Le opere di Galileo Galilei

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gringegdi i quali total mente si acquietino a questa disini-gione, se io con Euclide diro cosi:

porgionali, gli guat mente multiplici si accordino sempre Ovvero hi a che uegii gualmente multiplici non si ac-

rionali Gi, Euclide nolle precedenti disiniatoni aveva deito:

La proportione ra due strandeaae essere un a rispeιι οrehisione tra di lam, per q-nιο si apparιiene alia quanιua. Ora vendo ii lettore concepit gi neir intelletio chec a si la proporgione Da due grandegae, ara dissicilis ache egi possa intendere che uel rispeit o relagione, che esta a prima e a seconda grandeaga, aliora i simile a rispotis o relagione che si mucis la terga e la quarta gran-degga, quando uegii gua mente multiplici delia prima edella terga si accorda sempremella manter predeita con gliugualmenis multiplici della seconda e delia quarta elressersempre maggior o minor o guali. SALV. Comunque io sta, armi quest di Euclide ivt- iusto uncisorem da dimostrarsi, he una disinigione da premettersi. Pero avendo io incontrato tanti ingegni, i quali hanno arenato in quest luogo, mi soraero di secondare conia innitione diale proporgioni it conceito universale deglinomini anche ineruditiisella geometria, e procedero in questo modo.

Allor no direm quatim grandeEge esse fra loro pro- porgionali Oio averra prima alia seconda a tessa propor-χione che hara terga alia quarta, quando a prima ara eguale alla seconda e la terga ancora sara eguale alia quarta; v vero, quando a prima sarciani volt multiplice della

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SALV Ma perche non sem pre coaderit o rara quatim grandegae stomui per appunio la redeua egualita, ov- vero multiplicita precisa, procederem pii olim, ε domandero a Sig. Simplicio Intendet vo che te quattro grandeEEe al- lora iano proporgionali, quando a prima coniunga p. e , trevolt e mergoria seconda, si anc la terga coniunga tre viais mergo a quarta Sivp. Intendo enissimo st qui ed ammetto heri quatim grandeZZ siano proporZionali, non solo ne caso semμisical da V. S., ma ancora secondo qualsivoglia altra denominagrino di multiplicitii, O superpargiente, o superparticolare. SALv. Per accogiter dunque ora in breve o con maggiore universalita tutio quoli che si e detin ed semplificato finqui diremo che Allor no iniendiam quatiro grandeEZe esse Propo aionali fra toro, quando reccesso della prima sopra a seconda qualunque eo sta sarii simile ait eccesso delia terra sopra a quarta. Sivp. in qui io non avrei dimouith, a mi pare cheV. . in ussi manter non apporticia disinigione deste grandeZZe proporgionali, se non quando te antecedenti saranno maggiori elle loro consementi mich ella suppone he a prima Meda a seconda e che ancora terga coeda simil- mente a quarta Mamra interrogorio come dour governarmiquando te antecedenti iano minor delle loro oonsementi SALV. Rispondo che quando V. S. avr, is quatim gran- dogge in ta modo, chera prima si minor della seconda ela terEa minor della quarta, aliora sar la seconda maggior della prima era quarta maggior della terga Pero . . e consideri con quest' ordine Invsrso, e 'immagini che lao conda si prima, e la quarta si terga Cos aura te antecedenti aggiori elle conseguenti, e non avra bisogno di cer- care allor disini iolio diversa alia gi apportata da nor.

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Sasa Cosi h per appunis Ma eguitio S per gregiaco presupposio gi sati di considerare sempre te antecedentimaggiori elle loro conseguenti it che mi pare che faciliti assa a et i discors edis Oi r intelligoneta. MLv. Stabilita questa per inniatone, Oggiugnero an

in qua altro modo ' intendan quatim grandegge esse frator propontionali ed e questo Quando a prima, per avere alia seconda a medesima proporZione hera terga alia quarta, non punio h maggiore ne minore di quolio che olladoureis essem, aliora ' intende averra prima alia secondala medesima proporgione ob hara tera alὲ quarta conquesta Masione innire ancora a proporgione maggiore, ediret Osi: Μ quando a prima grandegra sarii atquanio pii grandedi que che ella doureis essere per avere alia seconda lamedesima proporrione che a a terga alia quaria, allor vο- glio che convenghiam di dire chera prima abista mag-gior proporgione alia seconda di quella che a a terga alia

quarta.

