장음표시 사용
231쪽
dationis inllantur, quod in sol horigoniali ilano contingit: nam in planis declivibus adest jam causa accelerationis majoris in acclivibus ver retardationis. Ex quo pariter sequitur motum in horigoniali esse quoque aeternum: si enim est aequabilis, non debilitatur, aut remittitur, et multo minus tollitur. Amplius, existente gradu celeritatis per naturalem descensum mobili acquisii suapte natura indelebili, atque aeterno, considerandum occurrit, quod si post descensum per planum declive fiat reflexio per aliud planum acclive jam in isto currit causa retardationis in tali enim plano idem mobilematuraliter descendit; quare mixti quaedam contrariarum an Lectionum exurgit, nempe gradus illius celeritatis acquisitae in praecedenti descensu, qui per se uniformiter mobile in infinitum adduceret, et naturalis propensionis ad motum deorsum auxia illam eandem proportionem accelerationis juxta quani semper movetur. Quare admodum rationabile videbitur si inquirentes, quaenam contingant accidentia dum mobile post descensum per aliquod planum inclinatum essectatur per lanum aliquod acclive, accipiamus gradum illum maximum in
descensu acquisitum, idem per se perpetuo in ascendente plano servari; attamen in ascensu ei supervenire naturalem incit nationem deorsum motum nempe ex quiete acceleratum juxta semper acceptam proportionem. Quod si sorte haec intelligere suerit subobscurum, . clarius per aliquam delineationem explicabitur.
Intelligatur itaque lactum esse descensum per planum declive AB Fig. 82ὶ, ex quo per aliud acclive BC continuetur motus renexus, et sint primo plana aequalia, et ad aequales angulos super horigonium GH elevata Constat jam quod mobile ex quieto in A descendens per A gradus acquirit velocitatis juxta temp is ipsius incremen tum gradum vero in B esse
maximum aequisitorum, et suapte natura immutabiliter impressum, sublatis scilicet causis accelerationis novae, aut retardationis accelerationis, inquam, si adhuc super extenso plano ulterius progrederetur retardationis vero, dum super
planum Molive BC sit resterio in horiχontali autem GH aequabilis motus juxta gradum velocitatis ex A in B acquisitae in
232쪽
anfinitum extenderetur esset autem talis velocitas, ut in tempore aequali tempori descensus per AB in horigonte conficeret spatium duplum ipsius AB modo singamus, idem mobile eodem celeritatis gradu aequabiliter moveri per planum BC adeo ut etiam in hoc tempore aequali tempori descensus per AB conficeret super B exiens spatium duplum ipsius AB. Verum intelligamus statim atque ascendere incipit ei suapte natura supervenire illud idem, quod ei contigit ex A super planum
AB, nempe descensus quidam ex quiete secundum gradus eosdem coelerationis, vi quorum, ut in B Ontriit, tempore eodem tantumdem descendat in plano restexo, quantum descendit per B manifestum est, quod ex eiusmodi mixtione motus aequabilis ascendentis, et accelerati descendentis e
ducetur mobile ad terminum C per planum BC, juxta eosdem velocitatis gradus, qui erunt aequales. Quod vero sumptis utcunque duobus punctis . . aequaliter ab angulo B remotis, transitus per B at tempore aequali tempori rellexionis per BE, hinc colligere possumus. Ducs DF erit parallela ad BC: constat enim, descensum per D enecti per DF, quod si post mobile seratur per horigonialem DE, impotus in Merit idem cum impetu in D; ergo ex Mascendet in C, ergo gradus velocitatis in D est aequalis gradu in I. Ex his igitur rati
nabiliter asserere possumus, quod, si per aliquod planum inclinatum fiat descensus, post quem sequatur reflexi per planum elevatum, mobile per impetum conceptum ascendet usque ad eandem altitudinem, seu elevationem ab Origonte. Ut si fiat descensus per AB, seretur mobile per planum reflexum Cusque ad origontalem C: non tantum si inclinationes planorum Sint aequales, verum etiam si inaequales sint, qualis est plani BD assumptum enim prius est, gradus velocitatis esse aequales, qui super planis inaequaliter inclinatis acquiruntur, dum ipsorum planorum eadem suerit supra horigoniem elevatio. Si autem existente eadem inclinatione planorum ΕΒ,
BD Fiq. 83ὶ descensus per B impellere valet mobile per planum BD usque ad , cum talis impulsus fiat propter conceptum velocitatis impetum in puncto B; sitque idem impetus in B, seu descendat mobile per AB, seu per ΕΒ constat, quod
233쪽
expelletur pariter mobile per BD, post descensum per AB, alque per EB Accidet vero, quod tempus ascensus per BD longius erit quam per BC, prout descensus quoque per B longiori sit tempore quam per AB ratio autem eorundem temporum jam demonstrata est eadem ac longitudinum ipsorum planorum Sequitur modo ut inquiramus proportionem spatiorum temporibus aequalibus peractorum in planis, quorum diversae sint inclinationes, eaedem tamen elevationes: hoc est, quae inter easdem parallelas horigontales comprehcndantur. Id autem contingit juxta sequentem rationem. THEOREMA XV. PUPosiTI XXIV. Dato inter easdem paralisa horizontalas perpendicula, et plano lavaιο ab ejus imo termino, spaιium, quod a mobili, post Casun in perpendicula, auster plano lavaιο eo miιur in ιempore quali tempori easus, majus es ipso perpendicula, minus tamen quam duplum ejusdem perpendiculi.
