장음표시 사용
251쪽
E o lucido, cuius angulus visibilis , sive apparens magnitudo , ad oculum in X stum, sit V X L, ac diltantia ab eoὸem oculo ad meditullium ejus aestimata j X . Et hinc consectatur, i. Quod , cum rei vis bilis apparens magnitudo pene si reciproce ut distantia eius stante puncto F , & puncto X in linea R X ubicunque sumpto , angulus ΡXT, sive YXZ, pene erit reciproce ut longitudo I X. Et hinc, intervallo RX diminuto, angulus P XT augetur, eiusque quantitas in qualibet puncti X dii antia dabitur , si modo data suerit unquam in quapiam distantia. a. Quinetiam angulo ORΚ cognito , cognoscitur angulus quilibet PXT , sumendo eum in ratione ad ORΚ, quam hahet RI ad Xj; quippe cum YRT, cui ORK aequatur,) sit obiecti YfZ in distantia fR adparens magnitudo . . . Cum itaque angulus ΟRΚ, pro qualibet obliquitate Radiorum iuxta RF incidentium. nra in Schol. ad Prop. XI. determinatus habeatur , & punctum s haud
A F q A D qdifficile inveniatur; faciendo, iuxta Prop. VIII. ' , ut sit RF. Rf r: --. - , R F R D satis constat anguli P XT inventio. 4. At ex abundanti subnoto praedictam curvam Y f Z, in qua Radiorum omnis generis, in mincto R retraetorum , Radiationum centra locantur , esse Cisseidem vulgarem, sive Diocleam, circulo accommodatam , cuius diameter R E sit ad A Rut R F q ad F A q. Nam , super diametro R E descripto circulo isto R C E, agatur quaevis reeia 1 B C normalis ad R E , circuloque in C , & curva in f terminata. Et , propter analoga latera similium triangulorum RAD , RBf, erit ADq.AR x DR:: B sq. BR x IR ; &, applicando posteriorem rationem ad BR, fiet a s q
B1. BR:r BR. BC; quod indicat curvam esse Cis idem, scut ostendendum proposui. Rc fractionibuς ad superficiem , data duo media disterminantem , transactis, ad explorandum quid, ex aucta alterius medii raritate, vel densitate, consequitur, sive, ad diversurum mediorum effectus inter se conserendum, jam animum adjicio. super
R DHα-Ideoque erit R F. Rf:: - . -- , quod hic asseritur.
252쪽
Si a duobus monis D , G Fig. 36. Tab. VIII. in linea quapiam A D sitis, ad alia duo pundia L. N in otia perpendiculo sta, ducantur quatuor rectae DN, DL, G N, G L , ratio di etanum ad punctum remotius N magis accedit ad aequalitatem , quam ratio ductarum ad vicinius tiantium L, sis est GN. D N in majore ratione, quam GL. D L.
- DLq, hoc est, DLq superat Rq, sive DL superat R. Atque adeo, cum suinponatur GN. DN:: GL. R, erit GN. D N in ratione majore, quam G L. DL Q. E. D.
