장음표시 사용
611쪽
DEFINITIONES. EX datis trianguli lateribus angulos , & ex angulis latera , laterumve rationes , &mixtim assequi, Ti,on metriae munus est. Ad quod praestandum, necesse est , ut non tantum peripheriae circulares, sed & retiae lineae cise culis adscriptae in votas aliquot, & certas partes secari suppo
Placuit itaque veteribus Mathematicis , peripheriam circuli in 36o partes quos gradus appellant) dividere , & unumquemque gradum in clo minuta prima , & haec singula in Gsecunda , & rursus horum unumquodque in so minuta tertia , & ita continuo partiri. Et angulus quilibet dicitur esse tot graduum de minutorum , quot 1unt in arcu, qui angulum illum metiIur. Quidam gradum in partes centesimas, potius quam sexagesimas pari iri volunt: & utilius fortasse esset, non gradus , sed & ipsum circulum in decupla ratione stare ; quae divisio forsan aliquando obtinebit. Verum si circulus constet 36o r/dibus , eius quadrans, quae est mensura anguli recti, eritarum partium so . Si circulus in Ioci partes secetur, qua drans erit a I partium . Complamentum arcus est disserentia ejus a quadrante . Chorda , sive sist Ua est recta linea ab uno arcus termino ad alterum ducta .dinui rectus alicujus arcus , qui & simpliciter sinus dici s
612쪽
let, est perpendicularis cadens ab uno arcus termino ad radium per alterum terminum ejusdem accus dinum. Est igi tur semisubtensa dupli arcus; scit: est 'DE EM, DO , di est TAB, 3- arcus D O duplus i pitus DB Hinc sinus ar s χο gr. aequa- ' lis est dimidio radiit; nam per El. - litus nexagoni circulo inscripti , hoc et , subtensa 6o gr. aequalis est radio . Si nus dividit radium in duo segementa CZ, E B, quorum unum C Ε , quod centro & sinu reeio intercipitur , est sinus complementi arcus DB ad quadrantem. 01kim eis C Em FD, qui est sinus arcus D H , & vocatur cininus . Alterum segmentum B E , quon sinu recto peripheria intercipitur, vocatur sinus versus . Aliquando dicitur arcus sagitta . Quod si per unum arcus terminum D producatur a Centro recta CG , donec occurrat rectae RG super diametro adesus terminum B perpendiculari vocabitur in Tri seno metria,C G ocos , ct B G tangerer arcus D B . ' -
. secans & cotangenς arcus est secans vel tangens arcus , qui est complementum alterius ad quadrantem. Nota. Sicut eadem est chorda arcus-ejusdem complementi ad circulum, sic idem est sinus; stadem tangens, eaderriquu secans axcus, de quidem complementi ad semicireulum . . - . Sinus totus est sinus maximus , seu sinus fio graduum , qui circuli radio aequalis est. . . Cunon Trigonoinraricus est tabula , quae a minuto incipiens , seriati m exhibui , visa hahent longitudines linguli sinus tangentes & secantes respectu radii, qui unitatis loco ponitur , R in partes Io Ooo ooci vel plures duci males dividi intestigitur ; adeo ut ope hujus tabulae , . cuiuslibet arcus, vel an-yuli sinus tangens vel secans haberi potest, & vicissim ex dato sinu tangente vel secante dabitur , qui iis respondet, arcus vel angulus. Observandum est in sequentibus R, esse notam radii, S notam sinus , cos, cosinus . .T, uOIalu taugent
613쪽
' PRO P. I. THEO REM A Datis duobus quiburtibet trianguli rectanguli lateribus, reliquum quoque dabιtur . Est enim per 47 Elemente primi AC AB -- BC & Λ C B C' m A B', & ricissim A C AN BC' ; unde, per extractionem radicis quadratae , dabitur A C m
Data D Esinu breus DB . invenire colaum DR, Ex datis C D radici & D E sina , in triangulo reclangui CDE dabitur per praecedentem CEα C D' - DE GUF P R O P UI PR O B L Data DE senu arous cujusvis DB , invenire DM,υιι ΒΜ um arcus dimidii Dato D E dabitur per praecedentem C E , ac proinde E B quae eii differentia int et cosmum & radium In triangulo igitur rectangulo DBE, datis DE & EB, dabitur DB, cujus, te missis D Meli sinux arcus DL m arcus DB
614쪽
duplum cosinus arcus I DB , ut subtensa arcus DB ad subtensam dupli arcus . Item est CB : et C M t: et B M : a DK r: BM : DE :: I CB : CM : unde dato sinu arcus alicuius, de sinu arcus dupli , dabitur cosinus arcus simpli. P R O P. V.
fg a. Datis sinubus duorum arcuum B D, FD. invenire FIsinum .summa arcuum, item EL sinum disserentiae eorundem.
