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bas lor collocati, andarei continuamente e eguai mente equeste e uelli ne medesimo tempo diminuendo restando sempre irata loro egualici loro residui, e finalmente audare, si te superficie come i solidi, a terminare e lor perpetueegualitii precedenti l uno dei solidi coli una delle supersicie in una iungitissima linea, e r altro solido con P altra supersicie non sol unto: cio quesii in v sol punio, e quelli in infiniti. SAGR. Ammirabile proposia veramente mi par cotesta, per sentiamone P esplicagione e la dimostragione. SALv. necessario sarne laigura, perchecla prova e pura
geometrica Periani intendas i mega cerchio AFB F0. 6), i cui centro C, e intorno ad esso it parallelogrammo rei- tangolo ADEB e a centro a punii , Ε sieno irato leretis line CD, CE Figurandoci mi it semidiametro C perpendicolare a una delle due AB, D immobile, iniendiamo
intorno a quello irarsi tutia questa sigura E manifesto cheda rettangolo ADE verra descritto un cilindro, da semicircolo AFB una me Ea sera e da triangolo CD un cono. In teso questo, Oglio che 'rim maginiam esse levato via remisserio lasciando perora con e uello che rimarrh deletlindro, i quale, alia figura che riterra simile a una Mo-della chlamerem pure sc ella delia quale e de cono prima dimosireremo che sono eguati: e potis plano irato parallelo a cerchio che e base della sc ella, i cui diametro e la linea Me i centro , di mosirerem talisiano.che PasSasM, V. g. per a linea G1 segando a codelia ei
vera la bas ancora de medesimo cono, clo it corchio, iloui diametro IIL, essem eguale a quella circola supernote, ehe e base delia parte della codella, che e come se dicessimo nisastro di larghegga quanta e la linea Gl notate iniant che cosa sono te diiunigioni dei matematici, he sono una imposia o di Oini, o Ogliam dire abbreviagioni di par-lare, ordinale e introdoti per levar o lento odioso, che
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vo ed i sentiam di presente per non aver convenuto in- sieme di chlamar. v. g. questa superstcie astro circolare, equo solido acutissimo delia codella rasoto rotondo in Or eo-munque vi placci chlamarii basti vi intendere chera plano prodotto per qualsivoglia distanza, pur che si parallel allabam, io a csrchio, i cui diametro DE, taglia sem preci due solidi ci a parte de cono CH e a superior parte dellascodella eguali ira di loro e pari mente te due superficiebas diciali solidi, clo it detio astro cerchio I purira loro eguali. Da cheis segue a maravi glia accennata olae, che se intenderem ii segante piano successivamente innalgato verso a linea AB, sempro te parti dei solidi ia-gliate sono eguali, come ancorae superlicie, che wn basi toro, pure seim e sono eguati, e sinat mente algando e algando
tanto ii due solidi sem pre eguali quanto te or basi superficie pur sempre eguali), vanno a terminare ina oppiadi loro in una circonserenga diis cerchio e r altra in unso punio che tali sono P orto supremo della codella e lacuspide de cono. O menire cheisella diminuZione dei due solidi si v sin ali ultim mantenendo sem preor essi laegualita, en par conveniente i dire che gli altissimi in ultimi termini di tali menomamenti restino ira di loro eguali, non uno inlinita mente maggior detraliro par dunque
che a circonserena di im cerchio immenso ossa chia marsi eguale a n sol punto. questo, che accade ne solidi, accade parimente elle superficie basi Oro, che esse ancora, conservando Bella comune diminugione senipre a gualita, vanno insine ad incontrare, ne momento delia loro ultima diminuEione, quella per suo termine a circonferenga di uncerchio, e questa n sol punio Li quali perche non si deb-hon chlamare eguali se sonorae uitime reliqui e vestigie
lasciat da grandeago eguali notate appresso che quando ben iussero ali vas capaci degr immensi emisseri celesti, tanto gli orti loro supremi e te punie dei contenui coni, servando sempre tra loro rigualita, andrisbero a terminare, quelli in circonserenae eguali a quelle de cerchi massim degli Orbi celesti, e questi in semplici punii. onde conforme a quello
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elie tali speculaZioni ne persuadono anco tui te te circonserenκ di cerchi quanto si Oglia diseguali, Osson chia marsi ira loro eguati, e laschedusa eguale a n punt solo. SAGR. a speculagione mi par tanto gentile e peregrina, che io, quando en potessi, non me gli vorret Opporre che mi parreb meZEo sacrilegio lacera si bella struttura calpestandola con qualche pedantesco irronto per per interasoddissagione recatec purria prova, che dite geometrica, delman leners sem pre regualita tra que solidi e uelle basitor , he penso che non Ossa esse se non moli arguta.
