Le opere di Galileo Galilei

301쪽

Axis Onoidis, qui sit CD Fig. 29), dividatur in O,

ita ut Co ipsius D sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in linea D: circumscriptae veroeentrum esse in O. Secentur figurae plano per axem et C. ut dictum est. Quia igitur cylindri Ν, Μ, VI, E sunt inter se ut quadrata linearum D, Ν, Μ, XI: haec autem sunt inter se ut lineae C CM CI, CE; hae autem sunt

sese aequaliter excedentes, et excessus aequantur minimae,

nempe CE estque cylindrus Tu cylindro se aequalis cylindrus autem V ipsi Ν, et X ipsi L aequatur ergo cylindri SN, Ν, Ν, L sunt sese aequaliter excedentes, et

excessus aequantur minimo eorum, nempe cylindro Ν. st

autem excessus cylindri S super cylindrum Manulus, cujus altitudo est QT, hoc est D latitudo autem se excessus autem cylindri Q super P est anulus, cujus latitudo est , excessus autem cylindri P super L est anulus cujus latitudo L. Quare dicti anuli 0. P, L sunt inter se aequales et cylindro Ν. Anulus igitur S aequatur cylindro et anulus V, qui ipsius est duplus, aequatur cylindro Ι, qui similiter cylindri X duplus est, et eandem is causam anulus X cylindro Μ, et cylindrus L cylindro S aequalis erit. In libra itaque, puncta media rectarum ΕΙ, Νconnectente, et in partes aequales punctis Η, G secta sunt magnitudines quaedam , nempe cylindri SN ΤΜ. Ι, Ε, et gravitatis centrum primi cylindri est Κ secundi vero est H; tertii G quarti . Habemus autem et aliam libram ΜΚ, quae est ipsius K dimidia, totidemque punctis in partes aequas distributa, nempe ΜΗ ΗΝ, ΝΚ, et in ea aliae magni-iudines illis, quae sunt in libra Κ, numero et magnitudine aequales, et centra gravitatum in signis Μ, Η, Ν Κ habentes, et eodem ordine dispositae sunt cylindrus enim L centrum gravitatis habet in M, et aequatur cylindro S centrum habenti in Ic anulus vero X centrum habet , et aequatur cylindro TM, cujus centrum estra, et anulus V, centrum habens , aequatur cylindr VI cujus centrum est G et de-

302쪽

nique anulus Τ, centrum habens Κ, aequatur cylindro Ε, cujus centrum est . Igitur centrum gravitatis dictarum magnitudinum libram dividet in eadem ratione earundem vero unum est centrum, ac propterea punctum aliquod utrique librae commune, quod sit . Itaque cado erit ut K ad YΜ est ergo F dupla ipsius K et divisam bifariam in Z erit Z dupla ipsius KD ac propterea Doripla ipsius - rectae vero O tripla est CD major est ergo recta DO, quam X ac propterea' centrum inscriptae magis adis sim accedit, quam punctum O. Et quia, ut CD ad O, ita est ablatum Z ad ablatum Y erit ei reliquum CZ ad reliquum O, ut CD ad O nempe O tertia pars erit ipsius

CZ, hoc est pars sexta ipsius CΕ. Eadem prorsus ratione d monstrabimus, cylindros circumscriptae sigurae sese aequaliter excedere, et esse excessus aequales minimo, et ipsorum

centra gravitatum in distantiis aequalibus librae, constituta, et pariter anulos iisdem cylindris aequales similiter disponi in altera libra, ipsius K dimidia ac propterea circumscriptae gravitatis centrum, quod sit , libras ita dividere, ut ZR ad K sit ut KR ad BG. Erit ergo Z dupla ipsius K CZ vero rectae KD aequalis est, et non dupla: erit tota CD minor quam tripla ipsius Ru quare recta Rmajor est quam O, scilicet centrum circumscriptae a basi magis recedit quam punctum O. t quia Z tripla est ad R. et D cum duabus C tripla ad KD erit tota CD cum CZ trina ipsius B est autem CD tripla ad O, quare reliqua C reliquae O tripla erit sciliceti sexta pars est ipsius ΕC. 0no est propositum.

taιis paraboliet Onoldi em ita dividere ut pars ad uertieem aliquae ad basim si dupla