Ducatur radius CD , & sit Co cosinus arcus FD , qui proinde dabitur . Per o agatur OP parallela ad DK ; item ducantur ΟΜ , GR parallelae ad CB ; & ob aequiangula triangula CDK , COP, CHI, FOH , FOM, est primo CD: DK :: CO : OP , quae itaque innotescet; Item est CD : CΚ:r FO : FM , adeoque icilla nota erit . Sed ob FO EO erit FM MG m ON . Est itaque OP κ FM FI sinui summae arcuum ; & ΟΡ - FΜ hoc est , ΟΡ - ON ELsinui differentiae arcuum . aE.I. 'Coroll. Quia arcuum BE , BD , BF disserentiae sunt aequales , erit BD arcus medius arithmeticus inter arcus BE, BF .
arcus medii, ut senus disserentiae ad dis frentiam sinuum extrem rum
n. x Nam est CD : CK:: FO : FM , unde duplicando consequentes CD : et CK :: FO : a FM , vel ad FG, quae est din ferentia sinum EL , I F. aE. D. r. r. Si arcus BD sit so grad. , erit differentia sinu uin FI, FL aequalis FO sinui distantiae. Nam in eo casu sit CK sinus 3o grad. , cujus duplum aequale est radio', adeoque ob CD aCK erit FO FG . Adeoque, si duo arcus BE , BFab arcu 6o gr. aequi dillent, erit differentia sinuum aequalis sinui dillantiae FD.
615쪽
Cor. 2. Hinc si dentur sinus omnium arcuum dato inte
vallo a se invicem distantium initio quadrantis usque ad si gradus, iacile inveniuntur reliqui per unicam additionem. Est enim simus si gr. α sinui 1s gr. sin. I gr., di sinus 62 gr. m sinui 18 gr. sin. et gr. Item sinus 63 gr. m sinui s7 gr. sin. 3 gr. , & ita deinceps .
Cor. 3. Si habeantur sinus omnium arcuum ab initio quadrantis dato intervallo a se invicem distantium usque ad datam quamvis quadrantis partem, dabuntur exinde sinus omnes usque ad hujus partis duplum. ex. g. Dentur omnes sinus usque ad I F gr. , per praecedentem analogiam inveniri possunt sinus omnes usque ad 3o gr. Nam est radius ad duplum sinus I gr. , ut sinus unius gradus ad differentiam sinuum gr. , & I 6 gr. , ita etiam est sinus 2 gr. ad differentiam sinuum 13 & i 7 gr. , de ita sinus 3 gr. ad disserentiam sinuum Ia & 18 gri; atque sic continuo usque dum pervenietur ad sinum 3O gr. Similiter ut radius ad duplum cosinus 3o gr. seu ad du-PIum sinus 6o gr. , ita sinus I gr. ad differentiam sinuum as6 gr. :: sin. 2 gr. ad differentiam sinuum 28 & 32 gr. :: 3gr. ad differentiam sinuum a7 & 33 gr. Sed in hoc casu est radius ad duplum cosinus 3o gr. , ur I ad 3 , ac proinde, si multiplicentur sinus distantiarum ab arcu 3ogr. pers, da huntur differentiae sinuum . Similiter in ipso initio quadrantis minutim exquirere potamus sinus datis sinubus & cosinubus unius & duorum m inutorum . Nam ut radius ad duplum cosinus 2': : sin 1': dis-
ferentiam sinuum x' & ':: sin. et': differentiam sinuum o' &4'. hoc est , ad ipsum linum 4'. Et similiter ex datis si nubus priorum ' inveniuntur sinus reliqui usque ad S, & exinde ad 16', & ita deinceps .
In arcubus exiguis sinus di tangens ejusdem arcus sunt quam proxime ad se ιnvicem in ratione aequalitatis.
616쪽
ED : BG . Sed accedente punisto D aj B evanescit E B respectu arcus BD ; unde fit CE sere aequalis CB , adeoque &F D fere aequalis BG . Si EB sit minor radii parte -υιὰ , erit
diiserentia inter sinum & tangentem minor quoque tangen tis parte . Cor. Cum arcus sit tangente minbr sinu autem suo ma- jor , & exigui arcus sinus & tangens siri lare aequales , erit etiam arcus suo sinui, vel tangenti fere adi liratis ς adeoque in exiguis arcubus erit, ut arcus ad arcum , ita sinus ad sinum .
Invenire sinum a cus unius minuti. '
Laius hexagoni circulo inscripti , hoe est . subtensa is, graduum aequalis et radio; per Is V radii itaque femissis erit unus arcus 3o gr. Dato itaque sinu arcus 3o gris invenitur sinus arcus II gr. per 3 φδm hujus in . Item ex dato sinu Is gr. per eandem invenitur sinus 7 gr. 3o min. , & sin uxhujus dimidii 3 gr. 4 'similiter invenitur; & ita deinceps, donec duodecima peracta bisectione, perveniatur ad arcum set 44''. 3''. 43' ', cuius cosinus late aequalis est radio, in quo casu uti constat ex prbp. lunt sinus, ardubus suis proportionales ἰ adeoque ut arcus P . -''. 3'''. 43''' ad arcum unius minuti, ita erit sinus prius inventus ad stuum arcus unius nuti, qui igitur dabitur L . Dato sinu unius minuti invenietur per prop. et & 4 sinus
duorum minutorum eiusque coimus .
