장음표시 사용
672쪽
usuram Hb , qvie sit ipsi IK proportionalis , seu in ratione constanti. Haec usura H h finito anno secundo sorti accedat , & sors ea sit GH , quae ad finem anni tertii pariat usuram Ff im GH proporitonalem . Ponamus sortem singulis annis augeri parte sui vicesima c. , adeoque erit I Κ αLM -- L M, GH md Κ LIΚ, EF α GH - - GH, &'ita deinceps. Erunt proinde termini L M, IK, GH, EF &c.
Continue proportionales. Quaeritur quantum audia fuerit pecunia ad finem quorumlibet annorum .
Sit L M semibolus , Anglice Marthing. Ob LM ad IK , ut et ad r-ή ς vel ut i ad I oy, ut A B ad N R, erit
NRi I, o F, cujus Logartihmusi AN est O, a I vel magiS a urate o, Cara 892s9I - aeritur quantum lucri accedat semiobolo , qui sexcentis annis kenori expositus est. Murutiplicetur AN per oo; productus erit let, II 3J794. Huic pro ducto addatur Logarithmus fruetionis , , nempe 97,o177288 nam eli sem holus pars librae 3. Summa 3 9, 73 3U8a erit Logarithmus numeri quaesiti, cumque index Ios superet indicem unitatis novenario seu 9, erunt in numero rei pondente novem figurarum, loca supta iocum unitatum , & numerus ille in tabulis quaesitus . in eni'ur major , quam 3386smmo, & minor quam 1 3866--o. Unus itaque semi Lolus foenori datus . finiti si sexceolis annis, pariet libras Anglicanas plures quam 33863o oo ; cui summae sol vendae vix par erit omnis illa Auri , Argentique copia , quae ab ipsa rerum origine ad hunc usque diem ex terrarum visce
Exponat Π quamvis pecuniae sues mam,quam post exaelum integrum annum debitor creditori solvere tenetur , sed sine usura. Certum est , si debitor nunc totam solveret, illum amissurum ius, quod habet in usuram annuam, quae ex pecunia illa prodiret; quin & minor summa foenori exposita potest post annum cum sua usura 1ummam an adaequare o Minor illa pecunia: summa , quae cum sua usura pecuniam Q n adsequat, praesens pecuniae Qia valor dicitur. Sit ΛN Lo
673쪽
garithmus rationis, quam sors habet ad aggregatum sortis &uturae , hoc est , si sors sit usurae annuae vigecupla , sit A NLogarithmus humeri r - - seu r, os , &capiatur Q Y aequalis Λ N ; erit A Y Logartihmus praesentis valoris pecuniae Q. Π . Patet enim , pecuniam Y Z foenori expositam finito anno parituram pecuniam Q. Π ; adeoque ut habeatur Log
rillimus praesentis valoris , seu Υ Z ; ex Logarithmo A Q. detrahi debet Logarithmus A N ,&restabit A Y Logarithmus praesentis valoris vel Y Z. Si summa Q. n non . nisi post duos annos exactos debeatur ; Logarithmo A Q. subtrahendus est numerus et A N , & manebit A V Logarithmus praesentis Valoris, seu summae, quae pro pecunia Q. n solvi statim debeat. Nam manifestum eli, pecuniam o timori expositam spatio duorum annorum pecuniam Q Π procreaIuram . Eadem ratione si summa an non nisi post tres annos debetur , Logarithino a n subtrahendus erit numerus 3 A N , & qui restat A S , erit Logarithmus numeri S Τ , seu erit S T praesens valor summae Q ti poli tres annos solvendae. Et universaliter, si Logarithmus A N multiplicetur per numerum au-norum , quibus exactis debetur summa QU,& produdi numerus ex Logarithmo A Q. subducatut , hac ratione dabitur gari limus numeri,qui .erit praesens valor summae QU. Hinc Patet, si 1 3861 -- έibrae Angia societati alicui finitis sex-
Centum annis solvendae fuerint, tantae pecuniae praesentem v Iorem', vill unum semiobolum adaequaturum .
