Le opere di Galileo Galilei

241쪽

quam B, seu CD in stat angulus A aequalis angulo ADE, et ad ipsam A perpendicularis sit E plano inclinato, et

utrinque extenso occurrens in F, et utraque AI, AG ponatur ipsi C aequalis, et per G ducatur Glliorigonti aequidistans. Dico II esse punctum, quod quaeritur. Intelligatur enim tempus casus per perpendiculum An esse AB, erit tempus per A ex quiete in Vipsa me AC Cumque an triangulo rectangulo ΛΕ ab angulo rectora perpendicu- aris ad basim A sit acta C, erit A media inter Λ, ΛC. Qt E media inter C CF lio est inter CA, I et cumfipsius A tempus ex A sit AC, eritis tempus totius AF, et EC tempus ipsius I. Quia vero in triangulo aequioruri AEDIatus ΑΕ est aequale lateri D, erit D tempus per AF, ei aest C tempus per AI ergo CD, hoc est ΛΒ erit tempus orI ex quiete in A. quod idem est ac si dicamus, An esse tempus per A ex G, seu ex fit quod erat faciendum. PROBLEMA XIlI, PROPosiTio XXXIV.

Bais plano inelinaιο, e perpendiovis, quorum idem si sublimis eminus, punctum sublimiti in perpendicula exιens reperio, eae iis obiis desidans, e per planum inolinaιum onversum ιeumque eonfletu ιempore eodem an aestim planum inelinaι- eae quieιε in ejus uperiori ιermino

Sini planum inclinatum et perpendiculum AB, AC Flo 95 ,

quorum idem sit terminus A. Oportet in perpendiculo ad paries A exiens yumtum sublime reperire ex quo mobile decidens, et per planum AB conVersum, Partem assumptam perpendievit, et planum AB, conficia tempore eodem ac solum

planiat AB ex quiete in A. Si lioriginatalis linea BC, et secetur A aequalis AC et ut AB ad BN ita statis ad LC: et ipsi A ponatur aequalis M. et ipsarum AC, B tertia proportionalis sit C in perpendiculo A producto signata. Dico, C esse spatium quaesitum adeo ut exiens perpendicul supra A, et assumpta parte A ipsi CE aequali mobile ex X conficiet utrumque spatium AB aequali inmpore ac solum AB ex A. Ponatur horigonialis X aequidisian BC, cui occurrat A extensa in

242쪽

R, deinde producia B in D ducatur D aequidistans CB, et supra A semicirculus describatur, et ex B ipsi A perpendicularis erigaturis usque ad circumserentiam Patet, Besse mediam inter AB, BD, et dactam A mediam inter DA, AB. Ponatur Maequalis I et FH aequalis B. Et quia ut AB ad BD, ita AC ad E. estque BF media inter AB, BD, et B media inter C. CE, erit ut A ad AC ita FB ad BS. Et cum sit ut A ad C. seu ad Ν, ita FB ad S, erit per conversionem rationis BF ad F ut AB ad Ν. hoc est, ALad C rectangulum igitur sub B, CL aequatur rectangulo sub AL SF; hoc autem rectangulum L, F est excessus rectanguli sub L FB so AI, F, super rectangulo AI, BS, seu AIB rectangulum vero B, C est excessus rectanguli AC, B super rectangulo L. BF rectangulum autem AC, B aequatur rectangulo ABI est enim ut A ad AC , ita FB ad I); excessus igitur rectanguli AB super rectangulis

AI BF, seu ΛΙ. Η, aequatur excessu rectanguli AI, F super rectangulo AIB ergo bina rectangula AI, FI aequantur duobus ABI AlB, nempe binis AIB. cum quadrato I. Commune sumatur quadratum AI erunt bina rectangula Ain eum duobus quadratis I IB, nempe quadratum ipsum AB aequale binis rectangulis Al, Η, cum quadrat AI Communiter a sus assumpto quadrato BF erunt duo quadrata AB, BF nempe imicum quadratum AF, aequale binis rectangulis M. FH, cum duobus quadratis I, B, id est AL FH. Verum idem q-dratum A aequale est binis rectangulis AHF. cum duobus quadratis AH, F ergo bina rectangula ΑΙ, Η, cum qu dratis Ι, Η, aequalia sunt binis rectangulis ΑΗF, in qu dratis ΛΗ, ΗF; et dempto communi quadrat ΗF, bina reotangula AI, FH, cum quadrato AI, erunt aequalia binis rectangulis AHF, cum quadrato AH. Cumque rectangulorum omnium Hsit latus commune, erit linea AH aequalis lineae I si enim major vel minor esset, rectangula quoque ΗΑ, et quadrae tum ΗΛ, majora vel minora essent rectangulis Η, Ι , et quadrato IA; contra id, quod demonstratum est. Μοd si intelligamus tempus casus per A esse ut AB,

