Le opere di Galileo Galilei

311쪽

ΝΜ consistere, et ad basin coni magis accedere quam S punctum circumscriptae ver gravitatis centrum similiter in axe

ΝΜ esse, et vertici propinquius quam sit . Intelligatur itaque inscripta sigura ex cylindris, quorum axes C, B, Ε, ΕΑ aequales sint. Primus itaque cylindrus cujus axis C. ad cylindrum, cujus axis B, eandem habo rationem quam sua hasis ad basin alterius sunt enim eorum altitudines aequales in haec autem ratio eadem est ei, quam habet quadratum C ad quadratum B t similiter Ostendetur, cynmirum, cujus axis CB ad cylindrum cujus axis BE Lndem habere rationem quam quadratum B ad quadratum ΝΕ.cilindrum oro, cujus axis E ad cylindrum circa axem EA. eam quam abet quadratum N ad quadratum V sunt autem lineae C, B. E. A sese aequaliter excedentes et earum excessus aequantur minimae nempe ipsi A. Sunt igitur magnitudietes quaedam, nempe inscripti cylindri eam

inter se consequenter rationem habentes, quam quadrata linearum sese aequaliter excedentium, ei quarum excessus senima aequatur: unique ita dispositi in libra TΙ. ut singulorum centra gravitatum in ea, et in distantiis aequalibus

conrastant. Per ea igitur, quae supra demonstrata Sunt, constat,

gravitacis centrum omnium ii compositorum libramo ita divid-, ut pars versus si major quam iri pla reliquae Sithoo centrum O est ergo O major quam tripla ipsius in Verum T iripta est ad IN ergo totam minor erit quam

pars quarta totius ΜΝ, crius S pars quarta posita si Constat ergo, signum has coni magis accedere quam S. Veruuisit tam circumseripta figura constans ex cylindris, quorum axes MC, CB, E, EA, A inter se sint aequale similiter. ut de lusoripiis, ostendetur, esse inter se sicut quadrata inearum MN, C, BN, NE, AN, quae sese aequaliter XuΘ-dunt, excessumus aequatur minimae AN; quare per praemis-Nam, centrum gravitatis omnium cylindrorum ita dispositorum.

quod si V libram I si dividet, ut pars versus , nempe RV, reliquae I si major quam tripla TV vero ejusdem Nainor erit quam ripla Sed N tripla est ipsius Iu igitur tota is major est quam pars quaria totius ΜΛ , cujus S

312쪽

pars quarta posita est. Itaque uncium V vertici propinquius est quam punctum S. Quod ostendendum erat. PUPosiTio IlI. n ωι μιes Dura ireumferibi e aurea inseribi eaeeylindris aeq-tem altitudinem habentibus ita ut linea, quae n-ιer enιrum stravitaιis eircumseriptae, e eentrum gravitviis n- seriptae inιercipitur, minor si quaeumque linea proposita.

Si datus conus Fiq. 137ὶ cujus axis AB, data autem recta sit . Dico exponatur cylindrus L aequalis ei, qui incon inscribitur, altitudinem habens dimidium axis AB. et AB dividatur in C. ita ut AC ipsius C tripla sit, et quam rationem habet AC ad Κ, hanc habeat cylindrus L ad solidum A. Cono autem circumscribatur sigura ex cylindris aequalom altitudinem habentibus et altera inscribatur, ita ut cimcumscripta excedat inscriptam minori quantitate, quam sit -- lidum X; sitque circumseriptae gravitatis centrum E, quod cadet supra C inscriptae vero centrum sit S cadens sub C. meo lam,

ES lineam ipsa Κ minorem esse. Nam si non ponatur ipsi CAaequalis O quia igitur O ad K eandem habet rationem quam L ad . inscripta vero figura minor non est cylindro