SIMPL Bene ma quando a prima lasse minoro di quelche olla dourisbe esse per avere alia seconda uella med sim proporgi e che a a terga alia quarta SALv. entre la prima si minor di que che si ioerchereis per aver alia seconda quella medesima proporgione cheharacterea alia quarta, sata segno evidente chera terga maggior dei iusto, per aver alta quarta quella a propor-gione cheisa a prima alia seconda. Pero in questo aso ancora V. S. si contenti di conceptra ordine in alim modo es immagini che velle grandeage che erano tera e quarta, diventino prima e seconda e queΙr attre, obe eram rimae seconda , . . e riponga ne luora delia terga o ella

quarta.sAsa pin ora intendo benissimo it conoetis dio. er introdugione con a quale ella d principio alla specula-gione delle proporgionali Parmi Ora che ella si si messa ino ligo di ademptre una delle due cose cloe ora dimostrare eun questi suo principi tuu i quini di Euclide ovvero di

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dedurre da queste due innigioni poste a V. S. queli' attredue, che Euclide mette per quinta e per settima rara diss-nagioni, wpra te quali mi gli sonda uita a maechina delmedesimo quinto libro Se . . dim treta quesie come conclusioni, non mi estgrii pii, che desiderare intorno a questa

si comprenda con evidenaa, che date quatis grandegae μο- porgionali, conforme alla medesima distnigione, o ugualmente multiplici della prima e delia terga si accordano eternamente per necessii in pareggiare o mancare o recedere gli eguai mente multiplici della seconda e quarta aliora gema attrascoria si vo entrare ne quinto libro di Euclide, o si pos- sono intende con evidenra i mremi delle grandeEZe prο- porgionali. Cos ancora se con a posta innigione delia proporato maggiore dimostrer che in qualch caso, res gliugualmente multiplici della prima e delia terga, od ano della seconda e delia quarta, que della prima receda uel della

seconda, a que della terga non ecceda que delia quarta, si mira con questa dimostraχione correre gli altri eoremidelle grandeχχe proporgionali Poici, questa nostra conclusione ara per appuni la disinigione, della quale, come per principio si serve Euclide lesso. SiMP. Quando i restassi persuaso di queste due passioni degli guat mente multiplici, otia che mentre te quatim gran-deEge so proporaionali, quelli ternamente si accordano et Pareggiare o eccedere O mancare e che quando te quatim grandeZZe non On proporgionali, quelli in qualch caso discordano, i per me non richiedere altra luce per intendercon hiarerga tutiora quinto degli Elementi Geometrici. SALv. Ora ditemio Sig Simplicio, se no supporrem chele quatir grandegae A, B, C, D, siano proporZionali, . Dcies checla prima Valla seconda B abbia la stossa a proporZione che a terga C a verso a quarta D, intendete Oi, che ancoraue elle primo verso C DI seconda avranno a medesima proporZione che due elleterZe verso in quarta

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Siup. I r iniendo assa bene, imperci che menire una prima alia seconda hara med ima proporgione che una terga alia quarta, non aprei immaginarmi per qua regione uedelle prime alla seconda dehban aver proporgio diversa daquella che anno due deli terge alia quarta. SALV. Adunque mentres. S. intende questo, intendera ancora che quattro diectis cento elle prime ad una seconda avranno a siessa proporgione che anno quattro dieci ocent deli terge ad una quarta. SluP. Certo che si e purche i numeri delle multiplici asiano guali facilinente apprendo che a prima res duo volt o leo o conto, avra la siessa prominione Versocia seconda, he hara terga res anche essa due volt O dieci ocent verso la quarta Sarebbe en dissicile persuadermi Icontrario.

SALv. Non e dunque ardua Osci capi re, che i multiplice della prima abbia la siessa proporgione alia seconda, chahai'ugualmente multiplice delia terga alia quarta; cio chela prima multiplicata quante volt ei pare abbia alia secondaquella proporgione tessa che hara terga multiplicata attretiante volt verso la quarta Ora tuti quello che toto Mem plincat si qui eo multiplicare Io grandeage antecedenti, mano in te conseguenti, immaginatevi et, si deit anco in- torno a multiplicare te conseguenti solamente senga punio alteraro antecedenti, e dilemi Credete mi, che date quatim granderae proporgionali, a prima a due delle seconde abbia proporato diversa a uella che a a terga a duo dello quarteΤSiMP. Credo assolutamente di no angi quando una prima abbia ad una secondaria medesima proporgione che una terZRha verso la quarta, iniendo assa bene che quella tessa prima due o quatimis dieci delle seconde avra quella medesima proporgione heis is siessa terga verso dum quatim o diecidello quarte. SALV. Ammeitendo dunque o questo, consessate di restar appagat e d intender On acilita, che date quatim

