Le opere di Galileo Galilei

221쪽

telligannis A esse tempus asus per AC, erit A tempus casus per AB, et C per reliquam C. Quod si tempus per AC mnatur, ut sactum est, ipsa C. tempus pertineri FD, et pariter concludetur DS esse tempus per BD post B, seu post B. Tempus igitur per totam AC est A cum BC per insexas vero ABD erit A cum D quod erat probandum. Idem accidit ira o perpendiculi ponatur aliud planum,

quale, . . , O eademque si demonstratio. PROBLEMA I. aomsteti XIII Bato perpendisvis ad ipsum planum i laeιere, in quo, cum ipsum abeat eum daι perpendieulo eandem euvaιionem, μιmοι- μει easum in perpendicula eodem empore, ae in eodem perpendieuis eae quieιe.

Si datum perpendiculum AB Fio M), cui extenso in ponatur pars BC aequalis, et ducantur horigoniales Ε, G. ortet in B planum usque ad horigontem CE innectere, in quo uat motus post casum ex A eodem tempore, ac in AB ex quiete in A. Ponatur C aequalis CB, et ducta BD applicetur Eaequalis utrisque BD, DC. Dico B esse planum quaesitum. Producatur EB occurrens horigonii AG in G, et ipsarum ΕGG media sit GF. Erit F ad F ut G ad GF, et quadratum EF ad quadratum B ut quadratum G ad quadratum GF hoc est ut linea G ad GB est autem G dupla mi ergo quadratum EF duplum quadrati FB verum quadratum quomie DB duplum est quadrati BC ergo ut linea EF ad B. in D ad BC, et componendo, et permutando, uta ad duas m BC, ita BF ad BC: sed B duabus DB, C est aequalis; aergo BF ipsi BC, seu A, aequalis est. Si igitur intelligatura ossa tempus casus per B erit G tempus per GB. et G tempus per totam GK ergo B erit tempus per reliquam

M. post Mum ex G. seu ex A. uod erat propositum. PROBLEMA II, PROPosiTio XIV. Bia perpendioia a plano ad eum nolinais . parism in aperpendietiis superiori reperire, quae a quiera oonfletaιυ ι--

222쪽

Sit perpendiculum DB Fig. 68ὶ et planum ad ipsum inclinatum AC. Oportet in perpendiculo AD partem reperire, quae ex quiete conficiatur tempore aequali ei, quo post casum in ea conficitur planum C. Ducatur Origonialis CB, et ut Acum dupla AC ad AC ita fiat C ad AE et ut B ad AC, ita fiat A ad AB, et abra ducatur perpendicularis X ad DB dic esse punctum quaesitum. Et quia ut A cum dupla AC ad AC, ita C ad ΑΕ dividendo erit, ut B cum AC ad AC ita C ad A. et quia ut A ad AC ita EA ad AB. erit componendo, ut A cum C ad AC ita ER ad BA Sed ut A cum AC ad AC, ita est C ad A ergo ut Ead A, ita E ad A, et ambo antecedentia ad ambo consequentia, nempe C ad Ε. Sunt itaque R RE, A proportionales. Amplius, quia ut B ad AC ita posna est Aa AR, et propter similitudinem triangulorum uim ad AC, ita X ad is ergo ut A ad A , ita X al An sunt itaque A. X aequales. od si intelligamus tempus pero esse ut Α, tempus per B erit ΒΕ, media inter CR BA; et AE erit tempus per A post A. sive post A v rum tempus per A si XA, dum A est tempus per A.

Ostensum autem est XV, A esse aequales ergo patet propositum. PROBLEMA III. PROPosiTIO XV. ιο perpendieul e plano ad ipsum inflem, parism in perpendiculo infra aetens reperire, quae tempore eodem eon letatur a planum inmaeum post casum eae dat perpendicula.

