장음표시 사용
661쪽
ab eadem : distantiam cubi triplam distantiae radicis suae: U- uadrati distantiam esse distantiae radicis suae ab unitate qua-ruplam &c. Adeoque si duplicetur Logarithmus numeri, dabitur Logarithmus quadrati; ii triplicetur , Logarithmus cubi ; si quadruplicetur , prodit Logarithmus hi quadrati. Et vice versa li Logarithmus numeri alicujus bisecetur, habebitur Logarithmus radicis quadratae ejusdem numeri: quin &eiusdem Logarithmi tertia pars erit Logarithmus radicis cubicae , & pars quarta , Logarithmus radicis biquadraticae, di ita deinceps. Hinc radicum omnium extractiones iacillime perficiuntur , secando Logarithmum in tot partes , quot sunt unitates in indice potestatis. Sic ut habeat ut radix quid rata numeris , eius Logarithmi capiatur pars dimidia o , 349483o ; erit hare Logarithmus radicis quadratae numeri F , seu Logatit mus numeri in F, cui repondet numerus Met 36os quam Pro
De Arithmetiea Luarit morum, ubi numeri sunt fractiones. QVotiescunque stactiones per Logarithmos tractandae Heiarint, ad vitandum laborem addendi unam Logarithmi partem, & subducendi alteram, expedit, ut Logarithmi incipiant non ab unitate integrali , sed ab unitate , quae sit ia
cipere . Haec fraetio decies magis dillabit ab unitate versus sinistram, quam numerus io ab eadem dillat versus dexteram ;sunt enim decem termini proportionales in ratione Io ad x
ab unitate usque ad P o . Adcoque sit A B sit unitas , ejus
662쪽
Logarithmus in hac suppositione non erit o, sed erit O A mxo, o oooo. Nam distantia denarii ab unitate est I, oo ooo; unde diitantia numeri Io ab PO erit II, ooo oooo ; item distantia numeri Ioo a PO, seu eius Logarithmus a PO incipiens erit Ia, Oooo O; & numeri iooo Logarii limus seu dista tia a PO erit 13, coo oooo; atque hac ratione Logarithmorum omnium indices augentur numero Io,&fractiones,quorum indices fuerunt- I, aut - 2, aut - 3, &c. fiunt 9, 8, aut γ&c. At si Logarithmi incipiunt a loco fractionis, Cuius numer tor est unitas, denominator unitas centum cistis adjectis quod faciendum est , quoties fraetiones occurrunt minores
quam PO ); illa fractio centies plus distabit ab unitate, quam
Io ab ea distat: adeoque unitatis Logarii limus habebit indicem Ioo. Numeri denarii Logarithmus indicem habebit Io I. Et numeri centenarii Logarithmo congruet index Ioa, & ita
deinceps indices Omnes augemur numero IOO.
Fractionum omnium , quae sunt majores P O a quo initium ducitur , Logarithmi erunt positivi. Et cum numeri
metrica , aequaliter a se invicem dillabunt, & eorum proinde Logarithmi erunt aequi differentes ; adeoque cum Logarithmus denarii sit II , Moooeo; & unitati, Logarithmus sit Io, ocio Oo: erit Logarithmus fractionisήα9, ooooo ; de fractionis i . Logarithmus erit 8 , ooooooo ; & similiter index Logarithmi numeri erit 7. Quin etiam eadem rati ne , si index Logarithmicus unitatis sit roo , & denarii ror ,
erit index Logarithmi fractionis ; sy , & fractionis index Logarithmi erii s8 ; & fractionis ci index Logarithmicus erit 97 &c. Hi indiees ollendunt in quo loco ad unitate prima tractionis figura, quae citra non sit, ponenda fuerit . v. gr. Si index sit 4 , ejus differentia ab indice unitatis , quae eii Io , scit. 6, Oilendit, primam decimalis figuram significativam esse in 6 ' ab unitate loco ; ergo quinque cistae verius sinistram ei praeponendae sunt . Ita si unitaris index sit ioo, & fraetionis index sit 8o , erit prima ejus figura in vigesimo ab unitate loco, se ii Ist cistae praeponendae
663쪽
Sit iam fractio G H per fractionem D C multipficanda