essendo cosi sottile la filosofica medita ione che da a conclusione dipende. SALv. a dimostragione e anco breve e tacito. Ripi glia mola segnata figura. nella quale per esse rangol IPC retto ilquadrato de semidiametrora e guale alli duo quadrati dei lati IP, C. Marii semidiametro line eguale alta C, e questa alla GP, e la Cine eguale alia PH adunque i quadrat dolia linea GP e eguale alli due quadrati delle IP, ΡΗ, e ii quadruplo a quadrupli ci ci quadrato de diametro G e eguale a duo quadrati IO, HL e perche i cerchi son tra loro comeri quadrati de lor diametri, ii cerchio, it cui diametro GN, ara eguale allidue cerchi, i cui diametri IO. ΗΙ tolt via it comune cerchio, i cui diametroclo it residuo dei cerchio G sara egualeat cerchio i cui diametro e ΗΙ questo, quant alia pri inaparte, desseq-lita perpeιuideli deιι superficie Quanto pol atral ira parte detrequalita de' sudiaιι solidi lascerem per Ora ladi-mOstragione, si perche, Olendolamoi edere la troverem in Irehimede nella propos. 32 de Lib. I de Sphaera e Cylindro. pi universalmente ella 29 de Conoid et Sphaeroid. ed aι- irimenti a neor nelia duodecima proposigione de libro secondo de centro ravitatis solidorum posta dat signo Luca Valerio, nuovo Archimede detret nostra, ii quale per u altro suo proposito se ne servi; si perche ne cas nostro basta averveduis comerae supersici gia dic hiarate sieno sempi e eguali, come diminuendos sem pre eguaimente vadano a terminarer una in v sol unto, e I alii a nella circonserenga di neerchio aggiore anc di qualsivoglia grandissimo, perche
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in πιιuna anche a seeonda purae rima prorata alta prima, stoiche se elaseuna deli superflete componenti a seodelia e quate ei cuna detis superflete eomponent i cono, hi non ede che,
essendo questi solidi omposti di uelle superflete, anehe ultequelle instem prese sono equali di necessiιὰ a ιυιι queste preseinsieme, eis i solido a solido' l). SAGR. Ingegnosa a dimOstragione, quanto mirabile la ristessione satiavi sopra. O sentiam qualch cosa circa rattradimcolt promossa dat Sig Simplicio, se per avet alcuna particolarita a dirui Opra che crederet he non potesse
essere, essendo una controversia stata tanta sagitata.
