장음표시 사용
211쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT XIV. i 33
- T H E O R. XLIX. mpetus projecti in Mersis Parabolae punmtis sunt portiones tan- lentium inter duas rectas axi parallelas interceptae . escribat grave parabolam ABL, quam tangant in punctis Α & B AD, B E . Erum impetus gravis in punistis A& B, ut C D, E B portiones tangentium inter duas rectas ac parallelas interceptae. Nam si a mobili in puncto A gravitas auferatur sua, egrederetur in tangentem AC, eodem im-
etu, quem habet in puncto A. Sic etiam mobile in B, amisa gravitate , per langentem BE procederet Cum omni velo. citate , quam in puncto B habet . Verum in punctis A & Ridem manet impetus horizontalis , uti liquet per cor. 6. praecedentis theor. ; adeoque mobile in A egrediens per tan- entem AD, & in B per tangentem BE, aequalibus temporius per aequalia spatia secundum lationem horizontalem promovebitur . AEqualibus igitur temporibus percurruntur C Din tangente AD, & BE in tangente BE; sed velocitates, seu impetus mobilis sunt ut spatia aequalibus temporibus percursa:
Sare impetus mobilis in Λ est ad ejusdem impetum in B, ut: Dad B E. Q. E. D.c . Si Λ sit vertex parabolae, & producatur tangen S, do nec axi occurrat in G ; erit impetus in A ad impetum in But ordinata BHad tangentem BG; est enim CD : BE :: CF:
Desin. Sit ACF parabola, in cuius axe ultra verticem producto capiatur GA mi lateris recti. Linea GA dicitur Sublimitas Parabolae . Et si infra verticem capiatur AD AG , & ordinetur DC ad axem, erit DC m a AD vel χ-AG: nam ex natura parabolae rectangulum sub latere recto AD&AD, hoc est , AD quad. est DC quad. , adeoque erit et A Di DC.ΤHEOR. L. Sit grave ex Sublimitate paraboIae decidat ad verticem usque ,
motusque eadendo aequisitio , reflexione aliqua , aut alio qu vis modo, t=r horizontaIem mutetur , ita ut de noυo graυe
incipiat motum deorsum ; grave projectum ipsam parabolam describet .
212쪽
Cadat grave ex puncto G sublimitate parabolae ACF , &in Α , per reflexionem , aut aliam quamvis Causam , motus cadendo acquisitus in horizontalem per A BE mutetur ; vel,
quod idem est , projiciatur grave secundum direetionem AE ea velocitate , quae acquiritur cadendo per GA : dico , grave illud parabolam ACF motu suo describere . Sit AD AG, eritque DC m et ΑG. Ducatur CB ipsi AD parallela. Et ex alio quovis parabolae puncto F ducantur FH ad AE, &FEadHAparallelae . Si abesset gravitas , mobile secundum directio. nem AE projectum velocitate, quae acquiritur cadendo ex Gin A, eodem tempore per duplum GA latum esset; adeoque in eo tempore describeret AB DC et GA. Sed mobile,obvim gravitatis, incipiens in puncto A de novo descendere , in eodem tempore cadet per spatium BC ΛG. Quare m tu suo transibit per punctum C in parabola . Porro supponatur mobile motu horizontali abstrahendo ab illo , qui ex gra Vitate oritur quodam tempore pervenisse in E , ultra Vel citra B i cumque motus secundum directionem horizon. ti parallelam aequabilis maneat, erunt AB, AE ut tempora, quibus percurruntur. Sed descensus, sive deviationes mobilisa recta AE sunt ut quadrata temporum , quibus fiunt: Quare ob BC , EF qnadratis rectarum AB, A E proportionales, Cum C est locus gravis in fine temporis AB , erit F ejusdem locus in fine temporis AE; atque sic semper grave in parab
Ia Λ CF reperietur. Cor. Hinc gravis, parabolam quamvis describentis , vel eitas in vertice est ea, quae acquiritur cadendo ex sublimitate parabolae.