Posito Rauiorum diversi generis communi sinu Incidentiae, quo maris dιυersa es mediorum densitas , eo major me inaequalitas rationis Dinum Refractionis. In Fig. 37. LIX sit F e Radius e minime refrangibilibus, utcunque in superficiem A e incidentibus , sitque refractus ejus e I, qui retroactus secet perpendiculum FΑ in s. Dein capiatur A e, ut sit Fe ad Fc in data quadam ratione, qualem antea descripsimuς , c. g. X LI V. , X LV. . & XLIX : hae scilicet conditione, ut, habito Fe pro Radio maxime refrangibili , refractus eius ab eodem puncto 1 divergat Facto noc , si pro posteriori medio aliud utcunque densum, rarum ue , substituatur , eiusmodi duo Radii secundum easdem rectas Fe, Fe incidentes , semper debent ita refringi , ut ab eodem aliquo perpendiculi istius puncto similiter divergant , g. XLV., & XLIX. e quemadmodum a g versus t & n ; posito , quod hoc medium posterius sit densitatis ab anteriori magiς diversae, quam alterum posterius medium , quod essiciebat divergentes a f. Ostendendum est itaque , quod major sit inaequalitu rationis sinuum Refractionis in posteriori , quam in priori casu. Scilicet, Radii Fel sinus Incidentiae est ad sinum Refractionis , ut se ad Fe,s g. X L U II. hoe est , ut 1 ad - . Et sic Radii P sinus isti sunt ut 1 ad
f. se fosimili discursu constabit, quod Radiorum e l , en, refractorum consimiles Refracti
253쪽
Demonstratio perin8e se habet in literis maiusculis, quibus Refractiones designa. vi, cum posterius medium sit anteriori rarius si modo, vice majoritatis ubique intelligatur minoritas, & maioritas vice minoritatis. Notabis insuper, quod in hae Demonstratione posui , densitatem posterioris tantum medii variatam esse ; sed eo-ὸem recidit, si anteriora media successive varia adhiberi, posteriori non mutato, sive, quod tantundem est , si Refractiones e posteriori medio in anterius vicissim peragi concipias. Siquidem, Radiis in superficiem alterutrinque incidentibus, confimiles sunt sinuum rationes . Ceterum , de exacta horum lynuum pro quibuslibet propositis mediis ratione investiganda disserui ante, & Propositionem haud attigissem , Ii non exegisset Prop. XV. mox tradenda.
Centro A , disantia quatis A D , in Te. 38. Tab. IX. , deserabatur Hrculas DGA ; deinde rerum quolibeν C, diantιa A c, describarur alius eruulus seeans re iam AD in B, er circulum prius descriptum in s. Tum arcus BG hiscetur in F, FK demιtrarin ad B D perpendacularis . His ita constitutis, dira , quod F K Fe perpena . lariter demissa didiam B D bissecabit. Iunctis enim AF, AG, BF, FG, & FD. In triansulis A FG , & Α F D, anguli ad A sunt aequales , propter ariuales arcus B F , F G , quibus subtenduntur; item latera, circa illos angulos, AD, & A G sunt aequalia , quippe radii eiusdem circuli; & aliud latus AF habent commune; quare etiam tertia latera FG & FD sunt aequalia. Sed, est B F aequalis F G, mpter aequalitatem arcuum, quos subtemdunt ; adecque FB - FD, & triangulum FKB - triangula FΚD , & inde C o R O L L. I. Hinc recta ΚF, quae hissecat BD, insistens ei normaliter, bissecabit etiam areus BG circulorum omnium per data duo puncta A & B transeuntium , & alicubi in G lecantium datum circulum DG centro A intervallo AD descriptum. Imo, & bis secabit arcus B Ga in altero intersectionis punctos. C o R O L L. II Idem eveniet, cum A & B coincidunt ; hoc est, cum cireuli A FG tangunt rectam AD in puncto ΑΒ. Potest etiam B sumi ad alteras partes ipsius A. In tran cursu etiam notetur, quod anguli BFK, BGD , quos circulus ABF cum recta FK & arcu G D effcit, sint aequales . LEMMA U. Lineis quatuor Ab, ΑΒ, Αe, AG Fig. D. Tab. IX. eirculo alimi ab eodem circumferentiae itineso ita inscriptis, ut si Ab. AB. Ae. AG, quartim omnium Abst minima Dico angulum B A G maiyem esse an lo b Ae. Describatur enim alius circulus AB I , secans priorem in punctis A & B , cujus diameter sit ad eius ABG diametrum sicut AB ad A b, centris utrisque ad easdem partes ipsus ΛΒ iacentibus . Dein, centro A, distantia AG, describe tertium circulum o H secundo occurrentem in g;& illud g, ex constructione iacebit alicubi inter G & H p atque adeo, si A g ducatur, erit angulus B AG maior angulo BAg- Est autem angulus B Ag - angulo b Ac , propterea quod A B & A e suaditur
254쪽
Inseriptae sunt e reulo A Bg, ae A b & Α e ipsi A be, habentes nempe easdem rationes & inter te, Ab. Aerr ΑΒ. ΑG, vel Ag. & ad diametros circulorum, quibus inscribuntur. Cum ergo sit B AG major quam ΒΑ g - b Ae , erit B AG major quam bΑe. Q. E. D.
