장음표시 사용
161쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XIV. I I
perientiae repugnat; nam plumbum, lutum, cera, & alia corpora elasticitatis iere expertia, si in pavimentum cadunt, non reflectuntur; cum tamen pilae conflatae ex lana, vel plumis , globuli eburnei, marmorei, vitrei , de alia ejusmodi Corpora magna elasticitatis vi pollentia , in idem pavimentum demissa fortiter resiliant: reflexio igitur illa non E motu , qui utrique corpori communis est , sed ab elasticitate , quae solis reflectentibus peculiaris est , provenit. Quod erat ostendendum . Sed quaerent fortasse Carismi, quo pacto innotescit, globos eburneos, vitreos , marmoreos, & alia reflectentia corpora , quae diarissima esse videantur , elasticitate pollere: respondeo, illorum elasticitatem posse exinde concludi, quod, Cum percutiuntur , tinnitum edunt, qui a vibrationibus corporis percussi oritur , eodem modo , quo filum tensum sitis vibrationibus undulationem aeris efiicit; & proinde minime dubium est , quin corpora illa elatere aliquo praedita sint . Atque hoc quidem argumentum corporum vim elasticam pronabilem reddit; sed aliud est argumentum , quo res haec
Sint enim duo globi vel eburnei, vel vitrei , & si globo rum figurae essent perseete sphaericae , . in uno tantum & indivisibili puncto sese tangerent ; sed hoc nulla arte humana fieri potest : tam prope tamen ad figuras sphaericas possunt Ierduci , ut sese in puncto physico , hoc est , in parte vin-ili minima tangant. Si jam unius globi lupertates atramento aut quovis colore , qui facile detergi potest inficiatur , & alter in ipsum quiescentem impingat, experimento Constat, non punctum tantum physicum globi incurrentis post impulsum alterius colore tingi, sed partem ejus superficiei satis magnam ; atqui hoc fieri non potest, titsi ipsorum superficies per ictus vim mutatae suerint: post reflexionem autem utrumque globum pristinam figuram recuperare deprehendimus ; quare globi hi habent vim elallicam , qua sese in pristinam figuram per telum deformatam restituere V lent . Q. E. D. Sequuntur jam regulae motus pro corporibus e lassicis .
162쪽
Si duo eorpora perfecte elastica in se r incem impingant, eadem manebit ipsorum in locitas relativa ante post impactum; Moes , corpura perfecte elastica eadem celeritate is sese mutuo pin ictum recedent,qua prius ad se in Dicem accedebant. Nam per cor. theor. 27 γ vis compressiva , seu magnitudo in datis corporibus oritur a velocitate corporum
pora perfecte elallica eadem vi sese in prilii nam figuram restituunt, qua compressa suere ; hoc ell, vis restitutiva aequalis ei, vi compreuiuae , ac proinde vi , qua Corpora ad sese accedebant ante impassium, aequi pollet: sed per vim hanciret titutivam coguntur corpora a se invicem discedete ; unde vis haec in eadem corpora agens producet velocitatem rei tivam aequalem ei, quam prius habebant, seu iaciet, ut corpora eadem velocitate a se invicem recedant , qua prius a cessere . a S. D. Cor aequalibus igitur temporibus ante & post impulsum sumptis, aequales erunt corporum a se invicem dii antiae; &proinde aequales quoque erunt in iisdem temporibus dista tiae corporum a communi gravitatis Centro Ex hoc corollario regulae congressuum in Corporibus perfecte elasticis facile eruuntur , quod igitur in sequenti problemate praestandum et .
