Joannis Keill, ... Introductiones ad veram physicam et veram astronomiam. Quibus accedunt Trigonometria. De viribus centralibus. De legibus attractionis

183쪽

Si a puncto supremo A , vel in o B circuli ad horizontem erectι ducantur quaelibet plana inclinata AC , BC usque ad

circumferentiam; tempora descensuum per ima argusia erunt rempori, quo gravia perpeudiculariter per diametrum cadunt.

Cadat grave ex A ad C super plano AC : dico , tempus descensus per AC aeauale esse tempori descensus per diametrum A B. Nam angulus A C B in semicirculo rectus est, per 3I element. teriti unde cum a puncto C ad AC erecta sit perpendicularis BC perpendiculo AB occurrens in B; erit per Corol. I probi. y tempus descensus per AC in plano inclinato aequale tempori casus per AB in perpendiculo . Dico etiam, tempus per CB eidem tempori per ΑΒ aequale fore. Ducatur CD ad ABn DB ad AC parallela: & per 3 Uement. primi erit CD aequalis AB; de ob angulum ACB in semicirculo rectum erit angulus CBD rectus: quare Cum a puncto B super C B erecta sit ad anstulos rectos BD cum perpendiculo conveniens in D; erit c per corol. I probi. 1

tempus per CB aequale tempori descensus per C D ; sed etiCD aequalis AB , unde tempus per CB aequale erit tempori per A B. Idem aliter sic ostendi possit. Tempus descensus per AB est ad tempus per EB in subduplicata ratione AB ad EB, hoc est ob AB, BC, EB continue proportionales in ut AB ad BC, vel BC ad EB ; sed per theor. 36 tempus per BC eli ad

tempus per EB in eadem ratione BC ad EB: quare cum tempora per AB & BC ad tempus per EB eandem obtineant rationem aequalia erunt. Quod erat demonstrandum . Cor. a. Si ducatur perpendiculum AB , & super diametro AB describatur circulus; omnia plana a puncto B , vela puncto A , ad circuli circumferentiam ducta eodem tempore percurrentur; eodem scit. tempore Percurruntur AB, CB, DB. EB, FB, GB. r. a. Si in eodem puncto supremo A , plures circuli ABD. AGK se mutuo tangant,& exeani plura plana AB, AC,

Λ D, AE circulos secantia; partes GE, HB, LC, KD aequali

184쪽

tempore percurrentur , si initium motus fiat a punitio su

premo.

Si duo gravia descendant super duobus aut pluribus planis smiliter inclinatis , di proportionalibus ; tempora iis percumrendis impensa erudit in subduplicata ratione longitudinum

planorum .

Percurrat grave quod vis plana ΑΒ , BC , alterum autem grave plana DE , EF similiter ad horizontem inclinata &proportionalia , hoc est , ut sint anguli B AG, EDH, item BGA, EHD aequales; & ΑΒ ad BC, ut DE ad EF. Dico,tem Pus, quo percurruntur AB, BC, ad tempus,quo percurruntuDDE, EF, subduplicatam habere rationem planorum AB, BC ad plana DE , EF . Ob triangula ABG, DEH aequiangula, est AB ad DR, ut BGad EH; sed ex hypothesi, ut ABaa DE, ita est BC ad EF, quare ut BG ad ΕΗ, ita est BC ad EF; &ita per ret element. quinti est GCadHF. Sed quia ΑΒ , DE similiter inclinata sunt , eodem prorsus modo percurruntur , ac si partes essent ejusdem plani; sic etiam plana GC, HF eodem modo percurruntur, ac si paries essent ejusdem planit adeoque tempus per ΑΒ erit ad tempus per DE in subduplicata ratione AB ad DE: & tempus per GC est ad rempus per HF in subduplicata ratione GC ad HF,vel insub. duplicata ratione AB ad DK. Sed tempus per GB est ad tempus per HR , in subduplicata ratione GB ad m, vel AB ad DE; adeoque per is element. quinti tempus per BC ost descensum ex G vel A est ad tempus per EF post decensum ex H vel D in subduplicata ratione AB ad DR , hoc est, ut tempus per AB ad tempus per DE: adeoque per iaelem. 3 tempus per AB , BC erit ad tempus per DE, EF, ut tempus per AB ad tempus per D E ; vel in subduplicata ratione AB ad DK; verum ob AB ad DE, ut BC ad EF, erit AB ad DE, ut AB, BG ad DK. EF; adeoque tempus per AB, BC erit ad tempus per DE, EF in subduplicata ratione AB , BC ad DE, EF. C, E. D. Idem similiter ostendetur si plura essent utrobique plana inclinata, de proportionalia, unde pMier propositum. Diqitirso by Corale