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cate guat mente a prima e la terga, quella proporgione cheha i multiplico E della prima A alla seconda . a st saa Ora sibi precisamento rigualmente multiplice isella terga Galla quarta D ij. Immaginatevi unque he questesiano te nostre quatim grandeEge proporaionali . . . . ci ci multiplice isella prima si prima la seconda Messa si seconda, i multiplico mi F delia terga si terra e laquartam si quaria V. S. mi ha anco dotis di apiro hemultiplicandos eguaimente te oons uenti B, D. io la s

conda era quarta senga altera punt te antecedenti l -- desima proporgione avracia prima a multiplicato della a conda chera terga a multiplicato delia quarta vi queste quatim grandegae sarann per appunt Ε, F, gualmeni multiplici della prima e delia tereta es meguaimente multiplici

della seconda e delia quarta. SAsa Consesso hera clo resto inieramente appagato, edora intendo enissimo a necessiti per a quale gli ugual- mente multiplici delle quatim grandeam proporgionali eternamente si accordan noli essere o maggiori, minor o egu li eo Miche, mentre res gli Mualmente multiplici della prima e delia terga, e gli uguaimente multiplici della secondae delia quarta, . . mi dimostra heri multiplice della prima a. multiplice delia seconda hara medesima proporgione hei multiplice della terra a verso it multiplice della quarta, scorgo manifestamente, che quando it multiplice delia prirnasia maggiore vi multiplice delia seconda allor ii multiplice delia terga doura necessariamente per serva la proporatone inesse maggiore de multiplice delia quarta. Quando mi iaminore, Ovvero guale anche i multiplice dolia terga doura esse minore Ovvero guale a multiplice delia quaria. Stup. I ancora non sent in io repugnanga Bruna. Resio bene con desideriora intendere come suppost te quattro grandeage proporgionali si vero che gli uguat mente multiplici non servin sem pre quella concordangameli esse mag-gioriis minor o guali.

si Era quaita proposietione dolo. di velide.

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vrebbe essere per avere alia secondam quella medesima pro--rgione me a a terga malia quarta E mstrero, che presii certa particola maniera gli gualmente multiplici della prima e della ierZa, e res altri ugualmenie multiplici dolia seconda e quarta, queli della prima si trovera aggiore diquello delis seconda, a quello delia terga non ara altrimentimaggiore di queli deIla quarta, angi l dimostrer esser

Intendas dunque esse levato alia prima grandega ABqueir eccesso, i quale la saceva maggiore di quanto ella do-vrisbe essere acci iusse precisa mente proporgionale e statalo eccessor FB. Besteranno Ora dunque te quatir grandeEgie

proporat ali cio la rimanente AF alta C avra lamedesima proporatone che ha a D alta . Multiplichisi Boante voti che ella si maggior della Ce si quest multiplice ii segnatomi Prendas pol HL altroiiante volt multiplice della AF, e la Μ dellam, quante volte per appunt rit ara stata res multiplice della FB Stante quest non e dubbio alo uno che tante volt sara multiplicela composta L della composta AB, quante volt tam delia FB ovvero lam della me multiplice. Prendas Ora lam multiplice dellam con a legge chela siessa di si prossimamente maggiore ella H ed in ul- limo, quant sara multiplice lara della C attrettani pongasilai multiplice delia .

Ora essendo a multiplice N prossimamente maggiore della II, se Oi allam intenderem esse levata una delle grandeage sue componenti che ara eguale alia in resterni residuo non maggiore ella H. Se unque alia tessa renderem la grandeZEa eguale aliam che intendem mo esserlevata), exalta L I, che e non minore di deito residuo ag-

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giugneremo a l. che pure e maggiore deir aggiunt alta ,sara lutta a Ll aggiore delia . Ecc dunque u caso, ne quale i multiplice delia prima supera i multiplice della seconda. a essendo te quatim grande et AF, C. , Ε satin proporgionali da nol, ed essendosi presi gli guat mente multiplici H edi della pridia e dellatereta, edo edi della seconda e delia quarta, saranno essi per te os gia stabilite di sopra sempre concordiisellinesse maggior o minor o guali Pero essendo it multiplice LII della prima grande2ga minore de multiplicem delia seconda per a nostra costruZione, sar ancora multiplicem delia terZa minore necessaria mente de multiplicem delia

Si e per tanto provat che menire a prima grandegrasar atquanto maggiore di queli che ella Ovrebbe essere per avere alia secondacia tessa proporEione che a a terga alia quarta, aliora ara possibile di prendere in qualch modo gli guat mente multiplici della prima e delia terga, et altriugualmeni myltiplici della seconda e delia quarta, e dimο-strare che i multiplice delia prima eccedera muni plice delia seconda , in i multiplice della terZa non eccede uel della

SAGR. olio bene ho intes quanis . . a dimostrato Sin qui Resta ora, che ella da queste dimostrate premesse deduca come necessarie conclusioni te due controverse diss-ni ioni di uclide l) i che spero te ara facile, vendo digia dimostrati due eorem conversi di uelle. SALv. Facili per appunt riusciranno e per dimostrarela quinta disinigione o procedem Osis: Se delle quattro grandea ae A, B, C. D F0. 43ὶ gliuguat mente multiplici della prima e terZa, res secondo qua-lunque multiplicita, em pre si accorderanno ne pareggiare mancare, v vero eccedere gli guat mente multiplici della seconda e della quarta respettiva mente, o dico che te quatim, grandea Ze On is di lor propora ionali.

