장음표시 사용
191쪽
quisita descendendo per ΕΒ , ad velocitatem gravis acqui litam in descensu per GB, in subduplicata ratione ER au GB ; hoc est, ob EB, DB, GB continue proportionales, ut DB ad
GB . Eadem ratione , velocitas acqui illa a mobili cadendo per GB est ad velocitatem aequisitam in casu per FB, ut GBad CB . Quare ex aePo, velocitas aequilua in descensu gra- Vis per EB , erit ad velocitatem acquisitam in descensu per FB, ut DB ad CB; sed velocitas acquisita in deseensis per arcum DB eadem eii cum veloeitate acquisita in perpendicu lo per E B ; & velocitas in descensu per arcum C B acquisita eadem est cum velocitate in permndiculari descensu per F Bacquisita . Quare erit velocitas acquisita in de Ensu per arcum DB , ad velocitatem acquisitam in descensu per ascum CB, ut subtensa DB ad subtensam CB . Q. E. D. Corol. I. Sit GR perpendiculum cujusvis longitudinis , &Velocitas acquisita in descensu gravis ers G ad B exponatur Per SB; super quo tanquam diametro describatur semicirculus GCD B , ex quovis diametri puncto E erigatur normalis ED peripheriae occurrens in D, d caturque ch orda GD: erit haec ut velocitas a gravi acquisita cadendo ex altitudine GE: nam ob BG, GD, GK continue proportionales, erit
ratio BG ad GD subduplicata rationis RG ad GE , adeoque BGerit ad GD, ut velocitas acquisita cadendo ex altitudine GBad velocitatem per GF cadendo acquisitam Similiter vel citas acquisita cadendo per GB eit ad velocitatem acquimiam ex casu per GF, ut GR ad GC; adeoque velocitates a
quisliae a gravibus cadendo per altitudines GE , GF sunt ut chordae GD , GC.
Cor. 1. Si capiantur arcus BI, B a , B 3 , &c. tales, ut e . rum subtensae sint in I, 2, 3, &c. respeetive; atque Vis quae dam agens pendulum sursum impellat per arcum Bl, alia vero per arcum Bet, & alia per arcum B 3 ; velocitates pen duli in puncto B hisce viribus motI erunt in I , et , 3 r
ope hujus theorematis variae in quavis ratione data v locitates mobili tribuentur ; aliaeque percussione alterius
192쪽
cossoris acquisitae inter se, & cum aliis initio datis comparari
TAB. g. Fiat triangulum ligneum ABC , in quo iuxta angulum AD 3 capiantur duo pundia D , E, ouorum ditantia talis sit, ut pendula duo DF , EG ex illis libere dependentia se mutuo tangant, de centris D, E, intervallo DF, vel EG describantur circulorum areus FΚ, GH, in quibus capiantur portiones FI, GI; Fa, Get; F3,G3; F , G4, &c. tales ut subten- sint ut I, 2, 3, 4, &c. respective ; & si grave F ad pun- etiam 3 attollatur in arcu KF , G vero ad punctum 3 in arcu C H, atque simul demittantur per theor. 4I , ad puncta infima simul pervenient , dc velocitates, quibus sese percutient , erunt ut 3 & 3 r quod si post ictum mobile G in a m GH ascendat ad 1, & mobile F in arcu FK ascendat ad 3, erunt velocitates mobilium F & G, ut 3 & s rei dilue , &versus contrarias partes. Ad hunc modum facile erit experientiae subiicere regulas motus, tam in corporibus duris
quam elasticis , quas in lectionibus XIII, de Xlv demonstravimus. J-Cum eiusdem penduli vibrationes minimae sint sere aequi- diuturnae, licet arcus, in quibus excurrat pendulum, sint in quales ; hinc egregium pendulorum usum, ad horologiorum automaton motus regendos , monstravit Christianus Hugenseus; quamvis enim Galilaeus huius scientiae author pendula prius adhibuit in observationibus Astronomicis , & Physicis,
quae accuratam temporis mensuram requirunt: Hugemus tamen primus horologia pendulis instruxit, &experientia comprobavit , horologia eiusmodi priora illa quorum libratores horizontales fuerint, longe superare . Ex eo temiore in usum communem recepta sunt horologia pendulis instructa , uorum aliqua tam assabre elaborata sunt, ut temporis men-uram exhibeant motu Solis multo iustiorem, qui tempus apparens , seu relativum solummodo monstrant, non autem verum,& absolutum ; unde sit,ut automata pendulis instrueta, statis temporibus horam indicant ab apparenti diversam , de aliquando tempus solaris horologii quindecim, vel sexdecim minutis primis superantem , aliquando totidem minutis ab
193쪽