uia unitas est ad multiplicatorem, ut multiplicandus ad productum : erit dillantia inter unitatem & multiplicatorem aequalis distantiae inter multiplicandum & productum . Quare si capiatur G I α Α C, ad I erit productus I K . Et proinde sit ab O G Logarithmo multiplicandi auferatur G I,vel A C , rei labit OI Logarithmus producti. Eil vero AC ra OA -OC, quae ablata ab O G reliquet OG --OC - Ο Α m OI, hoc eli, si stimul addantur Logirithmi multiplicatoris & multiplicandi , dc E summa auferatur Logarithmus unitatis qui
semper scribi iur per Io aut Ioo cum ei fris , habebitur L garithmus producti. ex. gr. Sit fractio decimalis o , ω734 per stantionem o, Coo876 multiplicanda; pono , unitatis indicem Logarithmicum esse Ioo , & fraetionum Logarithmerunt, ut in margine,qui additi,& reiecto Logarithmo unitatis, dant Logarithmum produ- 97, et i, cujus index s ollendit, primam producti s6 , 9 2FOq1 figuram ei se in texto ab unitate loco . Quin--8o8roo aque itaque cistae praeponendae sunt , & pro- 'ductus erit, O So 298 In divisione , divisor est ad unitatem , ut dividendus ad quotum ,& proinde dillantia inter divisorem & unitatem . aequalis erit dillantiae inter dividendum & quotum . Itaqu
si ita filo I Κ dividenda esset per DC , capienda erit IGMCA, & Iocus quoti erit G . Eit vero CA α ΟΛ m OC , quae ad j I addita fic OA - - ΟΙ - OC - OG, hoe est, si addatur
Logarithmus unitatis ad Logarithmum dividendi , & a summa auferatur Logarithmus divi loris,restabit Logarithmus quotientis ; silc si numerus CD per IΚ esset dividendus , capienda erit dii tantia C S IA , & erir S T quotiens ; cujus LoRarithmus eli OA---OC - OI. Sit CD o, 347, IK o, o 78. Ad Logarithmum ipsius CD ad datur Logarii, mus unitatis , hoc eii , ejus indici praeponatur 19 , 14o329 I aut Io , & ex eo lubducatur Logarithmus di- 7, 679 27svisoris, reliabit Logarithmus quotientis, cujus II , 86 οἷσ
664쪽
ros, qui sunt a Io ad Ioo: quaero itaque numerum Logarithmo respondentem, quem invenio et se Ii, q9. Si fractionis vulgaris , verbi gr. οῦ Logarithmus desideretur , ad Logarithmum nn meri 7 addatur Logarithmus Io, 843o98o unitatis , vel quod idem eii 3 ejus indici prae- o, so329ooponatur I aut Io, & subducatur ab eo Logarii b 9, 41 8omus denominatoris 8, rellabii Logarithmus iraelionis :, vel fractionis decimalis , 87F. , Ut fractionis cujuslibet D C potellates habeantur , Capiendae sunt CE, EG, GI , t L singulae aequales A C, & F. Ferit quadratus , GH Cubus , IK biquadratus numeri DC ;
sunt enim ab unitate continue proportionales . Eli praeterea
AE m et AC m et OA - 2OC; unde OE α OR- ΑΕ ma OC OA , hoc eli Logarithmus quadrati est duplus Logarithmi radicis , minus Logarii limo unitatis. Similiter ob AG αχAC 3OA -3OC, erit OG α OA--AGα3OC-2OA Logarithmo cubi m triplo Logarithmi lateris minus duplo Logarithmi unitatis. Eadem ratione, quia AI m 4 ACm4OA OC , erit OI OC - 3OA , qui-Logarithmus hi- quadrati. Et universaliter fractionis potestas siu n , Logarithmus L , erit Logarithmus potet latis n m n L - n OA - - Ο Α:hoc es , multiplicando Logarithmum fractionis pcr n , & Eproducto abiiciendo Logarithmum unitatis multiplicatum pern I, habebitur Logarithmus potestatis n ejusdem stadii
Ex. gr. sit fractio F oy, cuius quaeratur potestas huius fractionis Logarithmus est 3, 69897oo, qui multiplicatus per ε du numerum set, I9382- , &ex Iet ablato numero FO, qui est index Logarithmi unitatis in s ductus , restabit Logarithmus potestatis 5 κ, scit. 2, I9382oo, cui respondet numeruso Coo O, II 623: nam index et Oilendit,leptem cyphras primae figurae praeponendas esse.