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Imperci cite iano se e possibile non proporZionali Adunque una delle antecodenti ara maggiore di quello cheella Murebbe essem per avere alia sua conseguente la tessa proporgione cheis r altra antecedente alia sua conseguente.

Si per sempio a segnat A. Adunque per te os gia di-mosirate, pigliandosi gli uguat mente multiplici della Me delia in una a maniora, e pigliandosi gli guat mente multiplici elle B, D ne modo che si e insegnato, si mostrera a multiplice di A maggiore delia multiplice di , ma a multiplice di non ara altrimenti maggiore, a minore delia multiplice di , he e contro a suppost satio da not. Per dimostra la seltima disinigione diro cosi Siano lemlatim grandera A, B, C, D, e suppongas che res in qual-che particola maniera gli ugualmeni multiplici delle due antecedenti prima e terga, e gli,guat mente multiplici delle due conseguent seconda e quarta suppongasi, dico, che si ii Oviun caso, ne quale it multiplice dio si maggior de multiplice di , maci multiplice di non si maggior de naultiplico di D. I dico che lao alia B avra maggior Prommetione che a Galla , cine heri A sara atquanto maggioredi uel che ella dourebbe essere per avere alia B la siessa proporatone che haraa Galla D.

Se e possibile, non si A maggior dei iusto, Sara unque reclsamente proporgionale, vvero minor de giusto peresse proporgionale. Quanto a primo . se ella susse precisamente agglustata e proporgionale, arebbero, per in os gia provate, gli ugualmeni multiplici della prima e della terra, prosi in qualunque modo, sempre concordi ne pareggiare mancare o eccedere gli uguat mente multiplici della secondae della quaria it che e contro alia suppostgione. Se mi a prima lasse minor de giusio per esse Propor-Eionale, quest e segn checla terga sarisbe magoore de suo vere per avere alia quarta quella proporgione che a laprima alia seconda. Aliora io dire che si levasse dati terra queli eccesso che la a esse maggior dei iusto. per larimanente restere e pol per appunt proporZionale. Orct, Ou-

siderando quoi multiplici particolari suppost da principio, e

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inanifesto, che essendo it multiplice delia prima maggior delmultiplice delia seconda, ancora multiplice delia erga, cloedi quella rimanente sarii maggior de multiplice delia quarta. Adunque se in ambi di piglia i multiplice di quella rimanente, ripi glierem riguat mente multiplice di tutia a terga intera, quest sarh maggio che non erit multiplice di quella

rimanente; per sara questo tesso mobi maggior di queldella quarta I che e contro a suppostgione. SAGn. esto soddissaltissimo di questa dilucidarion satiam da V. S. in materia, ella quale o ne aveva gi iungo tem p bisogno: n saprei esprimere quale in me si maggiore ora gusi di questa cogntrione uovamente acquislata ratrammarico di non avertara procurata Ol hiederi a V. S. si da principi de nostri primi abboccamenti . tanto piuavendo i intes che ella la conseriva a diversi amici, 'quali per a vicinanga ora lecti di frequenta la sua villa Ma semitiam di gregia i discorsi, quando per i Sig. Simplicio

non abbia che replicare intorno alla materia si qui consi-dorata.

SiMP. I non aprei che oggiugnere, angi resto interamente appagato de discorso, o capace delle dimostragioni

sentite.

SALV. Osi questi Mndamenti, si mirisbe compendiare in parte e riOrdinare tutio ii quinto di Euclide, a cio sa-rebbe una digressione troppo unga e troppo Ontana alnostro principale intonio Oltro hera so hecie SS. V. averanno edut di simili compendi rumpati da altri autori Ora essendos considerate si qui, a riquisigione vile SS. V. te distnigioni quinta e settim de quinto libro, spem

che esse concederanno volentieri a meri poterimporre adesso un antica mi Osservagione ovvenulam sopra n altra disi-χione d Euclide medesinu . I soggetto non .sara diverso dat-r incominciato, e non parra alieno dat nostr proposito essendo intorno alla proporato composia la quale vie maneggiata spesse volt da nostro Autore ne' suo libri.Τrovastora te disini Eioni de sesto libro di Euclide aquinta della proporato composta, la quale dice in questo modo: