장음표시 사용
221쪽
AD VERAM PHYSICAM. LECT. XVI. Isrpus lationis ex Α in B aequale est tempori lationis ex B in . C: adeoque tempus per ABC duplum est temporis .lationis ex B in C; sed tempus lationis ex B in C aequale est tempori descensus liberi in perpendiculo BD; quoniam motus progressivus nullo modo impedit descensum a gravitat oriundum: adeoque tempus proiectionis per ABC duplum est temporis descensus per BD, vel per aequalem EA; sic etiam temeus ascensus & ciescensus fer FΑ, sive tempus projecti nis citrecte sursum dimium est temporis descensus per FArquare tempus proiectionis sursum erit ad tempus proiectionis in parabola ABC, ut tempus descensus per F Α ad tempus descensus per EA, hoc est, in subduplicata ratione FA ad EA, vel ob FA, AG, EA continue proportionales, ut F A ad Λ G. E. D. Cor. Durationes proiectionum , pari impetu, secundum diversas directiones ΑG, ΑΗ factarum, sunt in ratione cho
darum ΑG, ΑH. Quod si AF ponatur radius. erit AG sinus
anguli AFG qui aequalis est angulo elevationis machinae; adeo aue est tempus projectionis directe sursum ad tempus projectionis in parabola , ut radius ad sinum anguli directionis .
omnia problemata circa gravium projectiones in plano horizontali factas ope tabularum sinuum , & tangentium
Proponatur ΛΚ amplitudo horigontalis alicujus tormen-TAB. ao.ti majoris ad clatum angulum C ΑΚ elevati; quaeritur alti-M tudo prole monis , & machinae impetus . In triangulo Α fiat ut radius ad tangentem anguli elevationis, ita AD qua ta pars amplitudinis datae ad altitudinem DC; item fiat ut sinus anguli elevationis ad radium , i ita altitudo inventa DC ad AC, quae proinde dabitur in rectangulo triangulo BCA, fiat ut sinus anguli ABC qui an ualis est elevationis angulo ac radium, ita AC. ad ΑΒ impetum, qui proinde innotescet, Dato vero impetu , dabitur tempus prole filonis perpendicularis . Eil vero tempus proiectionis perpendicularis ad tempus projectionis secundum ΑC, ut AB ad AC; sive ut radius
222쪽
ad sit num anguli elevationis; ac proinde, per tabulas sinuum , tempus projectionis secundum AC innotescet. Hinc etiam , ex dato tempore projeetionis cujusvis, secundum datam elevationem faetae , di bitur tempus alterius cujusvis projectionis , eodem impetu iactae . Est enim ut sinus elevationis projectionis , cujus tempus eth notum , ad linum alterius elevationis , ita tempus notum projectionis unius ad tempus alterius , quod proinde notum erit. Ex data Vero amplitudine unius projecionis, secundum datam directionem factae . dabitur amplitudo projectionis secundum aliam quamvis directionem factae. Nam posito dimidio impetus pro radio , quarta pars amplitudinis est sinus dupli anguli elevationis ac , proinde amplitudines sunt ut horum angulorum sinus. Quare si innotescat amplitudo secun-TAB. 3φ. dum directionem AG, dabitur amplitudo secundum directionem AH; fiat enim ut sinus dupli anguli CΑG ad sinum dupli anguli HAC, ita amplitudo projertionis secundum AG
ad amplitudinem projectionis seeundum directionem A H. Quod si ex datis impetu & amplitudine horizontali, quaeratur elevatio correspondens illa ex eodem principio facile innotescet. Nam constat έ ex Cor. I probi. 8 , duplum impetus esse amplitudinem projectionis semirectae. Sed sinus elevationum cluplicatarum sunt ut amplitudines; quare fiat ut duplum impetus ad amplitudinem datam , ita sinus dupli anguli semirecti, hoc est sinus nonaginta graduum seu r dius, ad alium ; qui erit sinus duorum arcuum , quorum
in unus est alterius complementum ad semicirculum : atque hi duo arcus dimidiati dabunt duasi elevationes , quibus Hala amplitudo attingi potest . - - :
Non semper tormenta bellica ita explodenda sunt , ut globus praecise in eodem horizontali plano incidat; sed la pe scopus est altior tormento, aut depressior : quare in s quenti problemate methodus tradenda est , qua scopus f pra vel iusta horizontem attingendus est .