Hinc in eodem quovis Radiorum genere, quo maior est Reseactio, eo maior erit angulus refractus. In m. 27. b. VI. ubi est FR. R D:: Fr. rd, erit angulus Frd maior ang. FRD. '
Hinc etiam , si sit A G. A B in maiore ratione , quam Ae. Ab . multo magis erit angulus B AG maior b Ae. Hoc est in genere, quo majores sunt subtensae, &iuraui, quo major est inaequalitas rationis earum , eo maior erit differentia anges rum , quos subtendunt . Atque idem de sinu bus & eorum angulis , utpote subtensarum & eorum angulorum dimidiis, intellige.
D G erit arcu G B major . Nam, centro A, radio AD , describe circulum DKE , circulo in Ba occurrentem in Κ, & rectae A B in E; & Α Κ ducatur. Iam, cum ΑΚ, Αν, & ΑΒ ci culo ABaΚ similiter inscribantur , atque Ad, Ae , & Ab ipsi Abe , erit arcusgΚ - arcui Ba ; quare , demissa g L ad B E perpendiculari , & producta donee
secet arcum BD in F, ista g L, per Lem. IV. bissecabit tum rectam BE, tum a cum DB. At, quoniam 8F , ex constructione, iacet extra circulum g G, punctum
F eadet inter G & D. Quare D G major D F , sive maior F B, & multo magis major G B. Q. E. D. COROLL. I.
Hinc, si arcus bd, non tantum duabus, sed quotcunque partibus a ualibus constet , correspondentes partes arcus b D, a termino b ad terminum D, sese gradatim superabunt longitudine. Adeoque, si arcus bc ad arcum ed habeat quamcumque rationem commensurabilem , erit arcus G D ad arc. B G in majore ratione , quamare. e d ad arc. be ; siquidem , numeris aequalium partium mensurantium arcus hedc ed correspondent consimiles numeri partium inaequalium conltituentium arcus BG ae G D, quarum illa: in G D sunt omnes parte maxima ipsus B G maiores . Quinetiam, si be ad ed habeat quamcunque rationem incommensurabilem, erit it, dem GD. BG in maiore ratione, quam ed. b e. Nam, rationum similitudines, quae quantitatibus commensurabilibus conveniunt indefinite, eo nomine conveniunt etiam incommensurabilibus similiter affectis, quemadmodum ex Euclidea definitione sim, lium rationum ostendi potest . Sed facilius deprehenditur imaginando quantitates , quas vocant incommensurabiles, posse numerari per partes indefinite parvas . & sic ad naturam commensurabilium , praesertim quoad rationum habitudines, quodammodo reduci.
Si enim c Fig. 3s. a'. A , S A e simis designant anguli refracti S ineidentiae tu radio Iueis minus obliquo, ut FR; AB & AG hos designabunt in radio obliquiori, ut Fr, qu niam ex hypothesi en Ab . Aeri AB. AG; S ansuli BAe, B AG aequales erunt angulis r fractis F RD. Frd. Quoniam vero est B AG maror , Ac, erit Fνd major FRD. Vide Bamr . Le 1. Opt. LM , III. n. s.
255쪽
38 . . DE PLANORUMConcipias itaque arcum h e in aequales & indefinite multas partes dividi, & eius. modi tot sumi . quae minus quam una parte , hoc est , indefinite parum, differunt ab arcu ed , atque adeo ipsi, m more consueto, centeantur a quales; concipe etiam B D in partes aequales , ut ante definivi , corret pondentes partibus ipsius id dividi , & propter tot inaequales partes , maiores quidem in G D & minores in BG , quot sunt aequales in e d & b e ; erit G D. B G in majore ratione quam e d. b c
Hinc praeterea , componendo, sequitur, esse BD. BG in maioro ratione quam bd he, nec non GD. BD majorem habere rationem , quam ed. bd.
