FG percurri tempore T , Celeritate e; constat, AB esse ad DR in ratione composita ex rationibus AB ad FG,&FG ad DE . Sed quia AB & FG eodem tempore percurruntur; erit AB ad FG, ut
celeritas C ad celeritatem e: cum vero mobilia eadem celeritate describant lineas F G & D E ; erit per theor. 6 F Gad DE , ut T tempus ad . tempus : quare cum ratio AB ad D E componatur ex rationibus AB ad FG, & FG ad DK.
erit etiam composita ex rationibus, 'uae sunt hisce rationibus aequales , nempe ex ratione celeritatis C ad celeritatem e. temporis T ad tempus t . .
Curi t. Si fiat HK aeaualis C , HI aeq.alis T , item MNI TAB . .. a qualis e , & MO aequalis r , di compleantur rectan la ,- ι-rallelogramma HL, MP; erit AB ad DE, ut redhangusum HL ad MP reetangulum : nam per a 3 eL 6 est reliangulum HL ad reetangulum M P in ratione composita ex rationibus ΗΚ ad MN,& HI ad MO;sed per praecedens theorema sp tium percursum AB est ad spatium percursum DK, in ratione
ex iisdem rationibus composita ; unde spatia haec percursa considerari possunt tanquam redi ingula laeta ex temporibus in celeritates ductis. Gr. a. Si igitur spatia percursa sint aequalia , erit quoque rectangulum sim celeritate,& tempore, quibus unum spatium transigitur, aequale rectangulo sub celeritate & tempore, quibus alterum peragratur spatium , & proinde erit, ut celeritas ad celeritatem , ita reciproce tempus ad tempus per i eL
106쪽
el. 6 hoc est , si spatia percursa sint aequalia , tempora
erunt reciproce , ut Celeritates.
In P mparatis motibus , templarum ratιo compo uitur ex directa r διοne longitudιnum , di reciproca celeritatum .
Theorema hoc de ino nitiari potest eodem modo ex praece-ΥΑn ,. denti, quo quartum sequitur ex tertio ; perspicuitatis autem M i . gratia sic breviter ostenditur . Percurratur tempore T longitudo ΑΒ, celeritate C; item tempore t longitudo DE pe Curratur , celeritate e dico, tempus T esse ad tempus t in ratione composita ex directa ratione longitudinis A B ad longitudinem D E , & reciproca celeritatis c - ad Celeritatem e. Sit Κ tempus, quo percurri potest longitudo AB cum celeritate c, erit ratio temporis et ad tempus t composita ex ratione
T ad Κ , & Κ ad t ; sed per corol. praecedentis theor. est ut T ad Κ, ita e ad C cum idem spatium utroque tempore percurratur , & ut K ad i , ita per cor. theor. longitudo A B ad longitudinem DE; quare erk T ad i ii . Tatione composita celeritatis e ad celeritatem C , & longit fissiliis A B ad longitudinem DE;' h6e et , tempora sunt in
ratione composita ex reciproca celeritatum , dc directa longitudinum . E. D. ' . t H Eodem modo ostenditur , Celerita es esse in ratione di- recta longitudinum , & reciproca temporum . λ Cordi: Atque hinc sequitur , tempus Hine, ut spatium percursum applicatum ad Celeritatem . . ' Cor. 2. CE rhas citroque est , ut spatium percursum appli
Theorema tertium , & septimum demonstrari possunt ex univeis ali hoc theorema e , nemper ῆSi effectus aliqui ex pluribus simul causis pendeant , ita scit. ut augeantur , vel diminuantur in eadem ratione , qua augetur , aut diminuitur Causarum aliqua ; erunt essedius illi in ratione causarum omnium composita ; hoc est , si cauta A, B; C simu P agentes producant effectum E , qui caeteris iisdem manendibus semper est , ut Causarum quae-Vi. ; & aliae causae a, b, e prioribus respecti ve similes, & si-
107쪽
militer agentes producant effectum e ; erit ut E ad e , ita ΛκBκ C ad aκbκ e. Quod eadem fere methodo, quam in praecedentibus demonstrationibus adhibuimus , iacit ostendi potest.. Ad eundem modum , si idem ectetus ex pluribus rebus
simul pendeat, quarum aliquae eundem adjuvant, vel augent in ea ratione, qua ipsae augentur; aliquae vero impediunt, vel minuunt in eadem ratione, qua augentur; erit esseelus semper directe , ut causae adjuvantes , & reciproce ut agentes , impedientes , vel minuenteS . Theorema septimum stylo Ne toniano sic demonstratur . Data celeritate , Darium percursin es ut tempus ; ct dato tempore , spatium percursum es ut celeritas ; quare neutro eo-νum dare , est ut celeritas ct tempus eonjunctim . Sic etiam theorema octavum ollenditur , Data talaritate , tempus es directe ut Darium pereursum ; didato Datis , rempus est reciproce ut telaritas; quare neutro . dato , tempuι erit directe ut spatium , di reeiproce ut GD-
Similiter theorema tertium , & quartum exponi possunt , atque hanc methodum nos etiam brevitati studentes inte dum usurpabimus.
