장음표시 사용
651쪽
lineae pro unitate . assumptae.& lineae a. Sie etiam si per a iamluplicetur, quae prodit non erit trium dimensionum quantitas, seu cubus Geometincus, sed Iinea, quae est quartus terminusin progressiunc Gaeometricae, emus primus fer- minus est I, secundo Nam termini sunt in continua ratione E ad a indice terminis assix ostendunt locum seu dillantiam , quam quisque tenninus ab unitate obtinet v. gr. ae eth ia quinto loco ab unitate, ae in sexto, seu sexto magis ditam ab unitate quam a laa a , qui imi late sequi r unitatem - . . . , A . . Si inter terminos i &a inserar Caedius proportionalis , qui
est , elux index erit I. nam e distantia ab unitate eridi semissis Silantiae a ab unitate , . ad ue pro scribi potest Et si huer a & ae inseratur medius proportionalis ,'riua index erit rI seu inam eius' ditanu erit sesquialtera distan
Si inter x & a inserantur duo medii proporisonalis, horum primus est radix cubica ipsiua a cuius index deiat esse; nam terminus ille uillae ab urviam tertia tantum parte diactantiae ipsius a , adesque radix cubicα scribi debet per M. Hine index ipsius unitatis est ci. nam unitas non dilut h
Eadem series quantitatum Geometrlae proportionalium 'continuari potest utrinque , tam descendendo versi,vsn stram . quam ascendenda versu& i dextram ; ter ini enim
progressione Geometrica . Adeoque cum distantia ipsiusa ab unitate sit . versus dextram , dc positiva seu 2, diis stantia aequalis in contrariam partem,, scit distantia termia
ni - eris negativa seu - 1 , qui erit index termini - , pr
vo itaque strita potest a Similiter. in termino inαα - α ostendis terminum in secundo Ioco in
652쪽
uestate versus sinistram' locari .didemque valet terminus
gitivi ostendunt, terminos, ad ros maei lii partem dise dere contrariam ei, qua ab unitate proginiuntur terminiquorum indices sunt positivl. Hisce praemim ; iSi super linea 'AN utrinque indefinite extensa capiantur AC, CR,' EG, GI, IL dextrorsum .- item AT,&α si istrorsum , omnes intes se aequales e d pundia M. τλὴ Α, C, F, G, I, L erigantur super AN perpendiculares rectae δε α r , AB, CD, EF, GH, IK L M, quae sint om fies continue proportionales, numesosque reprae teri quorum AB sit unitas . Lineae AC, AE, AG . M.AL uendistantias numerorum ab unitate respective exponent: 'sive Iocum&όrdinem, quem quisque fumerus laterie Geometrice proporti natium obtinet, prouti in uilitate dillat Ita AG cum sit tripla rectae AC, erit numeriis GHim tertio ab unitate i
bus aut raucioribἡ conitans lateribus , prout Pures. aut pauciores in progres ne fila rent termini. ι
653쪽
do e d sit primus : & inter AB & ef erunt duo medii pro portionales , inter 'AB Vero & L M eruut novem termini medii proportiones . - Quod si linearum extremitates B , d, D,s F, i G,&c. res tia jungantur, fiet novum polygonum, pluribus quidem at bre moribus const os staterious . . . Si rursus distacitiae 4 C e, o κ &ς. bisecari concipia antur , & inter binos quosque terminos , ad medias illas distantias inseri intellig/ntur medii eroportionales , alia nova
orietur proportionalium ieries terminos ab unitate duplo pi . res contineas quani prior . Teresinorum vero differentiae mi' nores erunt: junctisque terminorum extremitatibus, numerus laterum polygoni augetur secundum numerum terminorm a minora autem erunt latera , odi diminutas terminorum a se- invicem distantias . ' .
