Le opere di Galileo Galilei

211쪽

BS, seu CB ad BS; est autem CB ad BS ut DB ad Bl ergo

patet propositum. THEOREM V, PROPOsiTIO V. Rasin emporum deseensuum super planis quorum diversae sint inelinaιionea et onssitudines, ne non elevationes inaequakε, eomponiιur eae raιione longitudinum ipsorum planorum e eae ratione suddupla elevationum eorundem permutaιim accepιa.

Sint plana AB, AC Fiq. 54 diversimode inclinata quorum longitudines sint in-quales. et inaequales quoque elevationes. Dico rationem temporis demensus per AC ad tempus per A compositam esse ex ratione ipsius AC ad AB, et exsuddupla elevationum earundem permutatim accepta Ducatur

enim perpendiculum AD, cui occurrant horigontales BG, CD, et inter elevationes A, A media sit AL; ex puncto vero Lducia parallela origoni occurrat plano AC in F erit quoque A modi inter CA, AE. Et quia tempus per A ad tempus per AE est, ut linea A ad AE tempus vero per AE ad tempus per AB, ut eadem A ad eandem AB patet, tempus pera ad tempus per A esse, ut A ad AB. Demonstrandum tiam restat, rationem A ad Am mponi ex rationem adis, et ex rationem ad L, quae est ratio suddupla elevationum A, AG permutatim accepta. Id autem manifestum sit positam inter A AB ratio enim A ad AC est eadem cum ratione L ad AD. seu GA ad AL quae est suddupla rationis elevationum GA AD, et ratio C ad AB est ipsame

ratio longitudinum ergo patet propositum. THEOREMA VI, illo sITio VI. Si a punet sublimi ne imo iretili ad horizonιem erretidueantur quaelibe plana usque ad Deumferenιiam inelinata, tempora deseensuum per ipsa erun aeq-lia.

Sit circulus ad Origontem G erectus Fig. 55ὶ eulus

ex imo puncto, nempe ex contactu cum horigontali sit erecta diameter FA, et ex puncto sublimi A plana quaelibet inclinentur usque ad circumferentiam AB, AC. Dico, tempora descensuum per ipsa esse aequalia. Ducantur BD, C ad dia-

212쪽

metrum perpendiculares et inter planorum EA, AD altitudines media sit proportionalis M. Et quia rectangula M, AD aequalia sunt quadratis AC, AB; ut autem rectangulum AE ad rectangulum AD, ita A ad AD; ergo ut quadratum C, ad quadratum AB. ita E linea ad lineam AD. Verum ut linea A ad A. ita quadratum I ad quadratum D ergo quadrata linearum CA AB sunt inter se ut quadrata linearum IA AD , et ideo ut C linea ad AB. ita I ad AD. At in praecedenti demonstratum est, rationem temporis descensus per A ad tempus descensus per AB, componi ex rationibus C ad AB et D ad AI quae est eadem cum ratione B ad AC; ergo ratio temporis descensus per AC ad tempus descensus perAB oomponitur ex rationibus C ad AB, et A ad AC. Est

igitur ratio eorumdem temporum ratio aequalitatis, ergo palei propositum. Idem aliter demonstratur ex meis mechanicis, nempe

Fiq. 56 mobile temporibus aequalibus pertransire CA, DA Slt enim B aequalis ipsi DA, et ducantur perpendiculares

BE DF; constat ex meis elementis mechanicis momenium Ponderis super plano secundum lineam BC elevato ad momentum suum totale esse, ut BE ad BA, vel ad A, eiusdemque ponderis momentum super elevatione AD ad totale suum, mentum esse, ut DF ad A, vel A ergo ejusdem ponderis momentum super plano secundum D inclinat ad momentum

super inclinatione secundum ABC est, ut lineam ad lineam m. Quare spatia, quae pertransibit idem pondus temporibus aequalibus super inclinationibus CA, A, erunt inter se ut lineae Ε, DF, ex propositione secunda primi libri hujus de motu aequabili in eius converso. Verum ut BE ad DF, ita demonstratur se habere AC ad A ergo idem mobile temporibus aequalibus pertransit lineas CA, A. Esse autem ut BE ad DF, ita C ad A. ita demonstratur:

iungatur CD. et per D et B ipsi AF parallelae agantur L secans C in puncto I et ΒΗ eritque angulus ADIaequalis angulo DCA, cum circunferentiis A, AD aequalibus insistant, estque angulus A communis ergo triangulorum

213쪽

aequiangulorum AD, DA latera circa aequales angulos p portionalia erunt, et ut C ad AD, ita DA ad M, id est B ad AI seu A ad AG hoc est B ad DF; quod erat probandum. Aliter idem magis expedite demonstrabitur sic: Sit ad origontem AB Fig. 57 erectus circulus, cujus diameter C ad origontem sit perpendicularis ex termino autem sublimi D inclinetur ad circumlarentiam usque quodlibet planum DF. Dico, descensum per planum DF. et casum per diametrum DC eiusdem mobilis temporibus aequalibus absolvi. Ducatur enim FG origonii A parallela, quae erit ad diametrum DC perpendieularis, et connectatur re et quia tempus casus per DC ad tempus casus per D est, ut media proportionalis inter CD, BG ad ipsam G media auten inter CD DG est DF, cum angulus DF in semicirculo sit rectus , et FG perpendicularis ad in tempus itaque casus per DC ad tempus casus per D est ut linea D ad BG. Sed jam demonstratum est, tempus descensus per D ad tempus casus per D esse, ut eadem linea D ad G tempora igitur descensus per DF. et casus per DC ad idem tempus casus per D eandem habent rationem ergo sunt aequalia. similiter demonstrabitur, si ab imo termino C elevetur chordas ducta ΕΗ horigoni parallela et juncta ED, tempus descensus per M aequari tempori casus per diametrum C.

COROLLARIG. l. Hinc colligitur tempora descensuum per chordas omnes B terminis C, seu D perductas esse inter se aequalia. COROLLARiUM II.

Colligitur etiam , quod si ab eodem puncto descendant Derpendiculum ei planum inclinatum, super quae descensus liant temporibus aequalibus, eadem esse in semicirculo, cujus Miameter est perpendiculum ipsum. COROLLARis. III. Hinc colligitur lationum tempora super planis inclinatis tunc esse aequalia, quando elevationes partium aequalium

214쪽

184 DiALosui DELLE AEUOVE SCIENZEeorundem planorum fuerint inter se, ut eorundem planorum

longitudines ostensum enim est, tempora per CA, D in penultima figura esse aequalia, dum elevatio pariis AB aequalis AD, nempe BE ad elevationem DF verit, ut C ad A.

mne ais ιempora attonum per partes planorum diversimode inclinaιorum une esse aequalia quando elemιiones planorum vel partium sint v quadraι earundem parιium, vel

ad quadratum plani Ba Moes Exad D duplam habere pr portionem ejus quam habe EI ad A.

SAGR. Ospenda in graaia . . peris pocila lettura delle cos che seguono, in che O mi v risolvend wpra certa contemplagione che pur ora mi si rivolge per a mente, aquale quando non si una allacia, non e 1οntana deli essere uno schergo graZioso, quali son tuti quelli delia natura delia necessita. manifesto che se da un punt segnat in un plano origgon tale si saranno produr Opra i medesim plano infinite line rette per tuti i versi, Opra iascuna elle qualis intenda voversiis punio con moto equabile, Ominciandos a uoue tuiti Beli' istesso momento di tempo dat s gnato punio, e che siano te velocita di tuti eguali, si ver-ranno conseguentemente a figura da essi punii mobili cir- oonserenae di cerchi tuitavi maggiori e maggiori concentrici tuti intorno at primo punt segnato, iust in quella manter che ediam farsi ali indeite deir acqua stagnante, dom che da alto vi si cadiato un assetto, a percossa delquale serve per a principi di Oi verso ulte te parti, resta come centro di ultim cerchi che vengon disegnati suc-