eo deficientem: nec nisii quater in quolibet anno Sol, & horologium automaton idem temporis punctum monstrant. Quamvis ejusdem penduli vibrationes clicet excurrat pendulum in arcus inaequales 3 sint fere , & ad sensum et uidiuturnae; Cum tamen non lint omnimodo de geometrice tales , sed majores minoribus sint aliquantulum diuturniores ,& vibrationes pauxilla temporis quantitate a se invicem ditiferant , ex mu uis minimis disserentiolis tandem magna satis conflatur disterentia , idque ita esse re ipsa , atque experi mentis evincitur : si enim , ut aliquando in frigida siit tem pestate , lentore aliquo afficiantur rotae, ut pendulum minore vi impellant, incitatius quam par est festinant oscillationes ; si nimia lubricitate polleant rotae, & pendulum in majorem arcum excurrere Cogant, lentius 'procedit tempus ab horologio indicatum Imo ex nuperis experimentis in Actis Philosophicis Londinensibus recensuis conitat automati pendulum in vacuo vibrationes perficiens , sublata aeris retillentia in majores arcus excurrisse, & singulas oscillationes in maiore tempore complevisse. mare ut pendulorum iniit tiones ad omnimodam aequalitatem redigantur, &reciprocationum penduli latiorum , angustiorumque tempora perfecte aequalia evadant; excogitavit Hugenius methodum, quo grave penduli per cycloidis arcum semper deferretur. In sequentibus autem demonstrabitur , tempora descensuum per quoscunque ejusdem cycloidis arcus ad punctum infimum quod verticem cycloidis esse supponitur , inter se aequalia esse : adeoque si grave penduli semper in arcu cycloidis mo-Veatur , erunt tempora oscillationum accurate inter se aequalia ; sive pendulum in majores excurrat arcus, sive in mino
Si eretro C , inter Ilo quovis C A descrihatur etreuli quadrans. Λ HB, atque in recta AC ea Dee descendat misIe, ut ejus -- Deitas in Ibeo quoυιs Ρ fit semper ut Ρ L , quae est sinus arcus AL; erit rempus , quo defendit mobile ab A-C, aequale tempori, quo percurri possit peripheria Α HB eum uniformi vel ira te ut C B, quae ultimo a moriti cadendo aequiritur: erit pra-L terea
194쪽
urea tempus casus per Dariwm quodvis AF ad tempus ea sper Darium A p , ut arcus AH ad arcum At; ct vis, qua in Isco ευουιs F acceleratur moriis , erit ut FC , quae est Dei iseretro distantia .
Distinguatur peripheria AB in particulas innumeras infinite exiguas LLLL, & ducantur FH, P L, pι in m perpendiculares; iungatur HC, sitque ΗΚ perpendicularis in PL. Quoniam triangula FHC, ΚHL sunt aeviangula, nam praeter angulos ad F & Κ rectos,est angulusFHC aequalis angulo ΚHMest enim angulus ΚHC utriusque complementum adrectum
ut velocitas mobilis in puncto F, qua scit. percurritur lineola FP,& CH vel CB est ut velocitas, quae ultimo Cadendo mis quiritur, ubi mobile ad C pervenerit, adeoque erit ut velocitas , qua describitur arcus HL . Erit igitur velocitas mobilis descendentis per lineolam FP ad velocitatem mobilis,quod per arcum HL movetur . ut ipsa lineola FP ad arcum HL ;quare cum velocitates sint spatiis percursis proportionales , erunt tempora , in quibus spatia. percurruntur , aequalia . Similiter demonstrari potest, aliam quamvis peripheriae partic tam LL cum velocitate CB describi eodem tempore,quo percurritur correspondens lineola ΡΡ in perpendi Culo, cum v locitate correspondente PL; ac proinde componendo eodem tempore descendit mobile per omnes lineolas PP, hoc est,per totam AC , quo percurruntur omnes arcus LL, vel tota peri pheria AHB , cum velocitate uniformi ut CB . E. D. Praeterea est tempus , quo descendit mobile ab A ad F, aequale tempori,quo percurritur arcus AH; & tempus,quo descendit mobile ab A ad p. arctuale est tempori, quo describitur arcus Αι: sed est tempus, quo percurritur arcus AH, acttempus, quo percurritur arcus AI, cum utraque eadem ve- Iocitate describitur ut arcus AH ad arcum A I ; quare erit tempus descensus ex Λ in F ad tempus descensus ex Λ in p , ut arcus AH ad arcum AI; ac proinde dividendo tempus per F p erit ut Hli arcus. E. D. Fiant arcus HL, hi aequales , unde tempus descensus per F P aequale erit tempori per
195쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECΤ. XU. Iola, erit KL ad HL vel hI, ut FG ad CH vel Cb: item est hI ad H, ut Ch ad W; ac proinde, ex aequo, erit KL ad kι, ut
