장음표시 사용
71쪽
3x DE GEOMETRIA quinque solidas figuras nulla omnino constitui possit, quam aequales, eaedemque Maequi laterae D aequi angulae superficies complectantur. Haec res tantae admirationi fuit priscis Philosophis, ut etiam epigrammat hasce figuras venerati sint, fere in hunc sensu. PIthagora inpentum sapientis, quinque Platonis, Pythagoras repetit Plato, qyas docuitque gura,
Proximus Euclides celebre est his nomen adeptus. Enimvero earum mutuam se inter proportionum rationem universo attribuerunt. Pyramidem quidem igni respondere dicebant, quod sursum tenderet. Aeti octa hedrum, quod hac & illac extendatur id genus figurae. R quae icosa hedrum, quod in multas partes Vergat, angulosque hinc inde quasi diffundat. Cubum terrae assignaverunt, nimirum constantissimum: sphaerae autem, hoc est coulo , quod quia ex pentagonis conflatum est, angulorum numero reliquis praestaret, ea que ratione & capacius esset, & ad sphaerae naturam propius accederet. Sed haec quidem hactenus de solidarum figurarum qualitate: pergamus modo ad methodum, qua area huiusmodi figurarum sub mensuram ve
Ergo rectangula, ut cubus & ptisma quod ab altera parte longiore superficie natum est,
eodem modo dimetiri licet, quo in planis de
72쪽
COMPENDIUM. I de quadrato & altera parte longiore figura tradidimus: idque ipsum, suppetias ferente Arithmetica. ut in cubo , quater quatuor sunt sedecim : iuisus haec ipsa quater, sexaginta quatuor, si latera cubi quaternatio κconstent. Et in eo quo de diximus, prismate, quatuor bis sunt octo : ea bis, sedecim, siquidem eo modo se hujus serratilis latera habuerint. Et haec quidem horum dimetiendorum est via. Reliqua s ulida parallelepipedas id genus sunt, quorum superficies qui- hus includuntur , invicem sunt aequi distantes) quae non sunt rectangula, possunt sub dimensionem venire, ad ea coaptatis rectangulis. Nam quo modo super eadem basi existentia. & inter easdem aequid istantes lineas parallelogramma aequalia sunt:& iterum, quemadmodum triangulus intra easdem parallelas, & super eandem basin constitutus cum parallelogrammo , ejus est dimidium : atque haec quidem in planis: eadem ratione etiam in solidis, prisma basin triangulam habens, & super una aliqua basi cum parallelepipedo constitutum , intraque easdem aeque distantes superficies, ejus parallelepipedi dimidium est. At prismata, quae non sunt parallelepipeda, neque basin habentia triangulam,& ipsa dividuntur in prismata alia , quorum bases sunt triangulae,
73쪽
deinde eorum dimensio similis est dictorum, sicut in planis reliquas figuras, neque triangulas, neque parallelogrammas diximus dimetiendas, mediante divisione in triangulos. Iam quoniam quaelibet pyramis triens est ejus prisnatis, quod eandem basin habet,& aeque altum est: sicut appendix habetur octavi capituli, duodecimi libri elementorum Euclidis nimirum etiam pyramidis dimensio per prisma invenietur. Atque Octa-hedrum etiam , & do deca hedrum, &icosa-hedrum si in pyramides suas dividas, per has.' deinde eorum quantitatem venari possis: quae divisio ita absolvitur, si planae eorum superficies quibus comprehenduntur, ad
centrum coarctentur : videlicet, ut pyramidum harum bases sint externae illae supersicies o omnium vero acumen seu vertex, idem intrinsecus centrum. Cylindrus quidem, eo quod continentibus circulis constat, eandem iis qui ejus dimensionem aggrediuntur, dissicultatem afferet, quam ipse circulus. Videtur tamen , siquidem latitudini aequalis sit altitudo qua erectus est, cubo qui mediussit duorum, quorum alter et cylindro inscribatur, alter vero circumscribatur, aequalis
esse. Sin inaequalis sit altitudo, ei prismati, quod medio loco proportionale est inscripti 5 circumscripti huic cylindro serratilis. Ita fiety
74쪽
flet, ut & cylindri quantitas haberi polIit,
cognita cubi vel serratilis dimensione. Conus autem triens est cylindri ejus, qui eandem bisi habuerit, di altitudinem, argumento undecimi capituli i1 libit Element. Euclidis, ut hujus quoque mensura ex cylindro constet. Quin & sphaera aequalis habetur ei cubo, qui media proportione intervenitd auscubis, quorum unus ei inscii batur, alter circumponatur: unde fit, ut ex cubi di. mensione sphaerae quantitatem assequi licear. Et, ut in unam summam omnia contraham, quemadmodum in planis diximus , per qua drati & altera parte longioris dimensionem, etiam reliquarum planarum superficierum quantitates innotescere: eodem modo etiam
insolidis intelligendum est per cubum, id prisma, quod ab altera parte longiori ortum est superficie, etiam reliquarum solidarum figurarum ad quantitatem posse deveniri. Proinde haec satis sit de dimensione solidarum figurarum dixisse.
