장음표시 사용
631쪽
ergo & aequiangula , quare & ipsa sunt aequilatera per Prop.r partem secundam P . . t . PROP. XVI. - Trianguli tres anguli sunt majores duobus resis minores sex rectis. TAB. I. Nam tres mensurae angulorum G, H, D una cum tribus late- ribus trianguli XNM faciunt tres semicirculos per I hujus :sed tria latera triauguli XNM minora sunt duobus semicirculis per II hujus ; quare tres mensurae angulorum GHD majores sunt semicirculo , & proinde anguli G, H, D. majores erunt
Propositionis secunda pars patet, nam in quolibet triangulo externi & interni anguli timui tantum faciunt sex rectos ;unde interni sunt minores quam sex recti. PRO P. XVII. P
TΑΡ .i si a puncto R, quod circuli AFBE potus non est, in circumferen-
fg. 6. riauc eadant arcus maximorum circulorum RA, R B, RG. RV, maximus in R A , qui per ejus poIum C incedit ;reliquus υers minimus', caeteri, prout a maximo recedunt, minores sunt, faciuntque cum priore circulo iAFB angulum sit iam ex parte maximi arcus. . 'Quia C est polus circuli AFB , erunt CD, & huic parallela RS perpendiculares ad planum AFB. Ductis autem SA, S G, SV, erit per El. 3 SΑ major quam S G , & SG major quam SV. Unde in triangulis rectangulis planis RSA, RS G, RSV erunt RS' - - SA', seu RA' majora quam RS'--SG', seu RG & proinde R A major erit RG : &arcus RA major arcu RG. Similiter erunt RS'--S seu RG majora quam RS' SV . , seu RV' proinde RG major RU, & arcus RG major arcu RU .
632쪽
E L E M E N Τ A: s37. et . Est angulus R G A major angulo C G A, qui rectus est per corol. Prop. 3 , & angulus RV A major angulo CV A, qui quoque rectus est; quare anguli RGA, RVA sunt obtusi. PROP. XVIII.
In tria uti rectangulo ad A crura angulum rectum continentia TAB si . Dup ejusdem assi Etionis cum angulisoppositis, hocest, scrura D. sent majora, aut minora quadrantibus, anguli tuis opposts erunt majores , aut minores re iis angulis .
Nam si AC sit quadrans, C erit polus circuli AFB, & an, guli AG C, vel AVC erunt recti. Si crus AR sit majus quadrante, erit angulus AGR major recto per II hujus . Si crus sit minus quadrante, ut A X, angulus AG X erit minor recto. PROP. XIX. i. Si duo erura trianguli rectanguli ct eonsequenter anguli sint ejusdem assectionis, id est, utrumque vel majus, υAminus quadrante, Θpotenufa erit minor quadranse. In triangulo ARV, vel BRV sit F polus cruris AR, & erit TAB. 43.
RF quadrans , qui major est quam RV per i 7 hujus.
PROP. XX. Sisiat diversae assectionis , hποtenuis erit
Nam in triangulo ARG, est RG maior quam RF, qui est
quadrans. sPROP. XXI. . . . a i
, Si θροtreusa si major , vel minor quadrante , crura ' , 'anguli re ii , ideoque o angu/i oppositi sinu huj cm , aut diversae assectionis l
633쪽
Haec propositio est priorum conversa , & facile ex iisdem sequitur
ejusdem assectionis, perpendicularis A P cadet intra . . langulum *Fsent diversa affectionis, perpendicularis cadet extra triangulam In primo casu, si perpendicularis non cadat intra, cadet extra triangulum cui in fig 11 Tum in triangulo ABΡ est AP eiusdem amistionis cum angulo B: & simillier in triangulo ACP est ΑΡ eiusdem affectionis cum angulo ΑCP; ergo um ABC, & ACΡ sunt ejusdem assectionis , erunt anguli ABC,& ACR diversae, affectionis: quod est contra hypothesim . In ado casta si perpendicularis non cadat extra , cadet intra cui in fig io , , & in triangulo ABP est angulus R eiusdem asse monis cum crure ΑΡ. & similiter in triangulo AC P est
anguli' C ejusdem affieisti ix cum AP. unde anguli B& Clunt eiusdem asseetionis , quod est contra hypothesim . P R o R XXIII
Nam redita CD, EF perpenssiculariter insistenseidem plano sunt paralleladi. Item FR,DΡ radio perpendiculares, sunt Qque Parallatae; unde & plana triangulorum EFR, CD Piunt parallela i per xs El. II et quare & CP, ER horum planorum communes laetiones cum plano per BE, Co transe- in te Parallelae erunt per Is El. II Triangula igitur CDP, Fin an angula erunt. Quare CP sinus Hypotenulae BC ea ad CD sinuin arcus perpendicularis C A, ut ER sinus Hypo-wausae in ea ad EF sinum arcus perpendicularis EH. Q Κ.in PROH
634쪽
Iisdem positis, Ac , HX Rin basiam tangentibus M, GH TAB i. arcuum perpendicularium sunt proportionales. R Nam similiter, ut in praecedente propositione, ostendetur, 'triangula QAI, KHG esse aequiangula; unde QA: AIrrΚH: HG.
