Joannis Keill, ... Introductiones ad veram physicam et veram astronomiam. Quibus accedunt Trigonometria. De viribus centralibus. De legibus attractionis

233쪽

DE VI CENTRIF. ET MOTU CIRCUL. ryy

vel aeq : Αm X ac :: ae : A vi, hoc est , ut tota periph. aebad totam periph. ACH , sive ut diameter ab ad diametrum ΑΗ. Q. E. D.

Si duo mobilia oequalia in circumferentiis aqualidus ferantur , sed utraque motu aequabili, qualem in his omnibus intelligi υοὶ mus erit vis centrifuga velocioris ad vim tardioris in rationa duplicata celeritatum . Sunt enim vires centrifugae ut subtensae evanescentes anguli contactus , quae per nactenus demonstrata in eodem vel aequalibus circulis sum in duplicata ratione arcuum conterminorum : sed arcus contermini, cum tint spatia simul descripta , sunt ut velocitates ; quare Vires centrifugae sunt in duplicata ratione velocitatum . Q. E. D.

Si mobiIta duo aequalia in circumferentiis inaequalibus circumlata vim centrifugam aequalem habuerint; erit tempus circuitus in majσri circumferentia ad tempus circuitus in minori in subduplicata rarione diametrorum.

Sint AC, ae arcus minimi simul descripti. Quia vires centrisu aequales sunt, erit BC α be. Dicatur tempus

quo deisibitur perim. A C H , Τ , & tempus , quo describitur periph. ach , t ; fiat arcus Am similis arcui ae , &

ponamus mobile aliquod eodem tempore percurrere circumsereni iam ACHA, quo percurritur circumferentia aeha ; & in eo casu arcus in utraque peripheria simul descripti erunt Am , ae ; sed est velocitas mobilis in dato aliquo tem pore percurrentis arcum Am ad velocitatem mobilis eodem tempore percurrentis arcum AC, ut arcus Am ad arcum ΑC ; adeoque cum tempus , quo eadem peripheria percur- ritur , sit semper reciproce ut velocitas, erit Τ : t Am :

234쪽

gam, ut BC ad he, est vero BC - -; erit vis

centrifuga ad vim centrifugam , ut-ad-; hoc est, ut

quadrata arcuum simul descriptos um ad circulorum diametros applicata ; & cum arcus illi sint ut velocitates , erunt vires Centrifugae etiam ut velocitatum quadrata ad circulorum diametros applicata. LEMMA. 2. Si mobile in eis Uerentia Areuti r svatur , spatium, quod mobile recta progrediens , ct urgente solummodo vi rentrifuga ex motu illa cireulari orta , in dato tempore percurreret, erit temtium proportionale cireuli diametro, o arcui, quem, se in cir-ΥΑs eumferentia circuli latum esset, eodem tempore describeret.

A. Sit Α Carcus quilibet in minima aliqua temporis particula descriptus, & designet n tempus quodlibet, seu numerum quem libet istiusmodi particularum erit nκα arcus,quem mobile in peripheria latum in dato tempore is describet, & BC sp

tium, quod in prima temporis istius particula,urgente vi centrifuga , percurreret. Cum autem mobile omne , vi eadem 'in eandem semper plagam continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum per cor. 3 theor. II lect. II quippe quaecunque de gravitate demonssrata sunt, ea cuilibet ρii vi uniformiter agenti applicari possitnt , erit spatium urgente vi centrifuga in tempore n describtum n' κ BC. Sed

ut constat ex lemmate primo est AH : AC AC: BC,& ut AC ad BC, ita v A AC ad n κ BC; quare est AH ad AC, ut nΜΑCad n YBC; & ducendo consequentes in n, erit AH ad

n X AC, ut nκ AC ad n'κBC; hoc est, diameter circuli,arcus 'in dato tempore descriptus,& spatium,quod urgente vi Centri- 'fuga in eodem tempore percurretur, sunt Continue proportio- .nalia . E. D. Cor. Si diameter circuli dicatur D , & arcus in quolibet tempore a mobili descriptus vocetur A, spatium, quod mobile, urgente vi centrifuga, & recta progrediens,eodem tem

235쪽

DE VI CENTRIF. ET MOTU CIRCUL roi

tionales .

