Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

81쪽

c, DE GEOMETRIA continua proportionesitate intelligendum est,ut quaevis proportio ad proxime sequentem minorum proportione dupla sit, deinde tripla,post quadtupla,&sic deinceps semper

uno accedente ad denominationem, ut modo dictum est. Considerandu praeterea,anne tam solidae quam planae figurae,iateribus col- locatis dupla proportione, aut etiam diametris,eandem habeant proportione ad eam quae est laterum vel diametrorum. Dupla sane est proportio planae superficiei ad aliam ejusdem generis, collata ad eam quae intercedit lateribus vel diametris, sed in solidis una proportio ad alteram tripla est. Id in numeris sic demonstrabimus. Sint enim duo

quadrati numeri, unus a latere octo unitatum ortus ut sexaginta quatuor .altera a quaternario productus,sedecim. Latera quidem duplam rationem constituunt, sed quadrata quadruplam. est autem quadrupla proportio duplae proportionis dupla: hoc enim modo etiam proportio octonarii ad binarium se habebat, collata proportioni octonarii ad quatuor. Idem ut in solidis inveniamus, ponantur cubi ab iisdem quadratis orti, octies sexaginta quatuor , quae sunt quingenta ac duodecim, quater sedecim, sexaginta quatuor. Iam proportione dupla sese horum lateribus respicientibus, Octupla est cuborum.

82쪽

Est autem octupla proportio , duplae tripla: ita enim se proportio inter octo & unitatem habebat, ad proportionem quae est octonarii ad quaternarium. Circuli vero & sphaerae, de solida quae pro basibus circulos habent, quoniam in his diametri laterum obtinent rationem, fit ut inter se circulorum proportio dupla sit ejus quae est diametrorum: sphaerarum autem, Neorum solidorum quae circulis insistunt, tripla, nimirum ut quae diametrorum in sphaeris est proportio invicem , ejus tripla proportio sit ipsarum sphaerarum, in reliquis solidis quae diximus tripla proportio eorum invicem est respectu ejus, quae est diametrorum in basibus: ut apud Euclidem capita secundum, I 3 & I9. Haec quidem ita habent in aequi lateris rectilineis figuris , item in non rectilineis. Rectilinea

vero inaequalium laterum , quae tamen inter

se sint similia plana, in proportione se habent , quae dupla est ad proportionem laterum, non quidem in genere omnium, sed eorum quae sunt similis rationis, solida autem

in tripla. Sed de his ipsis hoc quod de similis rationis lateribus dixi, intelligo. Ea autem sunt latera similis rationis, cum qua an intecedentia latera unius figurae , cum antecedentibus alterius,& sequentia unius cum sequentibus alterius proportionem obtinent. Vrs

83쪽

σ DE GEOMETRIAVt, innumeris, sint figurae Arithmeticae similes planae duae inaequalium laterum , quadrilaterae altera parte longiorest una habeat latera, hoc quidem octo, illud sex unitatum:

altera, quatuor & trium unitatum latera serat. Antecedentia igitur dicuntur in majori figura, latera octonario constantia r in minori, quaternione: sequentia vero dicuntur in majori figura , senario comprehensa latera et in minori, ternario. Estque proportio antecedentium in majori figura ad antecedentia minoris, itemq; consequentium majoris ad consequentia minoris, eadem , nimirum dupla. In ea proportione igitur, quae

ad hanc similium laterum proportionem sit dupla, superficies ipsae se habebunt: solida

vero, in ea quae sit tripla. Nam superficierum alterius summa est,duodequinquaginta unitatum tantum enim octies sex efficiunt) alterius , duodecim , quod est quater tria. Sed quadragintaocto ad duodecim eam consti tuunt proportionem , quae ad similium laterum proportionem sit dupla. Iam sive ante-eedentibus sive consequentibus lateribus vel subjeceris, vel praeposueris etiam alium

numerum proportionalem, ut sint tres utrinque proportionales numeri, videbis veritarem praecepti hujus quod nimirum quo modo proportio quae est primi ad tertium, se habet