Consectat ut denique, quod . ductis utcunque partibus subtensis A b, A e, A d, A e, in Fig o. , Tab. IX., & aliis quatuor AB, AG, AD, AE, quarum singulae ad priorum sngulas eandem rationem observant, nempe, AB. Abe: A G. AerrAD. Ad o: A E Ae, si A E sit omnium maxima , & A b minima , erit arcus
ED ad arc. G B in maiore ratione quam arc. ed ad arc. ch. Nam , per Corol. I. huius, est ED. DG in majore ratione quam ed. de , & DG G B in maiore ratione quam d e eb, e multo magis ED G B in maiore ratione quam e d. e b Haud secus patet esse arcum EG ad arc. DB in maiore ratione quam arc. ee ad arc. d b, scilicet, ex Corol. II. hujus, est EG. DG in maiore ratione quam eo de , ac D G. DB in maiore ratione quam de. Ab , & multo magis E G. D B in maiore ratione quam e c. db. Denique, quae de subtensis & earum arcubus dicta sunt, pollunt etiam de sinubus & eorum arcubus, aut angulis intelligi
Heterogeneis Radiis e densori medio in ranius secundum eandem datam lineam in stiperficiem tintιone datam incidentibus, quo rarius si medium, in qaia Radii res riv-gunttir , eo major erit differentia Refractionis Sit in Fig. 4 b. IX FL linea, secundum quam duo Radii incidunt in superficiem A L, quorum maxime refrangibilis refringatur ad P, & minime refrangibilis ad T. Dico, quod, si medium rarius foret adhuc maris rarum, ut refringeret maxime refrangibilem Radium ad p, & minime refrangibilem ad t, tunc angulus p L t rei maior angulo P L T. Demittatur enim F A ad refrinaentem superficiem no
malis, quae secet refractos Radios retrorsum ductos in G , C, D , & E . Deinde, in refringente superficie quaeratur tale ritu stum N, ut sit F N. DN : : F L. EL; ac D N productus erit refractus Radii minime refrangibiliς incidentis ab F ad N, g. XLVII. . Iam, clim talis supponatur positio F L & F N, ut Radii maxime refranpihilis secundum FL, & minime refrangibilis secundum F N incidentis , refracti DL ac D N divergant a puncto D ς quod stum est in perpendiculo F A , ea de causa, licet raritas medii , in quod Refractio peragitur , foret alia quam suppo nitur , tamen eiusmodi Radiorum secundum easdem lineas F N & F L incidentium refracti semper divergerent ab aliquo puncto . quod in eadem F A sit positum , quemadmodum in praecedentibus ostentum est, q. XLIX. ς se , cum raritas dicti medii talis esse supponitur , ut maxime refrangibilis Raὸ ius secundum F L incidens , refringatur a puncto quopiam G tunc minime refrangibilis lacundum F N ineidens refringetur ab eodem Gia Sel , cum maxime refrangibilis Radius supponebatur a puncto G refringi , tunc etiam minime refrangibilis secundum eandem lineam F L incidens supponetatur refringi a puncto C . Quare , est GN. FN :: Cta FL, g. XXV. & XLVII.; a & praeterea, cum antea posuerim esse FN. DN :: FL. EL,
256쪽
ex aequo erit G N. DN: : CL. EL. Sed, per Lemma III., eth GN. D N in ratione maiore quam GL DL, adeoque C L. EL in ratione majore quam GL. D tauuare, si linea quaedam BL ita ducatur, ut sit CL. EL:: B L. DL, erit B L maior G L , propter maiorem rationem quam habet ad D L ; & insuper erit C L m ior B L, eo quod sit E L major D L ; & proinde punctum B cadet inter G & C, eritque angulus GL C maior ang. BL C ; cum vero sit CL. EL: r B L. DL, aut vicissim, B L. CL:: D L. EL, erit angulus BL C major angulo DLE Lem. I. & multo magis ang. GL C maior D L E. Q. E. D.
Heterogeneis Radiis e medio densiori in ranus secundum eandem datam lineam in f perficiem positione datam incidentibus, quo densius es medium, e quo Radii incidunt, eo major erit acterentia Refractionis. Scilicet propter maiores Refractiones) eo maiores erunt sinus Refractionum, respectu dati circuli, ad quem rei eruntur & simul eo major erit inaequalitas rationis illorum sinuum, per Prop. XIII. , adeoque eo major erit differentia angulorum, quos subtendunt, per Corol. II. ad Lem. U; hoc eii , eo major differentia Refractionis. Q. E. D.
Heterogeneis Radiis e medio rariori in densus secundum eandem datam lineam in superficiem postioue datam incidentibus , quo rarius edit medium, e quo Radii incidunt, eo major erit disserentia Refractionis.