Si fractionis os potestas octava desideretur . multiplicando Logarithmum per 8, prodit 69, J9I 6oo, at cum CL nu mero os auferri non poteli Io qui eli septies itidex Logarithmi unitatis, quin in numeros negati vos deveniatur, Fono, indi-
665쪽
cem Logarithmi unitatis esse Im;& index Logarithmicus iractionis erit 98. Hic Logarithmus in 8 duetus dat 789, 19I76oo ;& ex numero 789 rejecto numero 7oo , qui utpote cum cistis annexis et septies Logarithmus unitatis , restabit 8s ,191 6oo Logarithmus potestatis 8 π fractionis , cui congruens numerus est Coo ooo 39O62 : nam cum index sit 8s , & ejus disserentia ab Ioo est ii ; figura prima stactionis significativa erit in undecimo ab unitale loco , adeoque decem
Si in fractionibus , radices potestatum desiderentur ; v. gr. fractionis E F quaeratur radix quadrata ; quoniam radix est media proportionalis inter fractionem & unitatem; bisect A E in C . erit C D radix quadrata fractisnis E F. Est OA -OEvero AC m I A E m ; adeoque o C Logarithmus OA-OR radicis C A A C - . Si fractionis G H radix cubica quaeratur ; radix illa erit prima duarum mediarum proportionalium inter unitatem & G H : secetur itaque A Gin tres partes aequales, quarum prima sit A C ; erit C D radix Ο Α-O Gqua sita; & quoniam est A C - AG - . - - , si haec subducatur ad OA , restabit.
-- OC, scit. Logarithmo radicis cubicae stactionis G H. Sic etiam fractionis IK radix biquadratica habetur , secando AI in quatuor partes aequales. Nam radix est prima trium mediarum proportionalium inter unitatem & fractionem . Sit itaque Α C in
666쪽
Universaliter si fractionis L M desideretur radix potestatis
si indici Logarithmico fractionis praeponatur numerus n- I,& Logarithmus sic audius dividatur per n, quotus dabit Lo-gaiit fimum radicis quaelitae. Sic si quaeratur radix cubica fra- Aionis : sive 1, hujus Logarithmo praeponatur a m n - I, quia radix cubica desideratur , fiet 29 , 69897- , cuius numeri triens est y, 8996166 aequalis Logarithmo radicis cubicae fra-elionis I, & congruens Logarithmo numerus es 7937, qui erit radix quaesita.
. De regula proportionis , seu aurea Logarithmica . DAtis tribus numeris, qua ratione quartus proportionalis inveniendus sit, nos docet proportionis regula ; scit. termini secundus& tertius in se invicem ducendi sunt ,.& productus dividendus est per primum ; qui prodit quotus exhibebit quartum terminum proportionalem quaesitum . At Per Logarithmos minore labore hapetur ille quartus; nam si e summa Logarithmorum secundi & tertii auferatur Logarithmus primi, qui restat, numerus est Logarithmus quarti pr I rtionalis . Quin etiam & hic labor minui aliquantulum potest, si loco Logarithmi primi capiatur ejus complementum arithmeticum , seu differentia Logarithmi a numero Io oo Coo, &obtinetur, si pro singulis Logarithmi figuris scribantur earum differentiae a s. Complementum hoc arithmeticiam cum reliquis duobus Logarithmis in unam summam conjiciatur, de asumma unitatis nota in primo versus sinistram loco sita abiiciatur ; restabit Logarithmus quarti termini quaesiti; atque
hoc modo per unicam numerorum trium additionem invenitur Disiti od by Gorale
667쪽
