장음표시 사용
511쪽
ia versus Perihelion , velocitas fit maior media , & contia Duo crestit ob continuo diminutam distantiam , donec iaPerihelio B sit omnium maxima, ob distantiam S B omnium minimam . Ex quo discedens Planeta , & ad Aphelion scendens, pundium medio motu incendens post se resinquet, sed ejus velocitas semper minuitur , quo longius a Sole recedit semper tamen manet velocitate media maior , usque dum ad intersereonem F pervenit, ubi rursus velocitas fit velocitati mediae aequalis . Deinde ulterius pergendo , COntinuo decrescit velocitas , donec Aphelion attingit, ubi fit
Cum itaque Planeta nullibet in diversis orbitae suae Punetis inaequali velocitate seratur , & sola aequalitas , quae iurius Circulatione circa Solem Observatur , in arearum descriptione conssiliat; nam area una cum tempore uniformi ter augetur. Quo Planeue locus in propria orbita ad datum tempus deierminetur , capienda est area , quae sit Tem-
Pori proportionalis , quod ut fiat , necessie in , ut solvatur Problema , quod sequitur.
Invenire possionem rodiae , quae per datae Euipseos Deum ais rerutrum Iransiens absindat aream motu suo descripetam, qua si ad areum rotius Empseos in ratione data . Sit nempe Ellipsis A P B, cuius lacus alteruter Sἰ inVe TARiν. Dienda est positio rectae S Ρ , quae abscisidat aream trilineam is i. R S P , ad quam area totius Ellipleos eam habeat rationem , quam habet tempus Periodicum Planetae Ellipsim describentis ad aliud tempus datum ; qua positione inVenia ,
dabitur punctum Ρ , quod Planeta ad tempus illud datum occupat. Vel sit A a B semicirculus super Ellipseos AxeaI majorem descriptus ; ducenda est per S recta S a abscindens aream A S Q, ad quam area totius circussi est in eadem ratione . Nam per hanc circuli sectionem sectio Ellipseos quaesita facile invenitur , deminendo a puncto Q in Ellipseos axem perpendicularem Q H Ellipsi occurentem in Ρή&ducta S P , erit illa recta quaesita , & Ρ locus Planetae . Est enim se Misi gmentum Ellipticum Λ P H ad semisegmentum
512쪽
418 SOLUTIO PROBLEMATII REPLERI.
cir lare Α QH, vi H P ad H Q, hoc est, ut area totius Eulipleos ad aream totius circuli, uti constat ex natura Ellipseost sed est triangulum S P H ad triangulum S Q. H in
eadem ratione , per I EL6ti.; adeoque , per M. Ni , erit area Elliptica Λ S P ad aream circularem A S Q, ut area totius Ellipseos ad aream totius circuli ; & alternando , area Elliptica Α S Ρ est ad ejus aream totam , ut area Ci Vc'Α S Q ad totum circulum . Adeoque si habeatur me- tbodus ducendi recta in per S , quae secet aream Circuli in data ratione , facile erit in hac ipsa ratione secare aream E
Ipsi Keplero , qui primus problema proposuit, nulla innotuit methodus directa computandi locum Planetae ex da-: ille enim expresse dicit , nullam esse viam directam , ex dato tempore inveniendi locum Planetae, seu Anomaliam eius veram . Ideo illi necesse fuit, per singu-ws semicirculi A Q. B gradus progrediendo, ex dato arcu A Q. , quam Λnomaliam excentri vocat, tam tempus per aream AS in quae Anomaliae mediae est proportionalis, quam angulum A S P, hoc est locum Planetae seu Anomaliam veram , & coaequatam tempori, respondentem Calculo eruere ;& quoniam Geometrice non potuit Keplerus problema solvere, illi objiciebant Astronomi, & eum , quasi
causis Physicis nimium indulgentem , a Geometria in dive sum abiisse censebant, ejusque Astronomiam ex hac me xia pendentem, tanquam minus Geometricam, labefactabant:& ut vitium hoc effugerent, ad alias transiverunt Hypotheses ; fingendo punctum aliquod , circa quod motus foret a quabilis , seu anguli descripti temporibus essent proportionales , & exinde data Anomalia media , coaequatam seu v ram determinabant. Sed computus his Hi pothesibus innia Tm , Observationibus non congruere deprehensus est . Nutilum enim est revera punctum fixum , quod est centrum m uS aequabilis , circa quod scit. Planetae , radiis au illud ductis , describant angulos temporibus proportionales . Sol
que.theona , quae Planetarum motious adamussim congruit , est supra explicata Kepleriana. Omnes itaque Astr
513쪽
soLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. 4rs
aomi in aeternum laudabunt hoc Kepleri inventum , eius.
