장음표시 사용
203쪽
centrifum , quae itaque est semper ut sinus dictantiae loci 1 polo, & sub aequatore maxima est, sub polo vero nulla et adeoque erit vis gravitatis in aequatore minima, in polo vero
Priusquam hanc materiam missam faciamus, lubet solutionem exhibere celeberrimi ploblematis a Gesura primum quae- isti, deinde a Geometria proposui, ineunte Λn. Dom. Ioc. Et a geometris celeberrimis, Neumtono. Dibnitio , me. Ber allis, Hospitalis aliisque soluti. Problima autem sic propositum fuit. Datis in plano vertieali ductus punins A. ct B , assignare in bili visam , per quam gravitate sua defeendens, o moveri incipiens is parecto A , brevissimo tempore perveniat ad aherum p Hum B. Lineam hane esse Curvam cytisidis per puncta Α B transeuntem , cujus basis est in horizontali per Α ducta, invenerunt praelaeti geometrae, ad quod Semonstrandum sequens
Si A. dx B sit linea ecterrimi defensus , citius descendet Grave ex quolibet ejus puncto d ad aliud quodvis ipsius punctum g , pol e um ex per ipsam curvam deg, quam per aliam
. Nam si dicatur, citius descendere grave per dis, ergo via Α du B breviori tempore percurretur, quam Α degra ἔ ac roinde curva alta Λ deg B non erit curva celerrimi desce us . contra hypothesin . . Sit jam A deg B curva, cujus axis AC, oldinatim applicata d L ; fluxio, seu incrementum momentaneum axis sit Lo db: fluxio vero curvae sit de ; sitque lamper redia gulum sub data recta, quam vocemus a,&dhuel Lo, plicatum ad de, velocitati, qua percurritur de . hoc est, quae acquiritur cadendo ex Α in d hroportionale : haec curva erit linea celerrimi descensus . Capiantur de , eg duae cu vae portionea contiguae di infinite parvae; quae proinde a
204쪽
rectilis minime differunt: dico, minore tempore descendere grave per dear curvam post casum ex A , quam per aliam Quamlibet viam dD . Per f ducatur is parallela eg . Et supponatur fl eadem celeritate percurri, qua eg ; sitque fuin de , item me, g q in se perpendiculares. Et ob aequiangula triangulas ne, deo, item tme, ges; est de ad do, in se ad ner
adeoque erit ne item O ge ad ei, ut se adfin; de
erit frem . in vero :-ge de go de go do ei Aa ', hoc est , ne est adfui, ut velocitas, qua percurritur ad velocitatem, qua percurritur Du; unde ne, sma ualibus temporibus percurruntur; & quia aequalis est eg, erit tempus per mρ aequale tempori per eg, adeoqucti mpus fg aequale erit tempori per neg . Sed ob angu lum ad et rectum , est fg major quam δε , adeoque tempus per Ig maius erit tempore per sq, vel per neg; &obus majorem quam d=i, erit tempus per V majus tempore per ἀη; unde erit tempus per df, fg majus lempore per dη ,ng . Minore igitur tempore descendit grave ex dng , post lapsum ex A , per curvam deg , quam per aliam quamlibet viam; ac proinde curva A deg B erit via cςlerrimi ciescensus. TAB. ,. Sic A B M cyclois per B transiens , cujus basiis sit horizou-Gg 3. talis recta per A ducta ; erit illa linea, super qua descendens grave in minimo tempore perveniet ex Λ in B . SitGNMdimidium circuli generatoris, cujus diameter GM vocetur a, sitque de pars curvae cycloidis infinite parva , quae ab ejus tangente in d minime differt; adeoque parallela erit rectae N M; unde triangula d he, NuM, GMN a quiangula erunt; quare est da ad dD, ut G M seu a ad GN; ac proinde don a
est GN ut velocitas,quae acquiritur a gravi cadendo ex altili diae G vel Ll, hoc est, ut velocitas,qua percurritur line
205쪽
AD UERAM PHYSICAM. LECT. XU. I77la d. . Quare erit velocitati,qua percurritur lineola
proportionalis. Est igitur curva cycloidis Ade B linea celerrimi descensus . . E. D. 9Si velocitas ponatur eslle ut altitudo , unde decidit grave , fg. . linea celerrimi descensus erit portio peripheriae circuli, cujus centrum est in horizontali per A aucta ; nam ob aequian
pothesi d L est velocitati proportionalis ; quare si d C dicatur a , erit e velocitati proportionale . In hac igitur hy-
pothesi peripheriae portio Ade B erit via celerrimi descensus. . Si velocitas , in puncto quolibet, sit ut altitudinis lemenisse dignitas m, & dicatur AL x, dLF, erit dB x, he-ν,
Quae inluatio universaliter exprimit curvae naturam , in qua descendit grave tempore brevissimo , si velocitas sit ut altitudinis emensae dignitas quaelibet m.