Sit perpendiculum AB Hq. 69), ei planum ad ipsum i

flexum BC. Oportet in perpendiculo infra extens partem reperire, quae ex casu ab A conficiatur tempore eodem atque BC ex eodem casu ab A. Ducatur horigontalis AD, cui occurrat

C extensa in D. t ipsarum CD, D media sit E et Fponatur aequalis Ε, deinde ipsarum BA, A tertia propor tionalis sit AG Dico B esse spatium, quod post casum AB

consscitur tempore eodem ac planum BC post eundem casum-

223쪽

si enim ponamus tempus per A esse ut AB. erit tempus per DB ut DB, et quia D est media inter BD, DC . erit eadem D tempus per totam DC et B tempus per reliquam 3 ex quiete in .seu ex casu AB et similiter concludetur

B esse tempus per BG, post casum eundem est autem Faequalis Ε ergo patet propositum. ΤΗΕOREM XIlI, PROPOsITio XVI. Si plani inelinaι e perpendiculi parses, quarum tempora laιionum eae quiete sint aequalia, ad idem punctum componantur, mobile veniens eae qualibet avitudine sublimiori itius absoluet eandem partem plani inclinati, quam ipsam partem perpendiculi.

Sit perpendiculum EB Fiν. 70), et planum inclinatum CEad idem punctum E composita, quorum tempora lationum ex quiete ina sint aequalia, et in perpendiculo extens sumptum sit quodlibet punctum sublime , ex quo demittantur Obilia. Dico, tempore breviori absolvi planum inclinatum C quam perpendiculum B post casum Ε. Iunga1ur CB, et ducta horia tali D, extendatur CE illi occurrens in D, et CD. D media proportionalis si DF ipsarum ver BA, Emedia sit AG et ducantur FG, G. Et quia tempora lationum per C. B ex quiete in E sunt aequalia, erit angulus motus, ex corollari secundo propositionis sextae estque recius A, et anguli ad verticem' aequales triangula igitur AED, CE sunt aequi angula, et latera circa aequales angulos proportionalia ergo ut BE ad C . ita E ad A. Rectangulum ergo E est aequale rectangulo Ct D et quia rectangulum CD superat rectangulum Ε quadrat, ED. rectangulum vero ΛΕ superat lectangulum ΒΕ quadrato EA; excessus rectanguli DR superi rectangulo ΑΕ , hoc est quadrati D super quadrat AG erit idem cum excessu quadrati DE super quadrato ΑΕ, qui excessus est quadratum DA: est igitur quadratum D aequat duobus quadratis GA, AD , quibus est quoque aequale quadratum Gm ergo linea. DF ipsi D est aequalis et angulus GD aequalis angulo DFG, et angulus G minor angulo EFG, et latus oppositum EF minus latere G. Μοd si intelIigamus tempus casus per

224쪽

M esse ui Ε, erit tempus per D uiis , cumque Gmodi sit inter Λ, ΛΕ erito tempus per totam B, ei reliqua G erit tempus per reliquam EB ex quiete in A, et similiter concludetur F esse tempus pera post descensum

DE seu post casum AE; demonstratum autem est mino, rem esse quam FG ergo patet propositum.

COROLLARIUM

Ex hac atque ex praecedenti constat, spatium, quod conficitur in perpendiculo post casum ex sublimi , tempore eodem quo conficitur planum inclinatum, minus esse eo, quod conficitur tempore eodem atque in inclinato non praecedente casu ex sublimi, majus tamen quam idem planum inclinatum cum enim modo demonstratum sit, quod mobilium venientium ex termino sublimi A FU Ii tempus conversi per C brevius sit tempore procedentis per ΕΒ constat spatium, quod conficitur pera tempore aequali tempori per EC, minus esse toto spatio ΕΒ. Quod autem idem spatium perpendiculi majus si quam ΕC, manifestum fit sumpta figura pra cedentis propositionis, in qua partem perpendiculi BG confici demonstratum si tempore eodem cum BC post casum AB: hanc autem BG majorem esse quam BC, sic colligitur cum ΒΕ FB aequales sint, A vero minor BD, majorem rationem

habet B ad Λ, quam EB ad BD, et componendo, A ad A majorem habet, quam D ad DB est autem ut A ad AB, iam ad n est enim A media inter Α, AG), et simillior ut D ad BD, ita est C ad EB ergo G ad F majorem habet rationem quam CB ad BD: est igitur GB

Sit perpendiculum AB Fio 72ὶ, et ad ipsum planum innexum BD: portet in B spatium signare, per quod Ο