Si in axe Logarithmicae ordinentur ad curvam redhae HS , E F ; A B, CD, quae sint proportionales , & extremitates ipsarum F H , D B rectis iungamur, quae productae cum axe conveniam in P & Κ , erunt recte G Ρ, Α Κ semper aequales .
Κ Α: BR . Quarum proportionalium consequentes H S , B Raequales sunt; antecedentes igitur PG , KA aequales erunt
674쪽
si rectae CD, EF ad AB, GH aequaliter accedant, ut tandem punctum D coincidat cum B , & punctum F cum H, rectae DBΚ , FHP., quae prius serabant curvam , Uerten tur in tangentes B T , H V ; & rectae A T , G V semper sibi invicem aequales erunt, hoc est , portio axis Λ Τ vel GV intercepta inter ordinatam & tangentem , quae subtangens dicitur, erit ubique constantis & datae longitudinis, quae est praecipua Logarithmicae proprietas . Nam in diversis Logarithmicis subtangentes curvarum species seu sormas dete
In duabus diversae speciei Logarithmicis eiusdem numeri Logartihmi, seu distantiae ab unitate erunt subtangentibus suarum curvarum proportionales . Sint enim curvae HBD ,
S NY, quarum subtangentes sint ΑΤ, MX, sitque ΑΒ m MN α unitati . item DC α QY; erit AC Logarithmus numeri C D in Logarithmica H D , ad M a Logarii timuin numeri GY, seu ejusdem CD in Logarithmica SY, ut
subtangens Α T ad subtangentem M X. Concipiatur inter- feri inter AB, CD vel NM, QY infinitos terminos continue proportionales in ratione ΑΒ ad vel MN aa mn ;& ob ΑΒ MN erit , item erit hemno . Et te mini proportionales, cum in utraque figura sint numero aequales, divident lineas AC, M in partes numero aequaleS, quarum primae sint Aa, Mm; paries itaque illae erunt lolis proportionales , hoc est, erit AarMm:: AC :M . Quoniam autem triangula T A B , B e h sunt similia nam pars curvae Bb coincidet fere cum portione tangentis ; item trian
675쪽
mus, vel illam minimo excessu superet, dabitur Logarithmbeae subtangens , eli enim excessus be ad Logirithimum de , ut AB unitas ad subtangentem AT . Uel etiam si Isint duo quilibet numeri quam proxime arctuales , erit differentia n merorum ad disserentiam LNarithmorum,ut alteruter num rorum ad subtangentem ; v. gr. si incrementum be sit OGO oo , - ἔ Ο22 1 3Is F 6o21s, & Be vel AoLogarithmus numeri ab sit Ooom Oomo o oo 444M sa ossso a ; duobus his numeris de unitati inveniatur quartus pr
Iortionalis , scilicet 43 29 448rso3 et set ς is numerus dabitongitudinem subtangentis AT , quae est subtangens Log rithmicae , quae exhibet Lmarithmos Briggianos . Si creditor pecuniae summam foenori exponat, ea lege , ut singulis temporis momentis pars proportionalis usurae annuae sorti annumeretur, ira scit , ut poli finitum primum tem poeis momentum, seu exaetim anni particulam indefinite exiguam, usuram poscat tempori proportionalem, quae sorti adjecta , una cum ipta usuram pariat, finito secundo temporis m TAB. s. mento sorti fariter accessuram , & ita deinceps . Quaeritur H quantum creatiori finito anno debeatur Sit a usura annua unitatis, seu unius librae, & si integer annus 1eu 3 dat us ram a , particula anni indefinite exigua Mm dabit usuram
ipsi Mm proportionalem Mm N a ; & proinde si unitas per
exponatur, ejus incrementum Primum erit nomina καPer puncta N n concipiatur Osarithmica describi, cujus axis est O M a. In hac curva , ii portio axis M Q tempus exponat , ordinata Q Y pecuniam repraesentatri , quae usque ad illud tempus, singulis momentis, proportionaliter Cr vit . Nam si capiantur m I &c. m M m , ordinatae p &C.
erunt in serie continue proportionalium in ratione M Nad m n, id est crescent eadem ratione , qua pecunia crescit a
Tangat Logarithmicam in N refla N X, eius subtangena MX erit constans , & invariabilis, & triangulum minimum Non simile erit triangulo X MN . At ostensum est, esse in-
676쪽
Nor: a: I. Sed ut no ad No, ita erit N M ad M X. Qiare
erit, ut a ad I, ita NM seu I ad MX subtangenti.