Sit BA parabola , cujus axis AF , sublimitar AG, tangens quoelibet BC, ordinatim applicata BF; erit BF. quad. : BC quad. :r
Est enim per 33 libri primi conicorum Apollonii CF
215쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT XVI. I 8s
Grave directe sursum projείTun eodem impetu , quo adiud grave. obIique projicitur , ascendet ad altitudinem aequalem altitudini,
o subumitati flat ut suinptis , ejus parabolae , quam oblique projesium motu suo describet. Projiciatur ex B secvngum directionem BC grave , motusho describens parabolam BAM, cujus axis AF, vertex A,sublimitas GA. Dico, si idem vel aliud grave aequali impetu ex B projiciatur direete sursum illud ascendere ad L, ut sit B L aequalis FG altitudini & sublimitati parabolae simul sumptis. Per cor. theor. 49. Impetus gravis in B est ad eiusdem impetum in Α , ut BC ad BF ; sed impetus acquisitus cadendo ex G in F est ad impetum acquisitum cadendo ex G in A , in subduplicata ratione GF ad GA , hoc est,
re erit impetus in B ad impetum in Λ , ut impetus acquisit tus cadendo ex G in F ad impetum acquisitum cadendo ex G in Α ; sed impetus gravis in vertice A est is , qui acquiritur cadendo ex G in A ; quare ejusdem impetus, seu velocitas in B est ea, quae acquiritur cadendo ex G in F, sive ex L in B , quae altitudo aequalis est altitudini, & sublimitati parabolae simul sumptis' sed grave sursum directe prole Rum eodem impetu ascendet aci L ; quare si grave citrecte sursum projiciatur eo impetu , quem habet illud grave deseribens parabolam BAM in eodem puncto B, ascendet ad altitudinem ae qualem altitudini, & sublimitati parabolae simul sumptis. a E D.
Cor. I. Si grave cadat ex L in B , & manente impetu casu acquisito , reflexione aliqua , aut simili quovis modo mutetur direetio motus in rectam BC vel BN , ita ut grave de novo incipiat descendere; grave motu suo parabolam S BAM describet. Cor. Impetus in quovis parabolae puncto B est is , qui acquiritur cadendo per quartam partem lateris recti pertinentis ad diametrum, quae per punctum illud ducitur. Est enim
.LBm: L-ΚB. Quare erit 4 LB L 4 ΚΒ α lateri recto, quod
216쪽
quod ad diametrum per B transeuutem pertinet, ut constat
Iastis fundamentis do strinae de gravium projectione , a
tequam ad solutionem sequentium problematum accedamus, convenit, ut modum Ostendamus , quo tormenta bellica secundum quemlibet elevationis gradum dirigantur . Directio autem Bombardi eadem censenda est cum directione vacui seu animae ejusdem ; nam accenso pulvere pyrio, gla bus emittitur secundum concavitatem Bombardi vel Mortarii:& nisi adesset gravitas, in illa recta producta pergeret, adeoque recta illa tormenti directio est.
Quare ut tormentum ad scopum dirigatur, non collimandum est secundum enerius metallum , cum tormenta Craiasiora sint versus caudam , quam iuxta orificium, quod maxima eorum resillantia fieri debet in ea parte, quae patiIur maxime a pulvere pyrio; unde ut facillime dirigatur tormentum , additur aliquid orificio , c quod Diupari vocatur ut
eius crassities aequαur erassitiei caudae r collimatar deinceps per rectam animae Bombardi parallelam , atque modo praedicto tormenta recta ad scopum diriguntur . . cum nauri dejiciendi sunt, aut aliud quidvis efficiendum , ubi magnus requiritur impetus , & scopus non dillat ultra etoo Padus , de tormentum satis magnum est: in talibus jactibus praeter mox diei a , & experieni iam de concedei cio cuique tormento debitam pulveris pyrii quantitatem & globo congruam , nullum in luper arriticium requiritur . Verum cum saepissime arces aut hostes impetendi sunt , qui ob nimiam diliantiam rect1 collimando attingi non possunt, vel ubi urbium tecta per Bombar cadentes perrumpenda & aedes accendendae sunt; elevanda eli machina Bellica , angulo ad horizontem incli-τAB. το. nato: in quem finem opus erit regula ABCD cui adhaeret pse ''' iamlogrammum BEFD , in quo semicirculus in suos gradus divisus inscriptus; ex cujus centro dependet filum pondere instructum e extremum autem regulae A in os machinae inserendum est, de in litu ad ejus axem parallelo regula detinenda est, atque sic attollendum , ani deprimendum est to mentum , donec perpendiculum C a attingat in semicirculi
217쪽
limbo punctum Κ, gradum scit. 'elevationiς delideratae ab L versus B numerataciti m . Patet autem, angulum LCK aequalem esse angulo C M N elevationis machinae , quia angulus M CN eis utriusque complementum ad rectum . Saepe parallelogrammo BEFD solum utuntur absque regula, & latus ΒΕ ad Os machinae applicant, quo fit, ut perpendiculum C Qostendat gradum elevationis .