225쪽

bile post casum in B moveatum tempore aequali ii, quo ipsum perpendiculum B ex quiete consecit. Sit origontalis linea AD, cui occurrat in D planum extensum et accipiatur FB aequalis A, et fiat ut BD ad DF,

ita D ad DE. Dico tempus per B post casum in AB aequari tempori per A ex quiete in A. Si enim intelligatur A esse lempus per AB, erit D tempus per B. Cumque sit, ut BD ad DF. ita D ad DE, erit D tempus per totum planum Ε, et B per partem B ex D sed tempus per B post D est idem ac post B ergo tempus per ΒΕ post B erit F,

aequale scilicet tempori AB, ex quiete in Q quod erat propositum. Pa mLEM V, PRO sieti XVIII. Douo in perpendicula quovis spaιio a prineipio laιionis siquato, quod in daιο empore eonDivitir ωιoque tweunque ali tempore minori Gud spaιium eidem aequale in perpendiculo eodem reperire, quod in daι tempore minor eonfidiaιur.

Sit perpendiculum A Fig. 73), in quo detur spatium ΛΒ.culus tempus ex principio A si AB, sitque origo CBE. et detur tempus ipso A minus, cui in origonte notetur aequa-I BC: oportet in eodem perpendiculo spatium eidem Anaequale reperire, quod tempore BC conficiatur. Jungatur linea AC. Cumque C minor sit A erit angulus A minor angulo BCA. Constituatur ei aequalis CAE, et linea A hori-aonii occurrat in uncis , ad quam perpendicularis ponatur ED secans perpendiculum in D, et linea DF ipsi A secetur aequalis. Dico ipsam messe perpendiculi partem in qua latio ex principi motus in A absolvitur tempore BC aio. Cum enim in triangulo rectangulo AE ab angulo recto perpendicularis ad latus oppositum D ducta sit ΕΒ, erit ΑΕ media inter A, B, et B media inter DB, Λ , seu inter FA, AB est enim Vipsi DB aequalis). Cumque A positum si esse tempus per A erit A seu C tempus per ii iam AD, et ΕΒ tempus per F; ergo reliqua C erit tempus per reliquam D quod erat intenium.

226쪽

PROBLEMA VI PROPOsITio XIX. Bas in perpendicula spatio quocunque a principio lationis peracιo, ωιoque empore asus, empus reperire, quo aliud aequale spatium ubieunque in eodem perpendieulo aeseptum, ab eodem mobili onsequenter eonfletaιur.

Sit in perpendiculo AB Fig. 74 quodcunque spatium AC ex principio lationis in Vacceptum, cui aequale sit aliud spatium DB ubicunque acceptum, sitque datum tempus lationis per AC, sitque illud C. Oportet reperire tempus lationis per D post casum ex A. Circa totam AB semicirculus describatur AEB, et ex C ad A perpendicularis sit E, et jungatur ΑΕ, quae major erit quam C. Secetur EF ipsi EC aequalis; dico reliquum A esse tempus iationis per B. Quia enim A est media inter C ACQ estque A tempus casus Per AC; erit A tempus per totam AB. Cumque C media sit inter A, C est ni in D aequalis ipsi C), erit CE, hoc est EF, tempus per D ergo reliqua A est tempus per reliquam B, quod est propositum.

Hinc colligitur, quod si alicinus spatii ponatur tempus ex quiete esse ut ipsummet spatium tempus illius post aliud spatium adjuncium erit excessus medii inter adjunetum una cum spatio, et ipsum spatium super medium uter primum et adiunctum. Veluti posito, quod tempus per B Fig. Id ex qui'teri A sit AB addito S tempus per A postra erit excessus medii inter SB, A super medium inter BA, AS. me est, eri BD eaeeessus mediae BC super medium I siue D. PROBLEMA VII, PROPosiTI XX. Dato quolibe spatio, e parι in eo pos priseipium isti

ni3 parιem alteram versu Anem reperire, quae eonfisiaιur tem' pore eodem ac prima data.

Sit spatium CB Fig. 76), et in eo pars CD data post pri cipium lationis in C. Oportet partem alteram versus finem Breperire, quae conficiatur tempore eodem ac data CD. Sumatur

227쪽

media inter BC, CD, cui aequalis ponatur BA; et ipsarum 8 . A tertia proportionalis sit E. Dico, B esse spatium, quod post casum ex C conficitur tempore eodem ac ipsum CD. Si enim intelligamus, tempus per totam C esse ut CB, erit A media scilicet inter BC, CD tempus per C Cumque A media sit inter BC, Ε . erit C tempus per CE: est autem tota C tempus per totam CB ergo reliqua Aerit tempus per reliquam EB post casum ex C; eadem vero BA sui tempus per D ergo temporibus aequalibus conficiuntur C et B ex quiete in A quod erat faciendum.