Est parabolicum Onoidale Fig. 130ὶ cujus axis sit AB divisus in N, ita ut A ipsius B sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis concidis esse iunctum; si enim non est , aut infra ipsum, aut supra ipsum erit. Sit primum

303쪽

infra, sitqus'. et exponatur linea O ipsi X aequalis, et L contingenis dividatur in S, et quam rationem habet uiraque simul BX OS ad S, hanc habeat conoidale ad solidum V, et inscribatur conoidi figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut, quae inter illius centrum gravitatis

et punctum intercipitur, minor sit quam S, excessus autem, quo a conoide superatur, minor sit solido autem

fieri posse clarum est Sit itaque inscripta, cujus gravitatis emirum sit I erit jam I major Sor et quia est, ut X cum S ad M, tia conoidale ad Y est autem majus excessu quo oonoidale figuram inscriptam superat , erit conoidalis addictum excessum proportio major quam utriusque X, OS, ad O; et dividendo, figura inscripta ad dictum excessum majorem rationem habebit quam X ad So habet autem X ad I proportionem adhuc minorem quam ad So inscripta igitur figura ad reliquas portiones multo majorem proportionem habedit quam X ad XΙ quam igitur proportionem habe inscripta figura ad reliquas portiones alia quaedam linea habebit ad AI quae necessario major ori quam X. Sit igituruX. Habemus iisque centrum gravitatis conoidis X figurae autem in ipso inscriptae centrum gravitatis est I, reliquarunt ergo portionum quibus concidale inscriptam figuram excedit gravitatis enisum erit in linea Μ, arius in eo ipsius puncto in No si terminata fuerit ut, quam proportionem habet inseripta figura ad excessum, quo a comide superatur, eandem ipsam habeat ad XI. Ostensum autem est, hanc proporitonem esse illam quam habet M ac xΙ erii ergo, gravitatis centrum earum portionum, quibus conoidale excedit inscriptam si guram, quod certe esse non potest; nam si per Μ ducatur planum ham onoidis aequidistans, erunt omnes diotae portiones versus ea em partem, ne ab eo dividentur. Non est igitur gravitatis centrum ipsius conoidis infra punctum . Sed --que supra Sit enim, si steri potest, H, et rursus ut supra. exm itur linea L aequalis ipsi N et contingenter divisai S et quam proportionem habet utraque simul ΒΝ. O ad SL. hanc habeat conoidale ad V, et Onoidali circumscribatur figura ex cylindris, ut dictum est, a qua minori quanti-

304쪽

tale excedatur, iram sit solidum , et linea inter centrum gravitatis circumscriptae et signum Ν sit minor quam O: erit residua VH major quam S et quia est, ut utraque ΒΝ. ad SL, ita onoidale ad Y est autem Y malus excessu, quo conoidale a circumscripta superatur); ergo BN S ad SL minorem rationem habet quam conoidale ad dictum excessum. Est autem B minor quam utraque BN SO V autem major quam SL multo igitur majorem rationem habet conoidale addictas portiones quam V ad Η. Quam igitur rationem habet conoidale ad easdem portiones, hanc habebit ad VII linea major ipsa V. Habeat; sitque eamV, et quia centrum gravitatis circumscriptae figurae esto, centrum ver considis es Η, atque est, ut conoidale ad residuas portiones, ita Vad H, eritis centrum gravitatis residuarum portionum: quod simillier est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis conoidrs supra punctum . Sed demonstratum est quod neque infra restat ergo, ut in ipso Ν sit necessario. Et eadem ratione demonstrabitur de conoide plano super axe non erecto secto Aliter idem, ut constat in sequenti, centrum gravitatis conoidis parabolici inter centrum circumscriptae figurae et centrum inscriptae cadit. Si concidale Fig. 131 cujus axis AB, et centrum circumscriptae siti, inscriptae ver sit O. Dico, centrum comidis inter C. O puncta esse; nam si non, infra vel supra, vel in altero eorum erit. Sit infra, ut in et quia B est centrum gravitatis totius Onoidis inscriptae autem figurae est gravitatis centrum O reliquarum ergo portionum , quibus inscripta figura a corioide superatur, centrum gravitatis erit in linea OR ad pariet extensa, atque in eo puncto, in quo sic terminatur, ut quam rationem habent dictae portiones ad inscriptam eandem habeat OR ad lineam inter Ret punetum illud cadentem. Si haec ratio illa quam habet OR ad n x Aui igitur X cadet extra conoidem, aut intra aut in ipsi basi. Si vel extra, vel in basi cadat, jam manifestum est absurdum Cadat intra, si qui X ad O est ut inscripta figura ad exces-Sum, quo a conoide superatur, rationem illam, quam habet BR ad O eandem habeat inscripta figura ad solidum , quod