Inter easdem parallelas horigontales BC, ΗG Fig. 84 sint perpendiculum AE et planum elevatum B super quo post casum in perpendiculo ΑΕ ex termino E fiat reflexio versus Dico, spatium per quod mobile ascendit in tempore aequali tempori descensus ΑΕ, majus esse quam Ε, minus vero quam duplum ejusdem AE Ponatur D, ipsi AE aequale, et v Ε ad BD, ita fiat DB ad BF. Ostendetur primo punctum esse signum, quo mobile motu reflexo per B perveniet tempore aequali tempori AE deinde, EF majus esse quam ΕΑ, minus vero quam duplum eiusdem. Si intelligamus, tempus descensus per A esse ut AE erit tempus descensus per E seu ascensus per EB, ut ipsa linea BE; cumque DB media sit inter B, F, sitque M tempus descensus per totam E erit B tempus descensus per F, et reliqua Εtempus descensus per reliquam Ε. Verum idem est tempus per Me quiete in B, atque tempus ascensus per EF, dum in E fuerit velocitatis gradus per descensum Ε, seu ΑΕ, acquisitus ergo idem tempus D erit id, in quo mobile, post casum ex A per Ari, motu restex per B , pervenit ad signum . Positum autem est, D esse aequale ipsi is, quod
234쪽
erat primo stendendum. Et quia, ut tota B ad totam BD. ita ablata B ad ablatam F, erit, ut tota B ad totam BD ita reliqua D ad DF. Est autem EB major BD ergo et D major DF, et E minor quam dupla DE, seu AE; quod erat
ostendendum. Idem autem accidet si motus praecedens non in perpendiculo, sed in plano inclinato stat eademque est demonstratio, dummodo planum reflexum sit minus acclive, nempe longius plano declivi. ΤΗEOREMA XVI. RoposiTi XXV. Si post easum per aliquod planum 1 sequatur motus per planum horizontis, eri tempus eastis per planum inelinatum ad tempus motus per quamlibet lineam horizontis v dupla long ιυdo plani inelinati ad lineam aeeeptam horizontis.
Sit linea Origontis CB FH. 85ὶ planum inclinatum et
perpendiculare AB, et post casum per A sequatur motus ve-laeitate aequisita os ipsui easum, quae servaι- aequabilis,
per horigontem, in quo sumatur quodlibet spatium BD. Dico tempus casus per B ad tempus motus per BD esse ut dupla AB ad BD. Sumpta enim BC ipsius AB dupla constat ex praedemonstratis, tempus casus eris aequari tempori, tu per in sed tempus motus per B ad tempus motus per DB est ut lineam ad lineam BD, vel ita enim per tranque est eadem ergo tempus motus per AB ad tempus per
BD est ut dupla AB ad BD, ει ut AB ad dimidium BD:
quod erat probandum. PROBLEMA X, PUPosiTI XXVI. Dat perpendieula inter lineas parallelas horizontales, αιο-que spati majori eodem perpendicula, sed minori quam dupla ejusdem, eae imo ermino perpendioυι planum atιollere mere dem parallelas super quo motu relisae post deseensum in perpendicula Ontiria mobile spatium dato aequalis, et in tempore aequavi tempori descensus in perpendieulo.
i I Viviani toglie qui la parota ineli tum per rendere a proposcitonopi generale, come appresso dichiara eo Paggiungere vel perpendierelare.