CF ad CD at est Gut incrementum velocitatis acquisitum, dum mobile percurrit FP , de V est ut incrementum velocitatis mobilis , dum in aequali tempore percurrit lineolam D; vires vero, quibus acceleratur mobile in locis F &s, sunt ut incrementa velocitatum temporibus aequalibus orta ; erunt igitur vires mobilis acceleratrices in locis E &fut rectae KL, hoc est, vis, qua urgetur mobile ia F est ad vim, qua urgetur in ut KL ad N; sed ostensum est ut KL ad kl, ita esse CF ad Cf, quare erit vis , qua urgetur mobile in F ad vim, qua in f urgetur, ut distantia CF ad distantiam Cf. Sunt
igitur vires acceleratrices in quibusvis locis ut ipsorum a centro distantiae. Q. E. D. Cor. Hinc ε converso si mobile descendendo ab A ad C n seatur a vi, quae sit ut ipsius centro distantia ; & vis illa Initio motus exponatur per rectam DR , posito arcu AE infinite exiguo ; velocitates eiusdem mobilis in locis quibusvis Ff exprimentur per sinus FH, fB, & tempora per arcus AH , AB; de incrementa velocitatum , vel, si arcus aequaliter crescant, vires acceleratrices per incrementa sinuum exponentur.
Si mobile in recta AC urgeatur versus punctnm C viribur , quae sint distantiis is puncto C proportionales , ex quacunque ali tudine demittatum , ad punctum C eodem semper tempore perveniet; inque rempus illud ad tempus, quo posis mobile percum rere ea dem viam eum uniformi velaritate , ct aequali ei, qua ultim3 eadendo aequiritur , ut semiperipheria circuli ad ejus
Demittantur duo mobilia ex punctis A & M simul, & ur- TAB. 8.geatur utrumque mobile viribus, quae sint distantiis a puncto C proportionales: dico, uirumque mobile ad punctum Ce dem lempore perventurum. Centro C, intervallis CA, CR describantur circuli quadrantes AB, MN ;& exponatur vis,qua ureetur mobile in A, vel quod idem eli, ipsius velocitas in ipso motus initio, per DE lauum arcus infinite parvi AE; constat
196쪽
stat ex Cor. praecedentis , ipsius velocitatem , post casum ad C , per rectam CB exponi. Sed ex hypothesi, vis, qua acceleratur mobile in A, est ad vim , qua acceleratur mobile iaM, ut CA ad C M, vel ut DR ad PO, ob arcus AR, MOsimiles; quare sit DE exponat velocitatem mobilis initio casus ex Λ , PO exponet velocitatem mobilis initio casus ex M : AC proinde per idem Cor. CN exponet velocitatem mobilis in C poit casum per MC . Eil praeterea tempus casus ex Aad C aequale tempori, quo describi potest peripheria AB,
cum uniformi velocitate ut CB ; & tempus casus ex M ad Cadiluale est tempori, quo describitur peripheria M N velocitate ut CN. Sea tempus, quo describitur peripheria ΑΒ velocitate CB, aequale est tempori, quo describitur peripheria MN velocitate CN, ob ΑΒ : MN :: CB : CN, spatia scit. percursa velocitatibus proportionalia γ . erit tempus casus ex A ad C aequale tempori, quo corpus descendit ex M ad C .
Tempus, quo mobile percurrit rectam AC cum velocitate CB est ad tempus, quo arcum' M percurrit Cum eadem velocitate , ut recta AC ad arcum AB, vel ut illius dupla ad hujus duplam, hoc est, ut diameter circuli ad semiperipheriam; sed tempus per arcum ΑΒ est aequale tempori descensus ad C; unde erit tempus, quo mobile fertur per rectam AC, cum velocitate ut CB , ad tempus casus ad C , ut diameter circuli ad semiperipheriam . Q. E. D. Desin. Si super recta Bb insistens circulus , quem circulum generatorem dicimus puncto. sui b quod punctum
lineans appellabimus rectam Bb tanaeus, super eadem recta volvi intelligatur, peripheria sua tantinua ad rectam applicatione commensurans aequalem rectam B Ab, donec punctum lineans in sublime latum , adeoque curvam BG, suo motu describens , circuitu facto , eandem rectam B A b it rum in β contingat; curva BGb motu puncti b descripta , linea CFelais appellatur . Et figura BGDAB figura cycloidis dicitur; & recta G Α bisecans basim perpendiculariter , Cycloidis axis ; & punctum G vertex cycloidis dicitur . LEM-
197쪽
Si circulus genarator circa axem cycloidis constituatur,& a puncto quovis cycloidis ordinetur ad axem recta C E , cum peripheria circuli conveniens in D; erit recta CD a qualis arcui circulari GD , arcus vero cycloidis GC aequalis erit
duplae chordae GD ; te semicyclois BCG aequalis erit dupla diametro AG; recta vero CF cycloidem in C tangetis parallela erit chordae D G Haec a Wallisio & aliis , qui de cycloide
scripserunt, demonstrata sunt.