Dicatur etiam nobis de augmento, hoc est , quomodo duplae triplaeve esticiantur, aut alio quovis modo augeantur. Etenim qui perspectam habere hujusmodi incremetorum rationem velit, prius hoc cognovisse eum opus erit, quod si tres rectae lineae ordini suo Geometrica proportionalitate collocen d tur,
75쪽
s6 DE GEOMETRIAtur , quemadmodum se prima habebit ad tertiam neque interest quicquam, a mi- mori ne vela majore incipias in eodem modo se habebit quadratum primae ad quadratum secundae, quae est appendix propos I9 lib.
Elem. Euclid. 6. Praeterea si quatuor eodem modo proportionales lineae ponantur, quae ratio est primae ad quartam, eadem est cubilineae primae ad cubum lineae secundae. Vtrumque in numeris facile patet. Sint enim tres numeri proportionales, duo, quatuor,
octo. Igitur quae est proportio binarii ad
octonarium, eandem quadratum binarii obtinet ad quadratum quaternarii: nimirum quatuor ad sedecim, quorum numerorum alter binarii est quadratum, alter quaterna
rii. Ergo ut duo ad octo sub quadruplam rationem obtinent, nimirum a minoribus auspicanti : sic binarii quadratum, quatuor ad sedecim , quod est quaternarii quadratum. Nam & haec ratio est sub quadrupla. Iterum sint quatuor numeri proportionales , duo, quatuor , octo . sedecim. Igitur hic etiam quae est proportio binarii ad sedecim, eandem habet cubus binarii ad cubum quaternarii. ut , bis duo sent quatuor: haec bis sumpta, octo eniciunt, qui est cubus binarii. Rursus quater quatuor sunt sedecim et haec quater , faciunt sexagintaquatuor , cubum
76쪽
COMPENDIU M. 3Τvidelicet quaternarii. ut igitur binarius ad
sedecim est sub octuplus, sic & cubus binarii
octo ad cubum quaternarii , sexagintaqua. tuor, sub octuplus existit. Q mecum ita sint, ad propositum accedamus. Proinde si voluetimus quadratum, aut cubum quacunque ratione majoresti facere, si quadratum, accipimus unum ejus latus, & praeterea aliam rectam lineam, quae in tantum excedat dictum latus,in quantum nos propositum quadratum augere instituimus: hisque interponimus tertiam medio loco inter has proportionalem, ut omnino tres sint proportion
tes lineae, prima latus propositi quadrati, secunda medium proportionale: tertia vcris,
ea quae hac ratione se habet ad primam, qua se id quod quaerimus quadratum , ad propositum debet habere. Iam si describamus quadratum cujus latus sit media illa linea, id se
habebit ea ratione ad propositum quadratum , quo modo tertia linea primam seperat: quod quia fit ea ratione, secundum quam nos propositum quadratum voluimus majusessicere, jam res confecta est. Cubum posero si majorem reddere voluerimus, adhuc ejus accipimus unum latus, & deinde aliam lineam, cujus ad latus dictum ea sit proportio, quae debet esse ejus quem quaerimus cubi ad propositum. His duas alias medio loco
77쪽
18 DE GEOMETRIA proportionales interjiciemus , ut sint omnino quatuor lineae continuo proportionales; prima , si a minore ordiamur, cubi latus: secunda , ei proportionalis : tertia , & ipsa in eadem proportione ad secundam se habens: quarta demum ea sit ad primam proportione, qua cubus major factiis ad propositum existet. Ergo si cubus describatur, cujus t tus sit secunda : is eam obtinebit ad propositum cubum proportionem, quae est quartae lineae ad primam: haec autem erat ea ipsa, secundum quam cubum majorem facere institueramus. Ergo is cubus ad secundam lineam descriptus, ea qua voluimus propor tione se ad propositum habebit. Hoc artificio usus est Plato tum temporis, cum Athe nas pestis invasisser, datumque oraculum e Gset, fore ut malo hoc liberarentur, si aram Apollinis duplam effecissent. erat autem jam ante cubus. Haesitantibus tum Atheniensibus: Videtur mihi, inquit Plato, Deus neglectae vos Geometriae ergo incessere. Post
discipulos suos jussit inter duas lineas, quarum una aequalis arae lateri erat, altera ad