que cum coelo consensum ; praesertim cum elegantem motuum e causis suis demonstrationem nobis patet acit. Illud sane Κeplerus tanti fecit, c non improbantibus aequioribus arbitris ut methodum calculi indirectam. sectari maluit, quam aliam Hypothesim a Natura minus probatam comis minisci. Quo itaque labem ex Astronomia deleamus, methodum Geometricam hic ostendenius, qua Ellipseos seu quod illi aequipolletὶ circuli area in data ratione secanda iit.
Sit A Q. B Semicirculus super Ellipseos axem maiorem TAB. tr. descriptus , cuius centrum C , Ellipseos focus , in quo Sol M. locatur, sit S ; per locum Planetae intelligatur duci ad Axem
perpendicularis redha O H circulo occurrens in Q; erit area AS Q. ad aream totius circuli, ut tempus datum ad tempus
Periodicum Planetae. Ducatur Ca, in quam productam, si opus sit , cadat perpendicularis S F ; eli area A S ci aequalisse flori ACQ una cum triangulo CSa IC Q. Aa 'ICQAS F , adeoque ob datum IC Q. , erit area A SQ semper proportionalis Arcui AQ- reeta SF , cum scit. motus sit ab Aphesio versus Perihelion ; at eum a Perihelio ad Aphelion tendit Planeia, fit area B Sq arctualis seelori BC triangulo CSq , adeoque erit illa proportionalis arcui BQ recta Ss. Hinc , si capiatur arcus AN vel Su tempori proportionalis , erit Ain 'SF AN vel BQ fmBn, quare erit SP . vel Ss qua Hinc patet, si habeatur arcus A Q , & ei addatur arcus N Q, qui sit aequalis re flete S F , erit arcus AN tempori proportionalis , seu Planetae Anomaliae mediae aequalis . Adeoque ex data Planetae Anomalia vera facile innotescit &congrua Anomalia media , seu tempus. Fiat enim , ut QC ad S C, ita 37rs 178, qui arcus radio est aequalis , . ad quartum , & dabitur arcus aequalis SC iri gradibus , gradusque partibus decimalibus . Dicatur hic arcus B . Et quoniam est S C ad S F , ut radius ad sinum anguli SCF vel Λ C Q; siat ut radius ad sinum arcus A a, ita arcus B ad
514쪽
Marium ; & dabitur in gradibus & partibus decimalibus arcus in peripheria AQB, qui aequalis est rectae SF ; cumque S E sit aequalis Q N , dabitur arcus QN, & proinde AN
tempori proportionalis. Hoc exemplis in orbita Martis declarare liceat. Huius Planetae Excentricitas est ad distantiam mediam . seu semiaxim Ellipseos, ut 34 Ioci ad Isa369: adeoque Logarithmus arcus B, aut aequalis est SC, est. et 446. Si itaque quaeratur An malia media, cum Anomalia Excentr est unius gradus, addatur sinus Log. unius gradus, qui est 8. 2 18313 ad Lonarcus B, fiet summa L s66assy, qui est Logarhythmus numeri in os2133 , & exprimit valorem arcus Q N in Partibus gradus decimalibus. Est itaque arcus AN tem- Pori proporitonalis r , osa 333 seu r. 1' 33 . Similiter si malia tacentri sit 3o gr. ad ejus sinum Log. addatur constans Lon arcus B, & lumma erit O. 23 Τqs Log. n meri 2, syr , adeoque Anomalia media AN Anomaliae Excentri 3o grad. respondens erit 32, 631 , seu 3a gr. 's'. 3''. Haec methodus expeditior mulpo, & facilior est illa , quam tradit Keplerus, uta methodo indirecta, & per positionem Reguis Falsa docet pervenire ex Λnomalia media ad
Devenitamus iam ad methodum promissam directe elicie di Momaliam cbaequatam seu veram ex media . Sit in figura arcux ΑN Anomalia media, seu tempori proportion Es , sitque Aa Anomalia Excentri invenienda . Arms N Q, dicatur ν , & sinus arcus AN vocetur e , & cosinus f , Excentricitas S C sit m Ut sinus arcus A Q. aequalis tinui a cus AN Nam M. Α N-3; sed a nobis ostensum est iaElementis Trigonometricis. quod si sinus arcus AN site, sinus arcus AN , seu arcus Q. erit &c Sed
est radius,qui est x,ad sinum arcus Aa, ut SC vel g ad SF vel Nahoc est 1. Adeoque erit in aequalis ge--Hy--ger inuFI ' πε
dic. M em S F aequalis arcui N Q. seu 3, ut ostensum est z
515쪽
soLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. 43t
quare ad hanc diventum est aequationem: Imge go
d , di AEquatio induet hanc sormam . - 3- θε&c. Unde per methodum reversionum serierum 1 Domino Nev-
Series supra posita exprimit quantitatem arcus Q. N in partibus. qualium radius eii Io ooo. At ut in gradibus,nraduique partibus habeatur, fiat ut radius ad hancce s riem , ita 3729 78, qui est arcus radio se alis, ad quartum , hoc est cum radius sit unitas multiplicetur series Praediista per numerum 3729378 , quem vocemus R , unde Prodit arcus quaesitus ' in gradibus, gradusque Partibus m Rα - R2I Rera &α- UT Hujus seriei terminus primus R et lassicit ad determina
dam Anomaliam Excentri in omnibus sere Planetis , nam in Marte error plerumque non superat gradus partem ducemesimam . In Tellure gradus parte decies millesima minor est, sed exemplis rem declarare liceat. In Orbita Telluris Excentricitas est o. o 6st , posita distantia media seu C Q.: I . Invenienda est Anomalia Excentri , &coaequata cum media est 3o gr.
516쪽
Log. arcus 3 sive N Q. p. 6789za respondet numerus o. 47744 seu in sexagesimalibui n meris a8'. 38': reliqui termini minores sunt gradus parte decies milleuma, adeoque negligi possunt. Si itaque a Gradibus 3o lubtrahatur 28'. 38 , relinquetur arcus A Q 29 et 3I : 22'. Et in triangulo QCS dantur latera QC, CS curulangulo SC , unde dabitur angulus QS C. Analogia est, ut QCH CS seu AS ad C Q CS seu PS , ita tangens semissis summae angulorum C S Q & C a S ad tangentem semissis differentiae eorundem ; unde si a tangente Log. semissis ansuli ACQ auferatur constans Logarhythmus o. o I 46893, d itur tangens semissis differentiae angulorum C QS & CSQ, qui in praesenti exemplo erit I : I 'r 26 haec ad semii summam. addita dat angulum Α S Q as: 3': 7', sed ut in- veniatur angulas ΑSΡ, diminuenda et, tangens anguli A SQ in ratione Axis minoris Ellipseos ad maiorem ; ab hujus it
que tangente Log. auseratur Logarhythmus Constans o. --σaa , qui eli Logarhythmus rationis Axis maioris ad min rem , oc restabit tangens Log. anguli ASP eto : .a'; 34'. Qui est Anomalia coaequata . In orbita Martis Excentricitas est partium I 4Ioo. qualium distantia media est I 1236s. Adeoque Logarithmus rationis. S C ad C Q erit 8. 9663226 Log. g. Quaeratur primo in inrte Αnomalia Excentri , cum Anomalia media est unius gradus. Log. Excentricitatis Lon Sin. 1 gr.