235쪽
pendiculum AB; F vero major sit quam BA, minor vero quam dupla eiusdem oportet ex Bilanum inter Origontales erigere, super quo mobile post casum ex A in B, motu ssexo in tempore aequali tempori descensus per AB conficiat
ascendendo spatium aequale ipsi AEF. Ponatur D aequalis AB, erit reliqua D minor, cum tota AE minor sit quam dupla AB sit in aequalis DF. et ut 1 ad D. ita fiat DF ad aliam X atque ex benectatur recta B aequalis X. Dico, planum per B esse illud, super quo post casum AB, mobile in tempore aequali tempori casus per A pertransit ascendendo spatium aequale dato spatio EF. Ipsis D DF aequales ponantur B, S. Cum enim sit, ut I ad ID, ita D ad X erit componendo, ut D ad Ι, ita X ad F; hoc est, ut D ad DF, ita X ad F, et E ad D hoc est, ut BO ad OR, ita BO ad OS. Quod si ponamus, tempus per A esse AB, erit tempus peri ipsa OB et O tempus per OS; et reliqua B tempus per reliquum SB descendendo ex O in m. Sed tempus descensus per B ex quiete ino ' est aequale tempori ascensus ex B inra post descensum
AB ergo B est planum ex B elevatum, super quo postra Mensum per A conficitur empore R. seu BA spatium S, aequata spatio dato F. Quod sacere oportebat. ΤΗEOREMA XVII. RoposiTi XXVII. Si in planis inaequalibus quorum eadem in evatio, deseenda mobile, spaιium, quod in ima parte longioris On itinis empore aequali ii in quo onmitur toιum planum brevius, est aequale spatio, quod componitur eae ipso breviori plano, et ex parte, ad quam idem brevius planum eam habet rationem, quam habe planum longius ad eaeeessum quo longius brevius superaι.
Sit planum C longius Fig. 87J A vero brevius, quorum eadem sit elevati AD; et ex ima parte A sumatur C aequale ipsi AB; et quam rationem habet totum C ad AE nempe ad excessum plani A super B in hanc habeat C ad F. Dico, spatium C esse illud, quod conficitur post discessum ex A tempore aequali tempori descensus per AB. Cum enim totum C ad totum A sit ut ablatum CE ad abla-
236쪽
tum EF erit reliquum E ad reliquum A ut totum C ad totum AE. Sunt itaque tres CA AE, A continue proporti nates. Quod si ponatur, tempus per A esse ut AB erit tempus per A ut in tempus vero per A erit ut AE et per reliquum C erit ut C est autem C ipsi AB aequale: ergo sit propositum. ΤΗEOREM XVIlI. RoposiTio XXVΙΙΙ
angat horiχοntalis linea AG circulum Fig. 88), et a
contactu sit diameter AB, et duae chordae utcunque ΕΒ Determinanda sit ratio temporis casus per AB ad tempus descensus per ambas ΑΕΒ Extendatur B usque ad tangentem in G, et angulus A bisariam secetur, ducta AF Dico
tempus per AB ad tempus per ΑΕ esse ut AE ad AEF, elti AB ad ABF, quod in riangulo BAE anotuus ad A bifariam secetur in onstructione a reeta IF Cum enim angulus
FAB aequalis sit angulo AK angulus vero AG angulo ABF: erit totus GA duobus AB, AB aequalis quibus
aequatur quoque angulus GFA: ergo lineam ipsi GA 'est aequalis Et quia rectangulum BG aequatur quadrat GA: erit quoque aequale quadrato GF, et tres linea BG, GF, GC proportionales. Quod si ponatur ΑΕ esse tempus per OE, erit tempus peris . et G tempus per totam G , et Ftempus per B post descensum ex G , seu ex A, per ΑΕ Tempus igitur per AE, seu per AB, ad tempus per AE est ut A ad EF quod erat determinandum. Aliter brevius Secetur GF aequalis GA; constat. GTesse mediam proportionalem inter BG, GE. Reliqua ut sopra. PROBLEMA XI, PROPOsITi XXIX. Daι quolibet spatio horizonιali, eae cujus ermino erectum sit perpendiculum, vel aliud quodcunque planum quomodolibet inclinatum, in quo sumaιur pars aequalis dimidi spatii in hori Mnιali dato, mobile eae ali altitudine descendens, et in horizon tali conversum, conflete horizontale spatium una eum perpendi- eulo breviori tempore, quam quodcunque aliud spatium perpendieuli eum eodem spatio horizontali.