ΤΗEOREM IV. PROPOsiTIO XXI. Si in perpendiculo is eastis eae quieιe, in quo a principio tionis sumaιur pars quovis tempore perasta, pωι4-m equa-ευ -ιus inDaeua per aliquod planum utcunque inesinatum, ναιium, quod in ali plano confletιur in tempore aequali ιε- mori maus jam peraeι in perpendicula, ad spatium jam peramum in perpendimis, majus eri quam duplum, minus em tuam riplum.

Infra origoniem AE Fio 77 sit perpendiculum AB, in

α tuo ex principio Amat casus, cujus sumatur quaelibet pars MC finde ex C inclinetur utcunque planum C super quo post masus in AC continuetur motus. Dico, quod spatium tali motu veractum per C in tempore aequali tempori casus per AC eatulus quam duplum, minus vero quam triplum ejusdem patii AC. Ponatur enim C aequalis C. et extens plano G usque ad horiaontem in , fiat ut C ad F ita F ad G. Si itaque ponatur tempus casus per A esse ut linea AC, erit C tempus per C et CF seu CA tempus motus per CG. Ostendendum itaque est, spatium CG ipso C majus es quam duplum, minus vero quam triplum. Cum enim sit . ut C ad F. ita E ad G, erit etiam ita CF ad FG minor autem est C quam EF, quare et C minor erit quam FG, et C malo quam dupla C, seu AC. Cumque rursus Eminor sit quam dupla ad C est enim C major CA, seu CFὶ erit quoquem minor quam dupla ad C et GC minor quam tripla ad F seu A. Quod erat demostrandum.

228쪽

Poterat autem universalius idem proponi quod enim accidit. in perpendiculari et plano inclinato, contingit etiamsi post motum in plano quodam inclinato innectatur per magis mclinatum ut videtur in altera sigura eademque est

demonstratio.

PROBLEMA VΙΙΙ, PROPosiTij XXII. Datis duobus temporibus inaequalibus et spatio, quod in perpendiovis eae quiete eon ieitur tempore breviori eae datis: puncιο supremo perpendistili usque ad horizontem planum inmetere, super quo mobile deseendat tempore aequali nolari eae datis Tempora inaequalia sint, A majus Fig. 78J, B vero minus; spatium autem, quod in perpendiculo conficitur ex quiete in tempore , sit CD. Oportet ex termino C planum usque ad horigontem innectere quod tempore A conficiatur. Fiat ut ad A, ita CD ad aliam lineam, cui linea C aequalis ex ad horimntem descendat manifestum est, planum CX esse illud, super quo mobile descendit tempore dat A. Demonstratum enim est, tempus per planum inclinatum ad tempus in sua elevatione eam habere rationem, quam habet plani longitudo ad Iongitudinem elevationis suae. empus igitur per CX ad tempus per C est ut C ad CD. hoc est ut tempus ad tempus B tempus vero B est illud, quo conficitur perpendiculum C ex quiete ergo tempus A est illud, quo conficitur planum LX. PROBLEMA IX, PROPOsITi XXIII. Dat spaιio quovis empore per ιο eae quiete in perpendi euis, eae termino imo hujus spaιii planum inmetere, super quo post easum in perpendicula tempore eodem 'n ieiMur spatium milibe spatio dato aequale quod tamen majus sit quam duplam, minus vero quam triplum spatii peruet in perpendicula.

