Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

61쪽

1 DE GEOMETRIA quadrilateri anguli omnes simul quatuor κ- Aos essiciunt, ergo in quadrato unusquisque

angulus rectus erit. Praeterea quinquangulae figurae omnes anguli simul sex rectos adaequant : quivis ergo angulus quinquanguli aequilateri& aequianguli, rectum angulum, ejusq; partem continebit quintam, quae proportio sesquiquinta dicitur. At in sexangulo, cum omnes anguli simul octo rectis respondeant: unus igitur aequilateri, pariterque aequianguli sex anguli, rectum cum elustriente complectetur angulum, quae ratio est sesquitertia. Eodem modo etiam in subsequentibus ordine figuris,perspecta omnium alicujus figurae angulorum quantitate, quantus sit unus quilibet angulus ejus figurae s siquidem de aequalibus constet lateribus de aequales angulos omnes habeat) ipsa ostendet proportio. Est & alia via hujusimodi angulorum quantitates investigandi. Si enim alicui figurae, quae eo quo diximus modo se

habeat, circulum circumscripseris , rectasiaque lineas a singulis angulis ad centrum extenderis , anguli qui sic circa centrum constituentur, quatuor rectis aequales erunt. Est autem quivis eorum alicujus trianguli angulus: sed dc omnes anguli cujuscunque trianguli, duobus rectis sunt aequales. Igitur si anguli tres circum centrum sint constituti

quod

62쪽

quod usuvenit, si triangulus sit a circulo circumscriptus iidemque quatuor rectos

repraesentent, quivis eorum rectum , integrum , ejusque trientem continebit. Is ergo sesquitertius rectiangulus,a toto triangulo in

quo existit, subductus, relinquit duos residuos angulos , bessem recti. Verum hi duo anguli, unus angulus simul sunt ejus trianguli, cui circulus est circumscriptus, cum interque sit ejus dimidium. Eodem modo de reliquis ostenditur figuris. Verum haec de angulis planarum superficierum dicta susticiant , rectis lineis inclusarum. Restat, ut

quomodo inveniatur, quave methodo manifesta fiag quantitas ipsorum spaciorum,

quam Aream dicimus, explicetur. Quadratum igitur, & ea quadrangula figura, quae lateribus quidem non omnibus, angulis vero in universum ςqualibus constat.

nimirum rectis altera parte longior ea sertur ex eodem fonte suam dimensionem habent: nimirum multiplicato latere longitudinis per latus latitudinis, quod in quadrato fit aeque aequaliter, hoc est, aequali per aequale. multiplicato. Cujus rei causa est, quod in eo longitudini latitudo aequalis est, omnes que anguli ejus recti sunt, ita ut nihil neque inter latera ejus differat, neque inter angulos. Ejus igitur area reperitur, aequali per aequale

63쪽

DE GEOMETRIA aequale multiplicato, idque auxilio Arithmetices . Eam enim definierunt principium esse scientiarii, Lindamentumq; & sine qua nulla omnino relinquarum constare possit. Igitur prius numero quodam lateribus quadrati comprehensis quod fit diviso latere per cubitos aut ulnas,vel ad aliud certum genus mensurae dissecto deinde ducto numero longitudinis in numeru latitudinis, qui inde numerus producitur,is debitam lacio figurς hujus quantitatem exhibet: ut quatuor quater sunt sedecim, quinquies quinque viginti quinque:& omnino pro eo atque figurae laterum expansio aliquem numerum suggesIsrit. Quin& uno quadrati latere cognito, ipsum dimetiri facile est. Quoniam enim omnia ejus latera invicem sunt aequalia, idem est sive quis longitudinem in latitudinem ducat , sive unum latus in seipsum multiplicet. Et iam altera parte longioris area habetur, longitudine , ut diximus, in latitudinem multiplicata, non tamen aequaliter aequali modo, nimirum quia inaequalitas inter longitudinem & latitudinem intervenit: ut quater tria, aut quinquies quatuor, aut quocunque tandem modo se longitudo ad latitudinem habeat, Rhombus vero, & rhombi sintiles figurae,

cum rectangulae non sint, earum areae non

invenientur multiplicatione laterum istiusmodi:

Disiti

64쪽

modi: verum si super candem basin, in iiDdemque aequidistantibus lineis rectangula

figura quadrilatera fuerit coaptata,area utrisque erit eadem. Parallelogramma enim,quae

super eadem basi in iisdem parallelis constituta sunt , aequalia invicem esse, Euclides propos. s. primi Elementorum ostendit: quod & nos perspicuitatis causa oculis subjiciemus. Sit quadratum ABCD, Rhombbides BCDE, super eadem basi BC , & in iliadem parallelis BC, A E. Dico , quadrato rhomboides aequale esse. Quia enim quae sunt parallelogrammae figurae, sita Vocant, parallelis lineis uti inque inclusas) earum latera oppositassent aequalia, itemque anguli: erit latus A D, lateri B C aequale : iterum latus BC, lateri D E. quo fit, ut etiam linea KD, lineae D E sit aequalis.Sunt autem etiam lineae A B & D C aequales , non tantum e quod oppositae, sed quia omnis quadrati latera omnia sunt aequalia. Ergo duae lineae

sunt. Et quia angulus A D C, utputa quadratus , idemque ad lineam A E constitutus reis ctus est, etiam angulus E D C rectus erit: est etiam angulus D AB rectus. Igitur duo anguli EDC dc D A B , recti sunt, rectis lineis aequalibus inclusi. Basis igitur DB, basi E Caequalis est : & triangulus A B D , triangulo

65쪽

ς DE GEOMETRI AD CE aequalis. His utrinque adjiciatur aequale quippiam: scilicet triangulus BCD. Ergo totum quadratum ABCD, erit DBCE rhomboidi toti aequale. Idem ostendetur de rhombo , si ad ipsum aliqua rectangula figura super eadem basi ponatur, & intra easdem parallelas. Hinc perspicuum fit , triangulum, si cum aliquo parallelogrammo communem basim obtinuerit, steteritque in iis dem parallelis ejus parallelogrammum esse dimidium. Nam quia omne parallelogram-mum in duo aequalia dividitur triangula, si

alterutrum dictorum parallelogrammorum in duo triangula diviserimus, utrinque triangulus exhibebitur,eandem basin cum suo parallelogrammo habens, & intra easdem parallelas constitutus , vicissimque ea ratione parallelogrammum ad triangulum se habebit : & quia divisum eo modo in duos aequales triangulos parallelogrammum integro

aequale est, sequitur, idem duplum esse diisti trianguli. Est enim duplum dimidii duplum.

Ergo triangulus super eadem basi, & inter easdem aequidistantes constituti parallelogrammi dimidium est : quod erat demonstrandum. Hinc constat, etiam reliquis planis figuris quadrilateris, quae trapezia dicuntur, tum &multilateris divisis in triangula, eodem deinde compendio quantam habeant

66쪽

COMPENDIUM. A beant illae aream, inveniri. Ea in triangulo divisio absolvitur,aut lineis earum figurarum angulis subtensis, aut centro in figura constit ut o , ad idque ductis a quovis angulorum tectis lineis. Est enim omnium figurarum principium triangulus , ex eoque & omnis figura componitur, & in eundem dissolvi tur. Quapropter- Plato quoque mysticam quandam in triangulo rationem abstrusiam dicebat esse, ut qui perhiberetur causa universialis,& efficiens omnium figurarum. Hoc sane pacto constat omnium planarum rectilinearum figurarum qimensio. At vero circulus quia non est rectilineus, dubitandi locum Geometris, quanam ratio ne vel methodo area ejus investiganda esset, reliqyit. Et quamvis alii aliter hac de re senis tirent, magis assiensium est tamen ei modo, quo medium proportione quadratum, inter

quadrata duo, quorum alterum ei circulo inscribitur, alterum circumscribitur, aream circuli continere dicunt, ut ante oculos hoc

schemate posuimus. Ipse quidem circulus capacior existit omni rectilinea figura aequi- latera, aequiangulaque cujus quidem ambitus circumferentiae circuli sit aequalis quemadmodum Theon in primum librum Magnae constructionis Ptolemaei exposuit: quia nimirum est quasi finis ac terminus quidam

omnium

67쪽

43 DE GEOMETRIA.omnium multilaterarum figurarum, crebris quibusdam, adeoque veluti continuis angulis stipata figura multiangula. Quo plures vero angulos figura obtinet, eo etiam est capacior, de multitudine angulorum , de eorum magnitudine dilatata. Quadratum enim & numero angulorum , 5c eorum magnitudine, triangulo est prius : itemque quinquangulum quadrato,eodemque modo deinceps. Nam demonstrationem hujus rei contemplationes figurarum propositarum omittimus, ne prolixior nobis fiat sermo.