IN demonstrationibus praecedenti lectione adhibitis methodum exposuimus , qua res physicae ad Geometriam primo , deinde ad Arithmeticam reducendae sunt; cum enim ibi demonstratur, corporum motus esse , ut rectangula sub ipsorum celeritate, & materia , ex datis cuiusvis corporis materia. & celeritate, dabitur ejusdem momentum , aequalescit. facto ex celeritate corporis in ejusdem quantitatem mat
riae ; in p. lit corpus A Delo partium , B vero partium sex ,αeleritas ipsius Λ , ut 1, & corporis B celeritas, ut 3, erit motus corporis A suadraginta partium , & motus corporis Bpartium tantum octodecim .
Ita ex datis corporis cujusvis momento , de materia , innotescet quoque illius celeritas; nempe si dividatur momentum Diuitiam by Corale
108쪽
tum 'per ipsius male tam , quotiens exhibebit ejusdem vel Citatem ; sit enim motus ih corpore A partium 4o , & ei materia octo partium ; sit etiam motus in corpore B partium octodecim , & illius materia partium 6 ; dividetaso quadriginta per octo, quotiens quinque exhibebit, yelocitat eris sq.
'mobilis Α-di vj dendo of odecim per , quotiens tria da-' bit, velocitatem mobilis B. ' - . '
Cum per exempla res magis elucescunt , & numeri sem per ad praxin sunt advocandi; ut tyrones se melius illis assuescant, licebit nobis scientiam de motu per numeros quan doque illustrare . & Arithmeticam tam speciosam , quam numerosam adhibere ex speciosa enim Arithmetica eruuntur canones quideris generales, qui postea ad numeros particulares sunt applicandi. 'Sic denotet A materiam in quovis dato corpore Α, C vel o eiusdem celeritatem , atque ipsius momentum vocetur M; ' vel potius hae literae denotent numeros quantitatibus illis' M Mproportionales ; erit C κ A m M & C α - & A Similiter cum spatiam percursum sit semper . rectangulo sub celeritate, & tempore proportionale; si spatium dicatu S, tempus Τ,& celeritas C;erit Sela CNT;& Cα---;&Tdc proinde cum sit M A κ C, erit quoque M AR 'T ; vel si T detur , erit M m A κ S ; hoc est cujusque corporis momentum est, ut ipsius materia ducta in spatium ab ipso in dato tempore percursum . Alia quam plurima hisce similia ,
quae nonnulli pro motus legibus venditant, ex hactenus demonstratis deduci possunt; at cum ea omnia tyro quivis fa- cile per se eruere possit, non opus eis, ut hic proferantur . - Ea supra demonstratis constat, momentum' corporis C juscunque oriri ex motu partium singularum ;i nam singulis corporis particulis inest impetus , seu vis movendi , & ex harum virium summa componitur impetus , seu quantitas mOtus totius co rpori S.