In eorporUns perfecti elasticis , ct directe impingentistra regulas
omnes huius problematis Casus eadem opera Constructos rAn dabimus. Sint Λ & R duo Corpora periecte elallica, quorum D 6 commune gravitatis Centrum sit C , & ponantur corpora , P concurrere in D. ac fiat C E aequalis CD: dico, post concuri, I sum rectam E A exponere velocitatem corporis A ab E versus A , & rectam E R exponere velacitatem mobilis B ab Eversus R. Dem. Cum c per theor. 23 commune corporum gravitatis centrum ante,& post impulsum eadem semper vel
163쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XIV. I 43
Citate uniformiter progrediatur , in tempore aequali, ei, quo percurritur a corpore A longitudo AD , vel a centro gravitatis C longitudo CD , poli impulsum ab eodem C Pcrcurretur longitudo DΚ ipsi DC aequalis, fiat K a aequalis C Λ: de Cum per cor. praecedentis theor. aequalibus temporibus ante, & post impactum sumptis aequales semper sint corporum a communi gravitatis centro ditiamiae ; eodem temporis punicto, quo commune gravitatis centrum eli in K, corpus A repetietur in a , adeoque poli impullum erit ipsius motus 1 D versus a, & eius velocitas erise, ut reeia D a, quae ab ipso in eo tempore percurritur ; sed ob CE aequalem reetae CD vel ΚD, & CA aequalem Κa, erit rectarum CE, C A differentia aequalis citiserentiae rectarum K D, Κa, hoc est, erit EA aequalis Da: sed recta Da denotat cor. Poris A velocitatem poli impulsum, quare eius velocitas perrectam EA quoque aenotabitur; praeterea cum Velocitas COrporum relativa ante,& poli impulsum eadem maneat, & re-
sta EA denotet velocitatem mobilis Α , velocitas mobilis Bpost impulsum necessario per rectam EB denotabitur; ab Escit. versus B. Q. E. D. M. I . Si corpus B quiescat, coincidet punctum D cum B: & quia est B ad A, ut AC ad CB, erit componendo B dc n ε. gr. A simul ad A, ut AB ad CB; unde duplicando conseque teserit B & Α simul ad 2 A, ut AB ad 2 CB vel EB; hoc est, ut Corporum aggregatum ad duplum corporis impingentis , ita celeritas impingentis ante contactum ad celeritatem prius quiescentis post contactum . Cor. 2. Adeoque si Λ & B aequalia sint, erit Α & B m a A, TAR s. unde ΕΒ celeritas corporis B poli contactum erit aequalis ABCeleritati corporis A ante contactum proinde Coinciden te puncto E cum puncto A, erit ΑΕ velocitas mobilis Α post impulsum nihilo aequalis ; quod etiam facile sic intenditur rob corpora Α & B aequalia, erit AC m CB CD CR quare coincidit punctum E cum A, & proinde mobile A post tria pulsum quiescet,& corpus B poli impulsum movebitur cum celeritate EB vel AB.Si igitur corpus et allicum in alterum quiescens,& aequale impingeret, post contactum quiescet impingens,
164쪽
& quiescens cum prioris celeritate movebitur. Cor. 3. Si corpora A & B aequalia versus eandem partem ferantur, post contactum ad eandem quoque partem ferentur, celeritatibus permutatis; nam ob CE CD,&AC m C
erit CE AC, hoc est, EA α CD CB seu BD; adeoque velocitas corporis A poli impactum aequalis erit velocitati mobilis B ante 4mpactum: praeterea quia E A m BD erit EB M AD , proinde velocitas corporis B post contactum
prioris A velocitati ante occursum aequalis erit. Cor. 4. Si corpora A & B aequalia ad contrarias pat-tes serantur, post impulsum ad contrarias partes recedent , celeritatibus permutatis. Nam ob AC m CB, & CEMCD, erit ΑC-CE, hoc ei , ΑΚ CB CD, seu BD ade que velocitas corporis A post impactum aequalis erit velocitati corporis B ante impactum: praeterea ob EA m BD erit AD α EB; sed AD erat velocitas corporis A ante occursum , & EB est velocitas corporis B post occursum , unde liquet
Quoniam in praxi calculus semper est adhibendus, con-Venit, ut modus tradatur, quo Celeritates Corporum etallicorum post impulsum sunt investigandae , & ad numeros reducendae ; & quidem facile esset, ad modum superiorum