225쪽
Data bas parabsae , unoque puncto , per quos ipsa tro P ; directionem , semitam , di impetum projemonis invenire. Sit AC basis parabolae , & punctum B scopus feriendus : IAB. ex B in ΑC demittatur perpendicularis BD;rectis BD,AD,DC quarta proportionalis rapiatur L; erit L latus redhum parabolae: bisecetur AC in Ε, & ex E erigatur perpendiculum EF ;re Lis L & AE tertia proportionalis sit EG; erit G vertex paraboli: & si producatur EG ita, ut sit GF GE, & ducaturAE, erit FAE angulus directionis machinae. Eilque impetus, quo proiiciendum est grave , aequalis EG, L . Quoniam est BD ad AD, ut DC ad L, erit LN BD rectangulo sub AD& DC , adeoque per cor. i theor. 48 est L latus rectum parabolae per 3 transeuntis , cujus basis est AC . Ei quoniam L, ΑΕ, EG proportionales sunt, erit L REG m AEquad. adeoque erit G vertex parabolae. Vertice igitur G , & latere radio L descripta parabola erit sentita projectionis gravis , uod punctum B feriet. Estque impetus prole monis aequalis G- L ; angulus vero elevationis est F A E. Q. E. I. Eodem modo procedendum est, si punctum b sit infra horizontem: si enim ex b in m productam demittatur perpendicularis , d, &. ipsis bd, Ad, d C quarta proportionalis capiatur L, erit L latus rectum parabolae per ι trans
ciri, Posio AE radio , erit EF , vel dupla FG, tangens anguli elevationis; adeoque si fiat ut AE data ad datam EF, ita radius ad tangentem anguli FΛΕ, dabitur angulus ele
Maro in tu , hisenire directumem , seeundum quam projectum sar datum punctum quodvis attingat. t impetus .datus M, punωm,per quod transire debet mo TAB. a.
t.ctum ut B, enim distantia AB a puncto A datur: ex B in
226쪽
occurrens , ex quibus in diametrum L B demittantur perpendiculares HE , HE , ducanturque rectae AE, AE, quae esunt duae directiones proposito satis Iacientes; hoc est, pso tum secundum directionem AE emissum cum impetu M, perpun-elum B transibit. Est enim AD quad. - - BDquad. AB quad. ΒΚ quad. EH quad. ex natura circuli, LEX EB κ FB - EB quad. m M - , DB ΕΒ - FB quad. quare erit
escripta a gravi secundum directionem AE projecto cum impetu M ita secabit rectam DE, ut sit 4 M EB AE iad. vii patet ex cor. et theor. II ; quare punctum Bestir eadem parabola : & grave , cum impetu M secundum dire Tonem AE projectum , per B transibit. E. D. Cis. Si HK in uno solummodo puncto , circula occurrat hoc est , si circulum tangat, unica erit directio proposito imserviens . Quod si non omnino circulo occurrat, Noblema erit impossibile , hoc est , punctum B dato impetis attin non potest . Adeoque ii K H circulum pangat, erit impetum ille omnium minimus, quo datum punctum attingi sest. Eritque in eo casu BK seu ΑΒ BE vel BG m a Μ DB; adeoque ΒΕ -- BD seu DE m . , 'M: impetus igitur Ahi mus , quo datum punctum attingi potest , aqualis eth dμAB BD . l
anguli EAD, hoc est, anguli elevationis. Quare si fiat ust AD ad DE, sive ad ABm BD , ita radius ad quartam proportic natem , dabitur tangens anguli directionis, secundum quam si fiat projectio , impetu omnium' minimo attingitur pum
Sed angulus illa directionis lacipui multo habens rcando. angulum N A B perpendiculo A N de recta in B ein prehensum. Recta enim AE; hunc angnlatii bis cling. est yrojectionis directio . Nam quoniam impetusa est, minimus; erit AB aequalis EB, ac proinde angulus BAE aequaligeratas gulo BEA NM ob DE, AN parallesas ; iamque directiu
227쪽
ΑD VERAM PHYSICAM. LECT. XVI. Is projectionis impcio minimo factae . angulum NAB bisecabit. Quare si tormento figatur speculum. , cujus planum perpen diculare sit ipsius tormenti axi, seu lineae directionis ; radius incidens BA in perpendiculum AN reflectetur , atque ope hujus speculi nullo negotio. dirigetur tormentum , ut scopus impetu minimo attingatur . Elevanda enim , aut deinprimenda est machina, quoad imago puncti B, iacta per speculum planum , in perpendiculo N A videatur: nam ob angulum BAE thcidentiae aequalem angulo reflexionis N ΑΕ, erit angulus NAB bisectus, ac AE erit directo machinae, cum punctum B impetu minimo attingendum est .