In Ielaide , cujus axis ad perpendiculam erectus es , vertice deorsum spectante , tempora desecus , quibus mobile urgente vi gravitatis a quocunque in eo puncto demissum ad punctum umpervenit, sunt inter se aequalia ; habentque ad tempus ea sperpend aris per axem cycloidis eam rationem , quam habet semiperipheria ei reisi ad ipsisu diametrum. Sit cyclois A CD, cujus axis CE, circulus generator ECG. n. . Cum recta cycloidem in puncto quovis H tangens parallela sit chordae C G in circulo generatore circa axem constituto ductae; patet, mobile in deicensu suo eadem vi accelerari in
puncto H , ac si in recta GC descenderet; est vero vis, qua acceleratur in GC, ad vim Gravitatis, ut MC ad GC; sed ut MC ad G C, ita GC ad CE per cor. 8 prop. el. 6 : qu
re vis, qua acceleratur mobile in puncto H, est ad vim gravitatis , ut G C ad C E . Eadem ratione vis gravitatis eu ad vim, qua acceleratur mobile in alio quovis loco Κ, ut CE ad CL; quare ex aequo Vis, qua acceleratur mobile in H, est ad vim, qua acceleratur in N, ut G C ad LC, vel ut dupla GC ad duplam L C, hoc est, ut curva cycloidis HC ad curvam KC. Vires igitur, quibus descendendo super cycloide accel
ratur mobile , sunt ut longitudines curvae percurrenda . Ponamus jam, rectam ae aequalem longitudini curvae AC, atque supponatur mobile aliquod iisdem viribus urgeri in recta aeversus e , quibus mobile urSetur descendendo per curvam
A C ; at vires, quibus urgetur mobile in punctis quibusvis
198쪽
eycloidis H & Κ sunt ut longitudines HG, KC, vel
hoc est , vires in locis quibusvis sunt ut dii tantiae locorum a puncto c ἔ ac proinde per theor. praecedens tempora de-lcensuum ex quacunque altitudine aequalia erunt. Quoniam itaque in correspondentibus cycloidis & rectae ae punistis , aequales sunt vires acceleratrices, velocitatum incrementa aequalia quoque erunt, v. g. posito AH as, accelerationes
in punctis Η & b aequales erunt, sicut etiam in punctis K de , modo sit ΑΚ ah: & simi liter in caeteris omnibus utri
usque lineae punctis, quae sibi mutuo respondent, increvae ta velocitatum aequalia erunt; adeoque si mobilia ex correspondentibus punctis incipiant descendere, sum mae incrementorum , seu velocitates in aequalibus spatiis describendis acquisitae aequales erunt, ac proinde tempora, quo aequalia hac spatia aequalibus velocitatibus deseripta sunt, aequalia quoque erunt. Est igitur tempus descensus ab a ad e in recta ae, aequale tempori descensus ab A ad C super cycloide , &tempus descensus ab b ad e in recta B e aequale tempori descensus ab H ad C super cycloide ; & similiter tempus per Κ C aequale est tempori per e, si initium casus
fit ex punctis , Κ , & sic de caeteris. Sed tempus Casus ab a ad e aequale est tempori casus ab ad e , vel ah ad e ; quare tempus descensus super cycloide ab A ad C , aequale erit tempori descensus ab H ad C, vel a K ad C. Tempora igitur descensus , quibus mobile a quocunque puncto in cycloide demissum ad punctum imum pervenit , sunt i ter se aequalia . Q. E. D.