' LECTIO XVI Motus gravium in planis inclinatis, aut in superficie
bus curvis, eorumque symptomata praecipua, quan- tum permitteret instituti nostri brevitas,in praecedente Ie one explicavimus. Restat iam, ut Proiectorum phaen mena recenseamus& primo invenienda est natura illius lineae , quam mobile in spatiis liberis , & non resistentibus projectum , urgente vi gravitatis describit. Et quidem si directe sursum vel deorsum projiciatur grave . ia recta linea M N.
206쪽
movebitur ; eiusque motum esse motum uniformiter retardatum vel acceleratum , prout sursum vel deorsum projici-rur , ex dictis in prioribus lectionibus constat. At si secundum dire Rionem horizontalem , vel aliam quamvis ad horiagontem obliquam projiciatur, in linea quadam curva dese
Projiciatur enim mobiIe ex Α, secundum dire Rionem AR Per legem naturae primam; si nulla alia accedat vis, in eadem recta, eadem cum velocitate semper progrederetur ; adeoque aequalia spatia ΑΒ, BC temporibus aequalibus describeret. Dulinguamus itaque tempus in inluales particulas ; & post primam temnoris particulam ubi mobile ad B pervenerit, vis aliqua impulsu unico in ipsum agere supponatur m 'ium que illi communicare, quo secundum dire monem ad horizontem perpendicularem priore sublato motu per re-etam ΒΕ δeferretur, in eo tempore, quo describeret rectam BC & compleatur parallelogrammum CBED: constat ex Cori a theor. 3o , mobile motu ex utroque composito , per diagonalem B D moveri, & in hac meta postea Iemper per geret proiectum , si nova nulla accederet vis ipsum ex propria semita detorquens ; & aequali tempore spatium DF ipsi BD aequale conficeret. Verum si in puncto D vis eadem, si cunda vice, simili agat impulsu, quo mobile per spatium aequale FG deorsum in eo tempore deseratur : motus mobilis ex utroque motu compositus erit per rectam DG. quam in eodem tempore describet mobile , quo absque novo impulsu progrederetur per spatium DF. Si vero post tertiam temporis particulam eadem vis iterum asat, & mobile in G deorsum per spatium ipsi H I aequale impelleret ; motus ex priote & hoc novo compositus erit secundum re Elam GI, quam in quarta temporis particula describet mobile: in avero eadem urgente vi, mobile ε semita GL in directonem IK detorquebitur , atque hac lege proiectum motu suo polygonum ABDGIx describet. Quod si diminuantur in infinitum singulta temporis particulae , quibus vim agere posui mus , & augeatur ipsarum numerus , latera polygoni in infinitum minuentur, ipsorumque numerus in intini tum auge-
207쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XVI. I7νbitur: ac proinde in curvam vertetur polygonum , hoe est , si vis deorium propellens talis is, ut conitanter &indesinenter agat, qualis est vis gravitatis , mobile urgente hac vi incurva deferetur .
Projectum , eujus linea diremonis hortet ii paruulata est , motu suo deseribit lineam parabolicam . Sit grave vi quavis extrinseca, v. g. balista pulvero TAB. s. pyrio , aut simili qualibet vi ex puncto A projectum , cujus projectionis directio sit horizontalis AD . Dico, gravis semitam fore Curvam semiparabolicam . Nam si aer motui proiecti minime obstaret, neque adesset gravitas ; projectum motu aequabili procederet in eadem semper directione ; essentque tempora, quibus percurruntur spatii partes AB, AC, AD, AE, ut ipsa spatia AB, AC, AD, ΑΗ respective . Accedente iam gravitatis vi, & eodem tenore agente, ac si moribile vi extrinseca non impelleretur; continuo a recta AE de flectet, & spatia descemus , seu deviationes ab horidontali AE eaeciem erunt, ac si perpendiculariter caderet. Quare si mobile, sua gravitate perpendiculariter cadens, tempore ΑΒ Percurrat spatium AK tempore AC descendet per AL , &tempore AD per AM, eruntque spvia ΑΚ, AL, AM, ut quam drata temporum. hoc est, ut quadrata rectarum AB,AC,AD, vel ΚF, LG, MH. At cum impetus secundum directionem horizonti parallelam idem semper maneat, huic enim vis gravitatis , quae deorsum tantum corpora urget , minime Contraria est aequaliter promovebitur mobile seeundum di . rectionem horizonti parallelam , ac si gravitas abesset: quare cum tempore ΑΒ percurrit mobile spatium aequale AB ; cogente vero vi gravitatis deflectet 1 recta AB per spatium aequese ΑΚ, positaque BF aequali & parallela AK, in fine temporis AB erit grave in F . Sic cum tempore AC percurrat mobile spatiam , secundum direetionem horizontalem. . aequale AC , &in eo tempore deseendat per spatium aequale ΛL ; si fiat CG aequalis de parallesa AL, in fine istius temporis erit mobile in G . Similiter cum tempore AD, secundus M a dir
208쪽
directionem horizontalem promoveatur grave per spatium aequale AD, accedente gravitate descendat interim per spa- 'tium aequale AM , positaque DH aequali AM, in fine temporis A D erit mobile in H . Semitaque projecti erit in curva ΑFGH: sed quia ouadrata rectarum KF, is , M H sunt interceptis AK, AL, ΑΜ proportionalia , erit curva ilia A FGH semiparabola. Est itaque semita corporis gravis secundum directionem A E proiecit curva semiparabolica . Q. E. D. LEMMA. Sit ADB euma ratis , ut densis ex quovis ejus puncto C ad ΑΒ perpendiculari c. G, rectangulum sub ΑG, GB aquale si rectangula sub CG, ct data recta L ; erit curva illa para
Bisecetur AB in E & erigatur perpendicularis DE: erit, ex hypothesi , rectangulum sub DE & L aequale rectangulo sub AE , ΕΒ , seu AE quadrato per 1 el. secundi) rectangu lo sub AG,& GB- GE quad. CGκL--GE quad. m EF κiL-CF quad. quare erit rectang. sub DF & L inauale CF uadrato , quae est proprietas parabolae. Si punctum s c at in ΑΒ productam , quod fit, ubi curva descendit insta AB, eadem parabola erit locus puncti e ς nam per 6 eL secundi est Ex quad. eς quad. rectang. sub Ag;x REB quad. m LXegri LADE LX De ; quae eit proprie
cor. Est redii illa L latus rectum , seu parameter Par bolae .