Corollariorum, omnes particulares casus ex generali exposita constructione ad numeros revocare; faci lii me autem generalis calculus sic eruitur . Ponamus primo , corpora A & B versus eandem partem moveri; sitque C velocitas insequentis A , praecedentis vero B velocitas sit e ; unde velocitas corporum relativa erit C- e, & summa motuum versus eandem partem AC Bervelocitas corporis A post impactum versus eandem , qua Prius, plagam vocetur x ; & quia eadem manet corporum velocitas relativa ante & post impactum , velocitas corporis B erit x-C - e ; est enim velocitas corporum relativa aequalis excessui velocitatis , qua velocitas corporis celerioris laterat velocitatem tardioris ; adeoque excessus ille debet esse C - e; cum vero velocitas corporis A sit x, erit ejuS motus versus plagam D Λx ; de cum velocitas corporis B sit
165쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XIV. I s
ae-C - e, erit ejus motus vertus eandem partem B x -- B C Be ; & horum motuum summa aequalis erit summae priorum motuum , hoc et , erit Are ' Ba: - BC BemAC-Be; unde reducendo hanc aequationem, erit Aae 'Bx AC - BC- aBc; 6c x --- velocitati corporis A.Porro velocitas corporis B est αω--C A C I
Si BC sit major quam AC P 2Be, erit x seu Α--Ηquantitas negativa , adeoque velocitas corporis A erit versus contrariam partem , & ejus motus versus D erit negativus. Si corpus B quiescat; hoc est , si sit e O , erit velocitas corporis A post impulsum -- prorsum aut retrorsum, prout signum aut praevaluerit .' Si corpora A & B celeritatibus C & e , versus contrarias partes lata , sibi mutuo dire ste impingant, erit ipsorum motus versus eandem partem AC - Be ; & velocitas corporum relativa erit C -e . Sit jam x velocitas corporis A poli im Paetum ; erit eius motus versus eandem , qua prius plag/mΛx, & velocitas corporis B erit at C -- e, nam velocitas corporum relativa per ictum non mutatur & molus in corpore B versus D erit Bae --BC- Be; unde summa motuum in easdem partes erit Ax 'Bx-- BC-Be, quae s per theor. 34. aequalis erit AG - Be ; adeoque eris Ax Bae m AC-BC-2M, & x - & vclocitas corporis B erit
Si BC - a Be sit major quam AC, erit motus corporis Aretrorsum , versus contrariam scit. partem , in quo casu erit
166쪽
Corporum durorum leges primus, quod sciam, re ste tradidit Walloius, huius Academiae in Cathedra Geometriae Savitianus celeberrimus professor , in actis philo phicis numero 43, Dbi etiam primus veram causam reflexionum in aliis corporibus aperuit, & has ab elallicitate profici lci docuit. Pollea , non longo temporis intervallo , Clarissimi viri Dom. Christophorus Wren , runc temporis in hac Academia Ailronomiae profestar Savalianus , & Do m. Christianus Hugens leges , quas observant corpora perfecte elastica Societati Regiae Anxtieanae seorsim impertivere, &eandem prorsus conitructionem dederunt, quamvis uterque, quid ab altero fictum de hac re fuit, inicius erat. Cum autem illi conitructiones , & leges molus absque demonstratione in philosophicis actis consignarint; placuit hanc ipsorum elegantem admodum constructionem exinde depromere,& demonstrare. Non dissimili methodo construitur problema in corporibus quidem et allicis , sed quae non se rellituunt vi aequaliet , qua comprimuntur. Sint enim duo quaecunque Corpora Α & B , quorum commune gravitatis Centrum sit C; lecen-
tur AC . BC ita in a&b . ut AC fit a C & BC ad liC , ut vis elaterem comprimens ad vim, qua elater se restituit; fiatque C E aequalis CD ; erit Ea velocitas corporis A poti impulsum ab A versus a, & E erit velocitas corporis B ab Eversus D.
Quod si vis restitutiva aequalis sit vi compressivae , coinctaei punctum a cum A , & constructio redit ad priorem . Demonstrario facilis est praecedentem intelligenti , nec opus
Si -bile A in mesa Α Β uniformiter moveatur ; ct interea recta linea ilia A B, sibi semper parallela , mors etiam aequabili deferatur secundum direstionem ad AC paraIDIam ; sique u Deitar misitis A ad velaeitatem lineae A B, ut A B ad AC, compleatur parallelogrammum ABDC, cujus diagonalis si LD; erit haec vera tinea is mobili A motu suo descripta .