Si mobile in eireumferentia cinisi feratur ea celaritate , Fam acquirit eadendo ex altitudine,quae si quartar parti diametri aequatis , habebit vim e trifugam suae gravitati aequalem ; hoc est. eadem vi funem , quo in centro detinetur, intendit, atque cum

in eo suspensum est . Vocetur diameter circuli D, & peripheria P; & cum ex hypothesi velocitas mobilis in peripheria lati uniformis sit, &aequalis illi, quam acquirit cadendo per i D, liquet, quod mobile aequali tempore in peripheria latum describeret arcum illius duplo aequalem , per theorema II leel. II hoc est αἶ D; unde ex lem. a spatium ab impellente vi centrifuga interea percursum erit m l D; est enim D ad I D, ut I D ad 3 D: sed ex hypothesi spatium , quod mobile urgente vi gravitatis eodem tempore describit, est etiam : D; quare cum spatia a duabus hisce viribus eodem tempore percursa sint aequalia, erunt quoque vires illae aequales. Cor. I. Hinc vice versa, si mobile in circumferentia latum habeat vim centrifugam suae gravitati aequalem , ejus velocitas est ea , quae acquiritur cadendo per ἱ D. Cor. 2. Hinc tempus circuitus est ad tempus descensus per i D, ut P ad ψ D, sive ut a P ad D. Nam quo tempore mobile cum velocitate accelerata percurrit ἰ D, cum vesocitate ultimo acquisita uniformiter motum percurret , D: ac proinde cum velocitates sint aequales , erunt tempora ut spatia

percursa; hoc est, tempus, quo mobile percurrit peripheriam, est ad tempus, quo describit ID, ut Ρ aa ID, sive ut a Pad D; sed rempus, quo describitur I D . est m tempori casus per ἰ Drunde erit tempus circuitus ad tempus cauis perpendicularis per D. ut a P ad D. T H E O R. VI. . In eam superficie conoidis parabolici , quod axem ad perpendis

236쪽

Ium erectum habeat , circuitus omnes mobilis eireumferentias h riranti parallelas pereurrentis e parvae, emensfuerint aqualibus temporibus peraguntur: quae tempora guia aquan

tur binis Ucillationibus penduli , cujus longitud, sit dimidium I

teris recti paraboloe genitricis ..Sit HGADE conoides parabolicum , cujus axis AP ad perpendiculum erigitur; GD, HE diametri circulorum, cruorum peripherias horizonti parallelas mobile percurrit: quod igitur urgebitur a tribus potentiis sibi mutuo aequipollentibus secundum tres diversas directiones , quarum prima est vis gravitatis impellens inobile secundum rediam MN ad horizontis planum perpendicularem ; secunda est vis centrifuga orta ex motu circulari, urgens mobile ab H versus K; tertiae vero polentiae supplet vicem resinentia, sea contrarius nisus superficiei parabolicae secundum lineam H Psibi perpendicularem age , nam reactio actioni semper aequalis est , & fit in plagam contrariam: unde cum superficies perpenpiculariter L mobili pr . matur, haec aequiliter reaget in entpas secundum directionem. HP, de contrarius ille nisus et utpollet potentiae secundum di- . rectionem H P mobile urgenti: quar una mobile a tribus hisee potentiis sui lineatur, erunt necessario sibi mutuo in aequilibrio , i. e. binae quaevis alterius effectum deliruent. Unde

ducta ON ad ΗΚ parallela cum HN occurrente in N, si OH

repraesuntet reactionem superficiei parabolicae , recta ON exponet vim centrifugam , & HN vim gravitatis mobilis: sed ob aequiangula triangula HON, H M .est OA ad HN, ut HMad M P. hoc est, erit vis centrifuga mobilis; peripherium ci csti H ML describemis ad vim gravisatis ejusdem , ut HM radius circuli ad MΡ subperpendicularem . Similiter in quavis alia peripheria GLD in superficie conoidis, vis centrifuga mo-hilis ipsam descritientis est ad vim graviratis,ut GB radius ad Basiperpendicularem. Porro quoniam est vis centrifuga mobilis. peripheriam HME percurrentis, ad urm gravitatis, ut HM ad M, & vis gravitatis ejusdem mobilis est ad ejus vim centri- .

fugam cum peripheriam GLD percurrit, ut B ad BG, si re ex natura parabolae ut MΡ ad BG. erit ex aequo vis centrifusa mobilis peripheriam HME percurremi; ad vim ejus .centriN

237쪽

DE VI CENTRIF. ET MOTU Cma 1ε3

gam , cum percurrit peripheriam GLD, ut H M ad BG; hoe

est, vires centrifugae sunt ut semidiametri vel diametri circulorum : unde per cor. theor. primi tempora periodica aequantur . Quod primo erat demonstrandum .

