장음표시 사용
173쪽
AD VERAM PHNICAM. LECT. XIV. I FIest ad potentiam secundum AE, ut sinus anguli ΑED ad sinum anguli Α D E vel C Λ D . Cor. a. Si pondus B duae potentiae R , S filorum ope se-
cundum rectas AR , AS irahentes illineant, punetum A atribus potentiis urgetur , quarum duae secundum directiones AR, A S agunt, & altera est vis gravitatis ponderis B agens secundum rectam AB ad terram perpendicularem; unde erit potentia R ad vim gravitatis, ut AC ad AD , vel ut sinus an- .guli DAE ad linum anguli DEA vel CAE; & potentia S erit ad vim gravitatis, ut EA ad AD , vel sinus anguli CAD ad sinum anguli DEA vel CAE, & potentia R erat ad S potentiam , ut sinus anguli E A D ad sinum anguli C A D.
Τheorema hoc cum suis corollariis est fundamentum totius Mechanicae novae, quam Dominus Varig n edidit , &ab ipso etiam immediate consequuntur pleraque theoremata mecnanica, quae in eximio opere Io. Alphonti Borilli de Mois animal. Continentur ; ejus enim ope vires mulculorum aestia
mari possunt. Τ Η Ε O R. XXXIV. Si grave B plano inclinato incumbat , Ο ὰ potentia R secundum
d monem plano parallelam agente sustineatur , nec in plano illo defendat; potentia R erit ad pondus corporis B, ut sinu anguIι inclinationis ad radium . Per punctum, ubi grave plano incumbit, ducatur adcom--εmunem sectionem plani & horizontis perpendicularis AC , a cujus puncto quovis A demittatur in planum horizontis perpendicularis AD, & iungatur C D : erit c per def. 6 et ii ACD angulus inclinationis plani & horreontis, cujus sinus etiAD posito CA radio. Dico jam AC esse ad AD,ut pondus corporis A ad potentiam R . Corpus enim B a tribus potentiis secundum diversas direetiones agentibus , de sibi mutuo in aequilibrio positis urgetur ; quarum prima est vis gravitatis secundum direetionem BE ad CD perpendicularem agens,&cunda eli potentia R corpus irahens secundum directionem BR ad AC parallelam, tertiae autem potentiae suppler vico mrestilentia,leu contranitentia plani secundum lineam FBH sibi
174쪽
Perpendicularem agens ; nam reactio actioni semper est aequalis , & fit in plagam contrariam : cumque planum perpendiculariter a mobili prematur secundum directionem BR planum aequaliter reaget in corpus secundum directionem Bri& contranitentia illa aequi pollet potentiae secundum BH mobile urgenti: cumque hae tres potentiae sint sibi mutuo in
aequilibrio, & mobile ab ipsis sustineatur, sit ducatur FG ad EB parallela , rectae AC occurrens in G, erit potentia R ad vim gravitatis, ut BG ad FG per praecedens theor. Sed ob triangulum CFG rectangulum,& demi Tam in basin CG perpendicularem FB est per 8 el. 6 , ut BG ad FG , ita FG ad GC, & ut FG ad GC, ita sper 4 el. 6 erit AD ad AC; quare est potentia R ad vim gravitatis, ut AD ad AC, vel ut unus inclinationis plani ad radium . Potentia igitur aliqua potest grave in plano inclinato sui linere, modo potentia illa ut ad pondus gravis, ut sinus inclinationis plani ad radium. Q. E. D. Cor. I. Cum potentia R impediat descensum gravis in plano AC , & eius momento , quo in illo descendere nititur , aequi polleat, sequitur , gravis cujusque vim descendendi in plano inclinato esse ad vim , qua descendere conatur in perpendiculo , ut sinus inclinationis plani ad radium . Cor. a. Hinc etiam plani inclinatio talis assignari potest, ut super illud quantulacunque potentia pondus quodcunque magnum suilinere , vel etiam elevare poterit.