Hinc ei iam colligitur , quod quo major corporibus insit materiae quantitas, eo major adhibenda sit vis ad ea corpora
109쪽
ra eum data velocitate movenda, & eorum proinde momen-ga e dem ratione, majora erunt; si igitur stat duo corpora eadem velocitate lata , erunt quantitates materiae in ipsis semper , ut eorundem momenta ; adeoque si Corpora mole aequalia , & aequivelocia inaeqhalia habueIint momenta , ne
cella est y uti in illis inaequale quoque sint materiae quantit tes ; & quod minus habet momenti, plures habebit poros , si spatia , vel omnino vacua ἰ vel materia aliqua repleta , quae pon participat de motu totius corporis , Cusus poros impleret supponitur . Sic , fiant duo globi suberis , &ylumbi, eiusdem magnitudinis', dc uterque eadem velocitate moveatur ; icum experientia notum sit, momentusta. unitas multo maius esse momento alterius , necesse est , .ut multo plures sint pori in uno quam in altero ; quos vel omnino v Cuos esse , concedendum est, Vel dicendum , eos materia
aliqua subtilissima repletos esse , quae ita libere potest ejusdem poros permeare , ut de motu corporis , cujus poros occupat , non participet . . Ut autem materia illa libere possit aliorum corporum poros permeare , nec de ipsorum motu participare, oportet, ut omnia corpora omnes su0s poros secundum rectas lineas directioni motus parallelas oxtensas habeant; ut scit. nullae fiant reflexiones materiae subtilis contra pororum latera: alio-q illa una cum ipso corpore movebitur materia etiamsi subtilissima , quae ipsius poros replere supponitur . Non , potes igitur materia subtilis de corporis ni Qis Non participaret, nisi Corpus rnotum ita disponatur , ut, poros suos directioni motus parallelos habeat. Cum autem infinitis aliis modis ipsius suus variari poteli; hoc est , po: sunt pororum longituat nesin infinitis angulis ad lineam directionis inclinari, & proinde illis omnibus positis, moto corpore , una movebiIur m teria subtiligin ipsius potis locata : non igitur pote ii materia subtilis ita corporum poros libere permeare, quin de ipsorum
motu participet ; ac proinde moto corpore , movcbitur quoque materia intra ipsum contenta quantum vis subtilis sit. Σῖ igitur 1 uber moveatur , s cum quoque deseret materiam suis poris contentam ; adeoque cum minus habet mo me
110쪽
ti, quam globus plumbeus eiusdem magnitudinis, eadem
velocitate istus , minor erit in subere materiae copia , di proinde plures pori, seu spatia absolute vacua . Ex demonstratis etiam deducitur sequens theorema. T H E o R. IX. Rudera eorporum omnium sensibilium juxta terrae superficiem sunt quantitatissus materia in iisdem proportionalia . Nam , ut multiplici pendulorum experientia constat, eo pora omnia vi gravitatis perpendiculariter cadentia abstra- heudo aeris reruientiam aequalia spatia in iisdem temporibus percurrunt. Nam in vacuo , seu medio non restilente , non plus temporis impendet in descendendo minutissima is quaevis plumula , quam ponderosum plumbum ; adeoque omnium corporum in dato tempore cadentium velocitates sunt aequales ; erunt igitur eorum momenta quantitatibus materiar in iisdem proportionalia ; verum Vires motum generantes sunt semper motibus , seu momentis generatis proportionales, & proinde in hoc casu erunt, ut quantitates m teriae in corporibus motis; sunt autem vires, quae motus illos generant, ipsae corporum gravitationes , hoc est, pondera . omnium igitur corporum pondera sunt quantitatibus mat riae , quae in corporibus sunt, proportionalia . a D. Cor. I. Corporis igitur cujulvis pondus , ex auis a solummodo, vel diminuta materiae quantitate, augetur, vel diminuitur . Cor. 2. Quare eadem manente materiae quantitate in corpore quovis dato , idem quoque manebit ejusdem pondus , & quomodocunque variatur ejusdem figura , vel textura particularum corpus illud componentium , pondus tamen ipsius non mutabitur: adeoque nullius corporis pondus ab ejus forma , seu textura pendet. Cum c per axioma I natura cuiuscunque materiae sit eadem , nec unum corpus ab alio disserat, nisi m liter , per paritum figuram, situm, de alias illiuimodi formas; erunt corporum affectiones , quae ab illorum formis non pendent, in omnibus corpori hus eaedem ; adeoque cum c uti dictum est corporum pondera ab illorum sermis non oriantur, ted