장음표시 사용
621쪽
differentiam crurum, ut EC, tangens semissis sui rimae angui rum ad basim , ad ED tangentem semissis differentiae eorun-dem . Q. E. D.
P R O P. XIV. . In triangula plano basis , summa laterum , de
rentia laterum , disserentia segmentorum basis sunt proportionales .
TAB. i. Trianguli BCD basis esto DC. Centro B, radio BC descri- ' batur circulus , & producatur DB in G ex puncto B in basin cadat perpendicularis BE , erit DG α DB κ B si summae laterum, & DH α differentiae laterum, & segmenta b sis sunt DE, CE , quorum differentia est DF. Qitoniam cper cor. prop. 38 El. 3 rectangulum sub DC, DF aequale est re
Datis duarum quarumvis quantitatum Dinvi di dissere ita , ipsas quantitates invenire . TAB. i. Si ad semisummam addatur semidisserentia , aggregatum erit aequale majori; si autem a semisumma subducatur sentidibserentia , residuum erit aequale minori. Sint enim AB, BC duae quantitates, & capiatur ΑDm BC . Fiet DB differentia, quarum summa est AC, quae bisecta in E dat ΑΕ, vel EC ,
624쪽
EC semisummam, & DE vel EB semidisserentiam. Porro est ΑΒ α AE--EB semisummae lemi disserentia, & BC αCE E B α semisum mae semidisserentia. IN quovis triangulo plano datis duobus angulis , datur te tius, qui est summae duorum reliquorum complementum
ad duos rectos . e In triangulo autem rectangulo, dato alterutro angulo acuto , datur reliquus, qui est dati complementum ad rectum . Datis autem duobus tria si rectanguli lateribus, ut inveniatur reliquum ,1 non opu* ei, canone, sed perficitur, Ope
Trianguli rectanguli muti es Trigono trica sunt , quae selaeuntur .
Anguli. AB : BC :: R: T, anguli A, cuius complementum est angulus C. Anguli.
625쪽
AC.Datis duobus angulis,datur tertiui;unde casus,cum dantur duo anguli & latus, reliqua quaeruntur, re-eldit in hunc casum.
trin: AC.Unde datis angulis,invenire licet proportiones laterum, at non tela latera, nili ipsorum unumptius innotescat.
AB 1 BC : S, C : S, A, qui proinde inveniatur. Sed quia idem eminus angustu &-complementi ad duos rectos , praeposcenda est anguli L species . . A CT A Ba -- AB::
4Ifierentia angulorum A&C, qu , rum summa quoque est nota ; &l proinde per Problema pose prop. 14 dabuntur ira anguli. Demisso a vertice'in basim perpem diculo o quaerantur segmenta basis per prop. 14. Fiat scit. BC: AC - ΑΒ::ΑC -AB: DB,&ex hac analogia dabuntur BD,DC;& proinde per resolutionem trian i gulorum rectangulorum A B D , t X DC dabuntur anguli. TRI-
626쪽
ficie sphaerae , .a quo Omnes restae lineae ad circuli Circumferentiam tendentes sunt inter se aequales. 3. Circulus in sphaera maximus est, cuius planum transit Per sphaerae centrum , & cujus centrum idem est cum centro
q. Triangulum sphaericum est figura compraehensa sub a Cubus trium maximorum in sphaera circulorum . . An gulus sphaericus est is , qui in superficie sphaerica comtinetur sub duobus arcubus mavi morum circulorum ; qui a qualis est inclinationi planorum illorum circulorum.
circuli maximi ACB , Ara se bifariam secant
Cum enim circuli habeant idem centrum,communis eorum stetio erit utriusqne circuli diameter , quae eos bifariam secabit. Gr. Hinc in superficie sphaerae , duo maximorum circulorum arcus semicirculis minores spatium non comptaehemdunt; non enim possunt, nis in duobus punctis semicirculo oppositis, sibi invicem occurrere .
627쪽
13a TRIGONOMETRIAE SPHAERICAEP R O P. II.
TAB. i. Si a polo C eirevit e urvis AFB ducatur . ejus centrum' si rectam, ea ad Fanum istius circuli perpendicularis erit. In eirculo. AFB ducantur diametri quaevis EF, GH ; &quoniam in triangulis CDF , CDR sunt CD, DF aequalis CD DR . dea vis CF aequalis basi CE per defo et ); erit per 4 El. 3 angulus CDF m angulo CDK ; ac proinde .uterque rectus. erit . Similiter demonstrabitur, angulos CD G, CDH esse rectos; unde per 4 EL ri erit CD perpe dicularis ad planum circuli AFE E.D. Cor. I. Circulus maximus distat' a polo suo intervallo qua-dtant,si ; nam tib angulos CDG, CDF rectos, erunt ipsorum mensurae , sc. arcus CG , CF quadrantes .