His ita de dimensionibus seu areis planarum figurarum expositis, ad solidorum explicationem transeamus: quo loco prius nobis de eorum erit dicendum qualitate, postmodo ad methodum eas dimetiedi deveniemus. Generatim igitur ut dicamus: Solidum dicitur, quod 3c longitudinem habet, & altitudinem latitudinem: cujus quidem - .lodi extrema, seu termini sunt superficies. Angulus solidus est, qui conflatur ex angulis planis ad unum punctum concurrentibus, qui tamen & plures duobus sint, nec in eadem planicie existant. Pyramis , figura est solida, planis contenta, ita quidem ut illa ab una plana superficie ad punctum aliquod coeant. Prisma , serratile Latinis, solida est figura, ex planis conflata, quorum duo opposita

68쪽

COMPENDIUM. 49

posita & aequalia sunt, & similia, eademque

aequi distantia. reliqua parallelogramma sunt. Sphaera, quem nos etiam globum dicimus, circumduhio est sive circumrotatio semicirculi, ut is in idem punctum redeat, diametro permanente. Axis , appellatur sphaerae

diameteri Conus, tu ibo nobis , & meta nuncupatus, aut etiam pyramis rotunda, est trianguli rectanguli circumductio, ut redea tur ad idem punctum, permanente immoto uno eorum latere, quae rectum angulumesticiunt. Linea quae . permanet, si aequalis alteri fuerit rectum angulum includenti, conus fiet rectangulus: si minor, obtusiangulus: si major, aculi angulus. Axis nomen lortita linea est, quae non commovebatur, Ba sis vero is circulus , qui a circumacta linea rectum angulum esticiente , describitur. Cylindrus, columnam intellige rotundam, est circumductio parallelogrammi rectanguli, reditu ad principium facto, uno latere im mobili manente, quod ipsum axis dicitur. Bases vero sunt circuli, qui a duobus circumvectis oppositis describuntur lateribus. Cu-bus figura est solida, sub sex quadratis aequalibus contenta: Octa hedrum seu figura octo basium, est figura solida sub octo triangulis aequalibus & aequilateris comprehensa.

Icosahedrum, hoc est viginti basium figu-

69쪽

so DE GEOMETRIAra, est figura solida, viginti triangulis aequalibus &aequilareris inclusa. Dodeca hedrum, id est figura 1 i basies habens, figura est solida , quam duodecim quinquanguli aequales,

iidemque cum aequia teri tum aequi anguli , complectu tur. Verum de horum natura jam

nunc philosophandum amplius est. Planis figuris in rectilineas &in circulos distributis, rectilineae sane figurae, si ad rectos angulossia per suas planicies erigantur, prisimata efficiunt. Caeterum quadratum etiam cubumessicit, si aequaliter erigantur ab aequalibus

lineae. aequali modo. Eaedem figurae ad acutos angulos earundem lateribus erectis,& ad unum aliquod punctu supra se terminatis, pyramides constituunt. Cireuli veto si ad rectos angulos erigantur, cylindros producunt: sinin te ipsos flectantur, ad unumque aliquod

supra se punctum coarctentur , coni ex eo

fiunt. Iidem si in seipsos revolvantur, quasi rorno quodam in sphaeras rediguntur. Proinde ab aequi lateris & aequi angulis, iisdemque aequalibus figuris, hae quinque solidae comprehenduntur figurae, pyramis, octa hedrum,icosa hedrum, cubus, di do de calle drum: neque praeter haec ullum potest fieri solidum, quod aequalibus aequi lateris aequi angulisque superficiebus includatur. Nam neque ex duobus triangulis, neque sub duabus quibus-

70쪽

COMPENDIUM. SIbuscunque aliis superficiebus , fit angulus solidus. Sed ex tribus triangulis aequi lateris& aequiangulis , primae pyramidis angulus constat: ut ex quatuor octa hedri,&ex quinque icosahedri. Sed sub sex, quales dixi, triangulis, solidus angulus nequit contineri. Cum enim sit quivis angulus hujusinodi trianguli, bes recti anguli: hi sex anguli quatuor rectis aequales erunt. At enim omnis

angulus solidus , paucioribus quam rectis angulis quatuor conficitur,eo quod quatuor recti anguli jam ad planam superficiem extenduntur atque laevigantur. Atqui nec una, nec etiam duabus planis superficiebus angulus solidus ullus contineri potest. Porro ex tribus quadratis conflatur angulus cubi: ex quatuor solidum angulum confici impossibile est, ob praedictam causam. Item ex tribus quinque lateris, aequi angulis illis & aequi lateris, do-

deca hedri angulus constat: ex quatuor vero, solidus angulus nul 3 modo componetur.

Cum enim in hujusnodi quinque latera figura quivis angulus sesquiquintus sit ad rectum, quatuor id genus anguli majores utique erunt quam sint quatuor recti. Neque vero sub multi lateris reliquis figuris quantumvis aequilateris & aequi angulis, fieri potest angulus ut solidus comprehendatur, quia idem absurdum obstat. Quo fit, ut praeter dictas

d i quinque