Cum linea AB ad situm ab pervenerit, sit g locus mobilis
167쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XIV. r47lis A , & quia per theor. 6 spatia si nul descripta sunt ,
ut velocitates, erit ag Iongitudo a mobili R percursa ad Aalongitudinem a linea AR percuriam, ut ves Ocisas nyobilis
A ad velocitatem rectae AB, hoc est , ex hyp. ut AB ad AC; unde parallelogrammum a G simile erit parallelogrammo CB, & proinde per et el. Ο punctum g in diagonali A D locabitur ; hoc est , corpus A semper in re ista A Dreperietur , adeoque haec linea ab illo percuiretur . Q. E. D. C r. I. Eodem tempore delcribitur a mobili A linea AD, quo abique motu secundum AG lineam AB percurreret; aut quo absque motu secundum AB describeret reotam AC. Cor. a. Cum mobile ideo in recta AD deseratur , quod praeter motum proprium participat quoque de motu loci Iulseu rectae AB, & motus ejus ex utroque compositus iit ; si mobile aliquod duos motus secundum directiones AB, AC ssimul impressos habeat, sintque motus illi vel vires , a quibus producuntur, ut rectae AB, AC, erit AD linea descripta 1 mobili , quod a duabus hisce viribus motus impreissos recepit ; & ejus vis , qua in recta A D fertur, erit ad priores secundum AB, AC, ut diagonalis AD ad latera parallelogrammi
Cor. 3. Hinc E eonverso , si mobile cum vi ut AD pe currat rectam AD, idem erit motus & secundum eandem dire monem , ac si initio motus simul impelleretur a duabus viribus, reetis AR, AG proportionalibus, secundum directiones ab A ad B, & ab A ad C et atque hinc motus quivis , etsi in se limplex, tanquam ex pluribus motibus Compositus considerari potest ; & vires quaelibet in alias plures secundum diversis direetiones agentes resolvi possunt.
Si erepus A in fir m obicem D G ohtique impingat , eris enem sqgia percusonis , seu magnitudo ictus obrupui ad magritudi ' nem ictur , quem produceret idem corpus eadem chliritate stem pendiculariter impingens , in us anguli incia nitar ACD as
Ab A in obicem demittatur perpendicularis AD, si sit γficies obicis sit plana ; veI si curva , demittatur perpendi ΘΚ Σ Laia
168쪽
laris in planum tangens obicem in puncto incidentiae C. &compleatur rectangulum D B. Iam per Corol. 3 praecedentis motus corporis A ut AC in re sta AC aequipollet duo. bus motibus simul impressis secundum directiones AB, AD, qui sunt ad motum in AC ut reetae AB, AD ad AC: sed motui in recta AB nullo modo resistit obex DC, cum enim ΑΒ sit ad DC parallela , corpus in recta ΑΒ motum in obicem DC nunquam impinget; vis igitur, qua impingit in obicem , est ut recta A D: eth itaque vis corporis A in recta AC ad vim, qua impingit in obicem , ut AC ad A D: sed si perpendiculariter cum vi ut AC impegisset in eundem, ictus magnitudo per AC repraesentaretur, motus enim totus per obicem delirueretur : quare erit magnitudo ictus obliqui ad magnitudinem ictus perpendicularis, ut A D ad AC; hoc est. ponto AC radio , ut sinus anguli incidentiae ad radium . T H E O R. XXXII. Si corpus perfecte elasticum in firmum obicem oblique impingat,
ab illa ita resectetur, ut angulo incidentiae oequalis fiat angulus restexionis.
Incidat corpus A perfecte elasticum in firmum obicem o lique secundum lineam AB; dico , corpus illud cum eadem celeritate ita in recta BC reflecti, ut angulo incidentiae ABD aequalis sit angulus reflexionis CBF. Recta ΑΒ exponat m tum corporis A in directione AB. Per corol. 3 theor. 3o resolvitur hic motus in alios duos secundum directiones Λ AD, ad quos motus in AB et , ut AB ad AE, A D; sed eum A E sit ad superficiem obicis parallela, & A D ad iplum , vel saltem ad planum obicem in B tangens , perpendicularis; vis illa, qua impingit in obicem, est ea solummodo, quae est, ut AD, secundum directionem ad obicem perpendicularem agens: fiat iam BE aequalis, & parallela ipsi AD, & BF aequalis DB vel AR, & compleatur rectangulum EF, quod erit per omnia simile & aequale rectangulo DE. Cum igitur motus ut A E secundum directionem ad obicem parallelam per ictum non deliruatur, quippe huic motui obex non ethcontrarius , post impulsum ad B permanet in corpore vis
169쪽
ut ΑΕ vel BF movendi secundum direetionem BF : sed ex natura elasticitatis , corpus cum vi ut EB secundum directionem ΕΒ in obicem impingens, eadem vi secundum eandem directionem reflectitur ; motus igitur corporis ad punctum incidentiae B componitur ex motu ut BF secundum directionem BF , & motu ut BE secundum directionem BE ; quare per corol. 2 theor. 3o corpus in recta BC cum vi ut BC movebitur : sed ob AD , CF aequales & parallelas , item ob DB , BF , & angulos ad D & F aequales , erit angulus CBFaequalis angulo ABD, hoc est, angulo incidentiae aequalis erit
. angulus reflexionis . Q. E. D.