L excessus autem, quo dicta gura a circumscripta superatur, minor est solido X inscripta igitur figura ad dictum excessum majorem rationem habebit quam ratio autem O ad, non est minor ea, quam habet O ad S, cum S non ponatur minor, Igitur inscripta ligura ad

excessum, quo a circumscripta superatur, majorem habet rationem quam O ad ΕS. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad lineam ES linea quaedam major ipsa O sit illa ER: est autem inscriptae figurae

centrum gravitatis S; circumscriptae vero centrum est E: constat ergo reliquarum portionum, quibus circumscripta excedit inscriptam, centrum gravitatis esse in linea ΒΕ, atque in eo puneto, a quo sic terminatur, ut quam rationem habet inscripta ad dictas portiones, eandem habeat linea inter mei punctum illud intercepta ad lineam S hanc vero rationem habe n ad S ergo reliquarum portionum, quibus circum-

313쪽

scripta superat inscriptam guram, gravitatis centrum eritin, quod est impossibile, planum enim ductum peris has coniaequidistans dictas portiones non secat. Falsum igitur est lineam S non esse minorem ipsam erit ergo minor. aegaviem non dissimili modo in pyramide steri posse demonstrabuntur. COROLLARI M.

Ex his manifestum est, cono dato Imsse guram unam circumscribi, et alteram inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut lineae, quae inter earum centra gravitatum, et uncium, quod axem coni ita dividit, ut pars adverticem reliquae sit tripla intercipiuntur, quacunque data linea sint minores. Cum enim, ut demonstratum est, dictum punctum axem dividens, ut dictum est, semper inter circumscriptae et inscriptae gravitatum centra reperiatur sterique possit ut quae inter eadem centra mediat, linea minor sit quacunque linea proposita multo minor eadem proposita linea sit, quae inter alierum centrorum, et dictum punctum axem dividens intercipitur. PROPOsITIO IX. Cujuslibet coni, e pyramidis entrum gravitaιis axem dι-rissiι, tu pars ad verticem reliquae ad basi si tripta.

Esto conus Fibi. 13' cujus axis AB, et in C dividatur, ita ut C reliquae C sit tripla ostendendum est, C esse

gravitalis centrum coni. Nam si non est, erit con centrum

aut supra, aut infra punctum C. Sit prius infra et sit E et exponatur linea SP aequalis Ε, quae contingenter dividatur in Ν; et quam rationem habet utraque simul ΒΕ, P ad Ν, hanc habeat onus ad solidum X, et inscribatur cono solida figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, cujus centrum gravitatis a puncto C minus distet quam sit linea SN et excessus, quo a cono superatur, minor si solido X haec enim fieri posse, ex demonstratis manifestum est. Sit jam inscripta figura qualis petitur, cujus centrum gravitatis silci. Erit igitur Ε linea major quam P, cum SP sit aequa-

314쪽

lis CE, et C minor SN et quia utraque simul Ε, Pad N est ut conus ad X excessus autem, quo conus iu- scriptam siguram superat minor est solido X ergo conus addictum excessum majorem rationem habebit quam utraque ΒΕ, N ad P et dividendo, inscripta ligura ad excessum, quo con superatur majorem rationem habebit quam B ad Pi habet autem Mada minorem adhuc rationem quam ad Pcum ΙΕ. cum major sit P. ergo inscripta sigura ad excessum, quo a con superatur, multo maiorem rationem habet quam B ad 1 quam igitur rationem habet inscripta addictum excessum hanc habebit ad Et linea quaedam maior ipsa ΒΕ. Sit illa ΜΕ. Quia igitur H ad El est ut inscripta figura ad excessum, quo a con superatur et est Woentrum gravitatis coni, I vero est gravitatis centrum insori piso ergo merit ensrum gravitatis reliquarum portionum, quibus --nus inscriptam sibi figuram excedit quod est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis oni infra in notum. Sed neque supra Nam, si potest, sit Pet rursus sumatur linea SP contingenter in sectar et quam rationem habet utram simul BC, P ad S, hanc habeat conus xv et circumscribatur similiter cono figura, a qua minori quantitate superetur, quam sit solidum X et linea, quae inter illius centrum gravitatis et C intercipitur, minor sit ipsa P. Sit jam circumscripta. cujus centrum sit O erit reliquam major ipsa S o quia ut utraque simul C. P ad S, ita conus ad x excessus vero, quo Onus a circumscripta superatur minor est quam X ipsa vero O minor est quam utraque simul BC, ΡΝ ipsa autem On major quam N conus igitur ad reliquas portiones, quibus a circumscripta Superatur, multo maiorem rationem habebit, quam BO ad On. Habea rationem illam Oad OR: rit O major ipsa C; et morit enim gravitatis portionum quibus conus a circumscripta superatur figura, quod es inconveniens. Non est ergo gravitatis centrum ipsius coni supra punctum C sed neque infra, ut Osten8um est ergo erit ipsunt C. t idem eodem prorsus modo in pyramide quacumque demonstrahitur.