Porro tempus casus ab a ad e est ad tempus , quo percurritur ae vel 2 EC cum velocitate ultimo acquisita , ut semi- peripheria circuli ad diametrum: at tempus, quo Percurritura E C cum eadem velocitate, aequale est tempori, quo in
bile sua gravitate cadens descenait per EC axem cycloidis a unde erit tempus descensus per ae vel AC ad tempus , quo grave descendit per cycloidis axem, ut semiperipheria circuli ad ejus diametrum . Cor. Tempus, quo grave descendit in cycloide per arcum
199쪽
AC, & ascendit per C D, hoc est tempus motus in cycloide AC D est ad tempus casus perpendicularis per axem cycloidis . ut integra circuli peripheria ad ejus diametrum . Hinc si grave penduli vibrationes in cycloide perficiat sive in magnos excurrat arcus, sive in minimos , aequalibus semper temporibus singulae oscillationes peragentur . Huge nius autem , in tractatu de Horologis Oscillatorio , parte tertia , modum ostendit, quo fiet, ut grave in cycloide , vel lia quacunque curva , Olcilletur e invenienda scit. est curva, cujus evolutione curva data describitur ; & duae laminae in eandem curvaturam inflectendae sunt, intra quas , per fila determinatae longitudinis , suspensum grave non circulum ,
sed aliam curvam describit. Sint duae laminae ACB , AED ' . in figuras similes & aequales incurvatae, & ex puncto A sus- Pendatur penduli filum , quod , dum pendulum oscillatur . circumplicatur laminis ACB, AED, quas perpetuo tangit; per fili ad lamines applicationem continuo impeditur motus penduli in circulo , & grave per curvam BPFD defertur : Curva ACB vel AED dicitur Eselia, de curva BPFD ex evolutione describi dicitur . Quod si curvae ACB vel ΛΕΒ sint duae se micycloides, quarum axes vel diametri circulorum generantium sint aequales FG vel AG, dimidiae scit. longitudini penduli, curva BPm, per quam prave desertur, evadit cymclois integra , cuius axis est FG dimidia penduli longitudo, ut ab ingenio , aliisque demonstratur . , Cum portio cycloidis prope verticem F describitur motu fili, cujus longitudo est AF, atque circulus centro A inter vallo AF eodem fili motu describitur ; circulus ille per Ftransiens fere coincidet cum cycloidis portione prope Verticem F , estque ipsi aequicurvus; eoaem. igitur tempore
grave. defertur ad F per arcum exiguum circula , ac Per a cum secloidis . cui circulus est aequi curvus. Hinc rursus patet ratio , cur pendulo vibrationes eXi RuaS TAB. a. in circulo perficiente , tempora oscillationum sunt aequiua is l. s.
nam si arcus CAD, C AF parvi sint, fere coincident cum portione cycloidis prope verticem F descriptae circa axem Α Κ , dimidiam scit. penduli longitudinem ideoque eodem fere
200쪽
tempore descendit grave per arcus circuli C A vel G A , quo
per arcus cycloidis ipsis propemodum coincidentes descenderet: sed aequalibus temporibus per arcus quoscunque cycloidis descendet grave ; quare etiam aequalibus temporibus cadet grave per arcus exiguos circulares C A, G A; ac proinde oscillationes integrae per arcus C AD , GAF aequalibus
Eit itaque tempus, quo pendulum oscillationem minimam in circulo perficit, aequale tempori, quo perficitur oscillatio per arcum cycloidis , cujus axis est dimidia penduli longit do . At tempus , quo perficitur oscillatio in cycloide , es ad tempus casus perpenaicularis per axem cycloidis, hoc est, per dimidiam penduli longitudinem , ut peripheria circuli ad diametrum . Atque hinc sequitur tempus , cuius oscil- lationis minimae eme ad tempus casus per penduli longitudinem , in constanti ratione , quae est ea , quam habet circuli peripheria ad ipsius diametrum duetam in radicem quadratam numeri binarii. 3 . 'Si in diversis Oobis terrae regionibus, idem pendulum temporibus inaequalibus oscillationes suas persecerit, tempora descensuum per penduli longitudinem in diversis his regionibus inaequalia quoque erunt; es ubi lentius procedunt oscillationes, ibi quoque lentius descendet grave in perpendiculo , & in dato tempore minus cadendo describet spatium . Experimento vero certum est, in regionibus prope aequatorem sitis , ejusdem penduli oscillationes diuturniores ceue , quam in aliis locis , quorum major est latitudo ; adeoque gravia in illis regionibus minus in dato tempore conis iunt spatium cadendo ; & minori vi accelerant motum suum , quam in nostris regionibus longius ab aequatore dis-fitis ; adeoque experimentis Inobatur, minorem esse gravit tis actionem in iis locis , quorum minor est altitudo, quam in locis polo propioribus.
Hoc gravitatis decrementum ex vi centrifiaga oritur: cum enim ex terrae circa axem suum rotatione quodlibet co
pus a centro circuli, quem describit, recedere Conatur, quo maiores sunt corporum circuitus, eo maior ipsis ineeit vin