Dsu. Per impetum perpendiculo quoVis A B designatum , u. io. intelligimus impetum requisitum ad projiciendum grave pro- M.f. possitum ex- Α ad altissimum punctum B perpendiculi AB, si ve , quod idem est , impetum acquisitum cadendo ex B in Α ; neque enim alia ratione impetus sub certa, de universali regula cadere potest , quam illum hoc modo per spatia determinando .
Dato impetu B A , Me es quantus es narinaliter eadentis ex Bin Α , dataque directione AI , seu angulo Mevationis D AI, oportet projectionis amplitudinem, altitudinem, rotamque futurae projemonis semitam reperire.
Ducantur ex Α & B horizontales lineae AD, B L . Supra diametrum ΑΒ fiat semicirculus AFB, qui lineam directionisAI secet in F ; per F ducatur horizonii parallela EF, & producatur ad G, ita ut sit GF m EF: itemque per G agatur perpendiculum LGD; vertice G per Adescribatur parabola AGK; dico, hanc esse semitam projecti, cujus dire Rio est ΑΙ, &impetus AB; adeoque D G sive Λ E erit proiectionis altitudo . Dupla AD sive quadrupla EF erit eiusdem amplitudo sive j eius integer horizontaliso BE sive LG erit ejusdem parabolae sublimitas. In triangulis ΑEF, IGF, ob angulos ad E&Gr ctos, & angulos AFE, GFI ad verticem aequales, item EF GF, eri3 IG α AEmm, ac proinde recta AI tanget par holam. Et quoniam est AD MEG α a EF; erit AD quad. 4 EF quad. m 4BENEA α 4 LG κ G D m rectangulo suci latere recto & GD ; quare erit 4 LG lateri recto parabolae, unde erit in ejusdem parabolae sublimitas: quare per cor. I theor.
si grave decidat ex B in Α , & impetu casu acquisito
218쪽
secundum dilectionem Λ I projiciatur, parabolam AGK describct . TAB. io. Cor. Hinc manifestum est ex dato alicujus machinae im-
sis si petu AB , circa quem descriptus sit semicirculus A DB, dari altitudines & amplitudines omnium projeetionum , quae ab eadem machina fieri possunt. Exempli gratia, manente semper eodem impetu AB, p. ojectio faeta tecundum directionem ΑΚ, hinet altitud me in AF, &litudinem quadruplam ipsius EF ; si iniliter laetus faeti fecundum direetionem AD altitudo erit AG , & amplitudo quadrupla iplius GD ; & sic de
caeteris . Uade si angulus elevationis D ΑΚ sit se rectus , erit quadrupla GD amplitudo omnium maxima, quae codem
impetu fieri politat; & amplitudines projeetionum aequaliter a projectio ae semirecta distantium, verbi gratia, secundum rectas AE, AC, politis angulis DAE, DAC aequalibu, nimirum quadrupla EF , & quadupla H C , erunt aequales . Erit praeterea projectionis semireetie amplitudo 4 GD GRm lateri recto parabolae . Projesio vero perpendicularis sursum , hoc est impetus projectionis aequabitur dimidiae amplitudini projectionis semirectae eodem impetu saetae . Denique ad aequale, jactus in plano horizontali faciendos minor requiritur impetus in projeetione semireeta : si enim non sit
in inor impetu alterius projectionis fecundum aliam directionem iactae, erit amplitudo projectionis se inirecte major amnplitudine alterius illius projectioni S . . . ior. 2. Quoniam ΛΚ tangit circulum , erit per 3 aes emeat. tertii angulus A B E m E A K angulo elevationis ;ac proinde eit angulus A G E ipsius E A K duplus :. quare posito G A dimidio impetus pro radici. erit EF quarta pars amplitudinis sinus dupli anguli elevationis ; & ΛF altitudo projectionis erit arcus A E seu 'dupli anguli elevationis sinus Verius ; & F B parabolae sublimitas erit sinus versus arcus BE, seu complementi dupli anguli elevationis ad duos
Ρ R O B L. IX. TAB. o. Datis amplitudine ΑΚ, ct angulo directionis C ΑΚ ; inveniseis. 7- projectionis impetum , ct altitudinem Λ. I.
219쪽
AD ORAM PHYSICAM CLECT. XVI. 18s
Capiatur AD pars quarta amplitudinis ; & erigantur. perpendicula DC , AB; natque angulus ACB rectus. Dico, Messe projectionis impetum , & DC esse ejusdem altitudinem. Nam quoniam angulus ACB rectus est, semicirculus diametro AB descriptus transibit per C ; unde per corol. I problematis praecedentis projectio, cuius directio AC & impetus ΑΒ motu suo describet parabolam Α ΜΚ , cuius altitudo est DC vel AI, de quarta pars amplitudinis est AD; quare vicissim projectum, cuius directio eu AC, & 'uarta pars amplitudinis AD, impetum habebit ΑΒ, & altitudinem DC .
E. D. . ICor. . I. Hinc ex dato cujusvis machinae quovis .jactu hori-gontali, E data elevatione iacto , reperire licet altitudinem iactus perpendiculariter sursum iacti, nimirum machinae im- etum , qui quidem in maioribus tormentis excedit quam-ibet perpendicularem altitudinem , ad quam ascendere hominibus conceditur . 'Dato vero impetu dabitur amplitudo& altitudo. laetus ex alia quamvis elevatione faeli; unde dignosci potest , num dato tormento scopus , cujus distantia cognita est, attingi poterit. r. 2. Si AD , quarta pars amplitudinis , ponatur radius, erit altitudo DC tangens anguli elevationis . Ut scopus in data disitantia horizontali percutiatur, praestat eundem semper retinere angulum directionis, semirectum nempe, & impetum augere vel minuere , donec scopus attingaIur . Nam machina ad hunc an tum elevata , minimus requira,r imis prius ad scopum istendum ; adeoque in hisce jactibus faciendis maxime pulveri pyrio parcitur e Accedit, quod circa hanc elevationem laetus sit omnium certissimus; cum error unius aut duorum graduum vix sensibilem in projectione pro
Datis impetu di amplitudine , invenire dirιctionem. θ adiit
dinem iactus i 'Sit impetus , A B ; quarta par amplitudinis datae fit A D. Supra diametrum AB descri tur semicirculus ACF B ,
220쪽
erigatur normalis DCΚ,semicirculum secans inpunistis C&E: Dico , utramque directionem, sive AC sive AZ, parabolam designare , culus amplitudo erit AK , quadrupla AD . Nam projectiones iactae cum impetu AB , juxta directionem AC vel A E , amplitudinem hacient ΑΚ quadruplam ipsius FC . vel GE , per probi. 8. in altitudo vero potest esse vel A Fvel AG ; ut patet. Quod si normalis DC , circulo in unico puncto occurrat, hoc est ipsum tangat, parapola unica erit descripta , projectione semirecta, & amplitudo proposita
erit maxima, quam dato impetu attingere licet. Si perpendicularis DC semicirculo non occurrat,problema erit impossibile. Cis. Si habeatur machinae cujusvis impetus, inventus, per Cor. I probi. praecedentis , ex quovis jactu horizontali licebit ope hujus probi. talem machinae tribuere directionem , ut scopus in data distantia horizontali politus feriatur , & ex duabus directionibus proposito aptis , a directione semirecta
aequaliter remotis magis idoneam eligere . -
Praecedentium trium problematum conversa ex supradiritas facillime , de nullo negotio solvuntur ; scit. ex data altitudine & amplitudine , impetum & direyionem invenire . Item ex datis impetu & altitudine , directionem & amplitudinem invenire , & denique datis directione & altituatne , amplitudinem invenire : ita ut hisce diutius immin ari inutile sit . . :
Pro serum si, rationem invenire inter durationem projectionis factae perpendiculariter sursum , ct alterius esu is , cujus idem est impetus . TΑΗ i. projecti impetus, sue proiectio sursum iacta , &n. s. ABC proiectio ex alia qualibet elevatione ΑG . Circa diam itum AF describatur semicirculus directionem Λ G secans in Ge dico, durationem projectionis directae sursum,sive tem- pus ascensus per AF, de descensus per eandem, esse ad durationem projectionis in parabola ABC, sicut AF ad AG. Tem P