517쪽
ii Logarithmo respondens nAmerius o. o8 97, exhibet ma8nitudinem. arcus N error minor eli gradus parte tricies millesim 1 ado. aerarui Anomalia Excentri, cum media est grad. 43.
invenitur o. ooυ , & a primo auseratur & restabit 3. si 24, qui exprimit arcum .N Q verum ad partes gradus centies
Huic Logarithmo respondet numerus y. 3 68, qui quin quagesima circiter gradus parre verum superat, quo itaque Corrigatur error , duplicei g t , & producto addat GD R α & habebitur Logarithmus Res, cui respondens nu-
518쪽
434 SOLUTIO PROBLEMATIs mPLERI
habebitur 1. 284r pro quantitate arcus N Q, Et proinde Arcus Λ Q. Anomalia Excentri erit s4. 7i 1s, qui non decies millesima gradus parte a vero A Q discrepat . Nota dum, quamvis secundus seriei terminus sit -κα ejus tamen pars μα' lassicit, ut habeatur Λ Q arcus An
maliae Excentri verus ad gradus partes decies millesimas obtento arcu A Q. , seu angulo ACQ invenietur angulus A SQ resolutione trianguli Q.VS,in quo dantur latera C in CScum angulo interjecto QCS, unde invenietur angulus QSΑ. Huius anguli tangens Logarithmica est capienda , & ab ea clemenda eli Logarithmica rationis Axis maioris ad minorem, TA 37 8t rellabit tandem tangens Log. anguli Λ SP, qui est malia aequata, seu vera.
De Probismatis RepIeri Solarime Nevutoniana , di: i Wardi inpothes Elliptica.MEthodus nostra in superiore Lectione explicata, & ea Domini Newtoni in Principiae Philosophio Mathem
licae pam Io I tradita eidem innituntur fundamento , TAB. 1ν. quod scit. recla S F lonsitudine aequalis est arcui QN. Mistomn, 3- autem methodus sere limilis eli ei, qua ex aequationibus as.fectis radicem extrahunt Analystae, & quidem tanto magis est aestimanda , quod non solum exhibet Planetarum Loca , uorum orbitae ad circuli formam proxime accedunt , sed e em fere facilitate inservit etiam Cometis, qui in orbitia maxime excentrieis moventur ἔ quod etiam per nostram methodum obtineri potest . ii modo loco arcus A N capiaturalius arcus ad arcum A Q. propius accedens , qui dicatur A& posito sinu arcus Ame quaeratur sinus arcus Λ& fiat
Methodum autem Newt i , cum maxime expedita sir, hic explicare liceat in i gratiam Artificum, qui tabulas Λstronomicas secundum veras motuum coelestium leges, M
519쪽
soLUTIO PROBLEMATIS REPLEM. 43 1
non ex fictis Hypothesibus condere Volunt. Hactenus oliensum fuit, quod si arcus A Q. fit Anomidia D m,. a. Excentri, hunc arcuin, una cum recta S F ex Sole in radium QC normaliter incidente, esse tempori proportionalem cum Planeta tendit ab Aphelio ad Perihelion ; vel arcum ΤAB i .