Accipiatur jam circulus GLD talis, ut eius diameter GD sit aequalis lateri recto parabolae HAE , unde ex natura parabolae erit GB BQ; adeoque vis centrifuga mobilis in peripheria GLD aequalis erit vi gravitatis ; est igitur per cor. praec. velocitas mobilis in peripheria GLD ea, quae acquiritur cadendo per spatium aequale ἱ GD , vel ex natura parabolae per BA. Fiat jam OST cyclois, cujus axis,vel diameter circuli generatoris SR sit aequalis ΑΒ, & erit tempus descensus per Cycloidem OS ad tempus casus perpendicularis per axem RS:

per cor. praec. eii tempus descensus per AB ad tempus circuitus in periph. GLD, ut D ad ΣΡ, quare ex aequo tem pus descensus per cycloidem OS est ad tempus circuitus in periph. GLD, ut: Ρ ad 2P, sive in I ad 4; unde tempus quatu-λor descensuum per cycloidemsve tempus lynarum Ospissationum in cycloide equatur tempori circuitus in peripheria GLD. Est vero tempus binarum oscillationum in cycloide aequale tempori binarum oscillationum minimarum in circulo , qui cum cycloide aequicurvus eii ad verticem S : eo quod portio istiusmodi circuli, & portio cycloidis ad verticem S fere coincidunto proinde eundem in rebus physicis praestant effectum, ut jam satis notum est. Sed radius circuli aequicurvi cum cycloide ad verticem S, vel quod idem est, radius circuli osculantis cycloidem ad verticem aequalis est duplae RS, vel duplae AB . ut facile ex corol. theor. 46 lect. Is sequitur ); adeoque longitudo penduli in circulo illo oscillantis aequalis est duplae AB sive dimidio lateris recti parabolae genitricis. Un de tempus binarum oscillationum minimarum penduli, cujus longitudo est dimidium lateris recti,aequale est tempori bina Iuni oscillationum in cycloide OST, vel tempori circuitus in peripheria GLD, .vel in perim. H M E . Q. E. D. Cor. Hinc si mobile in circumferentia circuli ea celeritate sed ratur, quae acquiritur cadendo per i diametri,tempus circuitis

238쪽

D. I.

aequale erit tempori binarum oscillationum minimarum penduli , cujus longitudo sit semidiameter circuli.

Si miliIla duo ex filis inaequalibus suspensa Drentur ita , ut cireumferentias horizonti parallelas percurrant, capite altero fili immoto manente , fuerino autem conorum , quorum superficies fila hoe motu deferiunt, altitudines aequales , tempora quoque

cireulationum oequalia erunt.

Sit ABE conus ille , cuius superficiem describit filum AB; item ADL conus, cuius superficiem describit filum AD; sitque

C centrum basis utriusque coni, & AC communis eorum altitudo . Consideretur jam mobile B tanqum a tribus potentiis sibi mutuo aequi pollentibus tractum , quarum una , quae est vis gravitatis, trahit mobile per rectam BG ad horizontis planum perpendicularem ; altera secundum directionem B magens dii vis centrifuga, qua mobile a centro suae orbitae C recedere conatus; tertia vero, quae hisce duabus aequi pollet,&resistit, est nisus contrarius fili secundum direetionem AB agens rest enim tensio fili loco potentiae contrariae, ac eundem in hoc casu prae latesse turn . Si ergo BF repraesentet actionem fili , vis mobilis centrifuga, & vis gravitatis exponetur per rectas

FG & BG per theor. 33 leel. I ; hoc est , vis centrifuga mobilis B erit ad vim gravitatis , ut FG ad BG, sive propter triangula aequi angula FBG, ABC ut BC ad C A. Eodem modo erit vis gravitatis ad vim centrifugam mobilis D, ut AC ad DC: quare ex aequo erit vis centri ruga mobilis B ad vim centrifugam mobilis D, ut BC ad DC; hoc est, vires centrifugae sunt ut se inidiametri circulorum , quorum circumferentias mobilia describunt, ac proinde per cor. theor. I tempora circulationum sunt aequalia . E. D. . Cor. Hinc vis centrifuga est ad vim gravitatis, ut semidiameter basis coni ad coni altitudinem . Not. Per vim gravitatis, de vim centrifugam nos in hac demonstratione intelligere vires acceleratrices mobilium , nisi mobilia ponantur aequalia , in quo casu possunt etiam sumi vires absolutae . THMDi0jtigod by Coost

239쪽

DE vI CENTRIF. ET MOTU CIRCUL. eto Τ H E O R. VIII.

Si duo mobilia , uti prius, motu conico rarentur, filis ae vatibus. vel inaquatibus suspensa fuerintque conorum altisuvines ina quales , erunt tempora circumlationum in subduplicata rationei arum altitudinum.

Sint duo mobilia B & G, sintque primo coni ABD. EGH, quorum mperficies fila describant, umiles; per corol. the ' rem. erit vis centrifuga mobilis B ad vim gravitatis , ut BC ad AC; & erit vis centrifuga mobilis G ad eandem vim gravitatis, ut GF ad FE; sed propter aequiangula triangula ABC , GEF, BC est ad AC, ut GF ad FE, quare erit vis centrifuga

mobilis B ad vim gravitatis, ut vis centrifuga mobilis G ad eandem vim gravitatis, ac proinde vires illae centrifugae aequales erunt: erunt igitur per theorem. tempora circuitus m bilium in subduplicata ratione semidiametrorum , hoc est,

Propter aequiangulatriangula ABC, EGF, in subduplicata ratione altitudinum AC L EF. Sed qualescunque sint coni .

quos fila describunt, modo eorum altitudines invariatae maneant , tempora circulationum etiam invariata manebunt; quare in omni casu constat veritas huius theorematis. E. D.

Si pendulam motu eonico latum eircuitus minimos faciat; eorum singularum tempora ad tempus casus perpendicularis ex dupla pe disi altitudine eam rationem habent , quam circumerenιia ciremti ad diamurum: ac proinde aequalia ut tempori duarum os larionum lateratium ejusdem penduli minimarum.

Sit ADB conus, cuius sui erficiem describit filum, eius altitudo sit Ae fere α AB, quia circuitus sunt minimi. Semidia- ε' metro GHαΑe describatur circulus GLFo, atque in eius ρο- ripheria ponatur mobile revolvi celeritate, quae acquiritur cadendo per i suae diametri sive D. Per t reor. 3. erit ejus . vis centrifusa vi gravitatis aequalis; sed est vis centrifuga m 'hilis B ad vim gravitatis, *c proinde ad vino centrifugam mo- 'bilis in periph. GLF lati , ut Be ad Ae sive GHr quare m bilia B & G, cum vires centrifugae sunt ut radii, tempora ci

240쪽

culationum aequalia habebunt per cor. theor. I . Est vero tempus deicentus per GF, sive D ad tempus descensus per

tempus descensus per ἰ D ad tempus circuitus in periph. GLG, ut ID ad P: quare ex aequo erit tempus descensus per D ad tem- us circuitus in periph. GLF, sive ad tempus circuitus pendu- Λ B e o , ut D ad Ρ . Pars polletior theorematis liquet ex corollario theor. 6. Cor. Hinc cum tempus casus perpendicularis est in subduplicata ratione spatii a gravi cadente percursi, erit tempus descensus ex altitudine penduli ad templis circulationis minime , ut ἰ κ D ad P. . '

Si in bile in eireumferentia feratur, ei reuir que sim lar ab*Iva reo rempore , quo pendulum longitudinem semidiametri cireumferentia 6tas babens , t lotu conio circuitum minimum absolveret, vel duplicem Uesilationem minimam Ioteratim; habebit tam em trifugam suae graυιrati oequalem . .

TAR mia mobilia B, G ex hyp. aequali tempore circuitus suos absolvunt, erit vis centrifuga mobilis B ad vim centris gam mobilis G, ut Be ad GH, sive Be ad Ae, est vero ut Bead Ae , ita vis centri iuga mobilis B ad vim gravitatis per cor. theor. 7 ; quare per s. I Euctidis erit vis cerutilaga mobilis G aequalis vi gravitatis . Q. E. D.

Penduli eujuslibet motu eonico uti tempora eirmitus aequalia erunt rempori easu perpendicularis ex altitudine. pondisi mo aequali; , eum angulus inesinationis fili ad pIanum borizontis fuerint part um Σ , β proxime et exacte vero , se anguis dicti Mus.. fuerit ad radium, ut quadrarum carmis iUcripto ad quadratum

Sit pendulum , cuius filum describat furficiem conicam CAD talem, ut sit sinus anguli ACE ad radium c hoe est, A E ad AC , ut ID ad Ρ'. sit etiam AFC superficies coni, quem penduli filum motu missimo lati describit, cujus proinde altitudo