237쪽
GIORNATA TEREA. 207Sit planum origontale, in quo datum sit quodlibet spalium BC Fiq. 89 , et ex termino B sit perpendiculum. in quo A sit dimidium ipsius C. Dico, tempus, quo mobile
ex A demissum conficiet ambo spatia AB, BC, esse temporum omnium irevissimum, quibus idem spatium BC cum parte perpendiculi, sive majori, sive minori parte A conficeretur. Sit sumpta major, ut in prima figura, vel minor, ut in s eunda B. Ostendendum est, tempus, quo conficiuntur spatia BE, BC, longius esse tempore, quo conficiuntur AB, C. Intelligatum tempus per A esse ut AB; erit quoque tempus motus in horigontali BC, cum BC dupla sit ad AB. et peram spatia ABC tempus erit dupla A. Sit O media inter AEB AEA. Erit O tempus casus per B. Sit praeterea horigontale spatium D duplum ipsius E constat, tempus ipsius post casum B esse idem O. Fiat, ut DB ad BC, seu ut B ad A, ita OB ad Ν, et cum motus in Origontali sit aequabilis, sitque O tempus per BD post casum ex , erit B tempus per B post casum ex eadem altitudine . Ex quo constat, O cum A esse tempus per EBC; cumque duplam sit tempus per ABC ostendendum relinquitur, OB cum B majora esse quam dupla A. Cum autem O media sit inter B, 'Ap ratio AE ad B dupla est rationis G ad BA; et cum B ad A sit ut O ad Ν, erit quoque ratio O ad B dupla rationis O ad BA; verum ipsa Utio O ad B componitur ex rationibus B ad A, et Min BN ergo rati AB ad B est eadem cum ratione B ad BA. Sunt igitur BO, BA B tres continue proportionales, et M cum a Maiores quam dupla A. x quo patet pro-
TRE EM XIX, PROPOsITio XXX. Si eae aliquo puneιο lineae horizontalis descenda perpendι- eulum, ex alio ver puneι in eadem horizontali su ιο dueendum sit planum usque ad perpendiculum, per quod mobile tem re breuissim usque ad perpendieulum deseendaις ale planum erit illud, quod de perpendiculo abscindi partem aequalem μιιanιiae puneι Meepti in Orisoniali a termino perpendiculi.
238쪽
Sit perpendiculum BD Fiq. 90 ex unci B OriZOntalis lineae AC descendens, in qua sit quodlibet punctum C, et in perpendiculo ponatur distantia BE aequalis distantiae BC,
et ducatur CE. Dico, planorum omnium ex puncto C usque ad perpendiculum inclinatorum C esse illud, super quo tempore omnium brevissimo sit descensus usque ad perpendiculum. Inclinentur enim upra et infra plana CF, CG, et ducatures circulum semidiametro B descriptum tangens in C, quae erit perpendiculo aequidistans et ipsi CF parallela sit ΕΚ , usque ad tangentem protracta secans circumferentiam circuli in L constat tempus casus per Messe aequale tempori casus per CE sed tempus per E est longius quam per LE; ergo tempus per ΚΕ longius est quam per CE sed tempus per ΚΕ aequatur tempori per CF, cum sint aequales, et secundum eandem inclinationem duciae similiter cum C et I sint aequales, et juxta eandem inclinationem inclinatae, tempora lationum per ipsas erunt aequalia sed tempus per ΗΕ breviorem ipsa I est brevius tempore per ΙE ergo tempus quoque per CE quod aequatur tempori per ΗΕ), brevius
erit tempore per ΙΕ. Patet ergo propositum. THEOREMA XX, PROPOsITio XXXI. Si linea reeta super horizontalem fuerit utcunque inclinata planum a dat puneto in horizontali usque ad inclinatam eaetensum, in quo descensus it tempore omnium brevissimo es illva quod bifariam dividi angulum contenιum a duabus perpendicu laribus a dato puneιο aetensis, una ad horizontalem lineam, a tera ad inclinatam.