228쪽
t uentis theorematum demonstratiotus prima ego ιiterato orbi impertivi; auctor enim M tie demon-sratione illa emiferat: postea vere Gallis πλbusdam eadem theoremata, sed mutato ordine, dem strata sunt O nune ipsius auctoris demonstrationes eo inna admodum , nostris vero prolixiores , inter ejus opera posthuma prostant. Cum vero sientiae de motu partem haud ignobilam eonstituam hae theoremata , placuit ipsorum demonstrationes huis rursus operi annectere, ut videat reistillica tirer ris , quantum Philosophia Mechanica per Geometriam promovendast . De . I. Vis centripeta est vis illa , qua mobile aliquod de motu rectilineo continuo retrahitur , & versus centrum aliquod perpetud urgetur . Nam cum c juxta salis notam naturae legem corpus omne semel motum secundum ea dem re&m semper uniformiter progredi nitatur, patet, nul lum mobile posse orbitam aliquam motu suo describere, nisi quadam in orbita illa detineatur . Re. gr. Roletur mObile uniformi cum motu in peripheria circuli ΑCE ; quod ubi ad A pervenit, sublata vi illa , qua in orbita detinetur , Progrederetur secundum tangentem AB, & in infinitum ex-
229쪽
HUGENII THEOR. DE VI CENTRIF. &c. I97
curret: quo itaque in peripheria detineatur , opus eii, ut vis aliqua continuo agat, quaeque aequi polleat vi in A agenti corpus versus D per spatium aequale BC, interea dum mobile vi insita per spatium indefinite exiguum AB progrederetur : nam hic ratione, hisce viribus coniunctis, describet mobile lineam AC per theor. 3o . Vis haec , sive sit actio fili detinentis , sive cohaerentia cum alio corpore gyrante , sive oriatur a gravitate , aut attractione qmcunque, vis centripeta dici potet . s. Vis centrifuga est reactio , seu resistentia , quam exercet mobile , ne a via sua deflectere cogatur , quaque motum suum in eadem directione continuare conatur; eilque , uti reactio actioni, vi centripetae semper aequalis, & contraria :ea ex vi inertiae materiae oritur , & cum corpus in peripheria circuli gyrans , ope fili ne excurrat detinetur ; per vim illam centrifugam tenditur filum , quod filum eodem relaxandi se
conatu aequaliter urgebit Corpus versus centrum , dc ceutrum versus CorpuS.
Cum vis centripeta proportionalis est spatio , quod corpus urgente illa vi in dato tempore describit, liquet, tam vim centripetam quam centrifugam posse per lineolas nascentes BC vel be repraesentari: nam dum corpus tangentem AB indefinite exiguam describit, spatium, quod urgente vi centrupeta interea percurret, erit Quale BC. Demonstravimus aurem DII. 4ta in lineolis nascentibus , seu infinite parvis AB, AC, esse BC infinite minorem AB vel BC; unde vi centripeta , vel centrifuga erit infinite minor quam vis insita seu excursoria AB. LEMMA. In eircula subtensae anguli eontactus evanescenter Ilae infinire
parva sunt in duplicata ratione arcuum conterminorum .
Sint areus illi AC , Αe; subtensae ad tangentem perpendiculares , BC , be ; ducatur diameter AD, & ad diametrum perpendiculares Cm, en; & erit BC : be Αm : An Am κ
230쪽
ine lamma in omnibus eurvis primi generis universaliter δε- monstravis evregius NevVtonus .
S. duo mobilia σqualia aequalibus tempWibur circumferentias m- aequales percurrant , erit vis centriJuga ιn majorι circumjereuria ad eam, quae in minore, Aut ipsa inter se circumferentissi, vel earum diametri. TAB. ii. Percurrat mobile Α Circumserentiam ACH, & eodem tem- n. 7. pore mobile a circumferentiam aeε , sintque AC , ae arcus
minimi simul descripti. chia utraque peripheria aequali tempore percurritur , arcus illi erunt limites , & proinde figura ABC similis erit figurae abe; quare BC : ber: AC r ae :: periph. ACH : periph. ach. Sed constat, ex superiore definitione esse vim centrifugam mobilis A ad vim centrifugam mobilis a , ut BC adbe. mare erit vis centrifuga mobilis Λ ad vim centrifugam mobilis a , ut periph. ACH ad periph. aeh , sive ut illius diameter ad diametrum hujus . E. D. r. Hinc vice versa , si vires centrifugae sint ut diametri, tempora periodica erunt aequalia . T H E o R. II. Si duo mobilia aequalia aequati celeritate ferantur in circumferentiis
. inaequalιhus, dirunt eorum υιres centrougae in ratione conrraria diametrorum .
ΥΑs i, AC, oc arcus minimi simul descripti, qui, ob aequa- lem in utroque mobili velocitatem , aequales erunt. Fiat arcus Am similis arcui ae , ducator Im ad BC parallela ;& erit vis centrifuga in maioli circumferentia ad eam , quae est in minore, ut lineola nascens BC ad nascentem H; sed est B C ad in ratione composita ex BC-Im dc D d be ; &ex praecedenti lemmate est BC ad im, ut AC ad Am , &est Im ad ut Am ad ae vel AC ; quare erit BC : he :: AC et, Amq Am : a : ΛCq : Amq Λωρ : Am X aer: AC q, Vel