305쪽

APPEM ICE ALLA GIORNATA QUARTA. 275

necessario minus erit dicto excessu. Ei inscribatur alia figura, quae a conoide superatur minori quantitate quam sit H.

cuius gravitatis centrum cadet intra C. Sit . , quia prima figura adra est ut BR ad O secunda autem figura, cujus centrum V, major est prima, et a conoide exceditur minori quantitate quam si H quam rationem habet secunda figura ad excessum, quo a conoide superatur, hane habebit ad RV linea major ipsa R. st autem n centrum gravitatis comidis inscriptae autem secundae V centrum ergo reliquarum portionum erit extra conoides infra B, quod est impossibile. Et eodem paci demonstrabitur, centrum gravitatis ejusdem concidis non esse in linea A. Quod autem non sit alterum punctorum C, O manifestum est. Si enim dicas esse descriptis aliis figuris, inscripta quidem majori illa, oujus centrum in circumscripta vero minor ea, cujus centrum C centrum conoidis extra harum ligurarum centrum caderet, quod nuper impossibile esse conclusum est. Restat ergo, ut inter centrum circumscriptae et inscriptae

figurae sit. Quod si ita est, necessario erit in signo illo, quod axem dividit ut pars ad verticem reliquae sit dupla, cum enim circumscribi et inscribi possint figurae, ita ut quae inter psarum centrum et dictum signum cadunt lineae, quacunque linea sint minores, aliter dicentem ad impossibile deduceremus, quod scilicet centrum Onoidis non intra inscriptae

et circumscriptae centra caderet. LEMMA II. Si fuerin tres lineae proportionaissa e quam proporιλ- nem Mos minima ad eaecessum, quo maxima minimam superat, sandam habea linea quaedam sumpta ad uua erιias, emessus, quo maxima mediam superaι e item quam propor--- Me eomposiis eae minima ει dupla mediae ad Omposi- iam ex ripis m-imae et mediae, eandem habuerit alia linea 3umpis ad emessum quo maxima mediam eaecediι erunt ambae lineae sumpιas simia, ertia pars maaeimae proportionalium.

Sint tres lineae proportionales AB, BC, BF Fig. 32ὶ et quam proportionem habet BF ad A, hanc habeat S ad duas

306쪽

lertias ipsius CA; quam vero proportionem habet composita ex AB et dupla BC ad compositam ex tripla utriusque AB, BC, eandem habeat alia, nempe SN ad AC. Demonstrandum est. M tertiam esse partem ipsius AB. Quia itaque AB, C. BF sunt proportionales erunt etiam AC, C in eadem ratione est igitur, ut AB ad BC, ita AC ad F, et ut tripla AB ad tripla in C, ita AC ad CF. Quam itaque rationem et tripla AB cum tripla C ad triplam AB, hanc habebit AC ad lineam minorem ipsa CF. Sit illa CO AEuaro componendo, et per conversionem proportionis, OA ad AC andem

habebit rationem, quam tripla AB cum sexcupla B ad triplam AB cum tripla C habet autem A ad SN eandem rationem, quam tripla AB cum tripla C ad AB cum dupla BC: ex aequali igitur OA ad Meandem habebit rationem, quam tripla AB cum sexcupla C ad AB cum dupla BC verum tripla AB cui sexcupla C triplae sunt ad AB cum dupla C ergo A tripla est ad SN. Rursus quia C ad C est ut tripla C ad triplam AB cum iri pia B est autem, sicut C ad CF, ita tripla ad triplam BC ex aequali ergo in proportione perturbata, ut Cad F ita erit tripla AB ad triplam AB cum tripla BC: et per conversionem rationis, ut O ad C, si tripla C ad triplam AB cum tripla BC: est autem, sicut CF ad B, ita AC ad CB, et tripla AC ad triplam C ex aequali igitur, in proportione perturbata uti ad F ita tripla AC ad triplam utriusque simul AB, BC. Ota igitur OB ad F erit uisexcupla AB ad triplam utriusque AB, C et quia C, CAin eadem sunt ratione ac CB , A, erit sicut C ad C ita BC ad BA; ei componendo, ut A ad AC, ita utraque BA, BC ad BA, et sic tripla ad triplam ergo ut A ad AC ita composita ex tripla A et tripla B ad triplam AB quare sicut F ad duas tertias ipsius AC, sic composita ex tripla A et tripla B ad duas ieritas triplae B, hoc est, ad duplam A. Sed sicut A ad duas tertias ipsius AC, ita FB ad HS sicut ergo B ad HS ita composita ex tripla A et tripla BC ad duplam M verum sicut O ad B, ita erat sexcupla AB ad triplam utriusque AB, in ergo ex aequali, ad S