tempus per A erit ut AC, et ipsa In media inter AC, CE,

243쪽

erii tempus per CE seu per X ex quiete in X; cumque in-ler A, AB seu B, A, media sit AF, inier vero AB, BD, id est A, AB, media sit F. cui aequatur FH, erit ex prae- demonstratis excessus A tempus per B ex quiete in R. seu post casum ex X dum tempus eiusdem AB ex quiete in Asuerit B. empus igitur per A est In per A vero post RA. seu M XA, est AI ergo tempus per A erit ut AB, idem ampe cum tempore per solam A ex quiete in A. Quod

erat propositum. PROBLEMA XIV, mposiTio XXXV.

Data inmaea ad μιυm perpendisinum, partem in inmaeaaseipere, in qua sola eae quiete a moιυε eodem empore, atque in eadem eum perpendisuis.

Sit perpendiculum AB Fig. κ); et ad ipsum innexa C.

Oportet inm partem accipere, in qua sola ex quiete stat m ius eodem tempore, ac in eadem cum perpendiculo AB Ducatur horigo AB, cui inelinata C extensa occurrat in , ponaturque BF aequalis V et centro intervallo F circulus deseritatur FlG; et in ad cireumferentiam usque protrahatur in G et ut G ad F, in stat B ad F et Ieirculum tangat in I. Deinde ex B perpendicularis ad Cerigatur Κ, oui Murrat in L linea IL; tandem ipsi L perpendicularis dueaturari occurrens B in M. Dico, in lineam ex quiete iura steri motum eodem tempore an ex quisis in Aisor ambas AB, BN Ponatur in aequalis L. Qumque ut G ad F ita sit B ad ΗF erit permutando, ut G ad ΒΗ, ita B ad FH, et dividendo GH ad HB ut B ad F. Quare rectangulum GH quadrato II erit aequale sed idem rectangulum aequatur proque quadrato in P ergo II ipsi mest aequalis Cumque in quadrilat in ILBΗ latera HB EI sint aequalia, et anguli B. I reeti erit latus quoque BL ipsi L aequale eat autem EI aequalis EF ergo tota LE, seu NE, duabus LB, EF est aequalis Dauseratur communis EF erit reliqua Nipsi L aequalis is posita est B aequalis ipsi A sego LEduabus AB, B aequatur. Rursus si intelligatur, tempus per AB esse ipsam A ; erit tempus pera ipsi EB aequale tem as

244쪽

autem per totam merit di, media scilicet inter ΜΕ, B; quare reliquae M tempus casus post B, seu post B, erit ipsa N. Positum autem est, tempus per A esse B ergo tempus casus per ambas ΑΒΜ est ABN cum autem tempus per B in quiete in E sit B, tempus per me quiete in erit media proportionalis inter B , Μ. haec autem est BL tempus igitur per ambas ΑΒΜ ex quiete in Most ABN: tempus vero per B solam ex quiete in B est BL ostensum autem est, L esse aequalem duabus AB, BN ergo patet propositum. Aliter magis expedite:

Sit BC planum inclinatum Fiq. 97 . A perpendiculum.

Duota perpendiculari per B ad C, et uirinque extensa. -- natur H aequalis excessus B super A et angulo HEponatur aequalis angulus ΗΕL: ipsa vero L extensa --ourea BK in La et ex L excitetur perpendicularis ad L, in occurrens BC in Μ Dico, messe spatium in plano C quaesitum. Quia enim angulus L metus est, eriti media inis ΜΒ, ΒΚ et L media inter M EB cui L se turasqualis Eri ei erun ire lineae E EL, L aequales, ei II erit excessus di super L. Verum eademi est etiam excessus E super B BA; ergo duae B ci aequales sunt L. Quod si sonatur B esse tempus per B erit Liempu per. BM ex quiete in B; et B erit tempus id demimst B, seu pos AB et AB eru ιempus Pur Alle ergo tempora per ABM. nempe MN aequalia sunt tempori per solam Bri ex quiete in B; . quod est intenium.