84쪽

COMPENDIT M. C habet ad eam qua ptimus secundum respicit: si e habebit etiam se proportio numerorum quadraginta octo de duodecim, superficieruscilicet , ad laterum similis rationis proportionem. Rursus solidorum, si superficiesper majora latera multiplicaveris , prioris quidem summa est trecenta octogintaquatuor, posterioris duodequinquaginta: sin per minora , hujus triginta sex, illius ducenta Mduodenonaginta t utrobique intercedet octu pla proportio,quae ad proportionem similis rationis laterum est tripla. Atque iterum si subjicias antecedentibus vel proponas

subsequentibus alium adhuc numerum proin portionalem quartum, ut sint quatuor ordione proportionales numeri ,etiam hic conspicies regulam valere :quod sicut quae est primi ad quartum proportio, se habet ad eam quae est inter primum & secundum, sic & solidorum invicem proportio se habet ad proportionem eorum laterum quae isent similia. Ex quibus liquet, etiam reliquas similes vel planas, vel etiam solidas figuras eodem modo se habituras. Licet sand, si quis id velit, etiamsi quae non fiunt similes, eas in similes convertere. Quod si omnino irrationalibus constent lateribus, comministi possumus illis

rationes, partitione laterum in lineas comis

mensurabiles: atque eo modo dissimilibus e figuo

85쪽

66 DE GEOMETRTA figuris in similes commutatis, considerare atque invenire proportionalitatem ad latera

mutatarum. Caeterum latera commensura

bilia sunt aut longitudine,aut potentia. Longitudiue quidem commensurabiles lineae dicuntur, quae certa magnitudine sub mensura cadunt. quod ita fit, ut eam habeant invicem proportionem, quae est numeri ad numerum: earum qi quadrata proportione habeant eam, quae est quadrati numeri ad quadratu. Comis mensurabiles potentia tantum seu facultate dicuntur, qu ς non mensiurantur certa magnitudine: neque earum est invicem proportio, quae numeri ad nurnerum meque earum quadrata proportionem habent, qualis est numeri quadrati ad numerum quadratum: sedeam, quae est numeri ad numerum. Eo modo commensurabiles dicuntur esse lineae, latus quadrati, quam & costam nominant, &ejusdem diameter: potentia nimirum , non etiam longitudine. Nam neque magnitudine certa commensurantur,& proportionem quae sit numeri ad numerum non habent. Nec earum quadrata ea se respiciunt pro portione, quae est quadrati numeri ad numerum quadratum : quamvis inter eorum

quadrata ea est proportio, quae numeri adnumerum , dupla videlicet. At numeri in dupla constituti proportione duo, nequa-

86쪽

quam ambo quadrati esse possunt, Nullos

enim unquam quadratos invenies numeros,

qui sint in dupla proportione invicem. quod ita intelliges, si numeros quadratos ordine consideres: ut sunt novem, sedecim, vigintiquinque, triginta sex, & reliqui quotquot

volueris. nullum enim eorum invenies, ad alium ullum quadratum numerum in proportione stantem dupla. Ergo quadrata di metri & costae dupla in proportione existen tia, qualis inter quadratos esse numeros nequit i sed inter numeros simpliciter interve nit, ostendunt diametrum ad latus non longitudine commensurari, sed facultate. Porro latera, quibus praeterquam quod neque ulla magnitudine certa commensurantur, neque proportionem habent qualis est numeri adnumerum , neque eorum quadrata eam pro portionem constituunt, quae est numeri quardrati ad numerum quadratu,etiam hoc accidit: quod etiam quadratoru quae ab iis fiunt. proportio non est ut numeri ad numerum:ea Vero neque longitudine, neque facultate

sunt commensiurabilia, sed irrationalia seu surda ob hoc vocantur. Enimvero quae figurae planae essent, quae solidae, quomodo

earum areae invenirentnr, quomodo auge

rentur, quae similium planorum proportio invicem esset ad proportionem laterum aut ea dia-

87쪽

63 DE GEOMETRIA diametrorum similis rationis, tum quae solidorum , necnon qua ratione dissimilibus figulis in similes transformatis, quam N ipsa proportionem ad proportionem

laterum haberent, ut dignosceretur: praeterea quae latera essent longitudine commensurabilia , quae potentia: quae demum neque hoc modo neque illo, sed omnino incommensurabilia haberentur, irrationaliaque haec omnia explicavimus qua potuimus dc brevitate, &perspicuitate. Quapropter ad hujus voluminis finem progrediemur, quem imponemus , prius eorum inter quae ec nos est aliquid interiectum , dimetien dorum methodo indicata, & totius universi Proportio comprehendi, ejusdemque adminiculo sapientia rerum effectrix in ipus operibus quantum ejus humana fert natura,

cognosci potest. Ad eam methodum id cum primis facit, quod Euclid. cap. 4. sexti Element. libri proponit: nempe in aequi angulis triangulis proportionalia esie latera ea quae sint circa aequa les angulos. Igitur posita quacunque ma gnitudine a nobis distante, in cujus dimen, sionis cognitionem pervenire velimus, cu randum id erit, ut duos triangulos consti tuamus, aequiangulos illos, quorum alterius

unum latus proposita sit magnitudo , alte

88쪽

COMPENDI V M.