B Q. dempta recta S F, esse tempori proportionalem, cum an s Perihilio ad Aphelion ascendit; adeoque si capiatur arcus Α N vel B N tempori proportionalis , erit arcus Q N aequalis S F rectae . Ut igitur inveniatur in gradibus & partibus gradus decimalibus mensura arcus in Peripheria A QB, qui aequalis sit rectae S F. Fiat ut C ad CS, ita arcus grad. 17. 29 78, qui aequalis est radio , ad quartum . Hic numerus exprimet magnitudinem arcus in peripheria Λ B, qui aequalis est S C. Arcus hujus Logarithmus dicatur B. ω niam est CS ad SF , ut radius ad sinum ansuli ACQ.; fiat ut radius ad hunc sinum , ita arcus, cuius Logarithmus est B , ad alium D ; erit arcus ille D aequalis reictae S F . Adeoque si ad datum tempus area AS Q, & arcus Α N essent tempori proportionales , & capiatur N P aequalis D , punctum P caderet in Q. Si vero area A S a non accurate tempori respondeat, punctum P cadet supra vel infra Q. , prout area AS a maior sit vel minor ea , quae est tempori proportionalis . Sit ea A S ρ , & in C q caclat perpendicu- Iaris SE, erit per hactenus demonstrata S E N q, unde
CE: Cq :: LE: int: QP-in: Qq; unde CE 'Cq:Cq:: QPe r. Et similiter, cum arcus BQ est quadrante minor, erit Ca-CE: CQ r: QP: in. Cum Planeta prope Aphelion vel Perihelion versatur , fii CL fere in & CQ CE AS; unde P: in :: AS: CA , cum arcus A est quadrante minor; at cum Arcus Bet est Quadrante minor, erit SB: CB :: QP: in. Fiat ut C S ad C Q, ita radius R ad longitudinem qua dam L, & erit C Q CSκL. Est autem radius ad cotas ri .
nutu anguli ACQ, ut SC ad CF vel CR, sunt enim CF CE
520쪽
A : L, cum arcus A Q. est quadrante minor; at si is sit quadrante major , erit Q Ρ : Qir: L - e A Q: L. Atque hac ratione si capiatur arcus A Q, qui iit aliquantisper minor , aut major vero , inveniet ut exinde arcu, Qq , huic addendus vel demendus , qui facit, ut area A S sit quam proxime tempori proportionalis; & si loco A Q capiatur prius inventus arcus Aq, & instituatur processus priori si titilis , invenietur alius A q, & hic similiter , euodem repetendo processum , dabit novum Αρ , atque sic quantumvis proxime ad veritatem accedere licebit. Dustratire Tinta autem est huius methodi facilitas , ut ea exemplis quam ulteriore explicitione indigeat; adeoque liceat Atiis r eam in motibus Planetae Martis experiri. In hac orbita ,
Logarithmus B est 6. 1444 6& longitudo L est partium
Io8o63r qualium radius ell Iooooo. . ExempIum Sit primo invenlandus angulus A C Q, Cum motus medius, seu arcus tempori proportionalis lit unius gradus .
Quoniam CS est fere pars decinia ipsius C A,' pon' A esse
. p. grad. decima scit. parte minorem ora medio . Addatur sinus Log. o. s. ad Log. B, & fit lumina 8. 92o3ψ66 Log. numeri O. O8328 I. Hic riui neru; exprimit arcum aequalem S F m N P , & si arcus Aia fuisset recte assumptus, foret AN NΡ m Aa & QP m O. At in praesenti casu, est Q o. otas i. A quo si auseratur ejus pars decima, cum ΑS luperet C decima circiter sui parte, rei labit Qq o o II , qui additus ad A a dat Ag o. s i Jo , qui vix millesima gradus
Sit ado arcus A N seu motus medius 2 gr. Ρono A a 3.83 prioris A Q fere duplum , & ad ejus sinum 'Log. addendo Log. B , fit summa p. 2286992 Log. numeri o. 1693I; unde erit QP o. ooo69 , a quo ii subtrahatur ejus pars decima , fit Qq o. ooo62, & Aq I.83. o62, qui non decies millesima gradus parte a vero Aq discrepat . - . Vio Sit arcus tempori proportionalis str. et Ponatur A Q a. 76J I. o 3 '' O. 9 IJ, & ad Mus linum Log: addeti- do