장음표시 사용
281쪽
r intender a agione, onde cita avvenga, superara inlinii intervallo la semplice notigia avuia dalle alirui attestagioni edanc da molle replicate sperienge. SALV. V. S. molto veridicamente discorre e la cognigione diis solo esseito acquisiata per te sue cause i apre 4ntelletio a intendere edisssicurare di altri fletii, senEa his gno di eorrere ait' raperienm, come appunt avviene et presente aso; ove guadagnata per o discors dimostrativola certegga detressero it massim di tuti liniri di volaia quollo detr elevaaione deli angori semiretto , ci dimostrat Aulore quello che sors per 'esperiena non e stato osse
vato e quesio , che degli altri iri, quelli sono tra di omeguali te elevagioni dei quali superan o lanoan per angolieruali alia semiretia si che due palle irate dati' iEκοnte, una secondora' elevagione dio punii e alim dira, andranno seri sororiagoni in lontananae eguati, e cos eguali sa-ranno i iri dira e dira punii, di is dira ec O sentia mone
Trianguli CB Fio l18 circa angulum rectum C sint
horia talis C ei perpendicularis LM aequales sic enim angulus B semirectus erit et extensa mi D, supra et infra diagonalem B constituantur in B duo anguli aequales, M. MBD Demonstrandum est, amplitudines parabolarum a projectis explosis eodem impetu ex termin B, juxta elevationes angulorum BC, DBC, esse aequales. Quia enim
angulus externus BUC internis MDB, DB est aequalis, iisdem aequabitur quoque angulus B Quod si loco anguli Buponamus ΒΕ, erit idem angulus B duobus BE, B aequalis: et dempto communi ΜΒΕ, reliquus BD reliquo ΕBCorit aequalis. Sunt igitur trianguli DC vel HI, et C vel Gin similes Dividantur recta DC, C bifariam in II et F; et dueantur Ι, FG horigontali CB aequidistantes et utill
282쪽
ad m, ita fiat I ad I L erit triangillus ΙΗΙ similis triangulo ΙΗD, cui etiam similis est GF. Cumque III, G sint aequales dimidiae nempe ipsius BC), erit FE idest C, aequalis HL et addita communi II, erit II ipsi L aequalis Siliaque intelligamus per me B semiparabolam esse descriptam, cujus altitudo erit IIC, sublimitas vero IIL, erit amplitudo ejus CB quae dupla est ad III, media scilicet inter II seu CH, et AEL; eamque tanget DB, aequalibus existentibus Η, D. Quod si rursus parabolam per B descriptam concipiamus a sublimitate L cum altitudine C quarum media proportionalis est FG cujus dupla est origontalis B erit pariter C ejus amplitudo illamque tanget B, cum EF, F sint aequales Distant anguli BC, BC elevationes scilicet ipsarum aequaliter a semimeto et impetus in pu ι B utriusque parabolae inιer se sunt aequales eum repraesenιenιur ab aequalibus lineis L. EG, vi mo ostendam ergo patet μο- positum. Ouod autem lineae L G praedietorum momentorum sint mensurae, sic paιet. Cum enim sublimiis parabolae M siι
Parabolao II Hy. 119 altitudo G ad altitudinem CR
parabolae BD eandem habeat rationem, quam sublimitas Aa sublimitatem Ε. Dico amplitudinem Η amplitudini DC esse aequalem. Cum enim primam ad secundam CB eandem
283쪽
habeat rationem, quam tertia B ad quartam E; rectangulum GF primae et quartae aequale erit rectangulo CBA secundae et tertiae ergo quadrata . une hisce rectangulis aequalia sunt, aequalia erunt inter se rectangulo vero GFEaequale est quadratum dimidiae GH rectangulo autem CBA aequale est quadratum dimidiae CD, ergo quadrata haec, et eorum latera, et laterum dupla, aequalia erunt. Haec autem sunt amplitudines GH, CD, ergo patet propositum.
Seoia sit AB Fiu. 20 utcunque in C. Dim, quadrata
linearum mediarum inter totam AB, et partes C, CB simulsum pia, aequalia esse quadrato totius AB. Id autem constat descripto semicirculo super tota A, et ex C erecta perpendiculari CD, junctisque A, B. Est enim D media inter BA, AC, estque D media inter AB. BC, suntque quadrata linearum A, B simul sumpta aequalia quadrat totius AB, recto existente angulo ADB in semicirculo ergo patet propositum.
Si semiparabola AB Fig. 213 cujus sublimitas A,
BItitudo vero AC, ex quibus componitur perpendicularis C. Dico, impetum semiparabolae in B esse aequalem momentoriaturaliter descendentis ex D in C. Ponatur ipsamet DC men- Rura esse temporis et impetus et accipiatur media proportionalis inter CD DA, cui aequalis ponatur CF. Sit insuper inter DC CA media CE. Erit jam C mensura temporis, et momenti descendentis per D ex quieto in D CE vero t-vus erit et momentum descendentis per A ex quiete in A;. diagonalis E erit momentum ex illis compositum, hoc .st semiparabolae in B Et quia D secta est utcunque in A,
284쪽
suntque CF. C mediae inter totam C et paries A, C
erunt harum quadrata simul sumpta aequalia quadrato totius ex lemmate superiori; verum iisdem quadratis aequatur quoque quadratum ipsius EF, ergo et linea EF ipsi DC aequalis est. Ex quo constat, momenta per DC et per semiparabolam AB, in C e B esse aequalia quod oportebat.
Hinc constat semiparabolarum omnium, quarum Ititudines cum sublimitatibus iunctae pares sunt, impetus quoque
Impetus datus desinitus sit a perpendiculo ad horia temAB F0. 122ὶ amplitudo vero in origontali sit BC. Oportet
sublimitatem semiparabolae reperire, cujus impetus sit B. amplitudo vero C. Constat ex jam demonstratis, dimidiam amplitudinem BC suturam esse mediam proportionalem Inter altitudinem ei sublimitatem ipsius semiparabolae, crius impetus ex praecedenti est idem cum impetu cadentis ex quiete in A per totam AB. Est propterea B ita secanda ut rectangulum a partibus eius contentum aequale sit quadrato dimidiae BC quae si BD in apparet necessarium esse, quod DB dimidiami non superet, rectangulorum enim a partibus contentorum maximum est, cum tota linea in partes secatur aequales Dividatur itaque B bifariam in Ε. Quod si ipsa BD aequalis fuerit ΒΕ, absolutum est opus eritque semiparab lae altitudo ΒΕ. sublimitas vero ΕΛ et eo parabolae ele- 'ationis semirectae amplitudinem, ut supra demonstratum est, Omnium esse maximam ab eodem impetu deseriptarum). Aiminor sit B quam dimidia A, quae sta secanda est, uirectangulum sub partibus quadrato BD sit aequale. Supra EA semicirculus describatur, in quo ex capplicetur AF aequalis
BD, et jungatur Fri, cui secetur pars aequalis EG Erit iam rectangulum BG cum quadrato G aequale quadrato A,
285쪽
cui quoque aequalia sunt duo quadrata AF, Ε . emptis itaque quadratis GD, FD aequalibus, remanet rectangulum BG aequale quadrato F, nempe BD et linea BD media proportionalis inter BG, Λ Ex quo patet, semiparabolae, cujus amplitudo C, impetus vero B, alii iudinem esse G. sublimitatem GA. Quod si ponatur inserius B aequalis G , erit haec alii iudo I vero sublimitas semiparabola IC.
Ex demonstratis hucusque possumus PROBLEMA 'Ill laoposiTij ΔΙΙ. Semiparabolarum omnium amplitudines calaula ollistere, atque in tabulas eaeigere, quae a projectis eodem impetu e losis deseribunιur. Constat ex praedemonstratis, tunc parabolas a projectis eodem impetu designari, cum illarum sublimitates cum altitudinibus junctae aequales conficiant perpendiculares suprah Eontem. Inter easdem ergo parallelas horigontales hae perpendiculares comprehendi debent. Ponatur itaque origontali CB Fio. 23 perpendicularis A aequalis , et connectatur diagonalis AC Erit angulus CB semirectus gr. 45. Divisaque perpendiculariis bifariam in D semiparabola DC erit ea, quae a sublimitate A cum altitudine B designatur et impetus ejus in C tantus erit, quantus est in B mobilis venientis ex quiete in A per lineam B. Et, si ducatur Ga uidistans BC, reliquarum omnium semiparabolarum, quarum impetus futurus sit idem cum modo explicato, altitudiae cum sublimitatibus junctae, spatium inter parallelas AG, BC explere debent. Insuper, cum jam demonstratum sit, semipara larum, quarum tangentes aequaliter, sive supra sive infra, ab elevatione semirecta distant, amplitudines aequales esse, Riculus, quem pro majoribus elevationibus compilabi- Rus, Pro minoribus quoque deserviet. Eligimus praeterea numerum partium decem mille l0,000 pro maxima amplitudine
projectionis semiparabolae ad elevationem gr. 45 factae itaque tanta supponatur esse linea A, et amplitudo semiparabolae BC. Eligimus autem numerum 10.000 quia utimur in ealculis tabula tangentium, cujus hic numerus congruit cum
286쪽
tangente gr. 45. Iam ad opus accedendo, ducatur CE angulum C angulo ACB majorem acutum tamen comprehendens: sitque semiparabola designanda, quae a linea C tangaturi, et cujus sublimitas cum altitudine juncta ipsam A adaequet. Ex tabula tangentium per angulum datum BCΕ
tangens ipsa B accipiatur; quae bifariam dividatur in F. Deinde ipsarum BF Bl dimidiae BC tertia proportionalis
reperiatur quae necessario maior erit quam A. Sit igitur illa O. Semiparabolae igitur in triangulo CB inscriptae, juxta tangentem Ε. cujus amplitudo est B, reperta est altitudo F et sublimitas O. Verum tota B supra parallelas AG C attollitur, cum nobis opus sit inter easdem contineri: sic enim tum ipsa, dum semiparabolae DC describentur a projectis ex C impetu eodem explosis Reperienda igitur est altera huic similis innumerae enim intra angulum BC maj res et minores inter se similes designari possunt), cujus composita sublimitas cum altitudine homologa scilicet ipsi Ain aequetur A. Fiat igitur, uti ad A. ita amplitudo Cad CR, et inventa erit CR. amplitudo scilicet semiparabolae juxta elevationem anguli BCΕ, cujus sublimitas cum altitudine iuncta spatium a parallelis GA CB contentum adaequat; quod quaerebatur. Operatio itaque talis erit: Anguli dati BCDtangens accipiatur, cujus medietati adjungatur tertia proportionalis ipsius, et medietatis BC, quae sit FO Fiat deinde uti ad A. ita C ad aliam, quae sit Cn.