Sit BC Fiq. 8 ad diametrum A perpendicularis , et

a termino B educatur BD utcunque et connectatur FB Bie FB inter B B essu mediam Conneolatur EF et per B ducatur tangens BG, quae erit ipsi CD parinela: quare angulus DB angulo D erit aequalis : at eidem GBD aequatur quoque angulus EF in portione alterna orgo

similia sunt triangula BD, FG et ut BD ad F. ita FB ad ΒΕ.

245쪽

Si linea AC F q. 99 major ipsa F; et habea AB ad

3 majorem rationem, quam ad F. Dico, AB ipsa DΕ esse majorem. Quia enim B ad BC majorem rationem habet quam ad F quam rationem habet AB ad C, hanc habebiti ad minorem quam EF habeat ad G et quia AB ad C est ut D ad G, erit componendo, et per OB versionem rationis, ut C ad AB, ita GD ad est autem e major GD ergo A ipsa E major erit.

Sit circuli quadrans AGB Fig. 100), et ex B ipsi AC

parallela BE; et ex quovis entro in ea sumpto circulus wES descriptus tangens AB in B. et secans circumferentiam

quadrantis in I et juncta sit B, et C usque ad S extensa. Dico lineam in minorem semper esse ipsa CO Iungatur AI, quae circulum B clanget. Si enim ducatur in erit aequalis ipsim onm vero D quadrantem tangat, tanget etiam eumdem BI: et ad diametrum A erit perpendicularis. Quare et ipsa A circulum D tanget in I. Et quia angulus AK major est angulo ABC, cum maiori insistat peripheriae ergo angulus quoquo Ss ipso ABC major erit; quare portio IES major est portione O et linea Moentro vicinio major ipsa CB quare et Co major CI, cum S ad CB sit ut C ad Q. Idem autem magis accidet si BIC Fig. 0l quadrante fuerit minor nam perpendicularis D circulum secabit CIB: quam in quoque, cum ipsi B sit aequalis, et angulus in erit obtusus, et ideo AIN circulum quoque BINMoahit cumque angulus ABC minor sit angulo AiC, qui aequatur ipsi SIN iste autem est adhuc minor eo, qui ad contactum in I steret per lineam SI; ergo portio E est longe major portione O unde O major CI quod erat

demonstrandum. THEOREMA XXII. RoposiTio XXXVI. Si in eirevis ad horizontem erecto ab imo puneto eleveινι num non majorem subtendens iretinferentiam quadranιe, a

246쪽

ι-minis inus M alia plana ad quinilibet eireumferentiae pun-eιum itineιantur, descensus in planis ambobua inlisaeis breuiori tempore absolvetur, quam in solo priori plan eleuais vel quam in alιero anιum eae illis duobus, nempe in insoriori.

Sit circuli ad horigontem erecti ab imo puncto C Hq. 102ὶ

circumferentia CBD non malo quadrante, in qua sit planum elevatum CD, et duo plana a terminis D, C inllexa ad quodlibet punctum B in circumferentia sumptum. Dico, tempus descensus per ambo plana DBC revius esse tempore descensus per solum C, vel per unicum BC ex quiete in B. Ducta sit per D horigontalis BA, ut C extensa occurrat ino:

sintque N. C ad D. et B ad BD perpendiculares et cima triangulum rectangulum DBN semicirculus describatur DFBΝ, secans DC in F et ipsarum CD DF media sitor portionalis O ipsarum autem A. A media sit AV. Sit autem S tempus, quo peragitur tota vel BC constat

enim tempore eodem peragi utramque), et quam rationem

habet CD ad O hanc habeat tempus SP ad tempus B erit tempus P id, in quo mobile ex D peragit DF RS vero id, in quo reliquum C. Cum vero S sit quoque tempus, quo mobile ex B peragit C si stat ut BC ad CD, ita SP ad G. erit PT tempus casus ex Aran cum D media sit inter AC, CB, ex ante demonstratis. Fiat tantum ut C ad V, ita P ad G erit G tempus, quo mobile ex A venit in B;

G vero tempus residuum motus B consequentis post, tum ex A in B. Cum vero D circuli DF diameter ad horigonium sit erecta, temporibus aequalibus peragenturi et D lineae. uare si demonstratum fuerit, mobile citius permeare BC post casum DB, quam C post peractam DF, habebimus intentum. At eadem temporis celeritate conlicit mobile veniens ex D per B ipsam BC, ac si venerit ex A per AB, cum ex utroque casu DB, AB aequalia accipiat velocitatis momenta ergo demonstrandum erit, breviori tempore peragi

BC post AB quam C post DF. Explicatum est autem. Θmpus, quo peragitur BC post B, esse GT: tempus vero ipsius FC post D esse S. Ostendendum itaque est, S majus esse quam GT, quod sic stenditur: quia ut SP ad PR, ita

247쪽

C ad m, per conversionem rationis; et convertendo, ut

RS ad SP, tam ad CD ut autem P ad T ita DC ad

CA: o quia est ut T ad m, ita C ad V per conversionem rationis erit quoque ut PT ad G ita C ad CV: ergo ex aequali, ut Mad GT, ita C ad CV est autem major quam CV, ut mox demonstrabitur ergo tempus RS malus est tempore GT: quod demonstrare oportebat. Cum vero C malor sit CB, F vero minor A, habebit CD ad DF malorem rationem, quam C ad AB ut antem CD ad DF, ita quadratum C ad quadratum OF cum sint CD DO, D proportionales ut vero C ad AB, ita quadratum CV ad quadratum B ergo O ad O majorem rationem habet quam CV ad B igitur ex lemmate praedicto Co major est quam CV Constat insuper tempus per DP ad tempus per DBC esse ut cum CV.

Ex his quae demonstrata sunt, colligi posse videtur, lationem omnium vel issimam ex termino ad terminum, non per revissimam lineam nempe per rectam, sed per circuli

portionem fieri. In quadrante enim BAEC Fig. 033, oujus latus C sit ad horizontem erectum, divisus sit arcus AC in quotcunque partes aequales, AD DE, F, G GC et duciae sini reetae ex Gad puncta A, D, E. F. G et junciae sint recta quoque AD DE EF, FG, GC Mani stum est, lationem per duas ADC citius absolvi quam per unam C. Vel DC ex quiete in D: sed ex quiete ino citius absolvitur DC quam duae AD; sed per duas DΕ ex quiete in A verisi-miis est ilius absolvi descensum quam per solam CD ergo descensus per tres ADEC absolvitur citius quam per duas ADC. Verum similiter procedente descensu per ADE, citiussit latio per duas EF quam per solam C ergo per quatuor ADEF citius sit motus quam per tres ADEC. Ac tandem per duas FG post praecedentem descensum per ADEFciuus absolvitur latio quam per solam ergo per quinque ADEFG breviori adhuc tempore in descensus, quam Per quatuor ADE FC. u igitur per inscriptos polygonos

248쪽

magis ad circumferentiam accedimus, io citius absolvitur motus inter duos ierminos Ignatos C. Quod autem In quadrante explicatum est, contigit etiam in circumferentia quadrani minori et idem est ratiocinium PROBLEMA XV. PROPosivio XXXVII. μι perpendicula e plano inelinato, quorum eadem sitele ιio, parιem in inclinaι reperire, quae si aequalis perpendievio e eonficiatur eodem empore ae ipsum perpendistilum.

Sint A perpendiculum et C Fiq. 104 planum inclinatum. Oportet in inclinato partem reperire aequalem e pendiculo AB, quae post quietem in conficiatur tempore aequali tempori, quo conficitur perpendiculum. Ponatur AD

aequalis AB; et reliqua D bifariam secetur in I et ut AC ad Cl. ita a C ad aliam AE cui ponatur aequalis G.

Palet, EG aequalem esse AD, vel AB. Dico insuper hanc meam esse , quae conficitur a mobili veniente ex quiete in Atempore aequali tempori, quo mobile cadit per AB. Quia

enim, ut AC ad CI, ita CLad ΑΕ, seu I ad G erit perion- Versionem rationis, ut C ad AI, ita D ad IG. Cum itaque sit ut totum C ad totum AI, ita ablatum cI ad ablatum M, erit reliquum I ad reliquum G ut totum C ad totum AL st itaque A media inter CA, AG et C media inter CA, AE. Si itaque ponatur, tempus per A esse ut AB erit AC tempus per C et I seu D tempus per AE cumque A media sit inter CA AG sitque C tempus per totam AC; erit M tempus per AG et reliquum IC, sive DI, per reliquum GC fuit autem in tempus per AK sunt itaque DI IC, quae

inιer se sunt aequales, tempora per utrasque AE, CG orgo

reliquum D erit tempus per G, inae ipsi AB aequaιur, aequale nempe tempori per AB. Quod faciendum suu

Ex his constat, spatium quaesitum esse intermedium inter duas plani inclinati partes, superam et inieram, ΑΕ, GC, quae temporibus aequalibus conficiuntur, nempe meae quieιe in A, e G post deseensum G.

249쪽

PROBLEMA XVI, PROPosirio XXXVIII. Datis in bus planis horizontalibus a perpendiculo secιis, in perpendicula punetum sublime reperire, eae quo eadenιia mobilia, e in planis horizontalibus resteaea, eonfletan in emporibus aequalibus emporibus eastium in iisdem horizonιalibuo, in superiore nempe, atquci inferiore, spaιia. quae inιer se habeant quameumque daιam rationem minoris ad majorem.

Secta sint plana origontalia D Fig. 105 a perpendiculo ACB sime data ratio minoris ad majorem N ad

FG. Oportet in perpendiculo A punctum sublime reperire, ex quo mobile cadens, et in plano CD retaxum tempore aequali tempori sui casus spatium conficiat, quod ad spatium ab altero mobili ex eodem puncto sublimi veniente tempore aequali tempori sui casus, motu rellex per B planum, habeat rationem eandem cum ala Mad FG. Ponatur Gl aequalis ipsi N et ut FH ad I G, ita stat BC ad CL. Dico, L esse punctum sublime quaesitum. Accepta enim Μ dupla ad CL, ducatur L pliano B occurrens in Oet erit BO dupla L. Et quia, ut FH ad G ita C ad CL; erit componendo et convertendo, ut G hoc est , ad GF ita CL ad LB, hoc est M ad O. Cum autem Cri dupla sit ad C, sit, spatium messe illud, quod a mobili veniente ex L post casum L conficitur in plano CD tempore casus per C et eadem ratione B esse illud, quod conficitur post casum B in tempore aequali tempori casus per LB, cum B sit dupla ad BL ergo patet propositum. SAGR. armi vera mente che concede si possa a nostro

Accademico che egli songa lattanga abbia ne principio diquesto suo traitai potui attribuirsi di arr arci una uova molenga intorno a n oggetto antichissimo Wil edere con uanta felicitii e hiareEga dam sol semplicissim principio mi deducarae dimosiragioni di tante proposiaioni, mi is non oc maravigilare Ome a materia si passata iniatia da inrchimede Apollonio, rauclide e iani auri matematici e nis-

250쪽

soli illustri, e massi me herae moto si trovano scriti volumigrandi e molli. SALV. Si ede u poco di fragmento ' Euclide intorno a moto ma non vi si scorge vestigio ohe egliis incamminasse ali investigagione dolia proporgione deli acceleragione edelle sue diversiti sopra te divorse inclinagioni Talcho ver mente si puo dire essem non prima che ora aperta la porta ad una uova contemplagione, plena di conclusioni insinite e ammirando, te quali ne tempi avvenire piaranno Mercitare altri ingegui. Sasa. Io veramente credo che si come quelle pocli pa

sioni diro per sempio de oerisio dimostrate ne tergo dei suo elemenii da Euclide sonora ingresso ad innumerabili al- ire pii reo dite, o i is prodest e dimostrate tu quesio breve traitato, quando passasse elle mani di altri ingegni spec lativi sarebbe trada ad altre o attre tu inaraviolose, execredibile che cos seguire e medianis la nobilia des s gelissopra tutu gli altri naturali. SiuP. unga od assa laboriosa giornata e stata questa dioggi,mella quale ho gustat piu delle semplici proposigioni chedelle loro dim tragioni, molle delle quali credo che per henoapiri mi porteranno via piu d un ora per clascheduna: si di che mi risem a sarto con quiete, lasciandomi V. S. illibro elle mani, dom ob avremo edui quesia parte berest intorno a moto dei pro etti che sara, se oosi gli pinoe,