De descensu gravium in planis inclinatis o pen-
PEractis iis , quae ad motum generaliter spectant ad eos
jam devenimus, qui ex datis viribus oriuntur,motus; in quibus exponendis,& phaenomenis inde ortis recensendis praecipue versatur vera Playsica . Ut igitur a simplicissimis ordiamur, imprimis consideranda venit vis illa, quae uniformiter, hoc eit, ubique eodem tenore, versus eandem semper plagam dirigitur , qualis vulgo supponitur esse vis gra
175쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XV. as 3
Vitatis: quamvis enim certum fit, gravitatis vim non ubique eandem esse , sed in diversis a centro terrae distantiis quadra-' iis diluntiarum reciproce esse proportionalem ; Cum tamen diversae altitudines , ad quas gravia a nobis projecta perveniunt, exiguae admodum sint, prae ingenti illa a telluris centro dillantia ; in tantilla hac altitudinum differentia, eandem
ubique esse gravitatis vim , tuto , & absque minimo sensibi. errori, supponi potest . De motu itaque gravium in hoc loco agendum est e motum autem illum peragi supponimus, vel in planis ad horizontem inclinatis , vel in superficiebus curvis , quales sunt sphaericae, & cycloidicae; vel in spatiis denique liberis de non resistentibus , de quibus sequentia dabimus theoremata .
Defensus eorporis gravis super plano quovis inclinato est motus aequabiliter acerieratus . Estque vel tas , quam grave super plano inclinato , in dato quomu tempore , quiete decidens , acquirit, ad velocitatem is gravi perpendiculariter cadente e dem tempore aequisitam , ut altitudo plani ad ejus langitudi-
Sit planum inclinatum AB, super quo descendat grave D.
Per corol. primum , theor. 34 eli vis , qua descendere conatur grave iuper plano quovis inclinato , ad vim absolutam gravitatis , qua sc. in perpendiculo descenderet, in conlianti ratione , quae est sinus inclinatione plani ad radium , seu ut altitudo plani ad ejuidem longitudinem ; adeoque cum eadem maneat vis absoluta gravitatis corporis D , eadem quoque manebit vis , qua super plano AB descendere conatur . Vis igitur illa eodem semper tenore in grave D aget; adeoque similiter applicata , per legem secundam , aequalia semper velocitatum incrementa superaddet; haud secus , ac fit iin gravibus in perpendiculo cadentibus . Eil igitur descen- sus gravium in plano inclinato motus uniformiter acceler tus . Q. E. D. IPorro incrementa velocitatum gravium in perpendiculo , de in plauo inclinato cadentium , quae eodem tempore indefinite
176쪽
finite exiguo producuntur , sunt ad se invicem ut vires quibus producuntur: at vires sunt in contanti ratione , scit. ut longitudo plani AB ad ipsius altitudinem AC ; quare incrementa velocitatum inde orta erunt in eadem ratione . Ac proinde per Ia prop. element. summa incrementorum unius erit ad summam incrementorum alterius in eadem ratione ; hoc est velocitas corporis gravis in perpendiculo cadentis est ad velocitatem corporis super plano inclinato interea descendentis , ut longitudo plani ad ejus altitudinem .a E. D.c res. I. Velocitates corporis gravis in plano inclinato cadentis sulat , ut tempora , quibus acquiruntur . corol. 2. Quaecunque igitur in theor. I et , & ejus corol. de motu uniformiter accelerato demonstravimus , vera quoque erunt de descensu gravium in planis inclinatis . Scit. spatium a gravi in plano i linato cadente dato tempore percursum , ab initio motus computatum , dimidium erit istius , quod in illo tempore a mobili uniformiter percurri potest cum velocitate ultimo acquisita. Item spatia percursa , ab initio m tus computata , sunt in duplicata ratione temporum , vel C Ieritatum . Et celeritates , & tempora sunt in subduplicata ratione spatiorum percuI sorum . Corol. 3. Hinc etiam gravis ascensus per planum quodvis acclive est motus uniformiter retardatus , sicut fit in ascensu corporis in perpendiculo, illumque eadem omnino symptomata comitantur.
Si ad experientias recurratur , has omnes ratiociniis nostris consormes esse reperiemus ; & in planis non admodum d clivibus experimenta instituere facile est , cum motus haud admodum veloces exacte mensurari possint; secus ac fit in descensu in perpendiculo, ubi pernicitas motus observationi-hus accuratis locum non relinquit.
Notandum, nos supponere plana exacte polita, & motum super iis nulla scabritie impeditum .
177쪽
AD VERAM PHYSICAM. LE . m. Iss
Dato plano inclinato, assignare quam eius partem pereurrit grave , interea dum aliud grave datum Datium in perpendioso perfecerit .
Sit planum inclinatum AB , super quo descendat grave ex Α ; assignanda eli longitudo, quae a gravi in plano inclinato
cadendo percurritur , interea cium aliud grave spatium AC in perpendiculo cadens perfecerit. A puneto C in ΑΒ demittatur perpendicularis CD plano occurrens in D; erit ADJatium in plano inclinato confectum tempore, quo grave cadit in perpendiculo ex A ad C. Si enim non sit AD, ut AE spatium eodem tempore confectum , quo grave cadit ex A ad C , quod vel majus vel minus sit quam ΛD . Ducatur horizontalis recta CB . Et quoniam per theorema I 2 in eo tempore, quo grave cadit ex A ad C, vel ex A ad E, percurri potest dupla longit do AC, cum velocitate uniformi, & aequali et . quae acquiritur cadendo in C ; .sicut per coroL praecedentis in eodem tempore percurri potest longitudo dupla ipsius AE cum ea velocitate , quae acquiritur in E ; erit c per theor. VI. velocitas in C ad velocitatem in E acquilitam .
ut dupla AC ad duplam AE,vel ut AC ad AE: feci cum AC, AE simul percurrantur , erit c per theorema praecedens velocitas in C ad velocitatem in E , ut AB ad AC; quare erit ut AB ad AC. ita ΛC ad AE: sed sper octavam element. 6 ud AB ad ΛC, ita ΛC ad AD: quare erit ut AC ad Ag,ita AC ad AD : ac proinde erit AE aequalis AD, minor majori, quod fieri non poteti. Non igitur aliud spatium quam AD a gravi
super plano AB cadente conficitur , interea dum aliud grave cadit ex A ad C . Quod erat ostendendum . Cors. Hinc invenitur spatium, per quod grave in perpen- diculo cadit, interea dum grave super plano inclinato pe currit longitudinem quamvis datam AB: nempe si expuncto B ad AB erigatur perpendicularis rei ta BC, perpendiculo Occurrens in C , erit AC spatium quaesitum . -
Corol. a. Si duo vel plura sint plana inclinata AB , AE ; & TAB. s. detur spatium AD , quod a gravi super plano AB in aliquo R. .
178쪽
tempore percurritur ; invenietur spatium , quod a gravi in altero plano A E interea percurritur ; erigendo ex puncto DPerpendicularem DG, cum perpendiculo occurrens in G; de ex G in ΑΕ demittendo perpendicularem G H plano AK occurrens in H; erit AH I patium quaesitum : utrumque enim spatium AD, ΑΗ conficitur in eo tempore, quo grave in perpendiculo descendit ex A ad G. OI. Ex hujus theorematis demonstratione constat, velocitates a gravibus in perpendiculo , & in plano inclinato , eodem tempore acquisitas . esse ut spatia ab iisdem consecta ..
Tempus , quo pereurritur planum inclinatum AB est ad tempus . quo percurritur perpendicatum AC , ut AB longitudo plani ad Iongitudinem perpendiculi AC. Ex C ad AB demittatur perpendicularis CD ; & erit tem pus , quo percurritur AD, aequale tempori, quo AC percurritur . vero tempus , quo percurritur AB, ad tempus, quo percurritur AD, in subduplicata ratione AB ad AD c peccorol. et theor. 33 hoc est , ob AB , AC , AD continue proportionales, est tempus, quo percurritur AB ad tempus, quo, percurritur ΛD vel AC , ut AB ad AC . Quod erat demonstrandum.
CoroI. Hinc tempora , quibus percurruntur diversa plana , ΑΒ , - , ΚΒ, quorum eadem eii altitudo , sunt ut longitudines planorum : est enim tempus per AB ad tempus per
ΛC , ut AB ad AC; & tempus per AC ad tempus per AD , ut AC ad ADt quare ex aequo erit tempus per M ad tem Pus per AD, ut AB ad AD. THEOR. XXXVII.
Celaritates gravium super plano quovis inelinaro , ct in perpendiacula aquatis sunt, abi gravia pervenerint ex eadem altitudine ad eandem rectam horizontaIem .
Sit planum inclinatum AB , perpendiculum AC . D. catur horizontalis recta BC . Dico celeritatem acquisitam ita
179쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XU. I 37
puncto B , post 'descensum per ΑΒ , aequalem fore celeritati acquisitae in puncto C , post casum per A C. Λ puncto C demittatur ad ΑΒ perpendicularis CD . Erit AD spatium, quod gravi in plano AB cadendo percurritur , in eo tempore , quo aliud grave in perpendiculo descendit per AC : & per cor. 3 probi. y celeritas in C est ad celeritatem in D , ut AC ad AD , vel ut AB ad AC . Quoniam autem celeritates super eodem plano cadendo acquisitae sunt in subduplicata ratione longitudinum , quae a gravi percurru mur , erit celeritas in B ad celeritatem in D in subduplicata ratione longitudinis AB ad longitudinem AD ; hoc est, ob AB, AC, AD
continue proportionales, ut AB ad AC . Sed ostensum , celeritatem in C esse ad eandem celeritatem in D etiam ut AB ad AC ; quare cum celeritates in B & C eandem habeant proportionem ad celeritatem in D , inter se aequales erunt . Quod erat demonstrandum . Cor. Hinc celeritales , quae ii gravibus cadendo ex eadem altitudine , ad eandem horizontalem rectam , super planis utcunque inclinatis acquiruntur , sunt inter se aequales : nam
utraque celeritas , scit ea , quae acquiritur in puncto B polt descensum per ΑΒ vel ΚΒ de ea, quae acquiritur in puncto D poli descensum per AD , aequalis est celeritati acquiluae iudescensu gravis ex A ad C. THEOR. XXXVIII. .
Si ex eadem altitudine dicendat mobile continuato motu per quo ιιιet, ae quaelibet plana continua AB , BC , CD ; semper eandem 3n fine velocitatem acquiret , quae nimirum arqualis est et , quae cadendo perpendiculariter ex pari estitudine acquirisin .
Per A & D ducantur horizontales rectae HE , DF , & producantur plana BC , CD , ut cum HE conveniant in punctis G & E. Per corol. ilicor. 37 eadem celeritas acquiritur in puneio B , descendendo per AB , ac si per GB desce disset grave : supponinius autem , flexum , aut punctum B non impedire motum gravis cadentis , sed tantum ipsius diarectionem mutare; adeoque in puncto C eadem erit celeritas acquisita descendendo per AB,BC, ac si per GC descendisset.
180쪽
Sed descendendo per CG eadem acquiritur celeritas , quan obtineret grave cadendo per EC : adeoque cum flexus G velocitatem gravi S non minuere lupi ianitur , in D eandem velocitatem habebit , ac si descendiiset per planum ED vel per EF perpendiculum ἀ Q. E
Cor. I. Hinc licluet, per circuli circumferentiam , vel per curvas qua,libet descendente mobili , nam curvas tanquam ex infinitis rectis compositas hic considerare liceat semper eandem ipti velocitatem acquiri , ac si ab eadem altitudine resta in perpendiculo descenderit brave .
Cor. 2. Quod si grave , Polt deicensuin per AB, BC, CD.
vel per Ho turluna Converiat motum suam ; ascendet ad eandem , unde venit , altitudinem per quaecunque plana inclinata et nam cum gravitas eadem semper vi in eodem pi no agat, sive ascendat corpus sive descendat , eadem erit ejus efficacia ad corporis velocitatem in ascensu minuendam ,
quae est acl ipsam in descensu augendam ; tantum igitur est Cecrementum velocitatis in puncto C, clam ascendit mobilea D ad C, 'uantum suit incrementum velocitatis acquisitum in descensu a C ad D ; ac proinde eadem erit velocitas ita C , poli ascensum per CD, quae erat prius in eodem P dio , post descensum per ΑΒ , Similiter velocitas in B post alcensum per CB eadem est cum velocitate acquisita in descensu pes AR vel BG sic etiam gravitas tantundem detrahet a velocitate mobilis ascendendo per BA , quantum acquirebatur in descensu per AR ; & in punctis aeque aIiis eaciem semper erit mobilis velocitas: sed vetacitas in initio descensus , scit. in puncto A nulla fuit : adeoque alcendendo in puncto illa A omnis tolletur velocitas ; quod igitur pumetum erri terminus , ad quem mobile ascenaendo perveniet is TAB. s. Cori Si mobile per superficiem quamvis AB descendat D '' ad punctum infimum B , aci deincte , velocitate Cadendo acquisita , per superficiem similem & aequalem BC ascendat ;aequalibus temporibus per aequalia spatia ascendet , ac d