Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

161쪽

C OMPENDIUM

MATHEMATICAE,

Ex variis Authoribus collectum AFRANCI sco MAURO LYco. Euclidis Plana. Vnctum est nota quantitatis expers. Linea longitudo Illatabilis. Linearum alia recta:alia flexa. Superficies longa est& lata. Superinficierum alia plana: alia curva. Figura termino vel terminis clauditur. Figurarum planarum alia curvilinea: alia rectilinea. Rectilineae denominantur a numero laterum vel angulorum. Angulorum rectum facit recta perpendicularis: obtusum autem &acutum inclinata. Paralellae lineae sunt quae in eodem plano quamvis in infinitum protractae contactum non admittunt. Circulus est, cujus periseria aequaliter a centro distat. Triaω

162쪽

COMPEND. MATHEMATIAE. I 3Τriangulorum aliud aequilaterum : aliud ilolceles: aliud scalenum. Et rursus rectangulum : aliud oxygonium: aliud amblygonium. QRadrilaterorum aliud parallelo graminum : aliud Trapezium. Parallelogrammorum aliud aequi laterum : aliud non . si qui laterorum aliud quadratum : aliud Rhombus. Non aequi laterorum aliud Rectangulum: aliud Rhomboides. Ex concessis bilibus principiis alia sunt postulata: aliae conceptiones. Hinc problemata & theoremata proposita solvuntur & demonstran

Post haec sciendum est quod recta parallelos secante, anguli tam contrapositi, quam coalterni sunt quales:&duo intrinseci duobus rectis aequales. Vnde & tres in trianguinto quovis anguli conficiunt duos rectos. Hinc in omni rectilineo angulorum aggregatum notescit. Tam duo triangula, quam duo parallelogramma unius basis, &unius altitudinis sunt aequalia. Parallelogram-mum vero trianguli duplum. Supplementa, quae circa diametrum parallelogrammi . sunt invicem aequalia. In orthogonio triangulo quadratum lateris oppositi recto aequum est duobus reliquorum quadratis. In amblygonio triangulo, latus obtusum subtendens

majus potest reliquis duobus in dupl

163쪽

r COMPENDIUM quod sub uno reliquorum & ea, quae in rectum illi juncta exterius perpendiculari Occurrit, comprehenditur. Cum Vero perpendicularis intus cadit: tunc latus acutum subtendens minias potest ceteris duobus in duplo ejus, quod sub eo, cui perpendicularis superstat, & segmento ejus inter acutum dc perpendicularem , comprehenditur. Item differentia quadratorum ex duobus singulis lateribus aequalis est ei, quod ex bali in differentiam portionum balis. Item ex basi in perpendicularem producitur duplum areae trianguli. Adhuc dimidium aggregati trium laterum excedit latera singula tribus excessibus, ex quorum ducta factum multiplicatum in dictum dimidium producit potentiam triangularis areae. Area vero divisa indictum dimidium exhibet semediametrum circuli intra triangulum descripti. Segmenta circulorum aequales sive ad centrum, sive ad periferiam angulos suscipientia sunt similia. Et qui ad centrum, ejus, qui adpe riseriam , duplus est. Et tam ille super qua in drantem , quam hic super semicirculum rectus est. Recta quae per contactum circulorum , facit segmenta coalterna similia, & recipientia angulos vicissim aequales angulis,

quos cum recta utrumque circulum tangente facit. Et sit per centra eat, recti sunt ani gulia

164쪽

MATHEMATI ck I sgnii. Duabus rectis se invicem intra circulum secantibus , quod sub unius earum segmentis, aequum ei, quod sub reliquae portionibus. Duabiis rectis ab uno puncto ductis, una secante & altera tangente circulum : quod sub secante & exteriori portione fit, aequum est tangentis quadrato. Euclidis Proportiones. N eadem ratione sunt quantitates prima - ad secundam , & tertia ad quartam . quando primae & tertiae aeque multiplices aeque multiplicibus; secundae & quartae comparatae vel una excedunt vel una deficiunt, vel una sunt aequales. Et quantitates proportionales sunt quae eandem habent rationem. Quae conversim, permutatim, conjunctim, dii iunctim & eversim sunt proportionales. Ex iisdem rationibus numero aequa libus eaedem conflantur rationes. Triangula

sive parallelogramina eius de altitudinis sunt basibus proportionales. Et in totum eorum ratio ex basium &altitudin si rationibus componit. In circulis aequis anguli sive ad centru, sive ad periferiam const tuti sunt assiimptis periferiis proportionales. Similes figurae sunt in dupla ratione laterum. Perpendicularis ab angulo recto trianguli ad basim facit duo sibi de toti similia triangula. Et Paralle

165쪽

I s, CoiMPENDIUM lae lecant lineas in segmenta proportiona- Euclidis Arithmetica.