Sit A D Fig. 4r. Tab. IX. superficies , In quam duo Radii secundum eandem
lineam datam IX incidunt , ouorum alter maxime refrangibilis refrangatur ad P, & alter minime refrangi hilis ad T . Dico, quod , si medium , ex quo Radii incidunt, foret adhuc rarius, ut dictos Radios adhuc magis refringeret, puta, maxime refrangibilem versus p , & minime refrangibilem versus t , tum p X t major angulus
evaderet, quam P XT. Id , quod gradatim sic demonstro.
ponamus primo, quod recta IX, secundum quam Radii incidunt , sit ad restinis gentem superflatem obliquissima , ac ducatur quaelibet recta P D eidem superficiei normaliter insiliens in D, & secans retractos Radios in punctis T, P, i, μή & IX producatur donec illam PD secet in 1ή tum in linea AD quaeratur punc um quoddam B hae lege, ut ductis B f, ΒΡ, fiat X f. XT:: B . BP. Liquet ergo, quod, si minime refrangibilis Radius incidat in B verius 1 tendens , is debet versus P refringi; quippe, cum, ex hypothesi, sit BP. BI:: XT. XJ ; hoc est, situs Incidentiae eius & Refractionis , sicut sinus Incidentiae & Refractionis alterius minime refrangibilis Radii I XT. uvamqbrem, si supponamus hosce Radios retrocedere , alterum nempe e minime refrangibilibus a T ad X, & alterum a P ad B, & maxime rei rangibilem a P ad X, eorum omnium refracti tendunt a puneto f; siquidem notum eii Theorema, quod Radii secundum retractum eius retro incidentis , inciden vicissim fit refractus . Jam , cum Radii difformes P B , P X , ab eodem puncto P manantes , restingantur ab eodem quod stum est in perpendiculo PD , proportione inter P X &PB semel cognita, si ab alio quovis eiusdem perpendiculi puncto
ad restingentem superficiem duae ducantur lineae eandem rationem habentes r hoc
est, una, designans maxime refrangibilem Radium , sit ad alteram , quae delignat minime refrangibilem Radium , ut P X ad PB : tunc istorum retracti , c ex ante
257쪽
demonstratis f. XLV., divergent ab aliquo etiam puncto, quod situm est in e dem perpendiculo PD , utcunque medium ex parte Radii I X lup natur rarum , dummodo mediorum alterum ex parte Radii P X eandem densitatem retineat . Quemadmodum , si maxime restangibilis Radius incidat secundum p X & refiing tur af, medio scilicet versus IX sem posito rariori quam ante, tum, recta ph si educta, ut sit P X. BP: : ρ X. ρι , Radius etiam minime refrangibilis ph refringeretur ab eodem f. Unde sequitur esse ph ad f b scut sinus Incidentiae Radiorum minime refrangibilium ad sinum RefraAionis, f. XLVII. Ast in ratione istorum sinuum est etiam tX adfX, eo quod inflexa IXt designet Radium aequaliter refrangibilem , cuius Pars IX producta transit per idem s. Quare est ph. I b:: t X.fX. Cum vero Radius Ι X supponatur esse ad refringentem superficiem summe obliquus, sive in angulo infinite parvo inclinatus , adeo ut recta DI pro infinite parva , seu
nulla haberi debeat, sequitur esse DX - X f, DB - BL ac Db b1 : quos valores pro X f, B1 & bs substituendo in supra recensitas proportiones B P. BT X. k ὶ , 3 .pb.1bo: t X. IX , emergent BP. BD:: X T. X D . & ph. D bo: tX. DX. Ex quibum pateat rectas BP ad XT, & bp ad Xι parallelas esse angulosque B P X ad PXT . & bρ X ad pX t aequales . Sed , ex hypothesi , est P X. BPr: p X. ρι, & proinde ang. bpX major ang. BPX, per Corol. I, Lem. U. phoc est, ang. pXt superat ang. PXT. Q. E. D.