tur Logarithmus termini quaesiui. Hujus rei causa hinc pate- hit. Sint tres numeri A, B, C, & e summa secundi & tertii subducendus est primus; non tantum operatio communi modo perficitur, sed etiam si assumatur numerus quivis E , &abeo auferatur A, restabit E A. Si numeri B, C,&E - Ain unam summam addantur, & ε summa trium rejiciatur E; restabit B -C - A. Sic si subducendus est numerus I 8s ex 23, capio numeri II Complementum ad Ioo , quod 23 eit 81; hunc numerum addo ad 23 , & summa fit Io8, 8 ex quo sublato ioo restabit numerus 8. Sequuntur exempla Trigonometrica regulae propo tionis per L garithmos soluta . TAB M. Sit triangulum ABC rectilineum , in quo dantur angulus
quaeritur latus A C. Fiat per eas. I. trigon. planae sbnus ang Α ad sinum ang. B, ut BC ad AC. Et quia Arith. com p. L, S, B. O. 2128938 sinus Log anguli A est pri- Log. Sin. B. mus analogiae terminus, eius Log. BC. 3. 4 329 svlae substituo complemen- Log. AC. i 3.7393888
tum arithmeticum eiusdem,& addo Log. BC, Log. S, B, & praediistum complementum in unam summam , & h summa reiecta unitate , quae eli in primo versus sinistram loco , dabitur Logarithmis lateris AC, cui congruens numerus est 17o6, 3os aequalis Λ C l
TARM. Si triangulum sphaericum A B C, in quo dantur omnia Μ ν Iatera, scit. BCα3o grad., ΛΒα 24 gr. 4', & ΑCα42 gr. 8 Quaeritur angulus B. Hoducatur BR ad M, ut sit B M α BC; erit ΑΜ differentia laterum BC, B A aequalis 3 gr. 36'. Pcr I. in triangulis obliquangulis sphaericis . Fiat ut rectangulum sub sinubus crurum AB, BC ad quadratum radii, ita AC. AM AC -ΑM rectangulum sub sinubus arcuum ad
668쪽
sinus arcuum AB, BC subducerentur a)ogarith. radii, vel ε . si horum sinuum ca- Log. S, BC com p. Arith. o. 3oIo29' piantur complemen- Log. S, AB com p. Arith. : o. et 898 6 ta arithm etica , atq; . ΛC AM ' . . complementa illa &Log. S . s. 6o98so3 praedicti sinus in .
r De proportisnalium quantitatum 'continuis incrementis , et de modo inveniendi per Og rithmos terminum quemlibet in serie proportionalium se crescente , sis . decrescιnre. I in axe Logarithmicae ubivis capiantur partes quot VO- ΤΑΒ at
669쪽
M. erigatur perpendicularis S T , VX, YZ, Q. V &e. ex
natura Curvae , erunt Omnes continuh proportionales, quin etiam continua incrementa Xx Z et Π erunt totis propor
Fiat ut ST ad VX, ita ΑΒ unitas ad N R; erit A Ni SU; adeoque rectae SV, UY, Y a&c. erunt singulae aequales Logarithmo ipsius RN & AV Logarithmus termini V X erit aequalis AS -- AN α Logarithmo ipsius S T. -- Lo- 'garithmo ipsius N R. Item Α Y Logarithmus termini X Zaequalis erit AS a AN Log. ST 2Log. NR, & A Logarithmus termini Q. '' aequalis erit AS 3 AN m Log. ST -- 3 Log. NR . Et universaliter si Logarithmas numeri N R. multiplicetur per numerum , qui exprimit termini cujusvis distantiam a termino primo, & productus addatur Logarithmo termini primi, dabitur Logarithmus istius termini. At si series proportionalium sit decrescens , seu si termini in
Continua ratione minuantur, & Q. Π sit primus , habebitur Logarithmus alterius cujusvis termini, multiplicando Logarithmuni numeri NR per numerum, qui exponit ejus termini
dillantiam a primo, & subducendo productum E Logarithmo primi. Quod si productus ille sit major Logarithmo primirermini, initio ab unitate ducto F in eo casu ponendi sunt L garithmi incipere ab unitate in 'aliquo fractionum decima Mum loco detrusa ; verbi gratia , ab O P : ita Logarithmus numeri Q. Π erit O . Exponat jam LM quamvis pecuniam , seu pecuniae summam credjtore laesori elocatam, ea lege, ut singulis annis usura annua sorti annumeretur , & finito primo anno sit usura seu lucrum Κ& IK aggregatum Iortis & lucri pariat