SALv. Auro qualch mi pensiero particolare, replicando prima que che poc is dissi, cloe che 4n sinit e per se solo da no incomprensibile, come anc gr indivisibili or pensatequello che saranno congiunt insteme e pur se Vogliamo
comporcia linea di punii indivisibili bisogna sarii insiniti ecos conviene apprende ne medesimo tempo infinito e indivisibile Le Ose, che in tu volt mi Ono passate per lamente in ta proposito, son molle, parte elle quali e sorsele tu considerabili, Otrebbe esse che Osi improvvisamente non mi sOvvenissero, a ne progress det agionamento po-tra accadere che destando io a voi, e in particolare alSig. Simplicio obbieχioni o dissicotta, esse ali incontro misaeessem ricorda di quello, che senEa tale eccitamento restasse dormendo nulla antasia e pero con a solita libertasia lectio produrre in meZZ i nostri mani capricci chetali merita mente possiam nominarii in comparagione elle doliri ne sopran naturali, sole vere e sicure determinatrici delle Osire controversie, e scorte inerranti ne nostri oscuri
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quelli che compongono i continuo ' indivisibili, vole esserquella che uno indivisibile aggiunto a n liro indivisibile non produce cosa divisibile perche se cio lasse, ne segni re eche anco I indivisibile lasse divisibile perche quando due indivisibili, come, per esemplo due punii, congiunt facessero una quantith, qua sareis una linea divisit,ile, moli pi sarebbetale una composta di tre, di inque di et te e di attre moltitudini dispari te quali line essendo tu segabili in due
parti eguali rendo segabito queis indivisibile, hemel me Zoera collocato. In questa exaltre Obbiegioni di questo genere sida soddissagione alla parte con dirgli, he non solamente dueindivisibili, a ne dieci, ne cento ne mille non commi gono una grandeEEa divisibile e quanta, a si bene infiniit. Sivp. Qui nasce subito unisubbio, che mi pare insolubile is e che sendo no sicuriorOvarsi line una maggi ardetr alira, tuttavolt che mendue conten gan punt inliniti bisogna consessare trovarsi ne medesimo genere una Osa
nea magoore eccedera I infinita dei punii della minore. Ora questo arsiis infinito maggior detrinfinito, mi par concello da non pote esse capit in verun modo. SALV. Queste so di quelle dissicolla che derivan dat discorrer che no sacciam col nostro intellet to finit intorno agi infiniti, anilogi quelli attributi che no diam allecos finite e terminale it che penso che si inconveniente perche stim che questi attributi di maggioran Ea ni inoritae eguatit non convengan agi insiniti, de quali non si uodire uno esser aggiore O minore o guale ali altro. Perprova di che ih mi ovvenne u si satio discorso, ii quale Per tu hiara splicaZione proporro per interrogagioni alSig. Simplici che ita Ossa la dissicotta. Io suppongo che vo benissim sappiate quali sono numeri quadrati, e quali i non quadrati. SIMP. So benissim che i numero quadrat e quello clienasce alla moltiplicagione diis altro numero in se medesimo, e cos ii 4, i 9 son numeri quadrati, nascendo uello dat' e questo dat 3 in se medesimi molliplicati.
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SALV. Benissimo e sapete ancora, ohe si comeri prodotiis dimandano quadrati, i producenti, cio quelli che si moltiplicano, si clitam ano at o radici gli altri pol, che non nascon da numeri Oltiplicati in se siessi, non sono altrimen ii quadrati. Onde se i diro, i numeri iutii, comprendendo quadrati e i non quadrati, esse piu ch i quadrati soli, diro proposiaione verissima non e Osi Sivp. Non si pia dii altrimenti. SALv. Interrogando i di mi, quanti iano i numeri quadrati situ con verila ris pondere, lor esse tanti quante sono te proprie radici, a 'vegnache ogni quadrato hau sua radice, agni radice a i suo quadrato, ne quadrat alc uno a plud' una sola radice, ne radice alc una tu diis quadrato solo. Stup. Cosi sta. SALv. a se i domandero quante stan te radici, non si uo negare che elle non iano quante tuti i numeri pot-che non vi e numero alculi che non si radice di qualchequadrato. stante questo, converra dire chera numeri quadrati iano quanti ultim numeri, oiche tanti sono quantele tor radici, e radici sono ultim numeri e pur da principio dicem