amplitudo nempe quaesita. Exemplum Ponamus.
Si angulus CB gr. 50, erit ejus tangens 11,918, oujus dimidium, nempe BF. 5959. dimidia BC 5000, harum dimidiarum tertia proportionalis 4195, quae addita ipsi BF- sici 10,154 pro ipsa O. Fiat rursus uti ad A, nempe ut 10,15 ad 10.600, ita C, nempe 10,600 utraque enim gr. 45 est tangens ad aliam, et habebimus quaesitam amplitudinem C. 9848. qualium C maxima amplitudo est
10,000. Harum autem duplae sunt amplitudines integrarum parabolarum, nempe 19 696 et 20,600. Tantaque est etiam amplitudo parabolae juxta elevationem gr. 40 cum aequalite distet a gr. 45.
287쪽
SAsa. Mi manca per cintlera intelligena di quesia di- tu iragione it saper come si vero chera terEa proporgionali diale BF. 1 sic come dice Autore necessariamento mag-giore delis A. SALV. Tal conseguena mi par che si possa dedurre inia modo I quadrato della media di tre line proporgionalie eguale a rettangolo detralire due, onde ii quadrato dolia M. O della BD ad essa eguale, de esse eguale a retiangolo deita prima Bisella terκ da ri trOvarsi la qua ierlla e necessario che si maggiore ella A percheri retiangolo dolias in F e minore de quadrato BD ed i mancamento equantoci quadrato della DF, come dimostra Euclide in una de secondo Debhesi anco avvertire chera punio , he divido la tangente E in meam attre molte volte adra sopruit punto A, est una volia anco eli istesso A ne quali casi per se noto chera terga proporaionale delia meti delictangento e della I obe da a sublimita in e uti meracia A. Ma Autor ha res it caso, ove non era manifesto che ladetis terga proporgionale iusse sempre maggiore della A ohe pero aggiunt sopra i punto F passasse la parallela G. O aegultiam . Non erit inutile ope hujus abulae alteram componero
Si amplitudo data C Fig. 124). Impetus vero qui
semper idem intelligatur, mensura sit AB aggregatum nempe altitudinis et sublimitatis. Reperienda est ac distinguenda mamo altitudo. Quod quidem tunc consequemur cum Alia divisa suerit, ut rectangulum sub ejus partibus contentum aequale sit quadrato dimidiae amplitudinis C. Incidat talis divisio in . Ei utraque AB, BC secetur bifariam in D. I. Est
288쪽
igitur quadratum I aequale rectangulo BFA: quadratum vero DA aequatur eidem rectangulo cum quadrato D. Si igitur ex quadrato D auferatur quadratum l. quod rectangulo BF est aequale, remanebit quadratum D, cujus latus DF additum lineae BD dabit quaesitam altitudinem F. Componitur itaque si ex datis. Ex quadrato dimidiae A notae aula quadratum B pariter notae residui sume radicem quadratam, quam adde notae BD, et habebis altitudinem quaest- tam F. xemplum Invenienda sit altitudo semiparabolae ad elevationem gr. 55 descriptae Amplitudo ex praecedenti tabula est 396, ejus dimidium est 4698, quadratum ipsius 22,071,204 hoc dempto ex quadrat dimidia BA, quod semper idem est, nempe 25,000 000, residuum est 2,928,796, cujus radix quadratara i proxime. Haec dimidiae BA, nempe 5000 addita, exhibet 6710, tantaque est altitudo F. Non erit inutile, tertiam exponere tabulam , altitudines et sublimitates continentem semiparabolarum, quarum eadem sutura sit amplitudo. SAGn. Questa edro i molis volentieri, mentrecho peressa miro veni in cognigione delia disserena degrimpeti dello orge che si ricercano per cacciare it pro etto nolla mo- desima lontananga con tiri che chlamano di volata; a qualdifferenga credo che si grandissima secondo te diverso ele- vagioni si che, per sempio, se altri volesse alla elevagione