Corporum Iique impingentium pos occursum determinare motus . Moveantur corpora quaecunque A & B in lineis ad se in- PB. . vicem inclinatis AC , BC , quarum longitudines respective ' 'exponant velocitates corporum Α, B; recta EFG repraese tet planum , a quo tanguntur corpora in puncto concursus; in quod ab A & B demittantur perpendiculares ΑΕ, BF, quae exponant velocitates, quibus corpora ad se invicem accedunt. Compleantur rectangula EG, FH. Per cor. 3 theor. 3o motus corporis A resolvitur in duos alios secundum directiones Ain
ΑΕ, ad ovos motus in AC est, ut AC ad AG , AE respective ; similiter motus corporis B resolvitur in duos alios secundum directiones BF , BH ; ad quos motus in BC est, ut BC ad BF, BH respective : cum vero AG, BH sint parallelae velocitatibus , quibus secundum has directiones moventur corpora , in se invicem non impingent; adeoque motus secum dum hasce directiones per i inpactum non mutabitur; velocitates igitur , quibus corpora in se mutuo incurrunt, sunt ut
ΛΚ vel GC, & BF vel HC . Corporum igitur A, B cum velocitatibus GC . HC in se mutuo directe incurrentium c per probi. et si corpora dura sint, vel per probi. 3 si elastica a, determinentur motus ; sitque CL velocitas corporis A a Cversus L post impactum , orta ex velocitatibus GC , HO . Cumque , ut ostensum est, maneat in corpore vis movendi secuncium directionem ad AG parallelam cum velocitate ut
170쪽
AG, fiat C M aequalis Λ G, & compleatur reis angulum LM; . in hujus diagonali CN movebitur corpus A post impaetum
cum velocitate ut CN , ut patet per corol. 2 theor. 3o Ei similiter determinabitur motus corporis B post impulsum.
Si mobile A a tribus potentiis ope trium florum trahatur , vel alio quocunque modo urgeatur secundum directiones AB , Α Ε, Α C, ita ut bae tres potentia sibι mutuo aequipolleant, hoc est, ut bina quaevis alterius esctum destruant, ct corpus pern&IIam ipsarum moveatur potentia illet inter se eandem rationem habebunt cum rectis tribus ad ipsarum directiones parallelis o a mutuo concursu termιnatis .
Exponat AD potentiam, seu vim qua mobile A urgetur ab A versus B ; vis huic aequi pollens seu aequalis & corpus contrarie ab A versus D urgens etiam per A D exponetur ; sedc per cor. 3 theor. 3o vis ab A versus D corpus impellens aequi pollet duabus fecundum directiones AC, AE agentibus , ad quas vis prior ab A versus D agens est , ut A D ad AC, ΛΕ, vel ad AC, CD respective; & vicissim vires secundum rectas AC, AE agentes, & vi corpus ab A versus Durgenti simul aequi pollentes, debent esse ad vim eandem secundum AD, ut AC & ΑΕ, vel CD ad AD; quare etiam vires secundum re stas AC , AE agentes , & aequi pollem es vi, ua corpus ab A versus B urgetur , eiusque effectum destruentes, debent esse ad eandem, ut AC, CD ad AD; hoc est, si idem mobile a tribus potentiis sibi mutuo aequipollentibus - secundum directiones AB, AC, AE urgeatur, erunt hae tres potentiae ut rectae AD , AC , AB respective . Q. E. D.
cor. I. Cum in triangulo quovis latera sint ut linus angulorum oppositorum, erit AC ad CD, ut sinus anguli ADC vel, DAE ad sinum anguli DAC; unde quaevis duae potentiae erunt . inter se reciproce ut linus angulorum , quos lineae directionum cum linea directionis tertiae potentiae continent. Esti praeterea AD ad AC,ut sinus anguli C vel AED ad sioum anguli CDA vel DAE; di similiter potentia secundum AB agens