Iod si usura annua sit pars sortis vigesima , seu si sit
mia in diversis Logarithmorum formis ejusdem numeri Logartihmi sunt subtangentibus suarum curvarum proportionales ; si M Q tempus annuum , seu unitatem eXponat, QY erit pecunia, quae finito anno debetur. Ut verb innotencat Q Y, fiat ut M X seu ao ad O , 43 294 qui numerui exponit subtangentem Logarithmicae , quae exhibet Logarithmos Brinianos , ita annus , sive unitas ad Logarithmum Brige manum , qui numero QY congruit; Logarithmus autem ille invenietur o , o2I7I47 , cui respondens numerus m QY eli I, o 3I 27, cujus incrementum supra unitatem sive sortem , o Fiet 7 pauxillum superat annuam usuram, os; adeo ut si usura annua cenium librarum sit quinque librae, usura proportionalis lingulis anni momentis sorti Ioo adjecta pariet tantum ad finem anni. M. M. d. 3:2: 1 I.
Si quaeratur usura eiusmodi , ut singulis momentis pars ipsius sorti continue crescenti proportionalis ad sortem accedat, ea lege, ut finito anno producat incrementum , quod sit soriis pars quaelibet data , v. gr. vigesima : fiat ut Log. numeri I, o I ad I , hoc eil, ut o, o II 893 ad I, ita iubtangens
Concipiatur parS usurae, 88 moincnto respondens, hoc est , eandem habens rationem ad , 88, quam habet annus ad momentum, fiat, ut unitas ad illam usurae pariem, 'a sors ad ejus incrementum momentaneum ; quae hac ratione co a tinuo
crescit pecunia , ad finem anni augebitur vigesima sui parte. O ci C R-
677쪽
De methodo , qua Henricus Briggius Logarithmor suos supputavit , ejusque demonstratio .
Gamvis Brutius lineam Logarithmicam nusquam d
scripsit, quem tamen in calculo adhibuit operandi mo-- dum , modique rationem ex contemplatione Logarithmice evidentissimae patebit. In qualibet Logarithmica HBDlint tres ordinatae AB, ab , qs quam proxime aequa les, hoc eli, earum differentiae exiguam admodum ad ipsas lineas habeant rationem ; erunt Logarithmorum differentiae differentiis linearum proportionales. Nam cum lineae sint quam proxime aequales , propinquissimae sibi, invicem erunt,fc pars curvae Bs ab iis intercepta cum reeta linea fere colacidet. Certe tam prope possunt ordinatae sibi invicem admoveri , ut differentia curvae a reeta ipsam subtendente habeat ad ipsam subtensam minorem qualibet data rationem. Triangula igitur Beb , Brs pro rectilineis assumi possunt,& erunt aequiangula . Quare est Br: Beta. Ag: Aa ;hoc est , excessus linearum supra minimam A B erunt Logarithmorum differentiis proportionales. Hinc patet ratio istius methodi, qua, tam numeri, quam Logarithmi per disserentias& partes proportionales corriguntur . Quod si AB sit unitas,
erunt numerorum Logarithmi disserentiis numerorum proportionaleS .