215쪽

G ORNATA TEREA. 185

cessivamente aggior e maggiori da esse ondeite Ma se nolintenderemo u pian eretis ali origκοnte e in esso iano notato u punt Eublime, da quale si partano infinite in inclinato Mondo tuit te inclinagioni sopra te quali ci figuriam discender mobili gravi, claschedun con moto naturarumente accelerato con uelle vel iiii obe alle diverse inclinagioni eonvengono post che tali mobili discendenii iussercontinuamento visibili in che sorte di in I vedremo notcontinuamente dispostia Qui nasce la mi maravigila, mentre te precedonti dimostrationi mi assicurano che si edranno sempro tutu vir istessa circonserenga di cerebi successiva- mente crescenii, secondo heri mobili Mil scendere si annopi e in successivamente allontanando a punis sublime

dove fu i principio delictor adulara e per egii dichia rami segnis i punio sublime . Fig. 58), dat quale discendan lineo secondo qualsivogliano inclinagioni AF, Η, e laperpendicolare AB, ella quale prefici punii C, D descrivanslintomo ad essi erchi che passino ne punt Λ, segando letinea nolinate ne punt FHB, EGI E manifesto, per te antecedenti dimostragioni, che partendos nest istesso tempo dat ternaine A mobili discendenti per esse linee, quando run sarii 3 E. I altro ara in Gera altro in I. o cos continuando diacendere si troveranno Miristesso momento di tempora F, Η, Β, e continuando di voversi questi e altri infinii peris instnito diverso inclinagioni si troverann sempre succes aivamente elle medesime circonserenge salte aggiori e mag-giori in infinito Dalle due specie unque di moti, delle qualila natura si serve, nasce con mirabit corrispondente diversitala generagione di cerchi infiniti. Quella si pone come in sua sede e principio originario ne centroi infiniit cerchi concentrici questa si costituisce ne contatio sublime delle infinito circondirenae di cereii tuti tra loro eccentrici. Quelli nam nora moti tuti eguali ed equabili questi a moti utitsempre inequabili in se tessi, e diseguali in dati altro tuti che wpra te differenti infinite inclinagioni si sercitano. Ma tu aggiunghiamo, ohe se dat due uni assegnat per leemanaaioni Oi intenderem recitare line non per due u

216쪽

persici sole ori Emniale ed retia, a per initi i versi, si come da uelle, cominoiandos da n sol punis, si passava alta produrione di cerchi da minimo a massimo, cosi comin-ciandos da n sol punt si verranno producendo infinitessere, o ooiam dire una sera che in infinite grandegae si andra ampliando. questo in due maniere: i , o vi porroragine ne centro, Ovvero ella circonserenga dicioli flare. SALv. a contem plagione e veramente hellissima e proporaionata ir ingegno de Sig. Sagredo. SinP. Io regio almen capace della contemplagione soprale due maniere de produm conra duo diversi moti naturalia orchi e te sere se, ne della produxione dipendente dat moto accelerato e delia sua dimostragione non son in tutis intelligente: uitavi que polus assemare o tuom di tale emanagione tanto ii centro infimo quanto altissima larica superficie, mi a redere che possa essere che qualeheu nmistero si contenga in queste verme ammirande conclusioni: misiero, dico, attenente alia reagione detruniverso it quales stima essere di sorma serica ed alia resistenga delia prima causa.