rius trianguli ipso tactu a nobis dimensio haberi possit: per quam deinde alterius trianguli , cujus unum latus proposita est magnitudo, dimensio ex proportionum collatione innotescat:quo facto, id quod quaerimus eo-gnoscetur. Ad hoc dioptrς usus conducit.Sit, exempli gratia , magnitudo nobis aliqua dimetienda, ut altitudo AB. Ab eo puncto quod est ad terram, ducatur in planicie qua- , - dam linea B C, quae rectos angulos cum proposita altitudine e sticiat. constituatur dioptra,ut aequaliter distet ab altitudine proposita, nimirum super linea B C sit in linea

D E. Iam ex summo dioptrae, visu concipiatur utrinque linea recta,qΗae tota conjungat inter se punctum C cum puncto A. Eo modo fient duo 'rianguli similes & aequalium angulorum, scilicet ABC,&ED C. Sunt enim anguli invicem aequales , C A B , de C E D:4tem A B C & E D C.habent autem

communem angulum uterque, angulum EC D. utiq; sibi ipsi aequalem. quoniam igitur angulus ABC aequalis est angulo ED C,

. proportionalia erunt latera circum illos. erit

igitur, ut linea C D ad lineam D E, sic linea C B ad lineam B A. Si igitur ponamus, lineam ED ad lineam D C esse decuplam, erit etiam linea A B ad lineam BC decupla. Igitur metientes lineam B C, si eam inveneri-ι e , mus

89쪽

o Da GEOMETRIAmus exempli causa) ulnarum centum, dicemus , altitudinem A B esse ejusmodi ulnarum mille. itaque nobis dimensio propositae quantitatis constabit, ex qua etiam dioptrae D E quantitas habebitur. Iterum, quoniam cangulus C AB , angulo CED aequalis est. latera circa eos erunt proportionalia. Erit igitur , ut linea D E ad lineam E C, sic etiam linea A B ad lineam A C. Iam vero per hanc proportionalitatem cum habeamus lineam B A, ea mensura usi, etiam quantitate lineae AC cognoscemus. Quod si planicies lineae BC invia sit, ut si forte fluvio intercepta, aut alio modo obstructa sit, ita ut tactu metiri linea B C non liceat, ejus ipsius prius di ista methodo quantitatem indagabimus, deinde ad lineae A B dimensionem accedemus. Sit enim iterum lineae B C, ad rectos angulos in eodem plano coaptata linea C F: ponaturque dioptra D E , super linea CF, ut aequi distet lineae B C. Iam e vertice dioptrae E dispiciatur utrinque recta linea , a puncto B ad F pertingens. Reliqua fiant ad praescriptum methodi quam modo diximus, eoque mo do cognita quantitate lineae B C, procedendum est, ut diximus , ad propositae altitudinis dimensionem inveniendam. Potest etiam

alio modo, si quem dioptra deficiat , hac methodo idem investigari. Quemadmodum

90쪽

COMPENDIUM. II dum olim Archimedes interrogatus a nonnullis , quaenam esset altitudo ejus pyramidis, quam tum forte in conspectu habebant, prompte admodum baculum umbrae quam a Sole projiciebat pyramis, ad rectos anguinios infixit, ut idem esset terminus utriusque umbrae, dc ejus quae a pyramide, & ejus quae a baculo cadebat. Hoc modo confectis duobus triangulis, sic intulit: Quae est ratio umbrae in planum a baculo projectae ad ipsum baculum , eadem est umbrae pyramidis ad ipsam pyramidem. proinde dimensione umbrae quam pyramis projiciebat, interrog*ntibus ipsam etiam pyramidis altitudinem ostendit. Et haec quidem methodus est dimetiendi magnitudines rectilineas. Circularium etiam, & sphaericorum collatione facta ad ea quae sunt horum similia, eorum dimensio ex proportionum collatione habetur. Statim enim antiqui ambitum terrae, quam globum esse statuerant, sphaerae coelesti commensuraverunt. Divisa enim hac in trecentas & sexaginta partes , quarum par tiu singulae eas distinguentes lineae centrum terrae contingant, unius portionis coelestis extremitates in superficie terrae conspicati,

intervallumque id dimens, hocque spacium

deinde per trecenta & sexaginta multiplicantes, productum ex hac multiplicatione.