Quin in hac nova serie . distantiae AL, AC &c. determinabunt terminorum ordines, seu locos: nempe si sit AL quintuplo major quam A G, i sitque C D quart- ab unitate seriei terminus , erit iL Μ isti iniet termi- vigesimus ab
unitate. ' ' a , . Si se continuo intei hin quosque reatinos inserantur m dii proportionales, fiet, tandem numerus terminorum seriei, sieut & laterum polygoni major quolibet dato numero seu infinitus; latera vero ungula magnitudine diminuta fient quavis data recta linea mioo , ad sue,mulabitur polygonum in figuram curvilineam . Nam quaelibet figura curvilinea considerari potest linquam polygonuni, cujua latera sunt numero infinita , & innitudine minima 4 i , , i Curva sic deleripta dicitur Letarit ira , in qua, si numeri pet rectis ad axem A N normaliter insistentes repraesententur , portio axis inter numerum questi t, & unitatem intercepta, ostendit locum seu ordinem, quem numerus ille obtinet in serie Geometrice proportionalium , & aequalibus intervallis ah invicem distatutum . verbi gratia, si ALMquintuplo major quam AC . sintque abi unitate: ad LM milla ἔermioi continue prsertion les, erum ab unitate ad CD du-
654쪽
centi termini ejusdem seriei, seu erit C D terminus seriei d centesimus ab unitate; & quicunque supponatur numerus terminorum ab M ad LM , erit ilibus numeri pars quinta numerus terminorum ab AB ad CD . . Curva Logarithmica potest etiam concipi duobus motibus describi, quorum unus aequabilis est, alter vero in data quadam ratione acceleratur , vel retardatur : v. gr. si recta A Bsuper AN uniformiter incidat, adeo ut terminus ejus Aaequalibus temporibus amualia spatia describat, interea tamen ita crescat AB , ut aequalibus etiam temporibus incrementa
capiat, quae sint toti lineae crescenti proportionalia , hoc eil , si AB progrediendo in ed , augeatur parte sui ou , & hinc aequali tempore , quando in CD pervenerit, augeatur simili arte D p , quae sit ad . de , ut incrementum G ad AB simi- iter , dum aequali tempore ad es pervenerit, Crescat parte
1D , quae sit ad DC , ut D p ad de , seu ut do ad AB , id eit,
in aequalibus temporibus incrementa facta sint semper totis
Velii linea AB regrediendo in contrari im partem, inconstanti ratione i nuatur , ita ut, di m aequalia spatia, ΛΓ, ΓΠpertransit, decrementa patiaturii' ' - C o, - ΠΣ, quae sint ipsis AB, proportionalia . Lineae sic crescentis aut decrescentis terminus Logarithmicam describet, Nam cum sit AB: dor: de: Dp r: DC: sq, erit componendo ABr de :: M : DB:: DC Ue & ita deincq pS . - - . Per hos duos motus, unum scit. aequabilem , alierum proportioqaliter acceleratum aut retardatum , ipse NeperinxiO- .garithmorum originem exposuit, Logarithmum sinus cujusque arcps Vocavit Numerum , qui quam proxime de sitit tineam, quae equatiter crevit, interea dura sinus rorius linea proporti naliter in sinum illum decrevit. Ex hac Logarithmicae descriptione Constat , numeros Om- 'nes in aequalibus distantiis esse continue proportionales, Quia
etiam patet, quod si sint quatuor numeri AB, CD, IK, LM tales , ut distantia jpter primum & secundum sit aeqvalis di-1 anliae inter tertium dc quartum is qualiscunque sit distantia se
655쪽
secundi a tertio, erunt illi numeri proportionales . Nam quia ditiantiae A C , IL sunt aequales, erit A B ad incrementum D s ut I Κ ad incrementum M T ; unde componendo A B :D C :: I Κ: M L. Et vicissim, si quatuor numeri sint proportionales , erit ditantia inter primum & secundum aequalia distantiae inter tertium, de quartum . . Distantia inter duos quoslibet numeros, dicitur Logarithmus rationis istorum numerorum , & metitur non quidem ipsaa
rationem, sed numerum terminorum in data serie geometrice proportionalium progredientium ab uno numero ad alterum , definitque numerum rationum aequalium , quarum compositione essicitur numerorum ratio .
Si dis lautia inter duos quosvis numeros sit dupla distantiae inller alios duos numeros ratio duorum priorum numerorunia. erit duplicata rationis posteriorum . Sit enim distantia I L inter numeros I Κ, L M dupla distantiae Αe, quae eli inter D meros A B, ed. Bisecta I Lin ι ob Αem Il IL, erit ratio
I K ad I m aequalis rationi Α Bad e d , adeoque ratio I K ad L M , quae est duplicata rationis I K ad I m per de . Io EL ,1 , erit etiam duplicata rationis A B ad e d. Similiter si distantia E L sit tripla distantiae Α C erit ratio E F ad L M triplicata rationis AB ad G D.; nam ob distantiam triplam, triplo plures erunt proportionales ab E Fad L M, quam sunt ejusdem rationis termini ab A B ad C D, At tam ratio E F ad L M , quam ratio A B ad C D componitur ex rationibus aequalibus intermediis c per 3 desis. ELO , adeoque ratio Κ F ad L M ex triplo pluribus rationibus composita triplica erit rationis A B ad C D. Similiter si sit G L distantia quadrupla distantiae Ae, erit ratio G Had L M quadruplicata rationis AB ad e d , & ita dei
Numeri cujuslibet Logarithmus est Logarithmus rationis unitatis ad ipsum numerum , vel est distantia inter unitatem& illum numerum. Logarithmi itaque exponunt dignitatem , locum , seu ordinem , quem quisque numerus obtinet ab unitate in serie geometrice proportionalium . Verbi gratia si ab
656쪽
unitate ad numerum Iolant proportionales numeri Io oooo, hoe est si sit numerus Io in loco Ioo ooo Π0; per computationem invenietur , esse in eadem serie ab unitate usque ada proportionales terminos numero 3o Io 3oo, hoc est numerus binarius stabit in loco 3 oio 3oomo. Similiter ab unitate usque ad 3 , invenientur termini proportionales 477 I 2I3. qui numerus definit locum numeri ternarii. Numeri I ooo oo, 3 oro3-, 771213 erunt Logarithmi numerorum Io, Σ,
cundus terminus γ', tertius '', &c. Cumque Ponitur numerus denarius seriei terminus Io ooo ooo', erit γ raro. Item erit γ ' ' m a. Item y 'm 3, & ita deinceps.
omnes itaque numeri erunt potestates aliquae illius numeri, qui est ab unitate primus , & potestatum indices sunt numerorum Logarithmi. Cum Logarithmi sint distantiae numerorum ab unitate, ut superius ostensum est, erit Logarithmus ipsius unitatis Ο, nam unitas non distat a se ipsa . At fractionum Logarithmi sune negativi, seu infra nihil descendentes, hi enim in contrariam dilaedunt partem, adeoque sit numeri ab unitate proportionaliter crescentes habeant Logarithmos positivos, seu signo A aia Delos , numeri ab unitate umiliter decrescentes , seu fractiones habebunt Logarithmos negati vos , seu signo - ais ictos. Quod verum est quando Logarithmi aestimantur per dista tias numerorum ab unitate . At si initium capiunt Logartihmi non ab unitate integrali, sed ab unitate, quae est in loco aliquo fractionum decimalium,
verbi gratia a fractione ; tunc omnes stactio-
nes haς maiores habebunt Logarithmos positivos, reliquae minores obtinebunt Logarithmos negativos , sed de hac re plura postea dicentur . Cum in numeris continue proportionalibus DC, EF, GH, IK dcc. distantiae CE, EG, GI dec. sint aequales, erunt ho
657쪽
rum numerorum Logarithmi AC, A F, AG, AI &c. arquidi L
ferentes , seu Logarii limorum differentiae erunt aequales. Numerorum itaque proportionalium Logarithmi sunt omnes in progressione Arithmetica . Atque hinc oritur vulgaris illa Logatithmorum definitio , videt. Logarithmi sunt numeri , qui proportionalibus adjuneti aequales servant differentias . In prima quam Neperus edidit Logarithmorum specie, posuit, terminorum proportionalium ab unitate primum, tantum ab unitate dillare, quantum ipse terminus unitatem superabat. h. e, si υ n sit primus seriei terminus ab unitate AB, eius Logarithmum seu diilantiam An veis aequalem esse voluit ipsi υ γ , seu incremento numeri supra unitatem , ut si, sitI, oo ocio I , ejus Logarithmum An ponebat O , ooo o I ,& hinc computatione facta numerus denarius seu Io erit 23o2F8Fu' seriei terminus , qui itaque numerus est Logarithmus denarii in hac Logarithmorum forma, & exprimit ejus distantiam ab unitate in partibus, quarum vel A n est una.
At haec positio omnino arbitraria fuit, potest enim distantia primi termini ad ipsius excessum supra unitatem datam quamvis habere proportionem, & pro varia illa ratione , quae pro arbitrio supponi poteli, esse inter v' & B y, incrementum primi termini supra unitatem & ejusdem ab unitate dista
tiam , diverse provenient Logarithmorum formae. Primam hanc Logarithmorum speciem in aliam magis commodam pollea mutavit Neperus , in qua posuit, numerum denarium non esse a 3or 183 Π seriei terminum , 1ed terminum I Ooooo , inque hac Logarithmorum forma primum incrementum υ' erit ad dii tantiam By vel An, ut uni- tax seu A B ad fractionem decimalem , o, 6342994, qua I AB s itaque exponet longitudinem subtangentis AT IS Poli mortem Neperi, vir summus Dominus Henricus Briygius, immenso labore, Logarithmorum tabulas ad hanc foris mam construxit & edidit . In hisce tabulis cum logarithmus denarii seu ejus dii tantia ab unitate ponitur I , o ooo , sint
tLiant aequidi itantes . Quare numeri ioo Logarithmus erit
658쪽
a, omomo ; millenarii 3, Mooo; & numeri Iomo Logarithmus fiet 4. ooo oo ; dc ita deinceps . Hinc Logarithmi omnium numerorum inter I & Io incipere debent per o , seu debet esse o in primo loco versus sini- liram , sunt enim minores quam Logarithmus numeri Io , cujus initium eii unitas; de Logarithmi numerorum inter io&Ioo unitate incipiunt, sunt enim majores quam I, Coo ἔ& minores quam a , omo o . Item Logarithmi numerorum inter Ioo & Io binario incipiun i, sunt enim majores, quam Logarithmus numeri Ioo , quem incipit et, & minores Lον- rillimo numeri iooo, qui incipit per 3; eodem modo ostendetur, in Logarithmis numerorum in Iooo , & Ioom primam figuram versus finistram debere esse 3; & in Logarithmis numerorum: ab Iomo usque ad Iooooo prima versus simistrana