Incidentibus vero Radiis angulum definite magnum tum refringente superficie constituentibus, propositum sic patebit. Sit HX Fig. 43. Tas. X. recta, secundum quam incidunt,& , cum e medio minus raro aὸveniunt , sit X NI minime refractus , & X N maxime refractus . Cum vero adveniunt e magis raro , sit X m minime refractus, & Xn maxime refractus . Adhibeantur etiam obliquissimi incidem tes Radii IX cum eorum refractis XT, XΡ, Xt,&X si, quales jam descripsimus . Ita scilicet , ut , cum tanta sit anterioris medii raritas , ut Radios H X incurvari versus M , & N iaciat , tunc etiam cons miles Radios I X incurvet versusT, & P . Cum vero tanto major sit eius raritas , ut illos cogat versus m , & n,
tunc hosce simul cogat versus t , & p. Sit insuper A P D circulus centro X & intervallo quolibet Α X descriptus, qui secet hosce refractos Radios in T, P, M, N , t , p,m,n, a quibus ad perpendiculum B X demittantur snus Refractionum T B , PC, Μ F, NG , t b, te , ms, ng I & ex lege Refractionum patebit et se TR PC: rM F. N G ; & t b. pc: : m f. ng ή & insuper , ex hypothes & constructione , patebit esse T B sinuum illorum maximum , &- minimum . Adeoque , per Corol. III. Lem. UI. ' , est ang. T X p ad ang. M X N maiore in ratione quam ang. t X p ad ang. mXn; dc, permutando , est ang. TX P ad ang. t Xρ in ratione mainiore quam ang. MX N ad ang. m X n. Uerum, ex ostensis in primo casu, est ang. TX P minor ang. t X p . Quare & multo magis erit ang. M Y N minor ang. mXn. Q. E. D.
Heterogeneis Radiis e medio rariori in densius secundum eandem lineam in stipes-ciem postione datam incidentibus, quo Aensus si medium, in quod Raiui incidiant, eo major erit disserentia Refraditonum ad certum usque terminum, mse, eo minor per
Nam , si medium posterius densitate sua valde parum superat interius, ita ut
-- Hoc modo aeeommodari possunt haee ad eor. e. Lem. s. ponatur radius aliquis ineidere ad superficiem p D seeundum lineam X p de refringi seeundum lineam B P. Deinde ponatur alius ejusdem generia radius ineidete in eandem superfietem seeundum lineam X p. Constat iam eum
258쪽
Refractiones indefinite parvas efficiat , differentia Restactionum erit etiam indefiniis te parva, & proinde minor quam foret , si medium posterius supponeretur densius. ut Reseactiones evaderent majores. Quare, aucta medii posterioris densitate, augebitur dicta Refractionum differentia quod si densitas ejus ia infinitum augeatur, Refractiones etiam , quantum poterunt, augebuntur ἰ hoc est , usque dum omnes reis fracti Radii perpendiculariter emergant, angulis Refractionum & eorum differentiactum prorsus evanescentibus. Quare disserentia Refractionum rursus diminuta est, d nee in nihilum evanuit.
Eisi limitis ejus determinatio , ubi disserentia Refractionis evadit maxima , plus taedii & laboris administrare posui , quam utilitatis ἔ cum tamen alicuius sorte m menti censeatur densitatem medii cognoscere, quod Radiis in se refractis Colores maxime conspicuos efficiat , non pigebit hunc insuper designare , idque primo cum Incidentia sit obliquissima.
Esto IX Fig. 44. Tab. X. communis Radiorum in superficiem A X, quaecun rue media dirimentem , obliquissime incidentium via ; & eorum refracti , ut ante, unio Xρ, & Xt; & agatur recta quaevis ye praelatae superficiei parallela, quae Radiis iliis occurrat in p 8c t, a quibus ad A X demissis perpendicularibus pC, e E, his- secetur CE in D,& centro D, distantia D X circulus describatur, secans Cp in P, & E ι in T, iungantumue X P & X T. Dico , quod , cum ea si posterioris medii
densitas. ut B adiorum secundum IX incidentium maxime refrangibiles ad P, & minime retrangibiles ad T refringat , tunc angulus P XT quam maximus evadet. Et enim, utcunque medium posterius ponatur densum, refracti Radii ita lineas C P &CT in punctis p ac ι secabunt , ut recta pi ipsi A X parallela sit. Quare , si due tur linea Drue quae lineas omnes νι bissecet, centrum cuiuscunque circuli per ρ ac tuanseuntis, semper iacebit in eadem Dr. At angulus pXt est angulus in segmento circuli per puncta p, i, & X transeuntis, qui ideo erit maximus, cum eiusmodi ei culus existit minimus ; propterea quod ratio subtensae p t ad circuli dimensiones tune evadit maxima. Uerum iste circulus fit omnium minimus , cum centrum eius cadit in D ; siquidem pro semidiametro tunc habet X D minimam refractarum , quae ab X ad RD duci possunt. Est ergo angulus pXt tunc maximus, cum centrum circuli
transeuntis per puncta p, i, & x cadit in D ἰ adeoque , cum circulus X PT & amgulus ΡXΤ eiusmodi sunt, liquet propositum.