315쪽

Si fuerin q-ιuor lineae eontinue proporιionalas e quam rviisnem M minima earem ad excessum quo maxima ι-nimam superaι, eundem habuerit linea Medam sumpis ad l

habe linea his aequalis maaeimae dupla seeundae e triplas ισιiae ad ineam aequiae quadruplae maximae, q-druplaesaeundas, et q-druplae ertiae eandem habueri alia tutatam

Sint enim quatuor lineae proportionales Fig 139 AB, BC, D, E, et quam rationem habet B ad A, eandem habeat FG ad Lipsius AC quam autem rationem habet linea aequalis AB. et duplae BC, et triplae BD ad aequalem quadruplae ipsarum AB, BC, BD. hanc habeat ΚG ad AC. Ostendendum est, Κ quartam esse partem ipsius AB Quia igitur AB, C, D. E sunt proportionales in eadem ratione erunt etiam AC, D, E ei ut quadrupla ipsarum AB. BC, BD ad AB cum dupla BC, et tripla BD. ita quadrupla ipsarum C, CD DE, hoc est quadrupla ipsius AE ad AC cum dupla CD

I A iam avulo pia ' una volt Measione di avortire com sno dat suo verdi anni Galile avesse progredito negli studi della secantea e de mo-vimonii locali. Una nuova consermagionei abbiamo da questo lemma lalla so- tuente determinagione de centro di gravita δ' una piramide tronca la quale seh- hane u licata sollant ae 1638, era glastata da lui compostasii, di einquanta anni innangi come risulta alia seguente attestallione apposta a n semplare delia medesima he si conserva originale neIPAmhrosiana di Nilano eod. A, n. in copia ella Palatina N8S Gal. Par. V, T. 2, e Par. VI, T. 33.

Addi 12 Dicembro 1387. - Fassi sede comera presenti conclusioni dimosiregioni sono state ritrovato da Messe Galilao Galilei. Gio Bait Bardi do conti di Vernio Luigi di iero Alamanni Gio Bait de baroni ni soli. Addiras Dicembre 138 Io lusoppomoleto, letiore pubblico delle uatematicho nello iudi di Padova, dic aver letto iuresenti Lemmae eorema, i quali mi sono parsi uoni, e stimo Autore di essi esser

316쪽

et tripla Ε et sic est AC ad ΚG ergo ut tripla ipsius AEad AC cum dupla CD et tripla DE. itara ipsius AC ad G: est autem, ut tripla A ad triplam B, ita DA ad GF ergo

per conversam Vigesimam quartam quinii, ut tripla AE ad AC

cum duplam et tripla B, ita ipsius A ad F; et ut quadrupla AE ad AC cum dupla CD et tripla B, hoc est ad AB cum C ei BD, ita AC ad F et permutando ut quadrupla AE ad AC, ita AB cum C et BD ad KF ut autem A ad Ε, ita AB ad AB cum C et D ergo exaequali, In proportione perturbata, ut quadrupla AE ad E. ita AB ad F. Quare constat, F quartam esse partem