mo tuti i numeri esse assai tu che tuitici quadrati, essendo la maggior pari non quadrati. E pur ultavia si vala moltitudine dei quadrati sempi e con aggior proporatone diminuendo, quanto a maggior numeri si trapassa perchesin a cent vi sono dieci quadrati, che e quant a dire ladecima parte esset quadrati in diecimila solo a centesima parte son quadrati, in ii milione solo a millesima e puruel numero inlinito se concepi l potessimo, bisognerebbe diretanti essere i quadrati quanti ii iii i numeri insteme. SAGR. Che dunque si a da determinare in questa occasione 3 SALV. O non Ved che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere uti i numeri, infinit i quadrati, insinite e loro radici ne a mollitudine dei quadrati esse minore di quella di tuiti i numeri, ne questa maggiordi quella: ed in ultima conclusione gli attributi di eguale,
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nelle qualii terminate. per quando i Sig. Simplicio mi
propone pii line diseguati, e mi domanda come Ossa essere che elle maggiori non iano pii punt che elle minori. io gli rispondo che non ve ne sono h piu, n manco, ne limitanti m in lascheduna insiniti. O veramente seio gli rispondessi, i punii eli una esse quanti sono i numeri quadrati in un altra maggiore, quanti ulti i numeri inquella iocolina, quanti sono i numeri cubi non potrei οavergi dat soddissagione o porre pii in una che netrarutra e pure in claschediana infinitis e questo e quanto alia
SAGR. Fermate in graZia, e concedetem cherio aggiungaal detto si qui u pensiero, che pur ora mi giugne e questo e che, stante te cose deite si qui parmi che non solamente non si possa dire u infinito esse maggiore a n alim infinito, a ne anco che ei si maggior diis finito, percli se ii numero infinito lasse maggiore v. g. de milione ne eguirebbe, che passando da milione ad altri dat tri continuamente maggiori, si amminasse versori infinito: i che non angi per opposito a quanto maggiori numeri sacciam passaggio, tanto pii ci discostiam dat numero in- sinito perche ne numeri, quant pili si pigliano grandi, sempre tu e pili rari sonora numeri quadrati in essi conixnutici a ne numero infinit i quadrati non possono essermanco che tuti i numeri, Ome pure ora si e concluso adunque Γ andare verso numeri sem pre maggior e maggiori, eun discosiarsi a numero inlinito SALv mcos dat vostro ingegnos discors si conclude, gli attributi di maggiore, minore o guale non aver uogo non solamente tra gl infiniit ma n anc tra gl infiniit e siniti. Passo ora ad n altra consideragione, e e che stante chera linea disgni continuo stan divisibili in sem pre divisibili non edo come si possa suggire, a composiaione essereis' infiniti indivisibili perche una divisione e suddivisione, che si possa prosegui perpetua mente, suppone chel pari sieno infinite, perche aliramente a suddivisione sa-
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rebbe terminabile era esse te parti infinite si tira in eoi seguenEa esse non quante perche quanti in siniti anno vn' estensione innuit cos abbiam ii continuo compostod infinii indivisibili. St. . a se Oi possiam prosegui sem pre a divisione in parti quante, he necessita abhiam no di Over per talrispetio introdurrae non quante ΤSALV. ristem pote prosegui perpetuamente a divisione in parti quante, induce la necessita della composiaione d infiniti non quanii. Imper chh, venendo tu alle strette, iovi domando che ri solutamento mi diciate, serae parti quante ne continuo terminato, per vostro credere, son sinite o infinite'Sius is vi rispondo essere infinite e sinite infinii inmienaa, e finite in alto Infinite in potenga, io innangi alia divisione, a finito in atto, io dopo che so divise Per- cherae pari non ' intendono attualmente esse ne suo tutio, se non opo esse divise , o almen segnate aliramente sidicon esserui in potenZa. SALV. Si che una linea iunga v. g. Venti palmi, non si dice contener venti line diis palmo una alti almenie, se non om a divisione in veni pari eguali mater avantis dice conteneri solamente in potenga. O si come vi place ditem se, satia attua divisione di tali parti, uel primo uti cresce o diminuisce, O pur resia della medesima grandeaga 'SIMP. Non cresce, ne scema.