Hinc. obiter pateat hunc angulum P XT tunc etiam maximum evadere, cum t
lis est posterioris medii densitas , ut angulus Refractionis mediocriter refrangibilium Radiorum obliquissime secundum I X incidentium, sit semirectus p & eo minorum perpetim fieri, quo iste Refractionis angulus a semirecto excessit, vel desectu m, eis deviat. Quemadmodum, si Refractiones ex aere in aquam , in vitrum ti in o stallum peractae conserantur, e calculo patebit , quod , cum angulus Incidentiae tem gr. proxime , tunc angulus Refractionis in aquam erit maior semirecto , inque vitrum erit minor. Quamobrem aqua minus densa est , & vitrum magis densum , quam ut efficiant angulum P XT maximum. Et proinde, cum crystallum sit adhue densius, efficiet istum P XT minorem . quam vitrum iniceret. Et sic vitrum , elaminus refringat , in isthoc tamen casu neterogeneos Radios in se refractos magis ab invicem dissipabit , quam crystallum et eoque pacto Colores in oppositam eius superficiem proiicit magis distinctos . Sed haec expertu sunt difficillima , quod vitrum &crystallum densitate parum disserant, nee possint haberi satis crassa ἱ & si possent , tunc, propter maximam crassitiem , haud serent satis perspicua.
259쪽
Quod si linea, secundum quam incidunt Radii, non sit maxime obliqua, probi ma emergit solidum . Sed lubet modum offendere , quo, conditionibus ejus nonnihil mutatis, ad planum reduci poterit . Sciendum eit itaque . quod , cum inter extremos, seu maxime difformes Radios, innumeri sint intermedii, qui qradibus continue successivis & infinite parvis, alii manis aliis restinguntur, differentia Radiorum extremorum conflata erit ex cons milibus intermediorum disserentiis, numero & pam vitate infinitis . Iam , cognitis proprictatibus istarum infinite parvarum differentiarum , postumus exinde de omnibus simul aggregatis , sive de disserentiis finite pa vis, quales intcrcedunt extremorum Refractionibus, iudicium serre, praesertim cum istae disterentiae sint admodum exiguae. Sic , cognito quod infinite parvae differentiae augentur diminuuntur , vel simul maximae evadunt aut minimae , concludendum . erit, quod omnium summa perinde augetur, diminuitur, vel maxima fit , aut mi ... nima. Quod si non sint omnes simul maximae vel minimae, tamen summa pro maxima vel minima haheri potest, cum id accidit intermediae parti. Sic , omnium C lorum latitudo tunc maxima censeri possit , cum id accidit Viriditati . Jam , licet Problema propositum , cum de differentiis finite parvis agitur , existat solidum , si tamen instituatur de differentiis infinite parvis ad planum reduci potest. Uerum huic solvendo nolo obnixe incumbere , sed breviter tantum ostendam , quo pacto calculus in hoc & ejusmodi aliis sit ineundus, ut ad aquationem perveniatur, ex qua mariximus angulorum infinite parvorum possit elici . Et insuper ex eodem fundamento determinabo propcrtiones differentiarum Refractionis respectu diversorum mcdiorum, quas in praecedentibus quatuor Propositionibuς generaliter tantum descripti. Primo itaque investiganda est regula, vel ae quatio, qua , ex uno utcunque refraetcto Radio dato , refractus alter cum eo constituens angulum infinite parvum c gnosci poterit. Radiis e medio data densitate in medium cuiuslibet densitatis secundum obliqitissimam lineam IX Fig. 43. Tab. X. ut prius, incidentibus, sint X R&X r refracti duo . quorum alter X R si altero X r paulo magis refrangibilis , disierentia tamen infinite parva; & agatur lineola quaeris Rr, his in R& r occurrens,& refringenti luperficiei parallela . Ad quam superficiem normales etiam R D, rudemittantur, quas datam finitamque distantiam ab X, ab invicem vero infinite par vam habere fingito . Sed lineolam Rr cum Radiis per R , & r transeuntibus , plus aut minus ah x D vergere quemadmodum in praecedentibus concipito . pro varia posterioris medii assumenda densitate. Iam, si recta DR secet Radios Xν in M,3cIX in Κ; cum infinite parvum triangulum RMν sit smile triangulo DM X, a quo triangulum Κ RX non nisi infinite parvis differentiis RXM & DXΚ discrepat, quae dissimilitudinem non inferunt; triangula etiam RMν & KRX pro similibus haberi debent . Et proinde , demissis perpendicularibus Κ L & R N , erit ΚX.LR: e Rν.
