Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

171쪽

rs x COMPENDIUM duo intrinseci maius quam duo redhi. Trian gulum habens duos quadrantes habet duos

angulos rectos , & e contrario. Habens tres quadrantes habet tres rectos & e contrario. In triangulo sphaerali orthogonio , sicut est sinus totus ad sinum anguli acuti , sic sinus lateris recto oppositi ad sinum lareris acutum subtendentis. Item si-Dus arcus aggregati ex duobus lateribus alterum acuto tum comprehendentibus adsinum arcus d fferentiae eorum semper est sicut aggregatum ex sinu toto sinuque secundo dicti acuti ad differentiam eorundem sinuum. Si a punistis signatis in uno quadrantum ab uno puncto ductorum cadant duo perpendiculares ad reliquum: Tunc sinus arcus cadentis inter casus perpendicularium,

ad sinum arcus cadentis inter pu ueta signata erit sicut quod fit ex sinu toto in sinum secundum anguli contenti sub quadrantibus, ad illud quod fit ex sinibus secundis arcuum perpendicularium. Et haec est ultima Me

Sphaerica Maurobci. CI duo quadrantes magni contineant an Ugulum acutum, & ab uno eorum ad reliquum cadant quatuor arcus perpendicula res cum his conditionibus, ut extremus ter minet

172쪽

MATHEMATICAE. IJ minet ipsos quadrantes: ac trium reliquorum medii sinus secundus sit medius proportionalis inter sinum totum & sinum secundum extremi: nec non inter sinus se cundos collateralium perpendicularium, Tunc arcus a sectione quadrantum ad medium perpendicularem recepti coniunishi faciunt quadrantem. & eorum differen- , tia est maxima: & sinus secundus medii est aequalis sinui anguli, quem medius cum quadrante superiore continet. Item arcus coalterni hinc inde a medio in quadrantibus re cepti invicem aequales. Et sinus secundi collateralium perpendicularium permutatim aequales sinibus angulorum, quos perpendiculares ipsi cum quadrante superiore

comprehendunt.

l Arithmetica Mauro dici. D Adices ab unitate & per unitatis creme tum procedunt. Ex horum successiva additione fiunt Trianguli. Vnde propagantur quadrati, Pentagoni & Hexagoni. Ex

quorum singulorum ab unitate cumulo Py-- ramides cognomines. Ex ductu vero eorum in radices Columnae cognomines. in quibusi pyramides pentagonae sunt aequales Columnis triangulis. Columna triangula cum duplo sui trianguli facit triplum suae pyramidis.

173쪽

rs COMPENDIUM Cubus autem hoc est columna quadrata cum quadrato de triangulo ad ipsum facit. Item Columna pentagona cu duplo quadrati: Nec non Columna hexagona cum hexagono Sctriangulo id ipsum faciunt. Quadrati fiunt etiam ex continua additione impartu. Et Cubi ex singulis cumulis impartu scilicet unius, duorum, trium dccet. Et hae quidem lunt formae primi generis. Nam Trianguli, Quadrati . Pentagoni, Hexagoni, Heptagoni Moctogoni secundi genetis singuli fiunt ex unitate centrali & triangulo primi generis innumerum laterum ducto. Et hi singuli ab

unitate coacervati suas pyramides. Multiplicati vero in radices construent suas Columnas. Vbi notandum quod pyramides hexagonae sunt Cubis aequales. Columnavero triangula hujus generis cum quadrato& Triangulo primi generis facit triplum suae pyramidis. Hoc ipsum facit Columna hic quadrata cum duplo quadrati primi. Item Columna pentagona cum duplo quadrati dctriangulo prςcedente primi generis. Nec non Columna hexagona cu hexagono & quadra to primis. Adhuc Columna heptagona cum hexagono & quadrato & triangulo praecedenti primis. Demum Columna octogona cum hexagono ac quadrato, duploque trian

guli praecedentis primis id ipsum esticiunt. Denique

174쪽

MATHEMATICAE. Is SDeniq; sunt & formae numerorum sol id ς e piae lentantes regularia solida singulς singula. Sed de pyramide & Cubo primi generis dictum est. Et similiter duae proximae quadratae pyramides coniunctae pollunt construere Octa hedrum in primo genere reponendum:

qui se ivper eit quadrata pyramis secundi generis. Vocamus autem formas secundi generis centrales, quoniam in centro semper unitatem habent, aut axem si sunt pyramides vel Columnae. Constriae mus & in hoc genere rcgularia solida. Constabit enim unumquodque tallum ex centro , ex tot semidiametris numeris, quot sunt anguli solidi, ex tot triangulis, vel quadratis, vel pentagonis pyramidibus centralibus, quot sunt bases, de ex tot ante praemissis triangulis primi generis, quot sunt la tera. Vbi sciendum, quod in talibus formis omnis pyramis regularis est, Cubus mixtus ex duobus proximis cubis primis. Omnis autem Octa hedrus aequalis est cubo hujus generis , dc etiam aequalis pyramidi triangulae loci imparis: etiam

aequalis gnomoni numerorum bis quadrato Ium. Omnis vero Icosa hedrus aequalis Do- deca hedri. Demum pyramis regularis fit ex ductu imparis in quadratum centralem. Pyramis prima constat ex unitate. Secunda ex sequentibus tribus imparibus. Tertia ex quin-

175쪽

336 COMPENDIUM quinque sequentibus. Quarta ex septem se- qcientab*s. Et celeiae ex cumulis imparium succedentium sub multitudine imparium sumptis singulae lingulis in infinitum. De numerariis formis scripsit primum Nicoma- claus, iuccinctius vero Boetius, lordanus diffultus demonstravit. Nos in primo Arithmeticorum nostrorum , unde praedicta sumpta sunt , latissime tractavimus quam plurima ab illis non animadversa tradentes.

Inhmedu de dimensione circuli. O Mnis circuli sive polygonii area aequalis

est triangulo, cujus altitudo semidiametro , basis autem periferiae aequalis est. Circuli periferia ad diametrum minor est quam tripla sesqui septima : major vero, quam tripla superpartiens aecem septu agesianas primas. Quadratum Circulo contento superpartitur tres undecimas. & quid mi

nus.

. . .

De soperimetru.INter iso perimetra rectilinea ejusdem numeri lateru temper ςquilaterum& qqui angulum est maximum. Inter aequi latera & aequi angula, semper malus est. quod plurium laterum. Vnde is perimetrorum Circulus est maximus. Item figurarum aequilaterum intra

176쪽

intra aequales circulos descriptarum , quae plurium est laterum, ea & maior. Contra, earum i quae circulis aequalibus circumscribunt tu, illa quae plurium est laterum sempe cest minor. Cum vero tam inscripta figura, quam circumscripta quantacumque in infinitum pluralitate laterum , semper propius

circulo accedens nunquam ipsum adaequare pollit. propterea circulus nullum cum eis cognitae proportionis commercium habens, iam & per numerarios terminos non erit

quadrabilis. Praeterea sicut ex quinque solidis regularibus intra unam sphaeram descriptis i lud est majus, quod minus latus habet : Ita & eorundum circa sphaeras aequales

descriptorum, illud, quod plures base, habet minus erit. Sphaera vero est i perimetro tuin solidorum capacissima.

D siphara ct cylindro. ylindra superficies ei, quod ex altitudine

- in peii feriam balis fit, aequalis est. Conica superficies ei, quod ex latere in dimidium periferiae basis. Coni coluri superficies ei, quod ex latere in dimidiu periseriae intermediae. Solidi tornatilis superficies ei quod ex diametro ad latera solidi perpendiculari iapcriferiam criculi continentis polygonium,

a quo solidum describitur. Sphaerica superficies

177쪽

MATHEMATICAE. 21 9 inde productas , quarum vertex est ipsum manens punctum : axis autem recta per verticem dc centrum Circuli, qui basis est Coni: Et si axis perpendicularis siit ad basim, rectus est Conus: secus autem Scalenus. Planum autem per axem secans Conum facit triangulum . cujus latera sunt in superficie Conica, basis vero diameter Conicae basis, hoc est circuli: Et si in plano talis circuli cadat perpendicularis ad diametrum intra circulum sive extra productam , & a puncto casus in plano trianguli per axem, educatur recta: tunc planum , in quo jacent, perpendiculares dc educta secans Conicam superficiem esticit flexam quandam periferiam , quae sectio conica vocatur: cujus basis est ipsa perpendicularis, diametet autem educta linea, omnis autem recta perpendiculari parallelus in sectione per medium secatur a diametro sectionis, sicut per pendicularis a diametro circuli, si intra circulum cadat. Et ordinata vocatur. Et perverticem sectionis ducta tangit sectionem. Quando itaque diameter sectionis aequi distat uni laterum trianguli per axem : Sectio facta vocatur Parabola, cujus periferia cum conica superficie in infinitum procedir. Quando autem diameter sectionis fertur per contrapositum Conum , Sectio vocatur Hyper-