figura erit 4 , & ita deinceps . Prima cujusque Logarithmi figura versus sinistram dicitur
chara fleristica, seu index; quia ostendit altissimum, seu rem Otissimum locum numeri a loco unitatum: v. gr. Si index IOgarithmi sit I , numeri respondentis altissimus, seu remotissimus versus sinistram ab unitate locus erit locus decadum . Si index a , remotissima numeri respondentis figura erit in secum do ab unitatum loco, hoc , est erit centenariorum aliquis. Et
index Logarithmi denotat, altissimam numeri sui figuram
esse in tertio ab unitatum loco , & inter millenarios locari. Logarit,mi numerorum omnium , qui sunt in progressione decusea, aut subdecupla, characteristici seu indicibus suis tantum disserunt; in reliquis omnibus locis iisdem scribuntur
notis, v. gr. Logarithmi numerorum IT, ITO, ITOO, ITO. . Nam cum sit I ad II, ut Io ad IIo, ut Ioci ad I Toci, ut IOO
659쪽
Sic etiam numeri 6 8. 674, 8. 67, 8. 6, 7 8. Ο, 6748. o, o6 8 sunt continue proportionales, scit. in ratione Ioad. I. Eorum itaque a se invicem
In duobus ultimis Logarithmis indices tantum sunt neg rivi , reliquis figuris positivis manentibus; adeoque cum reliquae figurae addendae sunt, subtrahendi erunt indices , & vi
De Dagarithin rum Arithmetiea , ubi numeri sunt integri, vel integri eum decimalibus adjunctis . .
QVoniam in multiplicatione unitas est ad multiplicatorem, ut multiplicandus ad Noductum, distantia interia unitatem & multiplicatorem aequalis erit distantiae in- .n .. ter multiplicandum & productum; si itaque numerus GH pet . numerum EF esset multiplicandus , distantia inter GH &productum debet esse .aequalis distantiae A Ε , seu Logarithmo multiplicatoris. Si itaque capiatur GL aequalis Λ E , eriti numerus L M produe us 1, hoc est , si ad A G Logarithmum multiplicandi addatur AF Logarithmus multiplicatoris , summa erit Logarithmus produisti. In divisione unitas est ad divisorem . ut quotus ad dividendum ; adeoque dillantia inter divi Brem&unitatem aequalis erit dii antiae inter dividendum & quotum . Sic si L Mper EF esset dividendus ι. erit dillantia E A aequalis distan-- liat inter LM & quotum ; adeoque si capiatur L G aequalis As
660쪽
SA, AG erit quotus; hoc est, si ab AL Logarithmo dividendi auferatur GL seu AE Logarithmus divisoris , restabit AG
Logarithmus quotientis Atque hinc adeo quaecunque operationes in communi rithmetica perficiuntur , multiplicando aut dividendo numeros majores , eae omnes facilius multo , & expeditius fiunt peradditionem aut subductionem Logarithmorum . Sit exempli gratia numerus 738s multiplicandus per 6717. Addendo Logarithmos,ut in margine vid Logarithmus producti, cujus index 7 monstrat, esse in producto septem locos praeter unitatum locu in ; &quaerendo in tabulis Logarithmum hunc , vel proxime aequalem, invenio, numerum respondentem minorem produeto esse 11278ooo; & numerum producto majorem eue FI 279ooo : quin capiendo differentias adjunctas , &parteS proportionales invenio , notas ante- penultimam & penultimam esse 87 , in ultimo autem seu in unitatum loco ne i Iari' erit 3 , ob septies novem σ3 ; adeoque verus productus erit 31278I73. Si index Logarithmi eget 8 vel ' , ultima vel penultima notae obtineri non possunt ex tabulis , ubi Logarithimi tantum constant 7 figurarum locis praeter characteristi eam , ades ne ubi upus eii , tabulae I aequians, in quibus Logarithmi sunt omnes decem notarum , vel Brinianae , in quibus Logarithmi sunt quatuordecim , adeundae
LOR. a. q-o4 8 ris ex Logarii limo dividendi habetur Lo- Log. a. 43i 333 s g3 ittimus qaotientis , cui Logarithmo re- 1 pondet numerus et 8a , 7 is , qui itaque
Cum unitas , numerus quilibet assumptus , eius quadratus, Cubus , biquadratus , &c. sint continue proportionales , eorum a se invicem distantiae aequales erunt. Manifestum itaque est,
quadrati distantiam ab unitate duplam esse distantiae radicis