SALV. cos credo io ancora Adunque te pari quanie et continuo, o vi sieno in alto, o vi sieno in potenga, non lannota sua quantita maggiore ne minore ma hiara Osa e cheparti quante attuat mente contenui ne loro tutio, se Ono infinite, to sanno di granderet infinita adunque parti quante, benche in potenga solamente infinite, non Osson 8Sser con- tenuis se non in una grandeχκ infinita adunque ella sinita, pari quante insinii ne in atto ne in potenga possono
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possa incessabiimente dividersi in parti capaci seinpre dinuova divisione 3 SALv Par che quella distingtolle 'latio erat polena virenda attibile per u verso uel che per u aliro sarebbe impossibile. a io edro ' aggiusta meglio queste partite eo lare u altro omputo. Ed a quesito, che domanda, sele pari quante ne continuo terminato sie sinite o infinite, rispondero ullo Opposito di que che rispos diangi ii ignor Simplicio, io non esse ne sinite ne infinite. Sinp. Cio non avrei sapuio ma rispondere io, non pensando che si ii vasse termine alcuno meEgano tram finito rinfinito, si chera divisione o disiingione, che pone una eos esseris finitam inlinita, susse anchevole e dilatiosa. SALV. A me par ch olla sta E partando de te quaqtila discrete, parmi che tra te sinite e r infinite vi si unoerao medio termine, che erat rispondere ad gni segnato numero; si che domandat ne presente proposito, se e parti quante ne continuo iano nitem inlinite la pii, congrua rispostasia i dire non essere ne nite ne in sinite, a tante che ri- spondono ad gni segnato numero per lo che fare necessari che elle non iano compres dentro a n limitat numero, perche non risponderebbono ad n maggiore; ma neano e nocessario ch elle stan infinite, percho nivno -- gnato numero e inlinito. cos ad arbitrio de domandante una proposta linea gliela Otremo assegnare in cent parti quante, e in mille e in cento mila consorme a qua numerogli placera; a divisa in infinite, quest non gia. Concedodunque a signori low ohe i continuo contiene quante parti quante piae iuro, d ammetto cherae contenga inatio O in potena a lor gusto e beneplacito ma wggiungo i che si modo che in una linea di dieci anne si coniungono dieci line d una canna r una , e quarenta 'in braccio una e ottanta di mare braccio cos contime ella punt infiniit chlamateli mi in ii O in potenaa come iuvi piace, chorio, Sig. Simplicio, in quesio particolare mi ri- metto a vostro v bitrio e iudi gio. SIMP. I non posso non laudare ii vostro discorso ma
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ho gran aura che questa parita deli esse contenui liunti come e parti quante, non corra con inter puniualita ne che a voi sara cos agevole it dividere a proposta linea in infiniti unti, come a que siloso in dieci canna o in qua-rant braccia anEi ho per impossibile de tutiori ridurre adessetis a divisione: si che. questa ara una di quelle po- tenge che ma non si iducono in atto. SALV. I non essere una Osa saltibile se non con fatica o diligenga, o in gran iungilega di tempo, non la rende impossibile, perche penso che Oi ali res non Osi agevοlmeni vi brigheret da una divisione da sarsi ' una linea in mille parit, e molto meno dovendo divideria in 37, alimgran numero primo. a se questa , che vo per v veniurasti vate divisione impossibilo, io vera riducessi a cos spedita, come se altricia douesse segare in quaranis, vi contenterest vo di ammetterta tu placidamente nella nostra On-Versagione ΤSiMP. I gusi de vostr iratiar, come sate talora, conqualch piacevoleZZa ei a quesit vi ris pondo che a sa-cillia mi parrebbe grande tu che a basianga, quando it ri- solveri in punii non lasse tu laborioso chera divideria in mille parti. SALV Qui Ogli dirui cosa che sors vi sara maravi gliare in proposito de volere o pote risolve la linea ne' suoi infiniti, tenendo metrordine che altri liene ne divideria inquaranta, Sessant O cent parti, cio con Pandaria dividendo in due e mi in quaitro; co qua ordine chi credesse di tro-vare i suo infiniti unti, ' ingannerebbe indigrosso . pere concla progress ne me alla divisio di iuite te parti quantes perverrebbe in ierno ma degi indivisibili tanto e lon-tan il poter iugne per cotale trada a cercato termine, che piutissis altri se ne discosia e menire pensa col continua la divisione e col multiplica la moltitudine deli parii. di avvicinarsi alla infinith credo che sempre tu se 'ἈΙ-lontani e la mi ragione e questa Ne discors avulo meos concludemmo, he ne numero infinito risOgnava che tanti susser i quadrati ora cubi quanti tuti i numeri Ῥοiche e