307쪽

eandem habebit rationem quam sexoupi AB ad duplam BA; quare S erit tertia pars ipsius OB. Et demonstratum est S tertiam esse partem ipsius O, constat ergo, Μ ipsius

is tertiam similiter esse partem, et hoc est, quod demonstrandum fuit. Pa MITIO IV.Cujuslibet frusι a onoide para te abaeissi renuum grantistis est in linea seis, quae fruati estisaeis qua in res aequas αιε divisa, entrum gravitviis in media existit, eam- qua si dividiι, in pars versus minorem basim ad parιem versus mamrem basim eandem abea rationem quam major basis ad hasim minorem.

conoide, cujus axis B Fiq. 133ὶ abscissum sit -- lidum, 'lus axis E et planum abscindens sit has aequi- distans secetur autem altero plano per axem super asinereotum, sitque sectio parabolae V, B, C huius autem, et plani secantis et basis sectiones sint lineae reciae LM, C; erit B diameter proportionis, vel diametro equidistans; LM, VC erunt ordinatim applieatae. Dividatur itaque B in tres partes aequales quarum media sit V haec autem signo Iita dividatur, ut, quam rationem habet basis, cujus diame-ier C. ad basin, cuius diameter Μ hoc est, quam habet quadratum C ad quadratum LM, eandem habeatvi a re. Demonstrandum est, Ι enlrum gravitatis esse frusti MC. Exponatur linea S aequalis ipsi BR et x aequalis sit En, ipsarum autem S, X sumatur tertia proportionalis G, et quam proportionem habet G ad GS, hanc habeat linea BQ ad M. Nihil autem refert, si punctum supra vel infra LMoadat et quia in motione B lineae LM, Vc ordinatim sunt applicatae erit ut quadratum C ad quadratum LM, ita linea BR ad RE est autem ut quadratum C ad quadratum M. ita I ad ΙΥ. et ut BR ad Ε, ita S ad SA. ergo in ad I est ut Mad X. varo ut 0Y ad YΙ, ita

erit utraque S, X ad X, et ut B ad Yt, ita composita ex tripla Mei tripla X ad X est autem, ut B ad F. ita composita ex tripla utriusque simul S, SA ad compositam

308쪽

ex S, X ergo ut EB ad M. ita composita a tripla Set tripla S ad compositam ex Mei dupla SX sunt igitur

tres lineae proportionales, S , X GS , et quam proportionem habet G ad GΝ, hanc habet quaedam sumpta Iad duas tertias ipsius B, hoc est ipsius X. Quam autem proportionem composita ex Met dupla X, ad compositam ex tripla S et tripla X eandem habet alia quaedam sumpta I ad Ε, hoc est ad X per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius S hoc est ipsius B est ergo B tripla ipsius BO.quarem erit centrum gravitatis concidis VRC. Sit autem Acentrum gravitatis conoidis Ru frusti ergo LM centrum gravitatis est in linea B, atque in eo puncto, qui illam sic terminat, ut quam rationem habet LM trustum ad in portionem, eam habeat linea AO ad eam, quae inter et dictum punctum intercedit. Et quia B est duae te

ita ipsius B RA vero duae tertiae ipsius erit reliquam duae tertiae reliquae B et quia est, ut frustum Lusa portionem LRM. ita G ad GS ut autem G ad S, tia duae tertiae EB ad OI duabus autem tertiis ipsius ΕΒ aequalis est linea AO: erit ut frustum LM ad portionem LRM, ita AO ad in Constat igitur frusti Lu gravitatis contrum

esse punctum L et axem ita dividere, ut pars versus in rem basi ad partem versus majorem sit ut dupla majoris basis una cum minori ad duplam minoris una cum majori. Quod est propositum, elegantius explicatum.