Si intra numeros denarium & unitatem capiatur medius proportionalis, seu quod idem est , numeri denarii extrahatur radix quadratica ; radix illa , seu numerus in medio erit loco intra denarium & unitatem , & ejus Logarithmus eri. dimidius Logarithmi, qui denario competit, ac proinde dabitur. Si inter numerum prius inventum & unitatem iterum inveniatur medius proportionalis, quod fit extrahendo numeri inventi radicem quadraticam, hic numerus unitati duplo vicinior
678쪽
cinior erit quam prior, ejusque Logarithmus erit prioris Logarithmi semissis, seu Logarithmi denario competentis pars quarta. Si hac ratione continuo extrahatur radix quadratica, & bisecentur Logarithmi, pervenietur tandem ad numerum, cujus
distanxia ab unitate minor erit parte ---a
illius Logarithmi, qui denario tribuitur. Bregius, peractis 1 radicum extractionibus , invenit, numerum I, o - ΟΟ Ο ooo I 278 I sI493 2-32 3442, ejusque Logarithmum lareo, OCOOo oo oo OOOOO OI FI II FI 2 312 7 827oa . Supponatur Logarithmus hic aequalis A q , uve B r, & sit q s numerus radicum extractione inventus; erit differentia rs, qua unitatem superat α oooooo oo oomo I 278i 9I493 2oo 32
Horum numerorum ope LOgarithmi reliquorum Omnium inveniri poterunt ad hunc modum . Inter datum numerum
cujus Logarithmus inveniendus sit & unitatem quaerantur ut superitas ostensum est medii proportionales, donec landem inveniatur numerus tantillo unitatem superans, ut unitas praecedat quindecim cistas , quas totidem , vel plures notae significativae: sequantur . Sit numerus ille a , & notae significativae praefixis cistis dissereni iam b e denotabunt. Deinde fiat, ut differentia rs ad differentiam h e , ita B r Logarithmus datus ad Be vel A. a Logarithmum numeri a b ; qui itaque dabitur. Hic Logarithmus toties continue duplicatus , quoties extractiones tactae sunt, tandem dabit Logarithmum numeri quaesiti. Hac etiam ratione inveniri poteli iubtangens Logarithmicae; nempe si fiat νs: Br :: AB seu unitas : A Tlabi angentem, quae itaque invenietur o, q3 29 -819 O3a I, per quam denisue reliquorum numerorum Losarithmi innotes-Cent, nempe si detur numerus quivis N M, eiusque Logarithmus, &quaeratur alterius numeri Logarithmus, qui ad N M satis accedat; fiat ut N M ad subtangentem X M , ita no differentia numerorum ad N o differentiam Logarithmorum .
679쪽
tiplicando differentias minimas h e per subtangentem constantem A T. Hae ratione invenientur Logarithmi numerorum& inde dabuntur Logarithmi numerorum Φ, 8, I 6, 32 , οὐ&c.; 9, 27, 8 I, 2 3 &c.; item 7, q9, 3 3 &c. Si a Logarith mo denarii auferatur binarii Logarithmus , restabit Logarithmus quinarii, & proinde dabuntur Logarithmi numerorum aJ , La F , 62S &c. Numeri ex his compositi, nempe I 2, I , IJ, I 8, et tiar, et 18 &c. facile Logarithmis suis instruuntur , adendo Logarith
At numerorum primorum Logarithmos , per tot radicum extractiones invenire, molestum admodum & laboriosum fuit opus . Nec quidem facile fuit, interpolando per differentias primas , secundas , & tertias &c. Logarithmos supputare . Quo itaque absque tanta ipolestia numerorum Logarithmi obtineantur , magni Viri Ne tonus , Mercator, Gregorius, Wallisus, & nuper Halleius series inlinitas convergentes dederunt , quibus expeditius , & certius Logarithmi, ad quot volueris loca supputati haberi possunt . De hiice seriebus eruditum tractatum scripsit peritissimus Geometra Halleius iciter acta Philosophica Societatis Regiae extantem , ubi series illas nova methodo demonstrat, modumque Computandigarithmos per eas docuit. Liceat hic subjungere novam seriem , ex qua expedite , di facile fluunt Logarithmi, saltem
pro numeris majoribus. Sit et numerus impar , cuius quaeritur Logarithmus ; numeri z - I , 2 -- I erunt pares , & proinde dabuntur e
rum Logarithmi , & Logarithmorum disserentia , quae dicatur '; quin etiam datur Logarithmus numeri , qui est