In tria uti ABC rectangula ad A, ut eo laus angati Beri- sentis ad basim BA iasinum anguli vertissis ACB , ita eo laus arcus perpendicularis ad radium. , Praeparatio. Producantur latera BA, BC, CA ita, ut BE, TAB. i. BF , CI, CH sint quadrantes. Polis B & C ducantur circuli fit. ai. maximi EFDG,IHG, & erunt anguli ad EFI,& H resti. Quare D est polus BAE per cor. et pr. et huius , & G polus IFCB, erit etiam AE Complemento arcus BA; item FE mensura anguli Bra GD, di DF eorum complementum; erit quoque BC FI mensurae anguli G, & CF eorum complementum. Item est CΑ--. & DC utriusque complementum. Hisce praemissis, in triangulis inC, DCF rectangulis ad I, & F, &nabentibus eundem angulum C acutum , ob BA minorem quadrante, erit S, DF: S, HIrr S, DC : S, HC, id est , sinus anguli B est ad sinum anguli verticalis BCA, ut cosinusCΛ ad radium. Q. E. D.
Nim in trian lis AED, C F D rectangulis ad Ε, &F,
habentibus eundem angulum D acutum , ob AB quadrante R. . .
635쪽
ue o TRIGONO METRIAE SPHAERI CAE
. S, baseos: R :: T, perpendieularis: ri anguli . t . ad hasim . TAB 43 Nam in triangulis B AC, BEF rectangulis ad A, & E, &habentibus eundem angulum B acutum , Ob BC minorem
quadrante , S, BA : S, BE T, AC : T, EF Q. E. D. P R O P. XXVIII.
. - si habentibus eundem angulum G acutum, oti H D minorem HG, seu quadrante, est S, GH: S, GI:: T. Hia: T, I F. . P R o P. XXIX. . . .
Radius t eos, poten e :: I , anguli verticalis: cori anguli ad basem: T6v ε In triangulis HIC, D F C rectangulis ad I, &F, de habentibus eundem angulum C acutum, ob DF minorem quadrante, est S, CI: S, CF :: T, HI: T, DF; boc est, R: coS, B C :: T, C: coT, anguli B. . Ropositiones sex praecedentes ad omnes casus triangulo rum rectangulorum resolvendos sufficiunt: sequuntur illi numero sexdecim cum suis analogiis ex hisce deductis,
636쪽
etionis, nec quadrantes, erit BC minor quadrante; si diversae, erit per 26,& iss
BA, BC, A C. cos, BA: R :: cG, BC: coS, C A. Si BC sit major, aut minor qua drante, BA & CAerunt ejusdem, aut diversae afleetionis; sed datur BA, ejusque species; ergo.
R : coS, C :: T, BC: Τ, CA. Si BC sit major, aut minor quadrante,anguli C,& B sunt eiusdem,aut diverse assectionis . Quare data specie ang. B, dabitur AC.