185쪽

ΑD VERAM PHYSICAM. LECT. XU. Is I. Cor. Si sint duae superficies curvae AB , DE similes , &-,

similiter positae, hae minime differunt ab infinitis numero pla- n. s. nis , infinite parvis , & proportionalibus , & ad se invicem similiter inclinatis : adeoque erit tempus descensus per superficiem AB ad tempus descensus per superficiem DE in subduplicata ratione AB ad DE . l

Dato spatio A B in pJano utcunque inclinato , in dato tempore is TAB r. gravi e quiete cadente percurso , invenire spatium percursum is o aequali tempore , in viis plano contiguo BG posito , grave in

secundo hoe plano motum suum continuare . .

Per Α ducatur horizontalis recta AE , producatur BG ad Ε, ac fiat BD aequalis AB; & reelis EB, ED captatur ter tia proportionalis E C t erit BC spatium , unod in secutitio Plano a gravi motum i suum continuante aequali tempore Percurritur , quo AB in primo plano. Exponat enim AB vel tempus per ΛΒ , unde per corol. theor. 36 EB ex ponet tempus per EB . Est vero tempus per EB ad tempus per E Cici subduplicata ratione EB ad EC hoe est , ut EB ad ED; sed est. EB spatiam; quod percurritur rempore ut EB; adeoque EC erit spatium , quoa percurritur tempore ut ED ; ac proinde BC est spatium , quod percurritur tem p re ut DB vel AB, poli, calam ex E vel A od erat

inveniendum . . . I . . .

. ZR O B L. VII. Dato spatio AB in plano mclinato a gravi e quiete cadente per- TAB. r.eurso in dato tempore V item hario BC in alio plano contiguo , δε- in quo grave morum suum continuat: inυenire rempus , quo' percurrit eis Datium illud datum BC . - Ducatur per Λ horizontalis recta A E , cui occurrat B Cproducti in Et inter EB, EC inveniatur media proportion lis E D. Et si AB exponat tempus, quo percurritur AB, BD Xponet tempus Quaesitum , quo percurritur BC . Eli enim

stempus per AB aa tempus per EB , ut AB ad EB ; adeoque FB exprimet tempus, quo have cadet per ER: at est tempus per EB ad tempus per EC in subduplicata ratione EB ad EC.

L sive

186쪽

sive ob EB, ED, EC continue proportionales, ut EB ad ED: sed est EB ut tempus per EB; unde DB erit ut tempus per BC . Ac proinde tempus per ΑΒ erit ad tempus BC, ut AB

Cis. Hinc si grave successive per plura plana inclinata

AB, BC, CD deieratur, assignari μtest tempus , in quo per

singula movetur: producantur enim BC, CD, ut cum horiagontali per Α ducta cόnveniant in E, & F; inter EB, ECfiat EG media proportionalis: item inter FC, FD fiat media proportionalis FH, & si ΑΒ exponat tempus per AB, BG exponet tempus per BC, & CH exponet tempus per CD. Def. Si grave quodvis Α, filo tenuissimo circa centrum B m ili, appendatur ; talem machinam Pendulum appella mus. Quod si Pendiarum circa B rotetur, ut grave arcum CAD describat, idem motus huic gravi accidet, ac si in s Derficie sphaerica CAD, persecte aura, ac levigata, motum Iuisset corpus grave. Etenim motum circa punctum B lia herrimum suoponimus , & ab aeris resistentia , fluae in gravioribus penautis exigua admodum est , abstrahimus: quod

si pendulum ad situm BC deferatur , & exinde demittatur , ave descendendo describet arcum CΑ, & in puncto A eam

abebit velocitatem , quae acquiritur cadendo per E A, qua velocitate per tangentem in Λ exire conabitur c per legem primam P. Verum cum per filum AB detineatur in peripheria CAD, ascendet per arcum AD ad eaudem altitudinem, scit. ad D, ex qua decidit, per cor. et theor. 38 3 ubi omni amissa velocitate, sua gravitate rursus incipiet descendere ;& in puncto A priorem acquiret velocitatem, Cum qua ascendet ad Cr atque sic ascendendo, & descendendo continuas vibrationes in peripheria CAD perficiet. Quod si aer pendul rum motui nihil obstaret, & si nulla esset frictio circa ce trum rotationis B, in aeternum duraturae forent pendulorum vibrailonest at ob hasce causas aliquantulum , licet insensibiliter singulis vibrationibus diminuitur penduli velocitas in . puncto A, unde fit, ut non ad idem praecise punctum redeat grave penduli, sed arcus, in quos excurrit, continuo brevi rea recidantur, donec tandem insensibiles evadant.