Sa angulus BAC in peripheria circuli exissens biseceturre Is AD, di producatur AC, quoad DE Aois occurrat in F; erit AB NAH. , In quadrilater ABDC per a a. 3 sunt anguli B & AC DD s. aequales duobus rectis DCE DCA per i 3 1 γ , unde erit angulus B F. Quin etiam est angulus E DAC- - per F. I - DAB , & est DC DR ; quare triangula BAD & GED sunt congrua , & UE est aequalis AB. Q E. D. PROP.
617쪽
duoeum minutorum,sinus omnes reliqpi sic facillime habentur. Dic tur solii .us arcus unjρδ. mino i , hoc est . sivus arcus
Sin, i ' Sin, 3 ; quare dabitur imus 3 . Item K : 2 Q:: Σ, .3': λ Σ' S, si'; quase d bitur 8, 4' . . Item R: et Q :: S, 4 : S, c-S, 3'; quare habetur unus 3 .R: a Q::S; FhS, 6'--S.s; prbinde dabitur S. 6'. Atque ita deinceps ad singula quadcsiniis minuta dabuntur sinus. Et quoniam radius leu primus analdgiae .lerminus eli unitaS , ope rationes per multi plicationem contractam dc lubducti nem facillime expediuntur' Iuventis linubus lasque ad gradum sexagcsimum , reliqui sinus per solam addi ii Ohem h nior per cos. I pr. J γ. Datis finubus. tangentes & secantes ex analogiis sequen-
618쪽
Magnus ille Geometra, summusque Philaophus Dominus Nevn nus primus feries in infinitum convergenter exhibuit , quibus , ex datis arcubus, eorum sinus computari possu. Nim sarcus dicatur A , er radius fit unitas , invenit , dat senum fore
Hae series initio quadrantis , cum arcus A parvus est , e Ierrime convergunt. Nam in serie pro snu, s A non superet decem minuta, duo primi ejus termini, sess. Α - i A dant statim ad IF figurarum loca , si arcus Α non m ire si gradu , tres primi exhibent senum ad totidem Ioea , adeoque pro primis θ' ulti is quadrantis sinubus hae s
ries sunt admodum utiles . Sed quo majσr fit arcus Α , es pluribus opus es terminis , ur inveniatur senus in numeris , qui sunt veri ad datum figurarum locum . Tandem autem lentissime convergunt series , cum arcus fere aequalis es radio . Cui rei ut remedium adferatur, ego alias excri ravi series Nevutonianis similes , in quibus suppono , arcum, cujuc senus quaeritum , esse summam veI disserentiam dum rum a cuum , scit. esse Ar vel A - a , notosque esse, senum ct cinnum areus A . I. sit a senus arcus Λ, b ejus cosnus . dinus arcus A Z per hanc Ieriem exprimetur
619쪽
cuae series aequalis est dupla snus arcus medii dicio in sinum verjum arcus Z, ct celerrime convergit. Adeo ut
620쪽
In his itaque proportionalibus si dantur tres quaelibet, per Regiamn Trium invenietur quarta .
TrianguIi plani latera sunt, ut senus angulorum oppositorum. Trianguli circulo inscripti latera perpendicularibus radiis bi- . TAB. 1. secentur , & erunt semilatera sinus angulorum ad periphe-yriam . Est enim angulus BDC ad' centru duplex anguli BACad peripheriam cper to El. 3 ); cujusque itaque dimidium , st. BD E aequale eli BAC, atque eius sinus eli BE . Eadenta ratione erit B F sinus anguli BCΛ , & Α G erit sinus anguli ABC. In triantulo rectangulo est BDm BCm radio per 3I Id. io. El. 3 ; sed radius est sinus anguli recti unde 3 B C est stinus anguli A. In triangulo amblygonio , ductis B L, CL, erit angulus L complementum anguli A ad duos rectos per 22 El. 3), ac proinde idem erit utriusque anguli sinus. Est autem BDE cuius sinus est BE in m angulo L; quare erit & ΒΕ sinus anguli
BAC. Sunt itaque in omni triangulo semisses laterum sinus angulorum oppositorum: manifestum autem est, latera esse i ter se, ut ipsorum lemisses . E. D. ,
In triantula plano summa erurum , disserentia erurum, tangens femifummae angularum ad basem, di tangens semi-d erentiae eorundem sunt proportionaleS .
Sit triangulum ABC, cuius crura AB, BC, & basis AC; pro- TAB. a. ducatur AB ad H, ut siu BH α BC; erit AH summa crurum ; fiat BI BA ,& erit IH differentia crurum . Item est HBC angulus angulis A X ACB per 32 El. I , cujus itaque dimidium EB Cm semisummae angulorum A & ACB, ejusque rangens potito radio m EB est Ε C. Ducatur BD ad AC