178쪽

nem tibi similem dc aequalem in contrapo sito Cono a dicto plano secante factam. Quando demum diameter sectionis secat duo latet a trianguli per axem, Sectio dicitur Et li p sis. Quod ii conus lit Scalenus, triangulum per axem perpendiculariter erectum ad balim Coni, & diameter sectionis simile sed sub contrarium triangulum auferat, tunc Sectio erit Circulus. In omni autem Cono si triangulum perpendiculare sit ad basim, diameter sectionis orthogonaliter lecat ordinatas, & dicitur axis. Quibus

ita dispositis, sciendum quod in Paraboladiam diri omnes iunt axi paralleli In Contrapositis autem Hyperbolis diametri omnes secant se in pu noto medio axis inter Sectionum vertices accepti quod est Centrum commune talium Sectionum. In ellipli vero diametri incedunt per punctum medium axis , dc ordinata ad axem per tale punctum est lectandarius axis. Vocantur autem tales axes vel diametri transversae : dc habent sitas Rectis singulae diametros. Quod autem fit ex transversa in rectam, dicitur Species sectionis. Omnis autem ordinata potest contentum sub recepta ad verticem lectionis & Recta in parabola. in hyperbola autem

excedens specie : in ellipsi vero deficiens

eandem.

179쪽

MATHEMATICAE. Is Ieandem. Verum in Parabola, sicut est latus trianguli per axem aequi distans transversae ad basim ejusdem trianguli: Sic est portio basis inter latus & Transversam ad Rectam diametrum sectionis. At in Hyperbole recepta

inter Non tangentes per contactum verticis

potest speciem sectionis , quoniam media proportionalis est inter Transversam & Rectam. Denique in Ellipsi , duo axes , sive

diametri transversae conjugatae appellantur, dc utraque alteram ejusque parallelos hoc est ordinatas per medium singulas secat. Et utraque Transversia potest speciem alterius: quoniam media proportionalis est inter alteram transversiam ejus Rectam. Hinc Rectae notescent. Porro in Hyperbola Non tangentes vocantur lineae , quaei centro se- .ctionis delapsae cum axe Sectionis aequales faciunt angulos & in infinitu perductae semper approximant , nunquam vero coincidunt sectioni. Sed angulus sub Non tangentibus contentus aequalis est angulo trianguli per axem ad verticem coni, quando rectus est Conus & planum Sectionis rectum ad bassim Coni: vel angulo trianguli in Cono facti de plano Sectionis paralleli. Post

haec sciendum, Parabolae verticem esse medium inter ordinatam a puncto quovis peri feriae & inter concursum diametri cum re-

180쪽

3σχ COMPENDIUM cta periferiam in dicto puncto tangente. In circulo autem Ellipsit & Hyperbole receptae

ab extremis diametri ad ordinatam sunt proportionales receptis ab eisdem extremis ad tangentem. Et id, quoniam semidiameterest media proportionalis inter receptas a centro ad tangentem & ad ordinatam et dum scilicet punctum Contactus est in extremo ordinatae. In Parabola ordinatarum potentias esse proportionalis receptis ex

diametro ad verticem. Hyperbole, parallelogrammo Non tangentibus & periferiae interducta sunt invicem aequalia. In ellipsi,

cum ab axis majoris extremis recepta segmenta singula producunt quadrantem Spe- .ciei: tunc a punctis divisonum in quodvis . periferiae punctum excitatae rectae simul sumtae perficiunt lineam toti axi aequalem. Contra positae Hyperbolae communes habent Non tangentes in contrapositis angulis descriptae. Quin intra exteriores angulos aliae

duae contrapositae cadunt quarum Non tangentes sunt δί praedictae. Quae binae & binae

contrapositae. Ad conjunctionem dicuntur: Ec quarum Transversae dicuntur conjugati axes sive diametri. cum Rectis & ordinatis sicut in Ellipsi. Demum tam ex tangente, quam ex ordinata in hyperbola receptae aperi feria ad Non tangentes hinc inde sunt aequales. Sereni