THEOR.

189쪽

Eiusdem penduli Vibrationes exiguae , utcunque inaequadra sint , sera , ct ad sensum sunt aluidiuturnoe . , . ' : . Sit pendulum AB, quod oscillando describit inaequales ar- TAB. .cus CBD, FBG: dico, aequalia iere in illis describendis insumi tempora ive oscillationem in arcu CBD aequali sere tempore peragi, quo perficitur oscillatio in arcu F B G , modo arcus CB. FB non sint nimis magni. Ducantur subtensae CB. FB, DB, GB; & quoniam arcus supponuntur exis'i, ii nec longitudine . nec declivitate multum subtensis sins d flectunt : ac proinde grave paria fere insumet tempora , sive Per arcus CB , FB , sive Iaer arcuum subtensas feratur; sed 'tempora descenIuum per arcuum subtensas aequalia sunt per theori, . Quare tempora per arcus BC , FB erunt fere aequalia. igitur & horum temporum dupla, scit. quibus oscillando describuntur inaequales arcus CBD, FBG, erunt Quoque fere aequalia. Quare eiusdem penduli vibrationes sicet in arcus inaequales excurrerum , sunt, saltem ad sensum, a quis

diuturnae. Q. E. D.

Huic theoremati suis, Mur experientia pendula enim duo adiciualis longitudinis ad motum incitata , quorum unum in multo majores arcus excurrat quam alterum, tempora oscillationum sere aequalia habebunt, adeo ut in centum oscillationibus vix erit discrepantia temporis unius oscilla

tionis.

THEOR. XLII.

Duratisnes oscillatioram duorum pendulorum in Miles areMexcurremium sum' im' f duplicara ratione Iouisudinum pen

Sint duo pendula AB, CD in arcubus similibus EBF, GDHoscillantia; erit tempus oscillationis penduli AB ad tempus oscillationis penduli' D , in subduplicata ratione longitudinis AB ad lorinitudinem CD. Nam quoniam arcus EB, GD sunt similes.& similiter positi, erit c per cor. theor. rem pus descensus per ra, in tempus per GD, in subduplicata L a ratione

190쪽

- . . INTRODUCTI oratione EB ad G.D; sed tempus descensus per EB est dimiadium oscillationis integrae in arcu EBF , sicut tempus descensus per G D est dimidium oscillationis integrae per arcum GDH: adeoque tempus oscillationis penduli per arcum EBFerit in tempus oscillationis penduli per arcum GDH, insu duplicata ratione G ad GD: hoc eit, ob arcus EB, GD similes , in subduplicata ratione semidiametri AB ad semicliam trum C D ; vel in subduelicata ratione longitudinis penduli AB ad longitudinem penauli C D . E. D. Cis. Longitudines pendulorum sunt in duplicata ratione

temporum , quibus oscillationes perficiuntur. Cum durationes vibrationum sint reciproce , ut numerus vibrationum eodem tempore peractarum , facile ex dato numero vibrationum, quae ab uno pendulo ΑΒ notae longitudinis in dato tempore perficiuntur , dabitur numerus vibra

tionum , quae ab alio quovis pendulo CD notae longitudiois eodem tempore perficientur; capiendo numerum, qui sit adnumerum vibrationum penduli ΑΒ, in subduplicata ratione AB ad CD, sive ut AB ad mediam proportionalem inter AB, CD , vel ut radix quadrata numeri, quo exprimitur longitudo penduli AB ad radicem quadratam numeri, quo exprimitur longitudo penduli C D . Et vicissim ex dato vibrati num numero , quae eodem tempore a duobus pendulis AB , CD perficiuntur , ct data longitudine unius scit. AB, dabitur longitudo alterius CD; nempe iaciendo, ut quadruum numeri vibrationum penduli C D ad quadratum numeri vibrati num penduli ΑΒ , ita longitudo AB ad longitudinem quaesitam CD .

Volaritas penduli in puncto insimo est, subtensa areus , quem δε- , Dendenao describit . . :. Si pendulum 'AB, quod'motu suo describat circulum BDCG: dico, velocitatem acquisitam cadendo ex D in esse ad velocitatem in B acquisitam cadendo ex C in B , ut cho da arcus BD ad chordam arcus. BC. Per puncta D, C ducantur horizontales rectae DE, CF r & erit velocitas gravis α-; . t quisita