SALV. Io non bo repugnanZa a crede ristesso, a simili promnde contemplaxioni si spetiano a tu alte dottrine che te nostre. dis no deve hastareta esse que me domi artesici che alle Odine seu rono e cavano i marmi, ei quali mi gli cultori industri anno apparire maravigiisse

Sint plana inaequalia et inaequaliter inclinata AE AB Fist is , quorum elevationes sint A DA, et quam rationem habet AE ad AB. eandem duplicatam habeat A ad D, Dico, tempora lationum super planis ΑΕ ex quiete in A esse aequalia. Ductae sivi parallelae origoniales ad lineam et

217쪽

vationum EF ei BD quae seceto in G. Ei quia ratio Aad A dupla est rationis A ad AB, et ut A ad D, ita E ad AG ergo ratio A ad A dupla est rationis A ad AB; ergo A media est inter EA, AG et quia tempus de-

Mensus per A ad tempus ero est ut AB ad G tem pus autem demensus per A ad tempus ero est ut Gad mediam inter AG AE, quae est AB; ergo ex aequali tempus per A ad tempus per AE est ut AB ad se ipsam sunt igitur tempora aequalia quod erat demonstrandum

Circuli, horizontem erecti est diameter perpendicula risa inis. 60ὶ De planis ex terminis A, B ad circumferentiam usque productis, quod tempora lationum super eis sint aequalia iam demonstratum est. De plano DF ad diametrum non pertingenis, quod tempus descensus in eo sit brevius, demon- Stratur ducto plano DB, quod ei longius erit et minus declive quam DF ergo tempus per D brevius quam per DB, hocea per M. De plano vero diametrum secanis, ut in quod tempus descensus in eo si longius itidem constat est enim et longius et minus declive quam CB ergo patet propositum.

Ex uncis C Fig. 6l horigontalis lineae X duo planauicunque instauiantur CD, CB, et in quolibet puncto lineae CD constituatur angulus CDF, angulo C aequalis sece autem

218쪽

lineam planum C in F, adeo ut anguli CDF, FD angulis XCE, CD permutatim sumptis sint aequales. Dico, tempora descensuum per CD, C esse aequalia. Quod autem posito

angulo CD aequali angulo CE angulus CF sit aequalis

angulo DCL, manifestum est. Dempto enim angui communi DCF, ex tribus angulis trianguli DF, aequalibus duobus rectis, quibus aequantur anguli omnes ad lineam LX in puncto C constitutis, remanent in triangulo duo CDF CFD du

bus XCE. CD aequales positus autem est CD ipsi CE aequalis ergo reliquus CF reliquo DCL. Ponatur planum C aequale plano CD , ei ex punctis perpendiculares agantur A, B ad origontalem XL, ex Cooro ad DF ducatur perpendicularis CG. Et quia angulus CD angulo Emes aequalis, et recti sunt GC, CBE, erunt trianguli CDO, CB aequianguli, et ut DC ad CG, ita C ad EB est autem DC aequalis E ergo C aequalis erit E. Cumque triangulorum AC, CGF, anguli DCA, AD anguli GFC, CGF

sint aequales erit, ut CD ad A, ita C ad H, ea permutando, ut DC ad CF, ita DA ad G seu BE. Ratio um

elevationum planorum aequalium CD. C est eadem eum ratione longitudinum DC CE ergo ex corollario primo pra cedentis propositionis sextae tempora descensuum in ps serunt aequalia, quod erat probandum.

Aliter idem duota S perpendiculari ad horixontalem AS. Quia triangulum CS simile est triangulo GC erit, ut S ad C, ita G ad CD. Et quia triangulum CF0 simile est triangulo CA, erit, ut re a CG, ita C ad A ergo ex aequali, ut S a CG, ita CG ad A. Vedia est igitur C inter F, A, et ut A ad F ita quadratum D ad

quadratum LG. Rursus, cum triangulum AC simile sit triangulo CGF erit, ut A ad DC, tam ad CF, et permutando vi DA ad CG ita DC ad CF, et ut quadratum D ad quadratum G, ita quadratum DC ad quadratum CF. Sed ostensum est, quadratum D ad quadratum C esse, ut linea DA ad lineam S ergo ut quadratum DC ad quadratum CF, ita linea DA ad FS; ergo ex praecedenti septima, cum Pla norum CD, F elevationes A, S duplam habeant ratio-

219쪽

nem eorundea planor i tempora lationum per ipsa erunt aequalia. Tugoallaia , UPoslTI X. Tempora villimum super divereas planorum inclinationes quarum elevaιiones in aequale . sun inιεν se in eorundem morum longiιudinea, sive an laιiones eae quisis sive praeee- da illis lares eae eadem aιιitudine.