hanc dupla, invenire alias duas lineas proportionales medio loco inter praedictas. eo enim denique pacto aram duplam effici posse, si cubus describatur, cujus latus sit linea illa, quae lateri prioris cubi esset in
78쪽
ordine proxima. Quin etiam si altera parte longior fuerit figura, vel etiam solidum ex ea ortum, in his augendis eadem utemur methodo, huiusmodi nimirum proportionalitate tam pro latitudine quam pro longitudine seorsim exposita , quia nimirum haec inter se sunt inaequalia: deinde ex utraque proportionali serie duas debitas lineas, quae sane erunt inaequales ad constitutionem majoris superficiei aut solidi sumemus. In augendis reliquis vel parallelogrammis vel parallelepipedis, primum augebimus ea quibus ipsorum dimensionem habere possumus: tum eo modo aucta coaptabimus figuris ejusde omnino generis cujus proposita est
figura) quae&supra iisdem basibus, & vel
intra easdem parallelas, vel inter easdem aequidistantes superficies consistanti tunc expetitam auctionem habebimus. Neq; aliter res habet cum reliquis figuris. Si enim eas in triangulos aut in prismata quorum bases sint triangulae dissecuerimus, ubi proposita ratione partes hasce auxerimus, & eas deinde ς' nanctas ita concinnaverimus, ut fiant fi- una ejusdem generis cum ea quae augeri debuit, propositi nos compotes factos esse certum est. Ex serratilibus etiam pyramidas eodem modo augebimus, easque item figuras , quae in pyramidas resolvuntur. Quia enim
79쪽
6o ME GEOMETRIA enim pyramis est tertia pars prismatis, super eadem basi constituti, Sc aequalis altitudinis existentis , ex rata portione omnium quid fieri debeat, cognoscemus. Caeterum circuli & sphaerae , reliqua item solida , quorum bales sunt circuli, augentur & haec omnia incremento earum figurarum habito, quibus aequales eas censeri diximus, ut deinde similes harum figurarum quas augere volumus,auctis illis quae circunscribuntur& inscribuntur, coaptentur. At enim ratio eas augendi exacta magis certiorque est, sumptis earum vel diametris, vel basibus, vel etiam axibus, tumque ea methodo quam detectilineorum lateribus tradidimus,proportionalibus inventis.Id in circulo fit sola diametri ratione , itemque in sphaera. quod in hac eadem linea & axis est, & diameter. In conis autem,& cylindris,& a basium diame . tro, & a propriis axibus haec proportio quaeri debet.nam si ex proportionalitate utroque invento figura qualem petimus describatur, absolvimus jam auctionem institutam. Quo
igitur pacto augeri & planae figurae & soli ti
possent, in hunc modum ostensum sit. si a ne hoc nobis intactum relinquendum est, quae sit inter similes superficies proportio ad suorum laterum vel diametrorum propor
tionem , tum quae in solidis. Est igitur similium
80쪽
COMPENDIUM. Crtium superficierum planarum inter se ratio dupla ejus, quae est laterum vel diametrorum invicem. Proinde ea proportio ad alteram dupla dicitur, qualis tribus continue proportionalibus lineis expositis, est prim ς ad tertia collat , respectu ejus quq inter primam & secundam intercedit. Tripla proportio alterius proportionis est, qualis est ordine eollocatis quatuor continue proportionalibus lineis, proportio primae ad quartam, collata cum ea
quae est primς ad secunda: sic quadrupla proportio una alterius esse dicitur, qualis est quinq; proportionalibus lineis continue expositis primae ad quintam proportio, respectu ejus quς est primae ad secundam, eodemque modo deinceps una semper addita linea, quamquam numeri ad hoc ostendendum plus perspicuitatis afferunt. Sint enim quatuor numeri se invicem dupla proportione
insequentens : octo, quatuor, duo, unum. nam etsi unitas non est numerus, tamen ad
proportionalitatem apta est.) Igitur octo- . narii ad binarium proportio dupla esse dicitur proportionis ejus, quae est octonarii ad quatuor. At octonarii ad unitatem propo
tio tripla dicitur esse ejus proportionis, quae est inter octo & quatuor. Quod dico de proportionalitate hac numeris dupla proportione sese excipientibus: idem de omni