Gr. a. Circuli maximi per polum alterius circuli transeuntes , cum ipso iaciunt angulos rectos; & vicissim , si cum altero circulo inciunt angulos rectos, transibunt per eo tum alterius istius circuli; nam per rectam DC eos transire , necesse est .
TAB. i. A describatur maximus eἰrculus ECF, aretis CF intemreptus inter AC , AF est mensura anguli CAF oel CBF. Per eorOL I praecedentis , sunt arcus ΑC , AF quadra
tes, ac proinde anguli ADC , ADT sunt recti; quare pet' defin. 6 El. ix angulus CDF cuius mensura est arcus CF aequalis est inclinationi planorum ACB , AFB , aequalis quoque angulo sphaerico CAF , vel CBF . Ε.D. Cor. r. Si arcus A C , AF sunt quadrantes , erit A polus circuli per puncta C, & F transeuntis; est enim AD ad planum FDC normalis, per si El. ii
Cor. 2. Anguli ad verticem sunt aequales, uterque enim est aequalis inclinationi circulorum . Item anguli, qui sunt deinceps. sunt aequales duobus rectis.
628쪽
Triangula erunt aequalia di congrua, s duo latera habeant duobus lateribus 'oequalia, ct angulos aequalibus lateribus comprehengos etiam αquales.
Item triangula erunt aequalia ct congrua, s latus eum a gulis adjacentibus in uno triangulast aequale latericum angulis adjacentibus in altero triangulo.
viangula aquilararq sunt etiam aequianguIa. P R O P. VII. In trianguIis i selibus anguli ad basem sunt aequales. P. R O P. VIII. Si anguli ad basim fuerint aequales, erit trianguIumi sceler. Eodem modo demonstrantur quatuor propositiones Prae cedentes, ut in triangulis planis. P R O P. IX. - Qualibet di is trianguIi Iatera reIiquo sunt majora ;Nam arcus circuli maximi, inter duo quaelibet in super. cie sphaerae puncta , est via brevissima . P R O R X. . . Quodlib/t trianguli latus minus es semicircula . . Producantur trianguli ABC latera AC, AB, donec conveniant TAB. 43. in D; erit arcus ΛCD semicirculus, qui major est quam M.
Trianguli Iatera sunt erreula minora.
629쪽
ta triangula ABC maior ut gaeus A majori Dreri subrenditur 4
Fiat angulus B A D m angulo B , dc erit A D m B D per 8 hujus ; unde BDCαDΛ--DC, & hi arcus majores sunt quam AC . Elt itaque latus BC , quod subtendit angulum B AC , majus quam AC, quod subtendit angulum B. P R o P. XIII. In quolibet triangula ABC, η Roma erurum AB, B i. mis , cequalis, vel minor semicirculo , infernus angulus ad basem AC erit mallor , aqualis, aut minoir exrrem, o opposito BCD ; ideoque . Iumma angularum A, ACB major erit, aut uayis, ausani ucra binreliis.
Sit primi, AB--BC semicirculo AD; erit BCα BD. anguli BCD, ct D aequales c per 8 hujus : unde di. angulus B C D erit m angulo Α- Sit secundo ΛB--BC major quam ABD; erit BC maior quam BD; unde & angulus D est angulus Α maior erit angulo BCD per aethrius Similiterostenderar, si AB AEC sint simul minores semicirculo, fore angulum A minorem angulo BCD: & quoniam anguli BCD, di BCA sunt i duobus restis, si angulus A sit maior BCD, erunt A, di BCAmaiores duobus rectis . Si Λ 1it m BCD , erant A , de BCA aequales duobus rectis. Si vero A sit minor quam BCD, erunt A, de
BCA minores duobus Tectis. 'Q. E. D. -- ---a is .
630쪽
mema ad semieircular artuum , qui sunt mensima anguloruimD , G, H. Quin etiam mensurae angulorum X, N erunν supplementa ad semicirculos laterum GH, GD , ct HD -
rilis G , H, D describantur maximi circuli X C ATMNO , XΚBN Et quia G est polus circuit XCAM .
erit GV m quadranti per cor I prs,p. 2 γ, & ob H polum circuli TMo, erit HΜ quoque qua trans; quai τ cper Corol. 1 Prom 3 erit Μ polus circuli GH Similiter quia. D est polus circuli X BN , & H polus circuli TMN erunt arcus D N , H N quadrantes ; ac proinde c pec cor. I Prop. 3 N erit polus circuli Et eadem ratione, ONGA, DX quadrantes , erit X polus circuli G D .. Hisce praemissis; Quoniam est N Κ α quadranti c cor. 1 Prop: a. , & X Bα quadrantp, erunt NK--X B, hoc est NX- - ΚΒα duobus. quadrantibus. feci semicirculo; adeoque eli NX supplementum arcus ΚR, seu mensurae anguli H DG, ad semicircuIum ἀ