Fiant lationes per ABC Hq. 63 et per ABD usque ad

horigonium DC adeo ut latio per ΛΒ praecedat lationibus per BD et per C. Dico, tempus lationis per BD ad tempus per Cesse, ut BD longitudo ad BC. Ducatur AF horigonti parallela, ad quam extendatur DB Murrens in F, et ipsarum DF, FB media ait Εἰ et ducta O ipsi DC parallela erit O media inter CA, AB. Quod si intelligatur, tempus per A esse ut ΑΒ erit tempus per B ut B. Et tempus per totam AC eritui media AO, per totam vero D erit E Quare tempus per reliquam BC erit BO, per reliquam vero meri BE. Verum ut BE ad m, ita est BD ad BC ergo tempora per BD, C

at casus per AB, B, seu, quod idem est, per orum inem AB. erunt inior a ui longitudines BD, BC esse autem inm-pua per BD ad tempus per B ex quiete in B. ut iungitudo BD ad BC, supra demonstratum est. Sunt igitur tempora lationum per plana diversa, quorum aequales sint elevatione , inter se, ut oriandem planorum longitudines sive motus stat in ipsis ex quiete, sive lationibus iisdem rasoedat alia latio ex eadem altitudine; quod erat ostendendum. THEOMMA XI, PROPOsITi XI. Si planum, in quo βι-οι- a quisis, iam ιur ιeunque, ιε-- ωιton per priorem parιem ad lampus laιionis per aequentem ει ut ipsa e prima pars ad exerasum, quo eadem pars superatur a media proporιionali inιer totum planum e primam eandem parιm.

Fiat latio per totam AB in quiete in , Fig. 6εὶ quae in cdivisa sit uicunque totius autem B et prioris miriis Ac media sit proportionalis AF erit C excessus mediae A suparia

220쪽

tem C. Dico, tempus lationis per A ad tempus sequentis lationis per C esse ut AC ad CF. Quod patet: nam tempus per A ad tempus per totam A est ut AC ad mediam AF: ergo dividendo, tempus per A ad tempus per reliquam CBorit ut AC ad CF. Si itaque intelligatur tempus per AC esse ipsamo AC, tempus per C eri CF; quod est propositum. Quod si motus non fiat per continuatam ACB, sed perinllexas ACB FH. 65 usque ad horisontem BD. cui ex F paral- ista ducia sit FE, demonstrabitur pariter tempus per AC ad tempus per retaxam C esse ut AC ad CB. Nam tempus per AC ad tempus per c est ut AC ad CF; tempus vero per B post AC ad tempus per C post eundem demensum ex M. de- γnstratum est esse ut C ad CD hoo est ut CF ad CE: ergo ex aequali tempus per A ad tempus pia C erit ui

inelinarum suam mediam superaι.

Sint origontes superior AF, insorio CD Hq. 663, inter quos secentur perpendiculum AC et planum inclinatum DF in B, ei totius perpendiculi C et superioris partis A media sit AB, totius vero DF in superioris partis BF media sit S.

dico, tempus casus per totum perpendiculum AC ad tempus per suam superiorem partem AB cum inferiori plano, nempe eum BD, eam habere rationem, quam habet AC ad mediam e pendiculi, scilicet A cum D quae est excessus totius plani DF super suam mediam S. Connectatur B8, quae erit ho-riaonialibus parallela. Et quia tempus casus M tolam c. ad tempus per partem AB est ut C ad mediam AR, si i