637쪽
s et TRIGONO METRIAE SPHAERICAE
l ij ustrit major, aut minor qua-iar drante, CA, & BA, & proindet anguli erum ejusdem, aut di ver-1ae affectionis; sed datur species A, ergo dabitur species anguli l
inguli B,&Cesasdem,aut dive ' I9, 2 lae afleetionis fuerint, erit BC mi- Dor, aut maior quadrante. l
BC fuerit minor, aut major qua- 2Idrante, anguli C,&Berunteiuniciem, aut diversae assectionis. Sed datur species anguli C, quare dat bitur species anguli B. De resiautione triangularum rectangularum spharis rum , per quinque partex circi are .
PSrpensis Analogiis , quibus triangula sphaerica rectari
638쪽
comprehendentia, hypotenuis autem, & reliquorum angulorum complementa, vocavit Neperus partes circulares. Et cumdatae sunt duae quaelibet partes , & quaeritur tertia , harum trium una , quae dicitur pars media , vel adjacet duabus reliquis partibus , quae itaque vocantur extremae adjacentes, vel neutri adjacet, in quo calu , dicuntur extremae oppostae . Sic si complementum anguli B ponatur pars media , crus AB di si complementum hypotenusae BC sunt partes extremae adja- Centes; at complementum anguli C, & latus AC sunt extremae oppositae. Item posito complemento hypotenulae BC Parte media , complementa angulorum B, & C sunt extremae adjacentes; & AB, AC crura sunt extremae oppositae . sic etiam polito crure AB parte media, Complementum anguli B, & ΑC sunt extremae adjacentes ; nam angulus reictus Λ non intercipit adjacentiam , quia non est pars circularis . At eidem parti mediae complementum anguli C , &complementum hypoteuuta B C sunt extremae Oppositae .
Hisce praemissis REGULA PRIMA.
In triangula rectangulo sphaeriso rectangulam sub radio ict sinu partis mediae aequais est reciangula sub
tangentibus partium adjacentium.
Rectangulum sub radio di sinu partis media aequati est rectangulo sub cosnubus partium oppostarum. Utriusque regulae tres sunt casus . Nam Pars media , Vel potest esse complementum anguli B vel C, vel complementum hypotenulae B C , vel denique unum ex cruribus, scit A B vel Λ C. . Casus I. Sit complementum anguli C pars media. Et IAR. 3. erunt AC , & complementum hypotenusae BC extremae adiacentes. Per pr. 28 est ut cosinus anguli verticalis C ad radium, ita tangens C A ad tangentem hypotenusae BC;
639쪽
coli nubus extremarum Oppositarum .
Casus a. Sit complementum hypotenusae BC pars media ,& complementa angulorum B & C erunt extremae adjacen
radius duetus in sinum partis mediae aequatur producto ex tam gentibus partium adjacentium extremarum .
Itaque in omni casu refiangulum sub radio de sinu partis mediae aequale erit ta in rectangulo sub cosi nubus extremarum oppo- Duili od by Gomla
640쪽
oppositarum , quam rectangulo sub tangentibus extremarum adjacentium . Et proinde , si aequationes illae resolvantur in Analogias per Is Elem. 6 ope regulae proportionis , par tes ignotae innotescent. Et si pars quaesita sit media , primus Azalogiae terminus erit radius, secundum , & tertium Occu PAnt locum tangentes, vel cosinus partium extremarum . Si Vero quaeratur extremarum una , Analogia incipi debet cum altera, atque . radius, sinusque partis mediae in mediis ponantur locis , ut quartum teneat parS quaesita .
IN triangulis splia ricis obliquangulis BCD , demita arcu TAB. M. perpendiculari AC ab angulo C in basim BD pro- .sis ductam si opus fuerit , ut duo fiant triangula BAC, DACrectangula ; eorum ope resolvi possunt plerique casus triangulorum obliquangulorum .
CV-s angulorum B 'D ad basim BDs usus angulorum TAB. M. verticalium BCA, D sunt proportionales. Ag, 3. 3.
cisnus laterum BC , DC sunt proportionales eo latibus basium BA , DA .
Sinus basum BA, DA sunt in reciproca proportione ΤAB. rangentium angulorum B D ad basim BD- D. 1 a.