Sit CD Fiν i linea supra horigontalem AB utcunque
inclinata, datoque in origontali quocunque puncto M. educantur ex eo C perpendicularis ad AB A vero perpendicularis ad CD, et angulum A bisariam dividat A linea. Dico, planorum omnium ex quibuslibet punctis lineae CD ad punctum A inclinatorum extensum pers esse illud, in quo tent-pore omnium brevissimo fiat descensus. Ducatur FG ipsi AE parallela, erunt anguli GFA, A coalterni aequales est autem A ipsi AG aequalis ergo trianguli clatera FG. GA
239쪽
aequalia erunt Si itaque centro G intervallo G circulus describatur, transibit per F, et horigontalem ei inclinatam tanget in punctis AF est enim angulus GF rectus, cum Fipsi A sit aequidistans ex quo constat lineas omne usque ad inclinatam ex puncto A productas extra circumferentiam extendi, et quod consequens est, lationes per ipsas longiori tempore absolvi quam per A. Quod erat demonstrandum.
Tangant se intus in puncto A Fig. 92 duo circuli, quorum centra B, noris, C majoris interiorem vero circulum contingat recta quaelibet linea FG in puncto; majorem autem secet in punctis F, G , et connectantur tres lineae AF . AH, AG Dico angulos ab illis e tentos AH, GAI esse aequales. Extendatur II usque ad circumferentiam in I, et ex centris producantur H CI, et per eadem centra ducta sit BC, quae extensa cadet in contactum et in circumferentias
circulorum in O et . Et quia anguli CΝ, BO aequales
sunt, cum quilibet opsorum duplus sit anguli ΙΑΝ, erunt lineae ΒΗ, C parallelae. Cumque II ex centro ad contactum sit perpendicularis ad FG. erit quoque ad eandem perpendicularis CΙ, et arcus I arcu M aequalis, et quod consequens est, avgulus A angulo ΙAG. Quod erat ostendendum. THEOREMA XXL. Roposivio XXXII
Si in Aoriaonte sumanιur duo punοια ει ab altero ipsorum quaeliba linea uersus alιerum inclineιur eae quo ad inclinatam reeι linea dueatur, ea ea parιem abscindens aequalem ei, quae inter puncta horizonιis intereipitur, easus per hane ueιam μιius absolveιur, quam per quascunque alias rectas eae eodem puneιο ad eandem inelinatam rotraeias In aliis aulem, Mae
240쪽
per angulos aequales hine inde ab hae distiterint . easus fiunt temporibus inter se aequalibus.
Sint in origonte duo puncta A, B Fig. 3), et ex
inclinetur recta C, in qua ex terminora sumatur BD ipsi BAaequalis, et jungatur AD. Dico, casum per A velocius fieri quam per quamlibet ex A ad inclinatam BC productam. Expunctis enim A, D ad ipsas BA, B perpendiculares ducantur ΑΕ, Ε, se se in E secantes; et quia in triangulo aequicruri ABD anguli BAD, BD sunt aequales, erunt reliqui ad rectos DAE, DA aequales ergo enim E intervallo A descriptus circulus per D quoque transibit, et lineas A, B tanget in
punctis A. D. Et cum A sit terminus perpendiculi AE casus per A citius absolvetur quam per quamcunque vitam ex eodem termino A usque ad lineam BC ultra circumferentiam circuli extensam quod erat prim Ostendendum. Quod si extenso perpendiculo M. in eo sumatur quodvis centrum , et secundum intervallum A circulus AGC describatur tangentem lineam in punctis G, secans, iunctas G, A per angulos aequales a media D ex ante demonstratis dirimentur, ei per ipsas lationes temporibus aequalibus absolventur, cum ex puncto sublimi A ad circumferentiam circuli AG terminentur. PROBLEMA XII, RoposiTio XXXIlI. Dino perpendiculo et plano ad ipsuda inclinato, quom eadem, avitudo, idemque terminus sublimis punctum in m
pendieuis supra terminum ommunem reperire, eae quo se a miιιωur mobile, quod postea convertatur per planum inelinatum, ipsum planum eonficia te Me eodem quo ipsum perpendistilum eae quieι eonficeret. Sint perpendiculum et planum inclinatum, quorum eadem
sit altitudo AB, AC Fig. 4), oportet in perpendiculo BA,
producto ex parte A, punctum reperire, ex quo descendens mobile conficiat spatium AC eodem tempore, quo conficit datum perpendiculum B ex quiete i A. Ponatur DC ad angulos rectos ad AC, et secetur CD aequalis AB, et jungatur erit angulus ADC major angulo CAD est enim C major