Nitas est quet constituit se ipsam primum

numerorum , ac deinde bis, ter, quater, dc quotiescunque accepta omnem deinceps in infinitum numerum. Latera sunt numeri,

ex quorum ductu fiunt plani de inde solidinumeri. Quadratus igitur numerus planus est : Cubus autem solidus sub aequis lateribus. Tamque quadrati quam plani similes in dupla: tam cubi, quam solidi similes in tes-pla sunt ratione laterum. Ex ductu quadratorum , vel ii milium planorum, Quadratus: ex ductu vero Cuborum Cubus numerus gignitur. Item qui fit ex uno similium solidorum in quadratum alterius, Cubus est. Et qui fit ex alterutro in productum eorum , Cubus est. Aggregatus ex pariter paribus ab unitate dispositis si sit numerus primus multiplicatus in postremum eorum gignit numerum perfectum. Euclidis S mmetria. QVantitares, quarum quadrata sunt ad invicem sicut quadrati numeri. vel quarum Cubi sunt sicut Cubi numeri r vel secunda quadrati sunt sicut bis quadrati numeri , S deinceps, sunt inter te commensura

Diuili

166쪽

MATHEMATICAE. I Isurabiles. Secus vero, minime. Binomium

componitur ex duabus quantatibus potentia tantum commensurabilibus : Et si majot minore plus possit in quadrato magnitudinis sibi commensurabilis : & maior rationalis : erit B in omium primum. Si autem minor rationalis: erit Bin omium secundum: si neutra , Bin omium tertium. Rursum sim uor minore plus possit in quadrato magnitudinis sibi in commensurabilis: & major

rationalis: erit B in omium quartum. Si autem minor rationalis: erit B in omium quintum. Si neutra , Linomium sextum. Item talium quantitatum excessus major supra minores sunt totidem Apoto me, sive Residua. Et radices sex Binomiorum sunt totidem Irrationales , scilicet B in omium, Bi- mediale primum. Bime diale secundum. Malor. Potens rationale & mediate. Potens bina medialia. Item radices sex Residuorum sunt totidem Residuales quantitates scilicet Residuum. Residuum mediale primum. Residuum mediate secundum Minor. Cum rationali medium potens. Est autem area mediatis, quae sub lineis potentia tantum com mensurabilibus comprehenditur. Et linea ipsam potens vocatur mediatis. Haec per

terminos numerorum exerceri possunt, ut in secundo arithmeticorum tradidimus.

167쪽

3 8 COMPENDI v M' EucliJu Solida. C Olidum longum latum & profundum est. Sphei a solidum est, cujus unica stipei ficies

aeqv. liter a centro distat. Solido tu epipedor uin aliud e si pyramis, aliud prisma. Pyramidum alia tri latera. alia quadrilatera, alia phi-Ii latera. Et eadem divisito ptismatum. Conus est pyramis rotunda , dc Cyl:ndrus columna Iotunda, quorum bales sunt Circuli paralleli.

Axis recta connectens centra basu aut centrum basis cum vertice. Solida regularia sunt quinq; , Pyramis sive Tetrahedrum quatuor. Octa hedrum octo. Icosahedrum viginti basibus triangulis equilateris clauditur. Cubus vel hexa hedium lex quadratis. Dodeca hedrum duodecim pentagonis aequi lateris&aeqvi augulis. Quibus sic se habetibus Selendum quod tam pyramides IV eptasmata, qua Coni sive cylindri elusdem alitudinis sunt proportionales basibus: luper eandem verob., sim sunt proportionales altitudinibus. Vnde eorum ratio ex basium & altitudinum rationibus componitur. Et similia solida sunt in triplici ratione laterum. Item Pyramis sui prismatis & Conus siti cylindri tertia

pars est. Si duae lineae sint, una dupla alterius.& a linea potente utramque dematur minor:& residuum a majori: Sic major secatur se

168쪽

MATHEMATIC AE. I 2 cundum extremam mediamque ration m.

Latus hexagoni aequale est semidiametro :Latus trianguli potentialiter triplum: Latus quadrati duplum similiter est ad semidiametrum circuli circumscribentis ea Latus de ca-goni est major portio semidia meari secunduextremam sectae mediamque rationem Latus Pentagoni potest latera hexagoni & decagoni. Si quadrilaterum Cisculo inscribatur, quod fit ab eius diametris, productum aequale est simul duobus, quae singula sub oppositis lateribus continentur. Hinc totuS chordarum calculus derivatur. Di ameter sphaerae potentialiter ad latus Pyramidis sesquilateium: ad latus Ochahedri duplum: ad latus Cubi triplum est, quando sphaera eas figuras circumscribit. Vnde diameter sphaerae potest latus pyramidis & latus Cubi simul. Pro latere icosa hedri , fiat triangulum orthogonium cujus circa rectum latera sint diameter sphaerae & semidia merer: mox de tertio latere abscindatur portio contigua &aequalis semidiametro : nam . recta, quae connectit terminum portionis cum angulo recto, est latus icosa hedri a sphaera circumscripti. Item diviso latere Cubi secundum extremam & mediam rationem major portio erit latus do deca hedri. Ex quibus quinque solidis in una sphaera descriptis, cuius latus est

169쪽

iso COMPENDIUM majus, ejus corpulentia minor. Et notanis

dum quod sicut est pyramidis latus ad octa-hedri id perficiem : ta corpulentia ad Corpulentiam. Item sicut Cubi latus adicosa- laedii latus, sic Dode calicdri superficies ad Icosa hedri superficiem. & Solidum ad Sol , dum. Demum scut triangulum octahedri,& Quadratum Cubi circumscribuniqe ab eodem circulo ridem fit in triangulo Icola-hedri & Pentagono Dodecahedri.

Sphaerica Theodosii. DLano Sphaeram secante, sectio Circulus

μ' est. Maximus quidem per Sphaerae centrum & eo minor, quo remotior a centro

Circuli paralleli habent eundem axem dc eosdem polos. Maximus per aequalia de orthogonaliter secat eos, per quorum incedit polos. Maximi per aequalia se invicem secant. Maximi circuli sive per polos parallelorum . sive similiter ad eos inclinati similes ex eis abscindunt periferias. Et paralleli ex

ipsis maximis aequales. Maximus aut contingit parallelos aequales , aut si abscindit, coalternas portiones aequales facit. Et tunc maximus per utrosque polos ductus it per puncta Contactuum, aut portiones singulas per medium secat. Si in quadrante circuli maximi inclinato super maximum parallelo-

170쪽

MATHEMATICAE. ISirum sumantur duo arcus squales & per limites arcuum eant paralleli, nec non maximi circuli aut per polos paraliciorum, aut minus sed similiter inclinati super maximum parallelorum: tunc hi includent ex maximo parallelorum inaequales periferias, majorem videlicem eam quae remotior a sectione inclinati δc maximi parallelorum. Item paralleli ex quolibet incedentium per polos vel similiter inclinatorum intercipient inaequales periferias : majorem scilicet eam quae maximo parallelorum vicinior. Hoc idem in Menelao.

Sphaerica Menelai. r Rianguli sphaeralis ex arcubus circulo inrum malorum, tria latera non perficiunt Circulum: & tres anguli excedunt duos rectos, minus autem sant quam sex recti. Trianguli sphaeralis , cujus duo latera perficiunt semicirculum, producto reliquo late Ie , angulus extrinsecus aequalis est angulo sibi intrinsecus opposito, & duo anguli intrinseci faciunt duos rectos. Si autem dicta duo latera sint minus semicirculo, angulus extrinsecus, maior erit intrinseco : & duo intrinseci minus duobus rectis. Quod si dicta duo latera excedant semicirculum: angulus extrinsecus minor erit intrinseco r &

k duo