Sit in perpendiculo AS F0. 9 tempore C peractum spatium AC ex quiete in A, cujus In majus sit quam duplum,

minus vero quam triplum. Oportet ex termino C planum innectere super quo mobile eodem tempore AC conficiat posicasum per C spatium ipsi in aequale. Sint B , ΝΜ ipsi AC

229쪽

aequalia, et quam rationem habet residuum Ι ad ΜΝ, eandem habeat A linea ad aliam, cui aequalis applicetur C ex ad origontem AE, quae extendatur versus , et accipiantur CF, FG, G aequales ipsis ΒΝ, ΝΜ, I. Dico, tempus super inflexa CO post casum AC esse aequale tempori AC ex quiete in A. Cum enim sit, ut OG ad GF, ita C ad CE; erit componendo, ut O ad FG, seu C, ita F ad C et ut unum antecedentium ad unum consequentium, ita γmnia ad omnia: nempe totam ad F, ut F ad C. Sunt itaque Ε, F, Ε continue proportionales quod cum positum sit, tempus per C esse ut AC, erit C tempus per C. et tempus per totam O, et reliquum C per reliquam O est autem CF aequalis ipsi A ergo factum est quod steri oportebat est Unim tempus CA tempus casus per A ex quiete in A, CF ero quod aequatur CA est tempus per C post descensum

Per C seu post casum per AC quod est propositum. ο- standum autem est, quod idem accidet, si praecedens latio non fin perpendiculo fiat, sed in plano inclinato, ut in sequentingura, in qua latio praecedens acta sit per planum inclina-llum AS infra origontem ΑΕ et demonstrati est prorsus

inadem.

Si diligenter attendatur, manifestum erit, quod quo minus data lineari deficit a tripla ipsius AC Fig. 80ὶ eo planum in-ssexum, super quod facienda est secunda latio, puta CO accedit icinius ad perpendiculum, in quo tandem in tempore aequali AC conficitur spatium ad A triplum. Cum enim In proxima suerit ad triplicitatem AC erit ΙΜ aequalis sero ipsi ΜΝ Cumque, ut ΙΜ ad N in constructione, ita fiat AC ad CE, Onstat, ipsam C paulo majorem reperiri quam A, et quod

consequens est, punctum proximum reperiri puncto A et e cum CS acutissimum angulum continere, et sere mutuo coincidere. E contra vero si data in minimum quid major fuerit quam dupla eiusdem AC erit Imbrevissima linea ex quo accidet, minimam quoque suturam esse AC respectu CE, quae longissima erit, et quam proxime accedet ad parallelam

230쪽

horigonialem per C productam. Indeque colligere possumus, quod, si in apposita figura post descensum per planum inclinatum C stat estexi per lineam librigontalem, qualis esset CΤ, spatium, tempore aequali tempori descensus per AC, per quod mobile consequenter moveretur, esset duplum spatii AC exacte. Videtur autem et hic accommodari consimilis ratiocinatio. Apparet enim ex eo, cum O ad F sit ut Mad EC, ipsam C determinare tempus per CO. Quod si pars horigontalis C dupla CA divisa sit, bifariam in V extensa versus X in

infinitum elongata erit, dum occursum cum producta A quaerit, et ratio infinite TX ad infinitam V non erit alia a ratione infinitae X ad infinitam C.

Istud idem alia aggressione concludere poterimus, consimile resumentes ratiocinium ei quo usi sumus in propositionis primae demonstratione. Resumentes enim triangulum ABC Fig. i), nobis repraesentans in suis parallelis basi invelocitatis gradus continue adauctos juxta temporis incrementa, ex quibus, cum inlinitae sint, veluti infinita sunt puncta in linea AC, et instantia in quovis tempore, exurget superficies ipsa trianguli. Si intelligamus, motum per alterum tantum

temporis continuari, sed non amplius motu accelerato, Verum

aequabili, juxta maximum gradum velocitatis acquisitae, qui gradus repraesentatur per lineam BC: ex talibus gradibus constabitur aggregatum consimile parallelogrammo ADBC, quod duplum est trianguli BC. Quare spatium, quod cum gradibus consimilibus tempore eodem conficietur, duplum erit spatii peracti cum gradibus elocitatis a triangulo ABC repraesentatis A in plano Origontali motus est aequabilis, cum nulla ibi sit causa accelerationis, aut retardationis ergo concluditur, spatium CD, peractum tempore aequali tempori AC, duplum esse spatii C; hoc enim motu ex quiete accelerato juxta parallelas trianguli conficitur illud vero juxta parallelas parallelogrammi, quae dum fuerint infinitae, duplae sunt ad parallelas infinitas trianguli. Attendere insuper licet, quod velocitatis gradus, quicunque in mobili reperiatur, est in illo suapte natura indelebiliter impressus, dum externae causae accelerationis, aut Etar-