ipsius AB

Cinmeunque frusι pyramidis, seu eoni plano basi aequidi-8ιanιαμοιi, centrum stravitatis in ae eonsistit, eumque ια dividi ut pars versus minorem basi ad reliquam si v tripla majoris basis eum spatio duplo medii geometrici inιer basin majorem e minorem una eum basi minori, ad triplam minoris basis eum eodem duplo spaιii medii a una eum basi majori. con vel pyramide cujus axis AD Fig. 40ὶ sece-lur plano basi aequidistante frustum, cujus axis D, et quam rationem habet tripla maximae basis cum dupla mediae, ei minima, ad triplam minimae cum dupla mediae, et maxima, hanc habeat O ad OD. Ostendendum est, O centrum gravitatis frusti existere Sit VM quarta pars ipsius D Exponatur lineam ipsi AD aequalis, sitque X aequalis V, ipsarum vero II X KX tertia proportionalis sit XL, et quarta S et quam rationem habet II ad SX, hanc habeat M ad lineam sumptam ab O versus A quae sit ON; et quia

major basis ad eam, quae inter majorem et minorem est media Proportionalis est, ut A ad V, hoc est, ut II ad K: dicta autem media ad minorem est, ut X ad XL erunt major, media et minor basis in eadem ratione, ac lineae I X,

Quare ut tripla majoris basis cum dupla mediae et minima, ad triplam minimae cum dupla mediae et maxima, hi

317쪽

est ut O ad OD, ita tripla X cum dupla X et XL adiripiam XL cum dupla Κ et XII et componendo, et convertendo, eritis ad V utra cum dupla I et tripla XL ad quadruplam ipsarum X, Κ, XL. Sunt igitur 4 linea proportionales, IIX. Κ, XL XS et quam rationem habet S ad SH hanc habet linea quaedam sumpta O ad Lipsius V, nempe adiri hoc est, ad Lipsius ΗΚ quam autem rationem habetin cum dupla I et tripla XL ad quadruplam ipsarum X, Κ, XL, eandem habet alia quaedam sumpta OD ad V, hoc est ad ΗΚ ergo per

ea quae demonstrata sunt D erit quarta pars ipsius X, hoc est, ipsius AD quare punctum N erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cujus axis M. Sit pyramidis, vel coni, cujus axis V, centrum gravitatis L Constat igitur, centrum gravitatis rusti esse in linea I ad partes N extensa, in eoque ejus puncto qui cum puncto N lineam intercipiat, ad quaml eam habeat rationem, quam abscissum frustum habet ad pyramidem vel conum cujus axis V ostendendum itaque restat. I ad O eandem habere rationem quam frustum ad conum, cujus axis V. Est autem ut conus, cujus axis A, ad conum, cujus axis V, ita cubus D ad cubum V, hoe est, cubus II ad cubum XΚ haec autem eadem est pro, portio, quam habet X ad XS: quare dividendo, ut MadsX, ita erit frustum, cujus axis m, ad Onum vel pyramidem, culus axis A est autem ut HS ad X, ita etiam Dad ON quar frustum ad pyramidem, cujus axis V, est ut

M ad O. Et quia A est Lipsius AD AI autem est i ipsiusAV, erit reliqua I reliquae D quare I aequalis erit

ipsi D. At demonstratum est, D ad O esse ut frustum ad conum V constat ergo, hanc eandem rationem habere etiam I a m quare patet propositum.

318쪽

dere, doma interposigione di qualch anno. innovata in quest glorno a nostra solita adunanga S ehe r ingegn vivacede Sig. Sagred e tale che non sa stare in orio per mile suad Ohe egi non avra mancato di fare, ne temporaella nostra lontananEa, qualch restessione sopra te dottrine delmoto, e quali furo lette eir ultima glomata de nostri a sati colloqui is che alla virtuosa conversatione di V. S., edano de nostro Sig. Simplicio, o sempre accolio fruiti di non volgare erudigione la rego a vole proporre qualobenu va consideragione Opra te cos de nostro Automath leue da not. Os darem principio agi usat discors per passarquesta tornata ne Pioc agione di virtuos trattenimento. SAGn. Non nego a V S. che in questi anni, siano passati per a lantasia ad pensieri sopra te novita dimostrate da uel uo Vocchio intorno alla sua scienEa de moto, Ottoposta e ridotia da lui alle dimostragioni delia geometria. AEdora, miche ella cosi comanda, procurero di ammeniarmiqualch cosa e daro a te occasione di beneficare it mi in telleti co suo dotii agionamenti.