cum antulus IXA si infinite parvus . Quinetiam, utcunque I X obliqua ponatur, illae X K. XM , & X R eandem relationem observabunt, siquidem reciproce sunt ut situ, Incidentiae & Refractionis,& proinse: inventa cil etiam inter eas relatio pro quavis obliquitate incidentis I X. Atque ita cUnitis , aut utcunque ad arbitrium
assumptiς, X Κ & X R, inde X M.fmul cognoscitur. Quod primo determinandum
260쪽
--. Quod , si N R dividatur per X R, prodibit sinus
anguli RXN respectu circuli, cu iis semidiameter sit unitas. Quare, cum angulus ille & sinus ejus lunt maximi , aJ. maximum angulum determinandum quaerenda in NR . XRq - AK qia κν xx Prit maxima quantitas --, hoc est maximum ---si-
fieri potest &, prodibit X Rq q - a XΚ'q x XR q - 2XΚ ix XDo, etcuius aequationis constructio est ejusmodi . A puncto quolibet incidentis Radii I X Fig. 46. Tab. X. demitte perpendiculum IA, & in eo sume A F - A X ; & , AI producto ad B, ut sit IB - 2. IX, super B X describe semicirculum BEX, cui inscribe XE X F; dein X B produc ad C , ut sit BC BE. Super CX describe semicirculum C G X , quem in G secet perpendiculum Ι G super Diametro
e us ad I erectum. Denique , centro X & intervallo G X describatur arcus GFI k-cans A I productum in II. Ducatur HX & producatur versus R ; eritque R X ipsius I X refractus , cum tanta sit posterioris medii densitas , ut differentia Refractionis R X M fiat omnium maxima. Quo invento, densitas posterioris medii talem Refractionem efficientis facile dabitur . Concipe ergo Radios X R & X r esse mediocriter refrangibiles, diverto tamen gradu,& posterius medium sic inventum non modo i ter illos, sed & inter extremos , seu maxime difformes Radios , maximam circiter quam potest Reseactionis differentiam efficiet. Sin autem huiusmodi differentiarum proportiones ad variam raritatem, vel densitatem mediorum desiderentur ; e iam ouensis iacile determinabuntur , dummodo p aiantur infinite parvae . Sic , raritate vel densitate posterioris medii tantum variata, ut Radii secundum I X Fig. 47. Tab. X. incidentes , nunc refringantur ad rui ScR, nunc ad 1n & ν; ductaque qualibet D Κ ipsi DX normali , quae secet eos in Κ, Μ, R, m, & r, erit angulu infinite parvus MXR ad conssimilem angulumna X
r, sicut , ad --. Quod si raritas vel densitas prioris medii
Varietur, non mutato posteriori medio, Analysta facile deprehendet, quod in Fig.
de est, sive raritaet sive densitas anterioris medii, sive posterioris medii varietur, ut e praeostensis pateat . . 'Propositiones praecedenteς ad Luminis e longinquo manantit diffusionem spectant. In duabus sequentibus agitur de Ret actione Luminiς e propinquo manantis.