Si mayniιudines q-ιeunque ita inter se sis dispositae, viseeunda adda super primam duplum primae, erιia adda superseeundam riplum primae, quarta vero adda super ισιiam qu druplum primae, e si unaquaeque sequentium super sibi prorimam addat maynitudinem primae, multiplicem secundum numerum, quem ipsa in ordine retinuerit: si inquam, hae magniιυ-dines ordinaιim in libra eae distantiis aequalibus suspendantur: centrum aequilibri omnium ompositarum libram ita diuideι, ut pars versus minores magnitudines reliq- sit uripta.

309쪽

Esto libra L F0. 134ὶ, et magnitudines, quales dictum

est, in ea pendeant, et sint A. F, G Η, Κ, quarum A ex suspensa sit prima Dico, centrum aequilibri libram L ita secare ut pars versus' reliquae sit tripla Sita tripla ad LI,

et S tripla P, et L ipsius Ν, et Iis ipsius LO; erunt re, PN, NO, O aequales. Et accipiatur in F magnitudo ipsius Adupla, in G vero alia eiusdem tripla in II ejusdem quadrupla. et sic deinceps et sint sumptae magnitudines illae, in quibus 4 φ idem stat in magnitudinibus F, G Η, Κ Quum enim in

reliqua magnitudo, nempe , sit aequalis A sumatur in Gipsius dupla inm tripla etc., et sint hae magnitudines sumptae, in quibus B; et eodem pacto sumantur illae, in quihusia et in quibus meta erunt iam omnes, in quibus A aequales ipsi, composita vero ex omnibus B aequabitur ipsim: composita ex C ipsi G ex omnibus D vero composita aequa-hitur F et E ipsi A et quia I dupla est IL, erit I punctum aequilibri magnitudinis compositae ex omnibus A et similiter eum SP ipsius P sit dupla erit P punctum aequilibrii ompositae ex omnibus B, et eandem ob causam merit notum aequilibri compositae ex omnibus C; O vero composita ex , et L ipsius . Est igitur libra quaedam IL. in qua ex distantiis aequalibus tendent magnitudines quaedam Κ, Η, G, Κ, Λ, et rursus est alia libra LΙ, in qua ex distantiis similiter aequalibus pendent totidem numero magnitudines, et eodem ordine praedictis aequales, est enim composita ex omnibus , quae pendet exes, aequalis Κ pendenti ex L et composita ex omnibus . quae pendet ex P, aequalisin pendenti ex P ei similiter composita ex , quae pendet ex Ν, aequatur, et composita ex , quae pendetexi, aequatur F, et E pendens ex L aequalis est . Quare librae eadem ratione ais tr compositarum magnitudinum dividentur. Unum est autem centrum compositae ex diciis magnitudinibus. Erit ergo punctum commune rectae L et

rectae L Oentrum, quod sit . Itaque ut TX ad XL, ita erit LX ad XI, et tota L ad LΙ, est autem L ipsius Ll tripla, quare sto ipsius XL tripla erit.

310쪽

minima su aequalis, e in libra ae distantiis aequalibus su pendantur omnium compositarum enιrum equilibri libram divideι, ut pars uersus minores magniιudines reliquae sit major quam ripla, eadem vero de ια una distanua ejusdem minor si quam ripis.

Sint in libra Fig. 135 magnitudines, quales dictum

est, a quibus auferantur magnitudines aliquae inter se, ut quae in praecedenti dispositae fuerunt; et sint compositae ex o-bus Λ, erunt reliquae, in quibus C, eodem ordino distributae,

sed deficientes maxima Sit D tripla D ei G tripla 2:

erit D centrum aequilibri compositae ex omnibus A F vero compositae ex omnibus C; quare compositae ex omni sis. C, centrum cadet inter mei . Sit O. anifestum itaquo est E ipsius O majorem esse quam triplamam vero ejusdem

Sit itaque conus Fiq. 1363, cujus axis ΝΜ dividatur in S, ita ut S reliquae Μ sit tripla. Dico, cujuscumque figurae cono, ut dictum est, inscriptae centrum gravitatis in axe