319쪽

Per comino ardunque per ordine a principio de trai- talo de moti, proporro a V S uno scrupol mi antico innovatomi ne considerare la dimostragione che I Auiore apportanella sua prima proposigione de moto equabile la quale cede com molis altro degli antichi e moderni serittori per via degli gualmente multiplici. Questa δ una certa ambiguita che toto sempis avulamella mente in torno alla quinta, come altri Oglion festa disinigione de quinto libro di Euclide Stimo mi somma prosperia di ver potui incontrare occasione di conseri questo dubhio con V. S., de quale sperodove restar totalmeni liberato. SiuP. Angi che io ancora ri noscero quest Duovo abboccamento con e S. V. per henestri singolare dellam tuna, se mi succederi di poter iceve qualche tuo intorno questo punt acoennat da Sig. Sagredo. Non ebbi mal ilpiu duro osiacolo di quesio in quella poca di geometria cliei studia gia nello scuolo da giovaneito Pero olla 'immaginiquanto si per dovermi esse caro se dom tanto tempo sentirotatorno a questo particolare qualch cosa di mi solidis agione. Man. Dico dunque che avendo sentito, ne dimostra laprima proposigione deli Autore intorno a moto equabile ad prarsi gli ugualmente multiplici conlarme alla quinta, ovvero instadianiatone dei quinto libro di Euclide,ed avendori uni odi uisio gi antiquato intorno a questa disinigione, non resia oon uelis hiareaeta che o avrei desiderato ella pr delia proposigione. Ora mi farehbe pur caro ii pote intenda bene uel primo principio, per poter po con attrettanta evide a resta capace delle os che eguono intomo alladottrina de moto. LV. Procurer di soddissare a desideri di . . conaddomesticare in qualch altra anter quella innietione diguonde, e spiana la trada, per quanto mi sara possibile. Ni introdugione delle proporgionalith. Intanto sappia pure diaver Vuto per compagni in questa ambiguitii nomini digra valore i quali per ungo tempo Ono stat con a m desima poca soddissagion con a quale . . mi dice di i-

320쪽

diato ii quinto libro di Euclide, resta involis concla mente Dellastessa caligine. Supera sinat mente la dissicula, quando ello studiare te araviglios Spirali di Archimede, incontrai elbe principio de libro una dimostrarione simile alla predelia

de nostro Autore. Queir casione mi sece anda pensando se per fortuna ei lasse alira suada pili agevole, per a quale si potesse arrivare a medesim sine e acquisiare per me edanco Per altri qualch precisa cognitione ella materia delle proporatoni per applicat aliora r animo non qualch atten-Zione a quesi proposito, ed sporro adesso quanto fida me speculato in queli Opportunita, solioponendo Ogni is progresso

a purgatissimo iudiri delle SS. V. Suppongas primieramente come te suppos anm Euclide, menire is disini cherae grandrage proporgionali si trovino.

Cloe, che date in qualunque modo ire grandeZm, quella proporatone, o uel rispetio, o quella relagions di quantita chehara prima verso la seconda la siessa possa averta una terga Vers una quarta. Dic mi, che per dare una disinirion dellesudde te grandeZZe proporgionali la quale producameli animo de letiore qualche conoetis agglusiat alia naιura di esse grandeZZe Proporaionali, Ovremm prendere una dello lampassioni, a per la tu facile di tuite, e quella per appunis che si stimi la tu intelligibile anco dat volgo non introdotisnelle matematiche. Cosi sece Euclide stesso in molli altri tu ghi. Ovvengavi ho egi non disse ii cerchio essere una figura piana dentro la quale segandosi due line retie, i retia gol sotto te parti detrina si sempre guale a rettangvio sottora parti deis altra Ovvero, denim a quale tuti i quadrilateri a tan gli angoli oppost uguali a due retti . Quando anche cos avesse deito, arebbero state buone distnitioni Mamenire egit sapeva un'altra passione de cerchio tu intelligibile della precedente e tu facile da formarsene oonceito, chi non si accorge clie egi sece assa megli a metiere avanti quella tu chiara e pii evidente come di siniZione, per cavarpo da essa queis ali re tu recondite, e dimostrarie come Onclusionia