Linea eurva , qua describitur is gravi secundum Mectionem quam libet sursum obliqae proiecto , parabolica V . Sit AF directio projectionis , utcunque ad horizontem Avinclinata . Seposita gravitatis actiorie , mobile in eadem recta motum suum semper continuaret, per legem natura primam , & spatia ΑΒ , AC, AD temporibus Proportionalia
describeret. At accedente gravitate , a via AS continuo d sectere cogitur, & in curva moveri: dico, hanc curvam esse Parabolam . Ponamus, grave perpendiculariter Cadens
209쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XVI. t 8 itempore AB percurrere spatium Aa, tempore vero AC spa-xium AR,& rempore ADt patium AS; erunt spatia A AR, ASut quadrata temporum, vel ut quadrata rectarum AB, AC, A D. ouoniam vero mobile vi insita , exclusa gravitate , tempore ΑΒ percurreret spatium AB, gravitate vero interim se exerente , descendit per spatium aequale Aa, liquet si in perpendiculo BG capiatur BM AQ), locum gravis in fine temporis A B fore M. Similiter cum mobile , ex impetu primo impressio, tempore ut AC percurrere debet spatium AC. at ex vi gravitatis per spatium m AR interi m descendere cogitur ;si capiatur in perpendiculo. CN AR, erit N locus mobilis in fine temporis AC. Sic etiam posito spatio DO, in perpendiculo . aequali AS, erit O locus mobilis in fine temporis AD, & deviationes BM, CN, DO a retia AF temporibus AB, AC, AD ortae aequales erunt spatiis Aia, AR, AS ; adeoque erunt, ut quadrata rectarum AB, AC, A D. Per A ducatur horizontalis recta A Ρ semitae projecti occurrens iii P. Ex P erigatur perpendiculum P E lineae directionis occurrens ia
mΑVAUP. Quare, per lemma praecedens, curva AMN OPΚ, in qua movetur proiectum , erit parabola Q. E. D. Gr. I. Recta L .ell parabolae latus rectum ad axem per
210쪽
Unde eth NH CN ; ac proinde recta AF linea dire Rionis projecti parabolam tanget per prop. 3 3. libri primi
cir. 3. Quoniam est AP et AH; erit PE a CH m 4 CN, vel 4 N H . . Cor. 4. Si rectis P E , A E tertia proportionalis sit ι , erit llatus rectum, seu parameter parabolae ad diametrum AS pertinens . Nam quoniam ΡE , ΑΚ, ι sunt continue proporti
Cor. 6. Si tempora AB, BC, CD fiant aequalia ; erunt spatia horizontalia AG, GH, HI aequalia; hoc est, si grave motu suo describat paraboIam, aequalibus temporibus secundum directionem horizonti parallelam aequaliter promovebitur; &in singulis parabolae punctis idem manerit impetus horizon talis , qui fuit ab initio motus. TAB. s. C - 7. Si mobile ex Α proiectum secundum directionem
sis s ΑΕ describat parabolam A CP; in puncto quolibet C , per
legem naturae primam, secundum tangentem CG egredi conabitur, cum omni ea ve' fitate, quam in puncto Chabet,& per solam gravitatem in curva parabolica retinetur. Quod si aliud grave ex C secandum directionem CG ea velocitate projiciatur , quam habuit grave ex A projectum in eodem puncto C; grave illud alterum eandem parabolam CP descri- t. In puncto enim C eadem est utriusque gravis directio, eadem velocitas , & eadem gravitatis vis: quare utriusque eadem erit semita. Cor. 8. Hinc si grave deorsum secundum directionem acthorizoniem obliquam projiciatur ; semita projecti erit curva parabolica.